1. 基本初等函数及其图象
(1) 一次函数y ＝ax ＋b(a≠0) (2) 二次函数y
=ax 2+bx +c (a ≠0)
k
(3) 反比例函数y ＝x (k≠0)
(4) 指数函数y ＝ax(a>0，a ≠1) (5) 对数函数y =log a x (a>0，a ≠
1)
2．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等) ．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等) ，描点，连线．
3．利用图象变换法作函数的图象
(1) 平移变换
(2) 对称变换
(3) 翻折变换
(4) 伸缩变换
4. 知识深化
(1) 若f(x)对任意x 满足f (a +x )=f (a -x )，则f(x)的图像关于直线x =a 对称；反之，有结论：
f (x )=f (2a -x ), f (-x )=f (2a +x )等。
(2) 若f(x)对任意x 满足f (a +x )=f (b -x )，则f(x)的图像关于直线x =
a +b
对称。 2
题型1 利用描点法画函数图象 例1 画出下列函数的图象． (1) f(x)＝
题型2 利用图象的平移变换作函数图象
例2 (1) 已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象： ①y ＝f(x＋1) ；②y＝f(x)＋2；
112
； (2) y＝2x -4x -3(0≤x
2x
⎛1⎫
(2) 作出函数y ＝ ⎪
⎝2⎭
变式：作下列函数的图象．
x +3
的图象．
3x －1(1) y； (2) y＝log 1[3(x +1)]．
x －2
3
题型3 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
例3 (1) (2012·山东高考) 函数y =( )
(2) 已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x ) 的图象如图所示，则y ＝－f (2－x ) 的图象为( )
cos 6x
的图象大致为
2x -2-x
变式：
1. 函数y =
2. (2013·杭州模拟) 已知函数f (x ) 的图象如图所示，则
x
-2sin x 的图象大致是( ) 2
f (x ) 的解析式可能是( )
A ．f (x ) ＝x －2ln |x | B ．f (x ) ＝x －ln |x | C ．f (x ) ＝|x |－2ln |x | D ．f (x ) ＝|x |－ln |x |
题型4 函数图象的应用 例4 已知函数y = 变式：
(1) 若将“y ＝kx －2”改为“y ＝kx ”，k 的取值范围是什么？
1
(2) 已知a >0，且a ≠1，f (x ) ＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1) 时，均有f (x )
22
x 2-1x -1
的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．
易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误
1
[典例] (2011·新课标全国卷) 函数y ＝y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点
1－x 的横坐标之和等于( )
A ．2 C ．6
B ．4 D ．8
1－1
[解析] 由题意知y ＝且关于点(1,0)成中心对
1－x x －12π
称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两
π
图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示) 可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋„＋x 8＝4×2＝8.
[答案] D [易误辨析]
1．如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而误选B.
1⎛3⎫⎛3⎫2．如果作函数y 的图象不够准确，只注意到图象过点 1⎪，极易忽视区间 2⎪上的交点，1－x ⎝2⎭⎝2⎭从而误选C.
1
3．如果不能正确地挖掘函数y ＝y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无
1－x 法求出交点横坐标的和． 变式：
⎧2x -1, x
(1) 已知函数f (x )=⎨3，若方程f (x ) －a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为
, x ≥2⎪
⎩x -1
( )
A．(1,3) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1)
(2) 已知a ，b ，c 依次是方程2+x =0，log 2x =2-x 和log 1x =x 的实数根，则a ，b ，c 的大小关
2
x
系是________．
专项习题演练：
1. 函数f (x )=ln x +1的图象大致是________．(填序号)
2
()
2. 已知直线y ＝a 与函数f (x )=2x 及g (x )=32x 的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．
3. 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x +m (m 为常数) ，则函数f (x ) 的大致图象为(
)
⎧-x 2+2x , x ≤0
4. 已知函数f(x)＝⎨，若f (x ≥ax ，则a 的取值范围是________．
⎩ln(x +1) , x >0
e x +e -x
5. 函数y ＝x 的图象大致为________．(填序号)
e -e -x
6. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) 满足f (x +1)=f (x -1)，且x ∈[-1, 1]时，f (x )=x ，则函数y =f (x )与
2
y =log 5x 的图象交点的个数为________．
7. 当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)
2
8. (1)已知函数y ＝f (x ) 的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x ) ＝f (m －x ) 恒成立，求证y ＝f (x ) 的图象关于直线x ＝m 对称；
