可靠性设计常用概率分布
一、离散型随机变量概率分布
1. 两点分布
两点分布又称为(0,1)分布。该分布数学模型的随机试验只可能有两种试验结果，如果其中一种结果用{X =1}来表示，另一种用{X =0}来表示，而它们的概率分布是P {X =1}=p ，P {X =0}=1－p ，0
两点分布的数学特征为
E (x ) =1⋅p +0⋅q =p
D (x ) =p -p 2=p (1-p ) =pq
2．二项分布
二项分布又称伯努利分布。二项分布的分布律为
k k n -k
P (X =k ) =C n p q k =0,1,2…, n
二项分布的数学特征为
E (X ) =∑kP (X =k ) =np
k =0
n
D (X ) =∑[k -E (X )]2P (X =k ) =npq =np (1-p )
k =0
n
3．泊松分布
泊松分布的分布律为
P (X =k ) =
λk
k !
e -λ k =0,1,2…, n ；λ为泊松分布的参数且λ>0。
泊松分布的数学特征为
E (X ) =∑kP (X =k ) =λ
k =0∞
D (X ) =∑[k -E (X )]2P (X =k ) =λ
k =0
∞
4．几何分布
令p 为失败的概率，q =1－p 为成功的概率，X 为试验的总次数，则随机变量X 的概率分布为
P (X =k ) =q k -1p k =0,1,2…
式中：-1
几何分布有时称为“离散型等候时间分布”，即“一直等到出现第一次失败为止这样的等候试验次数的分布”，是用来描述某个试验“首次成功”的概率模型。
几何分布的数学特征为
E (X ) =
1
p q 2p
D (X ) =
5．超几何分布
设k 表示成功次数，且n －k 表示失败，从N 中抽出n 的随机样本，则超几何分布随机变量X 的概率分布为
n -k
C r k C N -r
k =0,1,2…, n P (X =k ) =n
C N
超几何分布的数学特征为
E (X ) =
nr N
D (X ) =
nr (N -r )(N -n )
N 2(N -1)
二、连续型随机变量概率分布
1. 正态分布
正态分布又称高斯分布，是描述产品随机失效比较集中发生现象的一种最常用的分布。此分布的失效率术语耗损失效率，它可以很好的描述在平均寿命μ附
近失效集中发生的现象，比如磨损老化现象。正态分布常用来研究测量许多相互独立的随机因素所引起的误差，这些偶然因素每一个的影响都很小，而且相互独立。
正态分布函数为：
f (x ) =
1
e
σ2π
-
(x -μ) 22σ2
-∞
正态分布的累积失效分布函数F (x ) 、可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
F (x ) =⎰
x
-∞
1
f (x ) dx =
σ2π
⎰
x
-∞
e
-
(x -μ) 22σ2
dx
R (x ) =1-F (x )
λ(x ) =
正态分布的数学特征为
f (x )
R (x )
E (x ) =μ D (x ) =σ
2. 截尾正态分布
若X 是一个非负的随机变量，且X 的密度函数为
f (x ) =
1x -μ2
exp[-() ]
2σa σ2π1
μ
则称X 服从截尾正态分布。式中，a >0且为常数，a =Φ() ，它保证
σ
⎰
∞
f (x ) dx =1。
-1
f (x ) =e
σ2π
(x -μ) 22σ2
-∞
截尾正态分布的分布函数F (x ) 、可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
F (x ) =1-
x -μ⎤⎡1-Φ() ⎥ ⎢σ⎦Φ() ⎣1
σ
R (x ) =1-F (x ) =
x -μ⎤⎡
1-Φ() ⎥ ⎢σ⎦Φ() ⎣1
σ
λ(x ) =
截尾正态分布的数学特征为
f (x ) =
R (x ) 1-Φ()
Φ(
x -μ
) σ-1
σ
E (x ) =μ+
σ
a
Φ()
μσ
μμ1μ⎤⎡
D (x ) =σ2⎢1-Φ() -2Φ2() ⎥
a σ⎦⎣a σσ
3. 对数正态分布
若随机变量X 的对数ln X 服从ln X ~N (μ, σ2) ，则称服从对数正态分布，记作X ~ln(μ, σ2) 。其分布密度函数为
1(lnx -μ) 2
f (x ) =exp[-] x > 0 2
2σx 2对数正态分布的分布函数F (x ) 、可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
F (x ) =
令Z =
ln x -μ
1
2πσ
⎰
x
1e x
-
(lnx -μ) 2
2σ2
dx
σ
1
则 F (Z ) =
2π
⎰
Z
-∞
e
-
Z 22
dZ =Φ(
ln x -μ
