１００４－９２４Ｘ（２０１３）１２－３２１４－０９
确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
赵秀伟１，２，３，任建岳１
１．中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春１３００３３；
２．中国科学院大学，北京１０００３９；３．中国电子科技集团公司第四十五研究所，北京１００１７６
摘要：在ＰＩＤ控制器稳定参数域的研究中，要求控制系统具有一定的稳定裕度，以便补偿被控对象模型的不确定性和ＰＩＤ控制器的参数漂移特性。本文扩展了传统稳定裕度（幅值裕度和相位裕度）的定义，定义了被控对象在ＰＩＤ控制下的４种稳定裕度。针对含有右半平面（ＲＨＰ）极点和不含有ＲＨＰ极点的两种被控对象，讨论了它们必然存在的稳定裕度。对于以这些稳定裕度作为性能指标约束的两类ＰＩＤ闭环控制系统，利用扩展Ｈｕｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ定理给出了其ＰＩＤ稳定参数域的详细构建方法，并通过两个仿真实例对该方法进行了验证。结果表明，利用本文提出的方法可以得到满足稳定裕度条件的ＰＩＤ参数稳定域。
ＰＩＤ控制器；ＰＩＤ稳定域；幅值裕度；相位裕度；扩展Ｈｕｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ定理；
ＴＰ２７３ ； ＴＰ１３
Ａ
１０． ３７８８／ＯＰＥ．２０１３２１１２． ３２１４
Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎｓ
ＺＨＡＯ Ｘｉｕ－ｗｅｉ１ ，２，３ ＲＥＮ Ｊｉａｎ－ｙｕｅ１
１． Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｏｐｔｉｃｓ， Ｆｉｎｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００３３ ，Ｃｈｉｎａ ； ２． Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００３９ ，Ｃｈｉｎａ ；
３． Ｎｏ．４５ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ， Ｃｈｉｎａ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｇｒｏｕｐ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１７６， Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ａ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ａ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎ ｔｏ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｐｌａｎｔ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ ｏｆ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｆｉｎｅｓ ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｍａｒｇｉｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｌａｎｔ ｕｎｄｅｒ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｔｏ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｍａｒｇｉｎｓ （ｇａｉｎ ｍａｒｇｉｎ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｍａｒｇｉｎ）． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｒｉｇｈｔ Ｈａｌｆ Ｐｌａｎｅ（ＲＨＰ） ｐｏｌｅｓ ｏｒ ｎｏｔ， ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎｓ ａｒｅ ｓｔａｔｅｄ． Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｍａｒｇｉｎｓ． Ｔｈｅｎ， ｔｗｏ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｏｂｔａｉｎｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎｓ ｃａｎ ｒｅａｌｌｙ ｂｅ ｇｏｔｔｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｃａｓｅｓ．
２０１３－０７－２６
２０１３－０９－２５
国家８６３高技术研究发展计划资助项目（ Ｎｏ． ８６３－２－５－１－１３Ｂ）
万方数据
ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ；ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ； ｇａｉｎ ｍａｒｇｉｎ； ｐｈａｓｅ ｍａｒｇｉｎ； ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍ
万方数据
３２１６
光学精密工程
第２Ｉ卷
上述条件（２）和条件（３）等价于下面的条件：
”广ｌ
Ｇ㈤一等，
Ｃ（，）一垡±生±ｔ
的闭环特征多项式为：
ｄ（Ｓ。Ｋ）一ｓＤ（ｓ）＋（走。ＩＳ２＋是．，ｓ＋ｋ，）Ｎ（ｓ），
（７）
掣叻门・｛卿［Ｐｒ（ｏ）］＋∑（一１）”１锄［Ｐｒ（刨ｉ，ｊ）］＋
，一１
（８）
（一１）…・聊［Ｐｒ（∞）］｝，胛一锄
其中：ＮＣｓ）和Ｄ（ｓ）为关于Ｓ的互质多项式。系统
渺［Ａ●・｛渺［Ｐｒ（ｏ）］＋∑（一１）＂－Ｉ趣卵［Ｐｒ（叫，。）］｝
Ｊ一１
（９）
行一锄＋１
（４）
目的就是确定ｄ（Ｓ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式时，
Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｂｉｅｈｌｅｒ定理只能用于判断Ｐ（＾）是否为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式，而不能给出Ｐ（ｓ）的零点分布情况。
定理２（实数域扩展Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｂｉｅｈｌｅｒ定理）：假设门阶实系数多项式Ｐ（Ｓ）含有走个原点处的零点，ｚ个左半平面（Ｉ．ｅｆｔｒ个右半平面（Ｒｉｇｈｔ
Ｈａｌｆ
Ｈａｌｆ
图１
Ｆｉｇ．１
典型单位反馈系统
Ｐｌａｎｅ，ＬＨＰ）零点，
Ｔｙｐｉｃａｌｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ
Ｐｌａｎｅ，ＲＨＰ）零点，取盯
ＰＩＤ参数增益向量Ｋ一｛走一是．，是。＋｝所需要满足的条件，并以图形的形式加以显示。分别将．Ｎ（Ｓ）和Ｄ（Ｓ）按照奇偶次幂分解：
Ｎ（Ｎ）一Ｎ．（，）＋ｓＮ。（Ｓ：）Ｄ（Ｓ）一Ｄ，（Ｓ２）＋ｓＤ。（Ｓ：）
（Ｐ）＝Ｚ—ｒ。令叫¨，一Ｏ＜叫川＜叫㈡＜…＜叫ｉ．ｍ
为Ｐ，（叫）的所有奇数重相异非负有限实数零点，且（Ｕ。。一＋∞。取死一ｓｇｎＦＰ＇，“（ｏ）］，？，一ｓｇｎ［Ｐ，（叫。）］，ｒ∈｛１，２，聊｝，ｊ＋一（一１）”２＿１ｓｇｎ［Ｐ．（叫。，，）］，则ｈ有：
．＾