(2)若函数y =log 2ax -的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．
1. 基本初等函数及其图象
(1) 一次函数y ＝ax ＋b(a≠0) (2) 二次函数y
=ax 2+bx +c (a ≠0)
k
(3) 反比例函数y ＝x (k≠0)
(4) 指数函数y ＝ax(a>0，a ≠1) (5) 对数函数y =log a x (a>0，a ≠
1)
2．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等) ．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等) ，描点，连线．
3．利用图象变换法作函数的图象
(1) 平移变换
(2) 对称变换
(3) 翻折变换
(4) 伸缩变换
4. 知识深化
(1) 若f(x)对任意x 满足f (a +x )=f (a -x )，则f(x)的图像关于直线x =a 对称；反之，有结论：
f (x )=f (2a -x ), f (-x )=f (2a +x )等。
(2) 若f(x)对任意x 满足f (a +x )=f (b -x )，则f(x)的图像关于直线x =
a +b
对称。 2
题型1 利用描点法画函数图象 例1 画出下列函数的图象． (1) f(x)＝
题型2 利用图象的平移变换作函数图象
例2 (1) 已知函数y ＝f(x)的图象如图所示，请根据已知图象作出下列函数的图象： ①y ＝f(x＋1) ；②y＝f(x)＋2；
112
； (2) y＝2x -4x -3(0≤x
2x
⎛1⎫
(2) 作出函数y ＝ ⎪
⎝2⎭
变式：作下列函数的图象．
x +3
的图象．
3x －1(1) y； (2) y＝log 1[3(x +1)]．
x －2
3
题型3 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
例3 (1) (2012·山东高考) 函数y =( )
(2) 已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x ) 的图象如图所示，则y ＝－f (2－x ) 的图象为( )
cos 6x
的图象大致为
2x -2-x
变式：
1. 函数y =
2. (2013·杭州模拟) 已知函数f (x ) 的图象如图所示，则
x
-2sin x 的图象大致是( ) 2
f (x ) 的解析式可能是( )
A ．f (x ) ＝x －2ln |x | B ．f (x ) ＝x －ln |x | C ．f (x ) ＝|x |－2ln |x | D ．f (x ) ＝|x |－ln |x |
题型4 函数图象的应用 例4 已知函数y = 变式：
(1) 若将“y ＝kx －2”改为“y ＝kx ”，k 的取值范围是什么？
1
(2) 已知a >0，且a ≠1，f (x ) ＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1) 时，均有f (x )
22
x 2-1x -1
的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，求实数k 的取值范围．
易误警示——作图不准确或数与形不吻合致误
1
[典例] (2011·新课标全国卷) 函数y ＝y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点
1－x 的横坐标之和等于( )
A ．2 C ．6
B ．4 D ．8
1－1
[解析] 由题意知y ＝且关于点(1,0)成中心对
1－x x －12π
称，又y ＝2sin πx 的周期为T ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两
π
图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示) 可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋„＋x 8＝4×2＝8.
[答案] D [易误辨析]
1．如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的两个交点遗漏，从而误选B.
1⎛3⎫⎛3⎫2．如果作函数y 的图象不够准确，只注意到图象过点 1⎪，极易忽视区间 2⎪上的交点，1－x ⎝2⎭⎝2⎭从而误选C.
1
3．如果不能正确地挖掘函数y ＝y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无
1－x 法求出交点横坐标的和． 变式：
⎧2x -1, x
(1) 已知函数f (x )=⎨3，若方程f (x ) －a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为
, x ≥2⎪
⎩x -1
( )
A．(1,3) B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1)
(2) 已知a ，b ，c 依次是方程2+x =0，log 2x =2-x 和log 1x =x 的实数根，则a ，b ，c 的大小关
2
x
系是________．
专项习题演练：
1. 函数f (x )=ln x +1的图象大致是________．(填序号)
2
()
2. 已知直线y ＝a 与函数f (x )=2x 及g (x )=32x 的图象分别相交于A 、B 两点，则A 、B 两点之间的距离为________．
3. 已知函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x +m (m 为常数) ，则函数f (x ) 的大致图象为(
)
⎧-x 2+2x , x ≤0
4. 已知函数f(x)＝⎨，若f (x ≥ax ，则a 的取值范围是________．
⎩ln(x +1) , x >0
e x +e -x
5. 函数y ＝x 的图象大致为________．(填序号)
e -e -x
6. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R ) 满足f (x +1)=f (x -1)，且x ∈[-1, 1]时，f (x )=x ，则函数y =f (x )与
2
y =log 5x 的图象交点的个数为________．
7. 当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)
2
8. (1)已知函数y ＝f (x ) 的定义域为R ，且当x ∈R 时，f (m ＋x ) ＝f (m －x ) 恒成立，求证y ＝f (x ) 的图象关于直线x ＝m 对称；
(2)若函数y =log 2ax -的图象的对称轴是x ＝2，求非零实数a 的值．