σ
)
从而可得出，可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
R (x ) =1-F (x ) =
12πσ
⎰
∞
ln x
e
-
(x -μ) 22σ2
ds
ϕ(
λ(x ) =
对数正态分布的数学特征为
ln t -μ
)
t σ[1-Φ(
σ
)]
E (x ) =μ D (x ) =ln X
4. 指数分布
指数分布是电子产品可靠性工程中最重要的分布。多数电子产品，包括大部分仪器仪表在内，在剔除早期失效后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段，其寿命服从指数分布。
指数分布的密度函数为
式中，λ为指数分布的参数（常数）。
指数分布的分布函数（即累积失效分布函数）和可靠度函数为
F (t ) =⎰
t
-∞
f (t ) dt =⎰λe -λt dt =1-e -λt 0
t
R (t ) =1-F (t ) =e -λt 0
指数分布情况下的失效率为
λ(t ) =
指数分布的数学特征为
f (t )
=λ R (t )
m =E (T ) =⎰t ⋅f (t ) dt =⎰t ⋅λe -λt dt =
-∞
∞∞
1
λ
σ2=D (T ) =⎰t 2f (t ) dt -[E (T )]2=
-∞
∞
1
λ
2
5. 威布尔分布
威布尔分布是一种含有三个参数的分布，其概率密度函数为
m t -γm -1-(
f (t ) =() e
t -γ
η
) m
ηη
γ0, η>0
威布尔分布的分布函数（即累积失效分布函数）、可靠度函数和失效率函数
为
F (t ) =⎰
t
-∞
m ⎛x -γ
f (x ) dx =⎰
r η η⎝
t ⎫
⎪⎪⎭
m -1
e
⎛x -γ- η⎝⎫⎪⎪⎭
m
dx =1-e
-(
t -γ
η
) m
R (t ) =1-F (t ) =e
-(
t -γ
η
) m
f (t ) m ⎛t -γλ(t ) ==
R (t ) η ⎝η⎫
⎪⎪⎭
m -1
指数分布的数学特征为
1
+1)
-∞m
∞21
D (T ) =⎰t 2f (t ) dt -[E (T )]2=η2[Γ(1+) -Γ2(1+)]
-∞m m
E (T ) =⎰t ⋅f (t ) dt =γ+ηΓ2(
∞
三、抽样分布
1. χ2分布
若X 1, X 2, , X n 是来自样本总体X ~N (0, 1) 的一个样本，且X i 与总体X 同分
布，即X i =N (0, 1) ，则统计量
22
χ2=X 12+X 2+ +X n
服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2~χ2(n ) 。
统计量X 遵从χ2分布，则其分布密度函数为
f (x ; v ) =
⎛x ⎫
⎪⎝2⎭2Γ()
2
1
v -1v 2-()
2
e x >0, v =1, 2,
式中Γ(v /2) 为伽马函数。v 为自由度，是统计量中独立的自由度变量的个数。
χ2分布的数学特征为
E (χ2(v )) =v
D (χ2(v )) =2v
χ2(v ) 分布具有可加性，若对
互独立，则
222
χ1=χ2(v 1) ，χ2相=χ2(v 2) 且χ12与χ2
2
χ12+χ2~χ2(v 1+v 2)
2. t 分布
t 分布常用于区间估计、正态总体的假设检验和机械概率设计之中。 若总体X ~N (0, 1) ，Y ~χ2(v ) ，且X 与Y 相互独立，则称统计量
T =
X
服从自由度为v 的t 分布，记为T ~t (v ) ，其分布密度为
v +1v +1
) ⎛t 2⎫-2 1+⎪ -∞
2
Γ(
式中Γ为伽马函数。 t 分布的数学特征为
E (T ) =0 v >1 D (T ) =
v
v >2 v -2
可靠性设计常用概率分布
一、离散型随机变量概率分布
1. 两点分布
两点分布又称为(0,1)分布。该分布数学模型的随机试验只可能有两种试验结果，如果其中一种结果用{X =1}来表示，另一种用{X =0}来表示，而它们的概率分布是P {X =1}=p ，P {X =0}=1－p ，0
两点分布的数学特征为
E (x ) =1⋅p +0⋅q =p
D (x ) =p -p 2=p (1-p ) =pq
2．二项分布
二项分布又称伯努利分布。二项分布的分布律为
k k n -k
P (X =k ) =C n p q k =0,1,2…, n
二项分布的数学特征为
E (X ) =∑kP (X =k ) =np
k =0
n
D (X ) =∑[k -E (X )]2P (X =k ) =npq =np (1-p )
k =0
n
3．泊松分布
泊松分布的分布律为
P (X =k ) =
λk
k !