取：
一
Ｖ，
＋２．０＋一兰、
・ｉ。Ｉ，力为偶数
Ｎ‘（ｓ）一Ｎ，（Ｓ！）一ｓＮ。（Ｓ：），
（１１）
ｄ（Ｐ）一
．＾
引入扩展特征多项式ｔ，（ｓ，Ｋ），
＋
一∑Ｈ＿ｌ∑Ｈ
一
ｙ２．０
卜
胛为奇数
（ｏ）
ｔ，（ｓ，Ｋ）一８（ｓ，Ｋ）＊Ｎ＋（ｓ）．
（１２）
如果艿（ｓ，Ｋ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式，则仃（艿）一卵。取，（Ｎ‘）和ｒ（Ｎ＋）分别为Ｎ“（Ｓ）的ＬＨＰ和ＲＨＰ零点个数。则：
盯（ｔ，）一口（艿＊Ｎ’）一刀＋Ｉ，（Ｎ’）一ｒ（Ｎ。）【。（１３）
取ｓ—ｊ∞，得
ｔ，（ｊ叫，Ｋ）一ｔ。，（叫，是．，是ｄ）４－ｊｔ，．（叫，是．，），其中：
ｔ，，（叫，是，，是。Ｉ）一户】（叫）－Ｉ－（走．一叫２走。１）ｐ！（叫）ｔ・．（叫，奄ｐ）一ｑ１（叫）＋走ｐｑ！（叫）
ｐｌ（叫）一一叫！（Ｎ。（叫２）Ｄ。，（叫２）一Ｎ。（ｃｕ２）Ｄ。（叫！））
（１４）
如前所述，相位裕度Ｐ。，约束下的ＰＩＤ参数域涉及到复系数多项式簇的稳定性，故而需要引入复数域的Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｂｉｅｈｌｅｒ定理，如下：
定理３（复数域扩展Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ定理）：对于首项为实数的聍阶复系数多项式Ｐ（一）。取盯（尸）一ｚ一，Ｊ，其中，ｆ和ｒ分别为Ｐ（ｓ）在左半平面和右半平面的零点个数。令叫㈠＜叫Ｈ＜…＜叫。，．为所有Ｐ；（叫）的奇数重相异有限实数零点，定义叫。，一一ｃ＞ｃ和叫。。一＋。。。取ｉ，一ｓｇｎＥＰ，（叫。）］，，∈｛０，１，２，ｍ｝，ｊ＋一（一１）…ｓｇｎＥＰ．（叫。。）］则㈨’：
一１
Ｊ＋
ｐ：（叫）一Ｎｊ（叫！）＋叫！Ｎｊ（ｃ０２）
ｑｌ（叫）一叫（Ｎ。（叫！）Ｄ。（叫２）＋叫２Ｎ。（叫２）Ｄ。（叫２））口！（叫）一叫ｐ２（叫）
（］５）
｛善（＿１）ｔ｝，ｄｅｇ（Ｐ，）＞一ｄｅｇ（Ｐｒ）
，｛ｉ。＋∑（一１）‘２ｉ，＋（
，一【
ｄ（Ｐ）一Ｊ
ｌ
ｉ
ｌ
Ｙ＇ｉｗ｝・其它
（６）
３．１
可行ｋ。区间Ｕ。的确定
为了保证艿（＾，Ｋ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式，要求ｔ
（Ｓ，ｊ（）的ＲＨＰ零点全部由Ｎ’（８）引入。由于ｑ
３
ＰＩＤ参数稳定域
考虑图ｌ所示的典型单位反馈控制系统
（叫．是。，）为Ｒ上的奇函数。所以要求砧（叫，南．，）至少
应该有ｚｃ，个奇数重非负相异实数零点。
万方数据
第１２期
赵秀伟，等：确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
Ｚ，、一
慧２
埘加他
．吖
鼢¨Ⅸ妇
伽
可见，Ｇ。（ｓ）的ＲＨＰ极点与Ｇ（ｓ）的ＲＨＰ极点完全相同，也就是说开环特征多项式的ＲＨＰ
以零点个数Ｎ。是已知的。根据Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据可知，当Ｎ。＞ｏ时，存在开环ＲＨＰ极点，如果闭
取：
ｋｐ（叫）一糍．
环系统稳定，则Ｇ。（ｊ叫）必定穿越实轴区间（一。。，
…）
一１）至少一次；当Ｎ。一０时，不存在开环ＲＨＰ极点，如果闭环系统稳定，则要求Ｇ。（ｊ叫）所包围（一１，０）区间的点的代数和为零，此时，并不能确定Ｇ。（ｊ叫）是否穿越实轴区间（一Ｃｘ３，一１）。但只要闭环系统稳定，Ｇｏ（ｊ叫）就必定穿越实轴区间（一１，０）至少一次。同样，当Ｎ。一０时，Ｇｏ（ｊ∞）与原点处
定义九。：为ｑ。（叫）和ｑ：（叫）的公因式的非负实数零点个数，行。。≥１。则上面对于砧（叫，是。）的要求就等价于：式（１７）所代表的曲线与直线ｋ。（ｃｏ）一ｋ。在区间［ｏ，＋Ｃｘ３）上至少存在Ｚ。，一ＩＩ。：个交点。
３．２
固定ｋ，下的（ｋ；，七一）区域Ｒｓ．ｔ。
的单位圆至少存在一个实轴下方的交点，实轴上方是否存在交点不能确定；当Ｎ。＞０时，实轴上方和下方至少各存在一个交点。
～
Ｌ
对于某一个固定ｋ。假设ｕ（ｃｏ，ｋ。）的奇数重相异非负实数零点为㈨一０＜∞。＜叫！＜…＜（．Ｏｒｅ－。，取叫。一＋。。。然后，做以下定义：
ｉ，一｛一ｌ，１｝，ｆ一０，１，２，…，研一ｌ，
（１８）
ｌｍ～’、＼
／
ｌ
’＼
ｆ０，ｆｏｒｄＰｇ［ｔ，（ｓ，Ｋ）］ｉ５
ｏｄｄ
／ｒ１＋。
、、
｜ｊ
”１｛一ｌ，１｝，ｆｏｒｄｅｇＥｔ，（ｓ，Ｋ）］ｉｓ矧Ｐ船
Ａ女一｛瞳，ｉ．，ｉ？，…，ｉ，。］｝，
ｊ＋一（一１）”＿１ｓｇｎ［－ｚ＇ｉ（叫。，ｋＩ，）］．
（１９）（２０）
ｉ旷、、
ｊＲ气ｊ１
懒
Ｂ心彦／、＼
Ｉｍ
～、＼
＋＿
－－＼
｜
ｊ
，
根据定理２，如果存在使ｄ（ｓ，Ｋ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式的ＰＩＤ参数增益向量Ｋ，则必然存在满足
≮义
图２
Ｆｉｇ．２
ｉ｜
／
／
！Ｒｅ
ｊ１｜ｌ
，
÷｜
／’
／
一一，
／／
／
一，，／
／
广
一一一
／／
一一一
（２１）式的序列Ｊ一‰，ｉ，，ｉ：，…，ｉ。］∈Ａｎ。
（ａ）Ｇ（ｓ）不含有ＲＨＰ极点
（ｂ）Ｇ（ｓ）含有ＲＨＰ极点
（ａ）Ｇ（ｓ）ｗｉｔｈｏｕｔＰＨＰｐｏｌｅｓ（ｂ）Ｇ（ｓ）ｗｉｔｈＲＨＰｐｏｌｅｓ
盯（ｔ，）一ｊ＋・ｆ“＋∑（一１）７２ｉ，＋（一１）…・ｉ。｝，
，２１
开环传递函数Ｇ，（ｓ）的Ｎｙｑｕｉｓｔ图
Ｎｙｑｕｉｓｔ
（２１）
ｐｌｏｔｓｆｏｒｏｐｅｎｌｏｏｐＴＦＧ，（ｓ）
定义可行序列集合：
Ｆ女：一｛Ｊｌ，，！，，。，…｝，
（２２）
基于以上分析，两种情况下包含最少交点的
开环Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线如图２所示。对于闭环稳定系
其中：Ｊ，，ｆ：，』。，…为满足式（２１）的序列Ｊ∈Ａｔ。
对于Ｆ。中的一个序列Ｊ，一［ｉ。。ｉ。，ｉ！，…，？。］，与之对应的（是，，走。）区域Ｘ．由下述不等式组决定：
ｔ，，（叫ｆ，ｋ．。ｋ。Ｉ）・ｊ，＞０，
（２３）
统，做以下定义：
（１）开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与实轴区间（一１，０）的所有交点中距离点（一１，０）最近的点（－－ａ，０）对应的值为ｈ１—１／ａ＞１，将其定义为系统的最小幅值
裕度。
其中：Ｉ≠０，（ｆ一０，１，２，…，ｍ）。Ｆｔ中所有序列Ｊ。，Ｊ：，，。，…对应的（ｋ．，ｋ。，）区域的并集即为当前走。，下的（ｋ，，ｋ。）区域，即：
Ｒｓ．＾一Ｕ，ｌ，７．３．…Ｘ，．
（２４）
（２）开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与实轴区间（一ＣｘＤ，一１）的所有交点中距离点（一ｌ，０）最近的点（－－ｂ，０）对应的值为ｈ一１／ｂ＜１，将其定义为系统的最大幅
值裕度。
４
稳定裕度约束下的ＰＩＤ稳定域
对于图１的控制系统。其开环传递函数为：
（３）将开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与原点处的单位圆在实轴下方逆时针方向的第一个交点对应的角度０＋。＞Ｏ定义为系统的正相位裕度。
（４）将开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与原点处的单位圆在实轴上方顺时针方向的第一个交点对应的角度
Ｇ√沪Ｇ㈥ｃ㈦一坠等胖’（２５）
万方数据
光学精密工程
第２１卷
０一＜Ｏ定义为系统的负相位裕度。
区域，尺毒，一。为ｈ＋约束下的（ｋｉ，ｋｄ）区域。
当Ｎ。＞０时。４个稳定裕度ｈ＋，Ｊｆ２一，旷，口必（２）如果厶为最大幅值裕度ｈ一（Ｈｉ为［Ｊｃ２，，然都存在；而当Ｎ。一０时，必定存在的只有＾＋和１］），则：
矿。为了保证闭环系统的稳定性和鲁棒性，需要Ｕｉ—Ｕ。ｎ…
Ｌ，ｔ
一
对系统的稳定裕度加以限制。本节所要解决的就。