e -λ k =0,1,2…, n ；λ为泊松分布的参数且λ>0。
泊松分布的数学特征为
E (X ) =∑kP (X =k ) =λ
k =0∞
D (X ) =∑[k -E (X )]2P (X =k ) =λ
k =0
∞
4．几何分布
令p 为失败的概率，q =1－p 为成功的概率，X 为试验的总次数，则随机变量X 的概率分布为
P (X =k ) =q k -1p k =0,1,2…
式中：-1
几何分布有时称为“离散型等候时间分布”，即“一直等到出现第一次失败为止这样的等候试验次数的分布”，是用来描述某个试验“首次成功”的概率模型。
几何分布的数学特征为
E (X ) =
1
p q 2p
D (X ) =
5．超几何分布
设k 表示成功次数，且n －k 表示失败，从N 中抽出n 的随机样本，则超几何分布随机变量X 的概率分布为
n -k
C r k C N -r
k =0,1,2…, n P (X =k ) =n
C N
超几何分布的数学特征为
E (X ) =
nr N
D (X ) =
nr (N -r )(N -n )
N 2(N -1)
二、连续型随机变量概率分布
1. 正态分布
正态分布又称高斯分布，是描述产品随机失效比较集中发生现象的一种最常用的分布。此分布的失效率术语耗损失效率，它可以很好的描述在平均寿命μ附
近失效集中发生的现象，比如磨损老化现象。正态分布常用来研究测量许多相互独立的随机因素所引起的误差，这些偶然因素每一个的影响都很小，而且相互独立。
正态分布函数为：
f (x ) =
1
e
σ2π
-
(x -μ) 22σ2
-∞
正态分布的累积失效分布函数F (x ) 、可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
F (x ) =⎰
x
-∞
1
f (x ) dx =
σ2π
⎰
x
-∞
e
-
(x -μ) 22σ2
dx
R (x ) =1-F (x )
λ(x ) =
正态分布的数学特征为
f (x )
R (x )
E (x ) =μ D (x ) =σ
2. 截尾正态分布
若X 是一个非负的随机变量，且X 的密度函数为
f (x ) =
1x -μ2
exp[-() ]
2σa σ2π1
μ
则称X 服从截尾正态分布。式中，a >0且为常数，a =Φ() ，它保证
σ
⎰
∞
f (x ) dx =1。
-1
f (x ) =e
σ2π
(x -μ) 22σ2
-∞
截尾正态分布的分布函数F (x ) 、可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
F (x ) =1-
x -μ⎤⎡1-Φ() ⎥ ⎢σ⎦Φ() ⎣1
σ
R (x ) =1-F (x ) =
x -μ⎤⎡
1-Φ() ⎥ ⎢σ⎦Φ() ⎣1
σ
λ(x ) =
截尾正态分布的数学特征为
f (x ) =
R (x ) 1-Φ()
Φ(
x -μ
) σ-1
σ
E (x ) =μ+
σ
a
Φ()
μσ
μμ1μ⎤⎡
D (x ) =σ2⎢1-Φ() -2Φ2() ⎥
a σ⎦⎣a σσ
3. 对数正态分布
若随机变量X 的对数ln X 服从ln X ~N (μ, σ2) ，则称服从对数正态分布，记作X ~ln(μ, σ2) 。其分布密度函数为
1(lnx -μ) 2
f (x ) =exp[-] x > 0 2
2σx 2对数正态分布的分布函数F (x ) 、可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
F (x ) =
令Z =
ln x -μ
1
2πσ
⎰
x
1e x
-
(lnx -μ) 2
2σ2
dx
σ
1
则 F (Z ) =