（２９）
是上述稳定裕度约束下的ＰＩＤ稳定域求解问题。
Ｒｉ，ｔ；，一Ｒｉ；！，ｋｐ—Ｒ云３。１、
¨Ｉ
Ｉ＇ｎｌ—ＩＩ－Ⅳ
对于一个固定的ｋ一由于Ｒ“是由所有能够其中：ｕ乏为Ａ！一ｈ！对应的可行ｋ，区间；尺焉～。
使闭环系统稳定的（ｋ．，ｋ。，）参数点构成的区域，所和尺乏，ｔ。，分别为固定是。下的艿，和＆对应的（走．，
以能够保证闭环系统稳定性和鲁棒性的（ｋ．，ｋ。．）ｋ。．）区域，Ｒ云．。为，２约束下的（是．，ｋ。）区域。
区域Ｒ＋必定在Ｒ刚内。如图３所示：
（３）如果同时约束ｈ’和ｈ一，则：
Ｒ女一Ｒｓ．女ｎＲＰ．女ｎＲ６．女．
（２６）
魄一Ｕ，！ｎ
…
…
Ｌ，云
“‘
．
（３０）
其中：Ｒ，．。和ＲＧ．。分别为相位裕度和幅值裕度
Ｒｃ。，一。一Ｒ点、一。ｎＲ云，．ｔＰ
ｎ１
ｌ，
…】ｎ１
单独约束下的（是，，ｋ。）区域。
其中：魄。为幅值裕度约束下的可行ｋ，区间；
尺。．。为固定是。对应的（是，，ｋ。）区域。４．２相位裕度约束下的稳定区域
与幅值裕度类似，相位裕度臼约束下的ＰＩＤ稳定性等价于被控对象ｅ－ｉ。Ｇ（ｓ）的ＰＩＤ稳定性。
这里，
臼一ｊ
臼＋，
臼一Ｊ
ｆｏｒ
Ｎｐ＝０，（３１），
（１）
ｒａｉｎ（０＋，一０一），ｆｏｒＮｐ＞ｏ
如果要求ｏ≤臼。≤口≤０：，则可行ｋ。区间Ｕ，和固定ｋ。下的（是．，是。ｔ）区域Ｒｒｍ．ｅ。由下列２个复
图３
固定ｋ一对应的Ｒ“∥尺“。一ｐ，ＲＪ，。，一。，凤。区域
系数多项式的稳定区域决定：
Ｆｉｇ・３
Ｒｅｇｉｏｎｓ
Ｒｓ一∥心ｍ－‘∥Ｒｉ，，一１，ａｎｄ见ｐ
ｆｏｒ
ａ
ｆｉｘｅｄｋ】，
ｆ舀一由（ｓ）＋ｅ一，（是。１ｓ２＋走．，ｓ＋走．）Ｎ（ｓ），ｎＥＥｏ，０１］
４．１
幅值裕度约束下的稳定区域
１＆一奶（５）＋ｅ—ｚ（是ｄｓ２＋走。，ｓ＋ｋ．）Ｎ（ｓ），Ｆ２∈Ｆｏ，０１］
（３２）
根据幅值裕度的物理含义可以知道，幅值裕
度ｈ约束下的ＰＩＤ稳定性等价于新被控对象ｈＧ此时，
（ｓ）的ＰＩＤ稳定性。
仉。一叭。，
ｍ
ｎ¨
对于幅值裕度约束：ｈ，≤ｈ≤厶。，可行ｋ；，区间ｍｍ－女．，一Ｒｐ。一－－Ｒｐ。．女．
ｍ
¨
丌１ｌ
Ｐ）ｎ１＝
３Ｐ
３（
和固定ｋ。下的（是，，ｋ。）区域由下列２个实系数多其中：Ｕｐ。。为氐对应的可行ｋ。区间，Ｕ，。、为相位项式簇的稳定区域决定：
裕度约束下的可行ｋ。区间；Ｒｅ。，ｋｐ和Ｒ，。：．ｋｐ分别
ｆ函一ｓＤ（Ｓ）＋Ａ１（志ｄｓ２＋走。，ｓ＋是，）Ｎ（ｓ），ＡｌＥＨｌ
为固定ｋ。，下的＆和乱对应的（ｋ．，ｋ。）区域，
ｌ艿２一ｓＤ（Ｓ）＋Ａ２（ｋｄＳ２＋ｋ。Ｓ＋ｋ．）Ｎ（ｓ），Ａ２ＥＨ！
尺％ｔ。为固定ｋ。，对应的（ｋｉ，是。，）区域。
４．３
（２７）
复系数多项式的稳定性
（１）如果ｈ为最小幅值裕度ｈ＋（Ｈ，为［１，对于式（３２）类型的复系数多项式与实数情况
ｈ。］），则：
类似，可以得到式（１４），这里：
ｕ’（叫，ｋ：，ｋｄ）一一ｑｌ（叫）ｓｉｎ（口）＋Ｐｌ（（￡Ｊ）ｃｏｓ（臼）＋
（走，一∥ｋｄ）趣（叫）
，
Ｒ蕞一．，一尺０ｉｉｉｉ一。一Ｒ专。。
ｍ
ｐ
Ｉ】
ｎ１Ｚ．々
ｑ’（叫，ｋＩＪ）一ｑｌ（叫）ｃｏｓ（口）＋ｐｌ（叫）ｓｉｎ（臼）＋是。ｑ２（叫）
其中：ｕｔ为Ａ－一ｈ・对应的可行ｋ。区间；Ｒ矗。和（３４）
Ｒ赢。。分别为固定ｋ，，下的艿・和艿！对应的（是．，ｋ。・）
其中，Ｐ，（叫），Ｐ：（ｃｏ），ｑ．（６０），ｑ？（叫）参见式（１５）。
万方数据
第１２期
赵秀伟，等：确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
续性，所以，可以用分区间上所取的第一个固定
由于砧７（＊）既非奇函数又非偶函数，所以需要根据ｕ’（＊）＝０的所有实根个数来确定可行走。区间。也就是说州，７（＊）一。至少需要有Ｚ，７相异奇数重实根。
，，
厶ｎ——√
”
走。所对应的一作为区间构建序列集合Ｆ？。如
果可行分区间ｉ和ｊ对应的ｕ或者Ｚ，ｊ７的相异（非负）实数零点个数相同，则有Ｆｊ—Ｆｉ。以上特性
ｆ盯（ｔ，），
如ｒｄｅｇ［ｚ、７（＊）］≥ｄＰｇｈ７（＊）］
’
称为可行忌。分区间上的构建序列不变性。通过以上操作，构建序列部分的算法复杂度由０（行）降为Ｏ（１），从而减少了整个算法的计算时间。仿真实例部分的例ｌ求取所有Ｒ。．。共进行了５次仿
］盯（ｕ）一１，ｆｏｒｄｅｇＥ℃，．７（＊）］＜ｄＰｇ［ｔ，，７（＊）］
‰‰）一一啦业巡雩譬巡．
口！【∞）
（３５）
（３６）
真实验，并取平均值，实验结果显示：原始算法耗时为５３４．１６５
２３６２
Ｓ。
定义＂。。７为式（３６）右边分子和分母多项式的公因式多项式的实数零点个数，则对于ｕ７（∞，是．，）一０的实根个数的约束就等价于式（３６）所代表的曲线是。，’（∞）一是。与（一ＣＸＤ，＋。。）直线在上方至少存在Ｚｆ，７一胛，：７个交点。
对于固定走。下的（是，，走。。）区域ＲＰ．。的构建方法，与实系数情况也有所不同。如果叫。＜叫：＜…＜‰，为ｕ７（＊）一０的所有相异奇数重实根，取㈨一一。。，叫。一＋ＣＸ２７。做以下定义：
ｉ，一｛一ｌ，ｌ｝，ｆ一１，２，…，ｍ—１
ｚ，．２／
４
ｓ，引入以上操作后耗时为３４６．
基于以上内容，算法如下：
（１）分别计算臼，ｈ４，ｈ约束下的可行走。区间，将这２个分区间取交集得到总的可行走。区
间：
Ｕ—ＵＧ
ｎＵＰ，
（３９）
如果Ｕ为空集，则不存在满足条件的ＰＩＤ控制器，程序结束；否则转（２）。
（２）在Ｕ上均匀地取走个走。点用以构建（走．。
，
．ｆ０，如ｒｄｅｇ（ｚ１
７（＊））≥姒（＂７（＊））
。１｛一１，１｝，ｆｏｒ坛（ｔ・７（＊））＞撅（ｔ｛７（＊））
，ｒ—Ｕ，ｍ
是。。）区域，将这是个是…点用数组Ｍ表示。
（３）对于Ｍ内的每一个元素，分别执行步骤
（３７）
（４）到（６）。
则可行序列集合Ｆ。的元素Ｊ．一［“，ｉ。，ｊ！，…，ｉ，。］都需要满足式（３８）。对于Ｆ。的每一个元素通过式（２３）构建相应的（走．，走。－）区域，取并集后
就可得到Ｒ，．。。
（４）计算幅值裕度约束下对应于固定是。的（是．，走ｄ）区域Ｒ６．☆。
（５）计算相位裕度约束下对应于固定氏的（壶．。是ｄ）区域ＲＰ．女。
（６）将两者取交集后所得的区域即为稳定裕
仃（ｔ，）一号・｛“＋∑（一１）７２ｉ，＋（一１）”・ｉ。，｝．
（３８）
度混合约束下，固定走。对应的（走．＾，）区域Ｒ。：
４．４稳定裕度约束下的ＰＩＤ稳定域算法
在构建（走，，走。）区域时，没有必要对每一个固定走。，都求解一次可行序列Ｒ．。对于每一个可行走。分区间上的所有是。州．或者ｕ７的相异（非负）实数零点个数都是相同的。其可行序列集合Ｒ也必定相同。记为Ｆ，。其中，ｉ为可行分区间序号。并不是可行序列集合中的每一个元素都会构成（走．，走。．）区域，将确实能够构成（是．，是。，）区域的序列称为构建序列，ｉ，所有，ｉ的集合称为构建序列集合Ｆ？。由于可行分区间上（是，，是。・）区域的连
５
Ｒ女．，一ＲＰｍ．女，ｎＲＧｍ．～．
（４０）
（７）则可行走。区间Ｕ上所有的走。对应的（走．，走。）区域的外轮廓所包含的区域就是满足要求的ＰＩＤ稳定域。
仿真实例
例ｌ：考虑文献［７］中的不含开环ＲＨＰ极点
（即Ｎ。一ｏ）的一个随机系统的简化传递函数：
Ｇ㈤一再意罴爷等等等糍第丽
万方数据
３２２０
光学精密工程
第２１卷
要求２≤ｈ＋≤４，且１５。≤０≤６０。约束下的在可行区间Ｕ上均匀地取１００个点构成关ＰＩＤ控制器的稳定区域。
于ｋ。，的集合Ｍ，遍历Ｍ的每一个元素构建相应首先求解可行走。区间，可以得到：
的（ｋ，，ｋａ）区域。相应的ＲＧ一，ＲＰ一。砘如图４
ｍ
ｐ
“１
ｐＩ’
Ｕ‰：［一ｏ．０２１８８９，０．２２１８７］，所示。
ＵＰ√［一０．０４３
７７８，０．３９６
６７］，
Ｕ＝Ｕ“ｎＵＰ一［一ｏ．０２１
８８９，０．２２１
８７３．
表ｌ选定点Ａ。～Ａ６对应的稳定裕度
所以，满足稳定裕度ｈ＋和臼要求的ＰＩＤ控制Ｔａｂ．１
ＳｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｓｆｏｒｓｅｌｅｃｔｅｄＡｌ～Ａ。
器的比例增益系数走。只可能在区间Ｕ内，也就是说区问Ｕ外不存在满足要求的ＰＩＤ控制器。
当是．，一０．１时，对应的凡。，，ＲＧ．。，，ＲＰ。。，Ｒ。如图４所示，在其上选取６个点Ａ、～Ａ。，对应
的（是，唰ｋ）坐标以及相应的稳定裕度参见表１。可
见，这６个点所在的区域与稳定裕度信息完全符合，并且，只有Ａ；和Ａｊ２点满足稳定裕度约束。
０
０
Ｏ
０
０
（ａ）尺“ｌ区域
（ｂ）Ｇｍ约束下的各尺ｃ。ｅｌ，区域
（ｃ）Ｐ。约束下的各ＲＰｍ．ｔ。，区域
（ｄ）要求的区域Ｒｅ。
（ａ）尺一１
ｒｅｇｉｏｎ（ｂ）ＲＧ。ｋｐ，’Ｐｇ而”＾．ｆｏｒＧｍ
ｆ０
７ｌｓｔｒａｉｎｔ（ｆ）．Ｒｒ．。一ｐ
ｒｅｇｉｏｎｓｆｏｒＰｍｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ（ｄ）ＲｅｑｕｉｒｅｄＲ女ｐ
ｒｅｇｉｏｎｓ
图４
ｋｌ，一０．１时的（女・，ｋｄ）区域和可行ｋ”区间上的尺Ｇ。、一∥Ｒｒｍ．ｔ∥尺ｔ。区域
Ｆｉｇ・４（女・・ｋｔｌ）ｒｅｇｉｏｎｓｆｏｒ女ｐ一０
ｌａｎｄ
Ｒ“ｍ．女”，尺”ｍ．女ｌ，，尺｝ｐ
ｆｏｒａｌｌｆｅａｓｉｂｌｅｋｐ
例２：考虑含有２个开环ＲＨＰ极点（即Ｎ。｛＾Ｉ，ｈ）ｒｅｇｉＯＩｌＳｆｏｒ郎２１
２
０
２）的被控对象瑚：
Ｇ㈤一再虿籍‰
－０５
—１
一ｌ５
稳定裕度限制为：１．５≤ｈ’≤３，０．５≤ｈ一≤２
０．７，１０。≤臼≤３５。，求解满足以上要求的ＰＩＤ控制—２５
器稳定区域：
ｕＺ：［一ｏ．４３６３，９］，２３４５６７８
幻
Ｕ苫：［一０．２９０ｎ１
９，６］，
图５ｋ。一１２时的（女．，ｋｄ）区域
％¨：［一０．０４１
４，８．９５１
２］．
Ｆｉｇ．５（ｋｉ．＾。１）ｒｅｇｉｏｎｓｆｏｒｋ．，一１．２
万方数据
第１２期
赵秀伟，等：确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
３２２１
Ｕ—ＵＦ；ＮＵ去ＮＵＰ一［一０．０４１ｎ１
ｎ１
ｍ
４．６］
表２计算得到的稳定裕度相符。取可行区间Ｕ上取固定ｋ。，为１．２，相应的裕度约束区域如图７５个点构成关于ｋ。，的集合Ｍ，遍历Ｍ中的所有５所示。在其上取６个测试点Ｂ，～Ｂ。，其坐标信元素，可以得到图６中的相应（走，，走。。）区域Ｒ毒．。，
息和裕度信息参见表２，由表２可知，只有Ｂ。。Ｂｊ满足稳定裕度的要求，其它点所在的位置也与
Ｒｉ．女，ＲＰ．☆，Ｒ¨。
Ｒｅｇｉｏ“ｓｆｏｒ‰（１
５．３）
ＲｅｇＩｏ“３ｆ０‘％（０５，０
７）
ＲｅｇｉｏｎｓｆｏｒＰｒｏ：（１０．３５）Ｔｈｅｒｅｑｕｆｌｅｄ
ｒｅｇｉｏｎｓ
幢『ｊｉ４∽
（ａ）唏约束下的各暖。ｅ。区域（ｂ）≮约束下的各贬、一。区域（ｃ）Ｐｎ约束下的各Ｒｆｊ。＿，区域（ｄ）睬，ｃｉ和Ｐ。约束下的
各Ｒ区域
（ａ）贬－。画ｏｎｓｆｏｒＧｃＯｎｓｔｒａｉｍ（ｂ）Ｒ：：１．＿，画ｏｎｓｆｏｒ
Ｇ
ｃｏｒＶｓｔｒａｉｎｔ（ｃ）Ｒｆ＿。。蚓ｏｎｓ
ｆｏｒＰ，，ｃｏｒｔｓｔｔａｉｎｔ（ｄ）Ｒｅｑｕｉｒｅｄ
Ｒｐ嚼Ｏｎｓ
图６
稳定裕度约束下的ＰＩＤ参数（女。ｋ．一ｋ）的稳定区域
Ｆｉｇ．６
ＳｔａｂｉｌｉｚｉｎｇｒｅｇｉｏｎｓｏｆＰＩＤｐａｒａｍｅｔｅｒｓ（奄．，，女．，女ｄ）ｆｏｒｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｏｆｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｓ
表２选定点Ｂ。～Ｂ６对应的稳定裕度
０）附近的形状，定义了４种稳定裕度（ｈ’，ｈ，０＋，
Ｔａｂ．２ＳｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｓｆｏｒｓｅｌｅｃｔｅｄＢ１～Ｂ＾
０一）。根据Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定ｆ－０据的条件，分析了开环含ＲＨＰ极点和不含有ＲＨＰ极点两种情况下的稳定裕度。给出了以这些稳定裕度作为约束条件时的ＰＩＤ稳定参数区域的构建方法。并且通过引入可行ｋ。分区间上的构建序列不变性，将求解构建序列部分的算法复杂度由０（门）降低为０（１），大幅度提高了算法的执行效率。该方法非常
６
结
论
适合于Ｍａｔｌａｂ编程实现，文中用于验证有效性的２个例子就是笔者通过自己编制的ＰＩＤ参数域工具箱实现的。
本文根据开环Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线在临界点（一ｌ，
［４］
ｃＨＡＩ’ＥＩ。Ｉ。ＡＴＨ，ＭＡＮＳ（）ｕＲ
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ｄｅｒ ｍｕｌｔｉｖａｒｉａｂｌｅ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ： Ａ ｎｅｗ ａｌｇｏ
Ｌｏｎｄｏｎ： Ｓｐｒｉｎｇｅｒ， ２０００．
＠＠［１３］ ＨＯ Ｍ Ｔ，ＤＡＴＴＡ Ａ，ＢＨＡＴＴＡＣＨＡＲＹＹＡ Ｓ Ｐ．
Ａ ｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｓｔａｂｉ ｌｉｚｉｎｇ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ［Ｃ］． Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ
ｒｉｔｈｍ ［Ｃ］． Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ４７ｔｈ ＩＥＥＥ Ｃｏｎ
ｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， Ｃａｎｃｕｎ ，
Ｍｅｘｉｃｏ， ２００８ ： ９７７－ ９８２．
＠＠［２１］ ＫＮＡＰ Ｍ Ｊ，ＫＥＥＬ Ｌ Ｈ，ＢＨＡＴＴＡＣＨＡＲＹＹＡ Ｓ
Ｐ． Ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉ
１９９７ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ， １９９７，６：３９２２－
３９２８．
＠＠［１４］ ＡＣＫＥＲＭＡＮＮ Ｊ，ＫＡＥＳＢＡＵＥＲ Ｄ． Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｒｏ
ｂｕｓｔ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ［Ｃ］． Ｐｒｏｃ． Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ
ｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｔｔａｉｎｍｅｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ［Ｃ］．
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２０１０ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎ
ｆｅｒｅｎｃｅ， Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ， ２０１０： ３９０７－３９１２．＠＠［２２］ ＨＯ Ｍ Ｔ，ＤＡＴＴＡ Ａ， ＢＨＡＴＴＡＣＨＡＲＹＹＡ Ｓ Ｐ．
Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ － Ｂｉｅｈｌｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍ：
Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ， Ｐｏｒｔｏ， ２００１．
＠＠［１５］ ＢＡＪＣＩＮＣＡ Ｎ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ
ｆｏｒ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｉｎ ａｎ ａｆｆｉｎｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ
ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｃａｓｅ ［Ｊ］． Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐ
ｓｐａｃｅ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎ ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０００， ３２０：２３－３６．
＠＠［２３］ ＨＯ Ｍ Ｔ，ＷＡＮＧ Ｈ Ｓ． ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｗｉｔｈ
ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｇａｉｎ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｍａｒｇｉｎｓ ［Ｊ］． Ａｓｉａｎ
ｔｒｏｌ， ２００１， １００－１０５．
＠＠［１６］ ＢＡＪＣＩＮＣＡ Ｎ． Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｒｏｂｕｓｔ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｕ
ｓｉｎｇ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ［Ｊ］． Ａｕｔｏ
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００３， ５（３） ：３７４－３８１．
赵秀伟（１９８３－），男，山东潍坊人，博士，２００５年于山东大学控制科学与工程学院获得学士学位，２０１３年于中国科学院长春光学精密机械与物理研究所获得博士学位，主要从事２－ＤＯＦ－ＰＩＤ鲁棒控制方面的研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｄｃｐ＠
１６３．ｃｏｍ
任建岳（１９５２－），男，吉林长春人，研究
员，博士生导师，主要研究方向为光学遥感器的研制和性能评价，曾获８６３计划航天领域先进个人，８６３计划先进个人，全国优秀科技工作者等称号。Ｅ－ｍａｉｌ： ｒｅｎｊｙ＠ ｃｉｏｍｐ． ａｃ． ｃｎ．
万方数据
确保稳定裕度的PID稳定域计算
作者：作者单位：
赵秀伟， 任建岳， ZHAO Xiu-wei， REN Jian-yue
赵秀伟,ZHAO Xiu-wei(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院大学,北京100039;中国电子科技集团公司第四十五研究所,北京100176)， 任建岳,REN Jian-yue(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春,130033)光学精密工程
Optics and Precision Engineering2013,21(12)
刊名：英文刊名：年，卷(期)：
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gxjmgc201312031.aspx
１００４－９２４Ｘ（２０１３）１２－３２１４－０９
确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
赵秀伟１，２，３，任建岳１
１．中国科学院长春光学精密机械与物理研究所，吉林长春１３００３３；
２．中国科学院大学，北京１０００３９；３．中国电子科技集团公司第四十五研究所，北京１００１７６
摘要：在ＰＩＤ控制器稳定参数域的研究中，要求控制系统具有一定的稳定裕度，以便补偿被控对象模型的不确定性和ＰＩＤ控制器的参数漂移特性。本文扩展了传统稳定裕度（幅值裕度和相位裕度）的定义，定义了被控对象在ＰＩＤ控制下的４种稳定裕度。针对含有右半平面（ＲＨＰ）极点和不含有ＲＨＰ极点的两种被控对象，讨论了它们必然存在的稳定裕度。对于以这些稳定裕度作为性能指标约束的两类ＰＩＤ闭环控制系统，利用扩展Ｈｕｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ定理给出了其ＰＩＤ稳定参数域的详细构建方法，并通过两个仿真实例对该方法进行了验证。结果表明，利用本文提出的方法可以得到满足稳定裕度条件的ＰＩＤ参数稳定域。
ＰＩＤ控制器；ＰＩＤ稳定域；幅值裕度；相位裕度；扩展Ｈｕｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ定理；
ＴＰ２７３ ； ＴＰ１３
Ａ
１０． ３７８８／ＯＰＥ．２０１３２１１２． ３２１４
Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｗｉｔｈ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎｓ
ＺＨＡＯ Ｘｉｕ－ｗｅｉ１ ，２，３ ＲＥＮ Ｊｉａｎ－ｙｕｅ１
１． Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｏｐｔｉｃｓ， Ｆｉｎｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ， Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ １３００３３ ，Ｃｈｉｎａ ； ２． Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００３９ ，Ｃｈｉｎａ ；
３． Ｎｏ．４５ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ， Ｃｈｉｎａ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｇｒｏｕｐ Ｃｏｒｐｏｒａｔｉｏｎ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１７６， Ｃｈｉｎａ