2π
⎰
Z
-∞
e
-
Z 22
dZ =Φ(
ln x -μ
σ
)
从而可得出，可靠度函数R (x ) 和故障率函数λ(x ) 分别为
R (x ) =1-F (x ) =
12πσ
⎰
∞
ln x
e
-
(x -μ) 22σ2
ds
ϕ(
λ(x ) =
对数正态分布的数学特征为
ln t -μ
)
t σ[1-Φ(
σ
)]
E (x ) =μ D (x ) =ln X
4. 指数分布
指数分布是电子产品可靠性工程中最重要的分布。多数电子产品，包括大部分仪器仪表在内，在剔除早期失效后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段，其寿命服从指数分布。
指数分布的密度函数为
式中，λ为指数分布的参数（常数）。
指数分布的分布函数（即累积失效分布函数）和可靠度函数为
F (t ) =⎰
t
-∞
f (t ) dt =⎰λe -λt dt =1-e -λt 0
t
R (t ) =1-F (t ) =e -λt 0
指数分布情况下的失效率为
λ(t ) =
指数分布的数学特征为
f (t )
=λ R (t )
m =E (T ) =⎰t ⋅f (t ) dt =⎰t ⋅λe -λt dt =
-∞
∞∞
1
λ
σ2=D (T ) =⎰t 2f (t ) dt -[E (T )]2=
-∞
∞
1
λ
2
5. 威布尔分布
威布尔分布是一种含有三个参数的分布，其概率密度函数为
m t -γm -1-(
f (t ) =() e
t -γ
η
) m
ηη
γ0, η>0
威布尔分布的分布函数（即累积失效分布函数）、可靠度函数和失效率函数
为
F (t ) =⎰
t
-∞
m ⎛x -γ
f (x ) dx =⎰
r η η⎝
t ⎫
⎪⎪⎭
m -1
e
⎛x -γ- η⎝⎫⎪⎪⎭
m
dx =1-e
-(
t -γ
η
) m
R (t ) =1-F (t ) =e
-(
t -γ
η
) m
f (t ) m ⎛t -γλ(t ) ==
R (t ) η ⎝η⎫
⎪⎪⎭
m -1
指数分布的数学特征为
1
+1)
-∞m
∞21
D (T ) =⎰t 2f (t ) dt -[E (T )]2=η2[Γ(1+) -Γ2(1+)]
-∞m m
E (T ) =⎰t ⋅f (t ) dt =γ+ηΓ2(
∞
三、抽样分布
1. χ2分布
若X 1, X 2, , X n 是来自样本总体X ~N (0, 1) 的一个样本，且X i 与总体X 同分
布，即X i =N (0, 1) ，则统计量
22
χ2=X 12+X 2+ +X n
服从自由度为n 的χ2分布，记为χ2~χ2(n ) 。
统计量X 遵从χ2分布，则其分布密度函数为
f (x ; v ) =
⎛x ⎫
⎪⎝2⎭2Γ()
2
1
v -1v 2-()
2
e x >0, v =1, 2,
式中Γ(v /2) 为伽马函数。v 为自由度，是统计量中独立的自由度变量的个数。
χ2分布的数学特征为
E (χ2(v )) =v
D (χ2(v )) =2v
χ2(v ) 分布具有可加性，若对
互独立，则
222
χ1=χ2(v 1) ，χ2相=χ2(v 2) 且χ12与χ2
2
χ12+χ2~χ2(v 1+v 2)
2. t 分布
t 分布常用于区间估计、正态总体的假设检验和机械概率设计之中。 若总体X ~N (0, 1) ，Y ~χ2(v ) ，且X 与Y 相互独立，则称统计量
T =
X
服从自由度为v 的t 分布，记为T ~t (v ) ，其分布密度为
v +1v +1
) ⎛t 2⎫-2 1+⎪ -∞
2
Γ(
式中Γ为伽马函数。 t 分布的数学特征为
E (T ) =0 v >1 D (T ) =
v
v >2 v -2