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ａ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ，ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｒｅｑｕｉｒｅｄ ａ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎ ｔｏ ｃｏｍｐｅｎｓａｔｅ ｔｈｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｏｆ ｐｌａｎｔ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｄｅｖｉａｔｉｏｎ ｏｆ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｄｅｆｉｎｅｓ ｆｏｕｒ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｍａｒｇｉｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｐｌａｎｔ ｕｎｄｅｒ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｔｏ ｅｘｔｅｎｄ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｍａｒｇｉｎｓ （ｇａｉｎ ｍａｒｇｉｎ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｍａｒｇｉｎ）． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅｓ ｏｆ Ｒｉｇｈｔ Ｈａｌｆ Ｐｌａｎｅ（ＲＨＰ） ｐｏｌｅｓ ｏｒ ｎｏｔ， ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｃｌａｓｓｉｆｉｅｄ ｉｎｔｏ ｔｗｏ ｃａｔｅｇｏｒｉｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎｓ ａｒｅ ｓｔａｔｅｄ． Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇ ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍｓ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍ ｔｏ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｍａｒｇｉｎｓ． Ｔｈｅｎ， ｔｗｏ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｅｍｐｌｏｙｅｄ ｔｏ ｔｅｓｔ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｏｂｔａｉｎｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅ ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｍａｒｇｉｎｓ ｃａｎ ｒｅａｌｌｙ ｂｅ ｇｏｔｔｅｎ ｂｙ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｂｏｔｈ ｃａｓｅｓ．
２０１３－０７－２６
２０１３－０９－２５
国家８６３高技术研究发展计划资助项目（ Ｎｏ． ８６３－２－５－１－１３Ｂ）
万方数据
ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ；ＰＩＤ ｓｔａｂｉｌｉｚｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎ； ｇａｉｎ ｍａｒｇｉｎ； ｐｈａｓｅ ｍａｒｇｉｎ； ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍ
万方数据
３２１６
光学精密工程
第２Ｉ卷
上述条件（２）和条件（３）等价于下面的条件：
”广ｌ
Ｇ㈤一等，
Ｃ（，）一垡±生±ｔ
的闭环特征多项式为：
ｄ（Ｓ。Ｋ）一ｓＤ（ｓ）＋（走。ＩＳ２＋是．，ｓ＋ｋ，）Ｎ（ｓ），
（７）
掣叻门・｛卿［Ｐｒ（ｏ）］＋∑（一１）”１锄［Ｐｒ（刨ｉ，ｊ）］＋
，一１
（８）
（一１）…・聊［Ｐｒ（∞）］｝，胛一锄
其中：ＮＣｓ）和Ｄ（ｓ）为关于Ｓ的互质多项式。系统
渺［Ａ●・｛渺［Ｐｒ（ｏ）］＋∑（一１）＂－Ｉ趣卵［Ｐｒ（叫，。）］｝
Ｊ一１
（９）
行一锄＋１
（４）
目的就是确定ｄ（Ｓ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式时，
Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｂｉｅｈｌｅｒ定理只能用于判断Ｐ（＾）是否为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式，而不能给出Ｐ（ｓ）的零点分布情况。
定理２（实数域扩展Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｂｉｅｈｌｅｒ定理）：假设门阶实系数多项式Ｐ（Ｓ）含有走个原点处的零点，ｚ个左半平面（Ｉ．ｅｆｔｒ个右半平面（Ｒｉｇｈｔ
Ｈａｌｆ
Ｈａｌｆ
图１
Ｆｉｇ．１
典型单位反馈系统
Ｐｌａｎｅ，ＬＨＰ）零点，
Ｔｙｐｉｃａｌｆｅｅｄｂａｃｋｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ
Ｐｌａｎｅ，ＲＨＰ）零点，取盯
ＰＩＤ参数增益向量Ｋ一｛走一是．，是。＋｝所需要满足的条件，并以图形的形式加以显示。分别将．Ｎ（Ｓ）和Ｄ（Ｓ）按照奇偶次幂分解：
Ｎ（Ｎ）一Ｎ．（，）＋ｓＮ。（Ｓ：）Ｄ（Ｓ）一Ｄ，（Ｓ２）＋ｓＤ。（Ｓ：）
（Ｐ）＝Ｚ—ｒ。令叫¨，一Ｏ＜叫川＜叫㈡＜…＜叫ｉ．ｍ
为Ｐ，（叫）的所有奇数重相异非负有限实数零点，且（Ｕ。。一＋∞。取死一ｓｇｎＦＰ＇，“（ｏ）］，？，一ｓｇｎ［Ｐ，（叫。）］，ｒ∈｛１，２，聊｝，ｊ＋一（一１）”２＿１ｓｇｎ［Ｐ．（叫。，，）］，则ｈ有：
．＾
取：
一
Ｖ，
＋２．０＋一兰、
・ｉ。Ｉ，力为偶数
Ｎ‘（ｓ）一Ｎ，（Ｓ！）一ｓＮ。（Ｓ：），
（１１）
ｄ（Ｐ）一
．＾
引入扩展特征多项式ｔ，（ｓ，Ｋ），
＋
一∑Ｈ＿ｌ∑Ｈ
一
ｙ２．０
卜
胛为奇数
（ｏ）
ｔ，（ｓ，Ｋ）一８（ｓ，Ｋ）＊Ｎ＋（ｓ）．
（１２）
如果艿（ｓ，Ｋ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式，则仃（艿）一卵。取，（Ｎ‘）和ｒ（Ｎ＋）分别为Ｎ“（Ｓ）的ＬＨＰ和ＲＨＰ零点个数。则：
盯（ｔ，）一口（艿＊Ｎ’）一刀＋Ｉ，（Ｎ’）一ｒ（Ｎ。）【。（１３）
取ｓ—ｊ∞，得
ｔ，（ｊ叫，Ｋ）一ｔ。，（叫，是．，是ｄ）４－ｊｔ，．（叫，是．，），其中：
ｔ，，（叫，是，，是。Ｉ）一户】（叫）－Ｉ－（走．一叫２走。１）ｐ！（叫）ｔ・．（叫，奄ｐ）一ｑ１（叫）＋走ｐｑ！（叫）
ｐｌ（叫）一一叫！（Ｎ。（叫２）Ｄ。，（叫２）一Ｎ。（ｃｕ２）Ｄ。（叫！））
（１４）
如前所述，相位裕度Ｐ。，约束下的ＰＩＤ参数域涉及到复系数多项式簇的稳定性，故而需要引入复数域的Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｂｉｅｈｌｅｒ定理，如下：
定理３（复数域扩展Ｈｅｒｍｉｔｅ－Ｂｉｅｈｌｅｒ定理）：对于首项为实数的聍阶复系数多项式Ｐ（一）。取盯（尸）一ｚ一，Ｊ，其中，ｆ和ｒ分别为Ｐ（ｓ）在左半平面和右半平面的零点个数。令叫㈠＜叫Ｈ＜…＜叫。，．为所有Ｐ；（叫）的奇数重相异有限实数零点，定义叫。，一一ｃ＞ｃ和叫。。一＋。。。取ｉ，一ｓｇｎＥＰ，（叫。）］，，∈｛０，１，２，ｍ｝，ｊ＋一（一１）…ｓｇｎＥＰ．（叫。。）］则㈨’：
一１
Ｊ＋
ｐ：（叫）一Ｎｊ（叫！）＋叫！Ｎｊ（ｃ０２）
ｑｌ（叫）一叫（Ｎ。（叫！）Ｄ。（叫２）＋叫２Ｎ。（叫２）Ｄ。（叫２））口！（叫）一叫ｐ２（叫）
（］５）
｛善（＿１）ｔ｝，ｄｅｇ（Ｐ，）＞一ｄｅｇ（Ｐｒ）
，｛ｉ。＋∑（一１）‘２ｉ，＋（
，一【
ｄ（Ｐ）一Ｊ
ｌ
ｉ
ｌ
Ｙ＇ｉｗ｝・其它
（６）
３．１
可行ｋ。区间Ｕ。的确定
为了保证艿（＾，Ｋ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式，要求ｔ
（Ｓ，ｊ（）的ＲＨＰ零点全部由Ｎ’（８）引入。由于ｑ
３
ＰＩＤ参数稳定域
考虑图ｌ所示的典型单位反馈控制系统
（叫．是。，）为Ｒ上的奇函数。所以要求砧（叫，南．，）至少
应该有ｚｃ，个奇数重非负相异实数零点。
万方数据
第１２期
赵秀伟，等：确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
Ｚ，、一
慧２
埘加他
．吖
鼢¨Ⅸ妇
伽
可见，Ｇ。（ｓ）的ＲＨＰ极点与Ｇ（ｓ）的ＲＨＰ极点完全相同，也就是说开环特征多项式的ＲＨＰ
以零点个数Ｎ。是已知的。根据Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定判据可知，当Ｎ。＞ｏ时，存在开环ＲＨＰ极点，如果闭
取：
ｋｐ（叫）一糍．
环系统稳定，则Ｇ。（ｊ叫）必定穿越实轴区间（一。。，
…）
一１）至少一次；当Ｎ。一０时，不存在开环ＲＨＰ极点，如果闭环系统稳定，则要求Ｇ。（ｊ叫）所包围（一１，０）区间的点的代数和为零，此时，并不能确定Ｇ。（ｊ叫）是否穿越实轴区间（一Ｃｘ３，一１）。但只要闭环系统稳定，Ｇｏ（ｊ叫）就必定穿越实轴区间（一１，０）至少一次。同样，当Ｎ。一０时，Ｇｏ（ｊ∞）与原点处
定义九。：为ｑ。（叫）和ｑ：（叫）的公因式的非负实数零点个数，行。。≥１。则上面对于砧（叫，是。）的要求就等价于：式（１７）所代表的曲线与直线ｋ。（ｃｏ）一ｋ。在区间［ｏ，＋Ｃｘ３）上至少存在Ｚ。，一ＩＩ。：个交点。
３．２
固定ｋ，下的（ｋ；，七一）区域Ｒｓ．ｔ。
的单位圆至少存在一个实轴下方的交点，实轴上方是否存在交点不能确定；当Ｎ。＞０时，实轴上方和下方至少各存在一个交点。
～
Ｌ
对于某一个固定ｋ。假设ｕ（ｃｏ，ｋ。）的奇数重相异非负实数零点为㈨一０＜∞。＜叫！＜…＜（．Ｏｒｅ－。，取叫。一＋。。。然后，做以下定义：
ｉ，一｛一ｌ，１｝，ｆ一０，１，２，…，研一ｌ，
（１８）
ｌｍ～’、＼
／
ｌ
’＼
ｆ０，ｆｏｒｄＰｇ［ｔ，（ｓ，Ｋ）］ｉ５
ｏｄｄ
／ｒ１＋。
、、
｜ｊ
”１｛一ｌ，１｝，ｆｏｒｄｅｇＥｔ，（ｓ，Ｋ）］ｉｓ矧Ｐ船
Ａ女一｛瞳，ｉ．，ｉ？，…，ｉ，。］｝，
ｊ＋一（一１）”＿１ｓｇｎ［－ｚ＇ｉ（叫。，ｋＩ，）］．
（１９）（２０）
ｉ旷、、
ｊＲ气ｊ１
懒
Ｂ心彦／、＼
Ｉｍ
～、＼
＋＿
－－＼
｜
ｊ
，
根据定理２，如果存在使ｄ（ｓ，Ｋ）为Ｈｕｒｗｉｔｚ多项式的ＰＩＤ参数增益向量Ｋ，则必然存在满足
≮义
图２
Ｆｉｇ．２
ｉ｜
／
／
！Ｒｅ
ｊ１｜ｌ
，
÷｜
／’
／
一一，
／／
／
一，，／
／
广
一一一
／／
一一一
（２１）式的序列Ｊ一‰，ｉ，，ｉ：，…，ｉ。］∈Ａｎ。
（ａ）Ｇ（ｓ）不含有ＲＨＰ极点
（ｂ）Ｇ（ｓ）含有ＲＨＰ极点
（ａ）Ｇ（ｓ）ｗｉｔｈｏｕｔＰＨＰｐｏｌｅｓ（ｂ）Ｇ（ｓ）ｗｉｔｈＲＨＰｐｏｌｅｓ
盯（ｔ，）一ｊ＋・ｆ“＋∑（一１）７２ｉ，＋（一１）…・ｉ。｝，
，２１
开环传递函数Ｇ，（ｓ）的Ｎｙｑｕｉｓｔ图
Ｎｙｑｕｉｓｔ
（２１）
ｐｌｏｔｓｆｏｒｏｐｅｎｌｏｏｐＴＦＧ，（ｓ）
定义可行序列集合：
Ｆ女：一｛Ｊｌ，，！，，。，…｝，
（２２）
基于以上分析，两种情况下包含最少交点的
开环Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线如图２所示。对于闭环稳定系
其中：Ｊ，，ｆ：，』。，…为满足式（２１）的序列Ｊ∈Ａｔ。
对于Ｆ。中的一个序列Ｊ，一［ｉ。。ｉ。，ｉ！，…，？。］，与之对应的（是，，走。）区域Ｘ．由下述不等式组决定：
ｔ，，（叫ｆ，ｋ．。ｋ。Ｉ）・ｊ，＞０，
（２３）
统，做以下定义：
（１）开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与实轴区间（一１，０）的所有交点中距离点（一１，０）最近的点（－－ａ，０）对应的值为ｈ１—１／ａ＞１，将其定义为系统的最小幅值
裕度。
其中：Ｉ≠０，（ｆ一０，１，２，…，ｍ）。Ｆｔ中所有序列Ｊ。，Ｊ：，，。，…对应的（ｋ．，ｋ。，）区域的并集即为当前走。，下的（ｋ，，ｋ。）区域，即：
Ｒｓ．＾一Ｕ，ｌ，７．３．…Ｘ，．
（２４）
（２）开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与实轴区间（一ＣｘＤ，一１）的所有交点中距离点（一ｌ，０）最近的点（－－ｂ，０）对应的值为ｈ一１／ｂ＜１，将其定义为系统的最大幅
值裕度。
４
稳定裕度约束下的ＰＩＤ稳定域
对于图１的控制系统。其开环传递函数为：
（３）将开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与原点处的单位圆在实轴下方逆时针方向的第一个交点对应的角度０＋。＞Ｏ定义为系统的正相位裕度。
（４）将开环Ｎｙｑｕｉｓｔ图与原点处的单位圆在实轴上方顺时针方向的第一个交点对应的角度
Ｇ√沪Ｇ㈥ｃ㈦一坠等胖’（２５）
万方数据
光学精密工程
第２１卷
０一＜Ｏ定义为系统的负相位裕度。
区域，尺毒，一。为ｈ＋约束下的（ｋｉ，ｋｄ）区域。
当Ｎ。＞０时。４个稳定裕度ｈ＋，Ｊｆ２一，旷，口必（２）如果厶为最大幅值裕度ｈ一（Ｈｉ为［Ｊｃ２，，然都存在；而当Ｎ。一０时，必定存在的只有＾＋和１］），则：
矿。为了保证闭环系统的稳定性和鲁棒性，需要Ｕｉ—Ｕ。ｎ…
Ｌ，ｔ
一
对系统的稳定裕度加以限制。本节所要解决的就。
（２９）
是上述稳定裕度约束下的ＰＩＤ稳定域求解问题。
Ｒｉ，ｔ；，一Ｒｉ；！，ｋｐ—Ｒ云３。１、
¨Ｉ
Ｉ＇ｎｌ—ＩＩ－Ⅳ
对于一个固定的ｋ一由于Ｒ“是由所有能够其中：ｕ乏为Ａ！一ｈ！对应的可行ｋ，区间；尺焉～。
使闭环系统稳定的（ｋ．，ｋ。，）参数点构成的区域，所和尺乏，ｔ。，分别为固定是。下的艿，和＆对应的（走．，
以能够保证闭环系统稳定性和鲁棒性的（ｋ．，ｋ。．）ｋ。．）区域，Ｒ云．。为，２约束下的（是．，ｋ。）区域。
区域Ｒ＋必定在Ｒ刚内。如图３所示：
（３）如果同时约束ｈ’和ｈ一，则：
Ｒ女一Ｒｓ．女ｎＲＰ．女ｎＲ６．女．
（２６）
魄一Ｕ，！ｎ
…
…
Ｌ，云
“‘
．
（３０）
其中：Ｒ，．。和ＲＧ．。分别为相位裕度和幅值裕度
Ｒｃ。，一。一Ｒ点、一。ｎＲ云，．ｔＰ
ｎ１
ｌ，
…】ｎ１
单独约束下的（是，，ｋ。）区域。
其中：魄。为幅值裕度约束下的可行ｋ，区间；
尺。．。为固定是。对应的（是，，ｋ。）区域。４．２相位裕度约束下的稳定区域
与幅值裕度类似，相位裕度臼约束下的ＰＩＤ稳定性等价于被控对象ｅ－ｉ。Ｇ（ｓ）的ＰＩＤ稳定性。
这里，
臼一ｊ
臼＋，
臼一Ｊ
ｆｏｒ
Ｎｐ＝０，（３１），
（１）
ｒａｉｎ（０＋，一０一），ｆｏｒＮｐ＞ｏ
如果要求ｏ≤臼。≤口≤０：，则可行ｋ。区间Ｕ，和固定ｋ。下的（是．，是。ｔ）区域Ｒｒｍ．ｅ。由下列２个复
图３
固定ｋ一对应的Ｒ“∥尺“。一ｐ，ＲＪ，。，一。，凤。区域
系数多项式的稳定区域决定：
Ｆｉｇ・３
Ｒｅｇｉｏｎｓ
Ｒｓ一∥心ｍ－‘∥Ｒｉ，，一１，ａｎｄ见ｐ
ｆｏｒ
ａ
ｆｉｘｅｄｋ】，
ｆ舀一由（ｓ）＋ｅ一，（是。１ｓ２＋走．，ｓ＋走．）Ｎ（ｓ），ｎＥＥｏ，０１］
４．１
幅值裕度约束下的稳定区域
１＆一奶（５）＋ｅ—ｚ（是ｄｓ２＋走。，ｓ＋ｋ．）Ｎ（ｓ），Ｆ２∈Ｆｏ，０１］
（３２）
根据幅值裕度的物理含义可以知道，幅值裕
度ｈ约束下的ＰＩＤ稳定性等价于新被控对象ｈＧ此时，
（ｓ）的ＰＩＤ稳定性。
仉。一叭。，
ｍ
ｎ¨
对于幅值裕度约束：ｈ，≤ｈ≤厶。，可行ｋ；，区间ｍｍ－女．，一Ｒｐ。一－－Ｒｐ。．女．
ｍ
¨
丌１ｌ
Ｐ）ｎ１＝
３Ｐ
３（
和固定ｋ。下的（是，，ｋ。）区域由下列２个实系数多其中：Ｕｐ。。为氐对应的可行ｋ。区间，Ｕ，。、为相位项式簇的稳定区域决定：
裕度约束下的可行ｋ。区间；Ｒｅ。，ｋｐ和Ｒ，。：．ｋｐ分别
ｆ函一ｓＤ（Ｓ）＋Ａ１（志ｄｓ２＋走。，ｓ＋是，）Ｎ（ｓ），ＡｌＥＨｌ
为固定ｋ。，下的＆和乱对应的（ｋ．，ｋ。）区域，
ｌ艿２一ｓＤ（Ｓ）＋Ａ２（ｋｄＳ２＋ｋ。Ｓ＋ｋ．）Ｎ（ｓ），Ａ２ＥＨ！
尺％ｔ。为固定ｋ。，对应的（ｋｉ，是。，）区域。
４．３
（２７）
复系数多项式的稳定性
（１）如果ｈ为最小幅值裕度ｈ＋（Ｈ，为［１，对于式（３２）类型的复系数多项式与实数情况
ｈ。］），则：
类似，可以得到式（１４），这里：
ｕ’（叫，ｋ：，ｋｄ）一一ｑｌ（叫）ｓｉｎ（口）＋Ｐｌ（（￡Ｊ）ｃｏｓ（臼）＋
（走，一∥ｋｄ）趣（叫）
，
Ｒ蕞一．，一尺０ｉｉｉｉ一。一Ｒ专。。
ｍ
ｐ
Ｉ】
ｎ１Ｚ．々
ｑ’（叫，ｋＩＪ）一ｑｌ（叫）ｃｏｓ（口）＋ｐｌ（叫）ｓｉｎ（臼）＋是。ｑ２（叫）
其中：ｕｔ为Ａ－一ｈ・对应的可行ｋ。区间；Ｒ矗。和（３４）
Ｒ赢。。分别为固定ｋ，，下的艿・和艿！对应的（是．，ｋ。・）
其中，Ｐ，（叫），Ｐ：（ｃｏ），ｑ．（６０），ｑ？（叫）参见式（１５）。
万方数据
第１２期
赵秀伟，等：确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
续性，所以，可以用分区间上所取的第一个固定
由于砧７（＊）既非奇函数又非偶函数，所以需要根据ｕ’（＊）＝０的所有实根个数来确定可行走。区间。也就是说州，７（＊）一。至少需要有Ｚ，７相异奇数重实根。
，，
厶ｎ——√
”
走。所对应的一作为区间构建序列集合Ｆ？。如
果可行分区间ｉ和ｊ对应的ｕ或者Ｚ，ｊ７的相异（非负）实数零点个数相同，则有Ｆｊ—Ｆｉ。以上特性
ｆ盯（ｔ，），
如ｒｄｅｇ［ｚ、７（＊）］≥ｄＰｇｈ７（＊）］
’
称为可行忌。分区间上的构建序列不变性。通过以上操作，构建序列部分的算法复杂度由０（行）降为Ｏ（１），从而减少了整个算法的计算时间。仿真实例部分的例ｌ求取所有Ｒ。．。共进行了５次仿
］盯（ｕ）一１，ｆｏｒｄｅｇＥ℃，．７（＊）］＜ｄＰｇ［ｔ，，７（＊）］
‰‰）一一啦业巡雩譬巡．
口！【∞）
（３５）
（３６）
真实验，并取平均值，实验结果显示：原始算法耗时为５３４．１６５
２３６２
Ｓ。
定义＂。。７为式（３６）右边分子和分母多项式的公因式多项式的实数零点个数，则对于ｕ７（∞，是．，）一０的实根个数的约束就等价于式（３６）所代表的曲线是。，’（∞）一是。与（一ＣＸＤ，＋。。）直线在上方至少存在Ｚｆ，７一胛，：７个交点。
对于固定走。下的（是，，走。。）区域ＲＰ．。的构建方法，与实系数情况也有所不同。如果叫。＜叫：＜…＜‰，为ｕ７（＊）一０的所有相异奇数重实根，取㈨一一。。，叫。一＋ＣＸ２７。做以下定义：
ｉ，一｛一ｌ，ｌ｝，ｆ一１，２，…，ｍ—１
ｚ，．２／
４
ｓ，引入以上操作后耗时为３４６．
基于以上内容，算法如下：
（１）分别计算臼，ｈ４，ｈ约束下的可行走。区间，将这２个分区间取交集得到总的可行走。区
间：
Ｕ—ＵＧ
ｎＵＰ，
（３９）
如果Ｕ为空集，则不存在满足条件的ＰＩＤ控制器，程序结束；否则转（２）。
（２）在Ｕ上均匀地取走个走。点用以构建（走．。
，
．ｆ０，如ｒｄｅｇ（ｚ１
７（＊））≥姒（＂７（＊））
。１｛一１，１｝，ｆｏｒ坛（ｔ・７（＊））＞撅（ｔ｛７（＊））
，ｒ—Ｕ，ｍ
是。。）区域，将这是个是…点用数组Ｍ表示。
（３）对于Ｍ内的每一个元素，分别执行步骤
（３７）
（４）到（６）。
则可行序列集合Ｆ。的元素Ｊ．一［“，ｉ。，ｊ！，…，ｉ，。］都需要满足式（３８）。对于Ｆ。的每一个元素通过式（２３）构建相应的（走．，走。－）区域，取并集后
就可得到Ｒ，．。。
（４）计算幅值裕度约束下对应于固定是。的（是．，走ｄ）区域Ｒ６．☆。
（５）计算相位裕度约束下对应于固定氏的（壶．。是ｄ）区域ＲＰ．女。
（６）将两者取交集后所得的区域即为稳定裕
仃（ｔ，）一号・｛“＋∑（一１）７２ｉ，＋（一１）”・ｉ。，｝．
（３８）
度混合约束下，固定走。对应的（走．＾，）区域Ｒ。：
４．４稳定裕度约束下的ＰＩＤ稳定域算法
在构建（走，，走。）区域时，没有必要对每一个固定走。，都求解一次可行序列Ｒ．。对于每一个可行走。分区间上的所有是。州．或者ｕ７的相异（非负）实数零点个数都是相同的。其可行序列集合Ｒ也必定相同。记为Ｆ，。其中，ｉ为可行分区间序号。并不是可行序列集合中的每一个元素都会构成（走．，走。．）区域，将确实能够构成（是．，是。，）区域的序列称为构建序列，ｉ，所有，ｉ的集合称为构建序列集合Ｆ？。由于可行分区间上（是，，是。・）区域的连
５
Ｒ女．，一ＲＰｍ．女，ｎＲＧｍ．～．
（４０）
（７）则可行走。区间Ｕ上所有的走。对应的（走．，走。）区域的外轮廓所包含的区域就是满足要求的ＰＩＤ稳定域。
仿真实例
例ｌ：考虑文献［７］中的不含开环ＲＨＰ极点
（即Ｎ。一ｏ）的一个随机系统的简化传递函数：
Ｇ㈤一再意罴爷等等等糍第丽
万方数据
３２２０
光学精密工程
第２１卷
要求２≤ｈ＋≤４，且１５。≤０≤６０。约束下的在可行区间Ｕ上均匀地取１００个点构成关ＰＩＤ控制器的稳定区域。
于ｋ。，的集合Ｍ，遍历Ｍ的每一个元素构建相应首先求解可行走。区间，可以得到：
的（ｋ，，ｋａ）区域。相应的ＲＧ一，ＲＰ一。砘如图４
ｍ
ｐ
“１
ｐＩ’
Ｕ‰：［一ｏ．０２１８８９，０．２２１８７］，所示。
ＵＰ√［一０．０４３
７７８，０．３９６
６７］，
Ｕ＝Ｕ“ｎＵＰ一［一ｏ．０２１
８８９，０．２２１
８７３．
表ｌ选定点Ａ。～Ａ６对应的稳定裕度
所以，满足稳定裕度ｈ＋和臼要求的ＰＩＤ控制Ｔａｂ．１
ＳｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｓｆｏｒｓｅｌｅｃｔｅｄＡｌ～Ａ。
器的比例增益系数走。只可能在区间Ｕ内，也就是说区问Ｕ外不存在满足要求的ＰＩＤ控制器。
当是．，一０．１时，对应的凡。，，ＲＧ．。，，ＲＰ。。，Ｒ。如图４所示，在其上选取６个点Ａ、～Ａ。，对应
的（是，唰ｋ）坐标以及相应的稳定裕度参见表１。可
见，这６个点所在的区域与稳定裕度信息完全符合，并且，只有Ａ；和Ａｊ２点满足稳定裕度约束。
０
０
Ｏ
０
０
（ａ）尺“ｌ区域
（ｂ）Ｇｍ约束下的各尺ｃ。ｅｌ，区域
（ｃ）Ｐ。约束下的各ＲＰｍ．ｔ。，区域
（ｄ）要求的区域Ｒｅ。
（ａ）尺一１
ｒｅｇｉｏｎ（ｂ）ＲＧ。ｋｐ，’Ｐｇ而”＾．ｆｏｒＧｍ
ｆ０
７ｌｓｔｒａｉｎｔ（ｆ）．Ｒｒ．。一ｐ
ｒｅｇｉｏｎｓｆｏｒＰｍｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ（ｄ）ＲｅｑｕｉｒｅｄＲ女ｐ
ｒｅｇｉｏｎｓ
图４
ｋｌ，一０．１时的（女・，ｋｄ）区域和可行ｋ”区间上的尺Ｇ。、一∥Ｒｒｍ．ｔ∥尺ｔ。区域
Ｆｉｇ・４（女・・ｋｔｌ）ｒｅｇｉｏｎｓｆｏｒ女ｐ一０
ｌａｎｄ
Ｒ“ｍ．女”，尺”ｍ．女ｌ，，尺｝ｐ
ｆｏｒａｌｌｆｅａｓｉｂｌｅｋｐ
例２：考虑含有２个开环ＲＨＰ极点（即Ｎ。｛＾Ｉ，ｈ）ｒｅｇｉＯＩｌＳｆｏｒ郎２１
２
０
２）的被控对象瑚：
Ｇ㈤一再虿籍‰
－０５
—１
一ｌ５
稳定裕度限制为：１．５≤ｈ’≤３，０．５≤ｈ一≤２
０．７，１０。≤臼≤３５。，求解满足以上要求的ＰＩＤ控制—２５
器稳定区域：
ｕＺ：［一ｏ．４３６３，９］，２３４５６７８
幻
Ｕ苫：［一０．２９０ｎ１
９，６］，
图５ｋ。一１２时的（女．，ｋｄ）区域
％¨：［一０．０４１
４，８．９５１
２］．
Ｆｉｇ．５（ｋｉ．＾。１）ｒｅｇｉｏｎｓｆｏｒｋ．，一１．２
万方数据
第１２期
赵秀伟，等：确保稳定裕度的ＰＩＤ稳定域计算
３２２１
Ｕ—ＵＦ；ＮＵ去ＮＵＰ一［一０．０４１ｎ１
ｎ１
ｍ
４．６］
表２计算得到的稳定裕度相符。取可行区间Ｕ上取固定ｋ。，为１．２，相应的裕度约束区域如图７５个点构成关于ｋ。，的集合Ｍ，遍历Ｍ中的所有５所示。在其上取６个测试点Ｂ，～Ｂ。，其坐标信元素，可以得到图６中的相应（走，，走。。）区域Ｒ毒．。，
息和裕度信息参见表２，由表２可知，只有Ｂ。。Ｂｊ满足稳定裕度的要求，其它点所在的位置也与
Ｒｉ．女，ＲＰ．☆，Ｒ¨。
Ｒｅｇｉｏ“ｓｆｏｒ‰（１
５．３）
ＲｅｇＩｏ“３ｆ０‘％（０５，０
７）
ＲｅｇｉｏｎｓｆｏｒＰｒｏ：（１０．３５）Ｔｈｅｒｅｑｕｆｌｅｄ
ｒｅｇｉｏｎｓ
幢『ｊｉ４∽
（ａ）唏约束下的各暖。ｅ。区域（ｂ）≮约束下的各贬、一。区域（ｃ）Ｐｎ约束下的各Ｒｆｊ。＿，区域（ｄ）睬，ｃｉ和Ｐ。约束下的
各Ｒ区域
（ａ）贬－。画ｏｎｓｆｏｒＧｃＯｎｓｔｒａｉｍ（ｂ）Ｒ：：１．＿，画ｏｎｓｆｏｒ
Ｇ
ｃｏｒＶｓｔｒａｉｎｔ（ｃ）Ｒｆ＿。。蚓ｏｎｓ
ｆｏｒＰ，，ｃｏｒｔｓｔｔａｉｎｔ（ｄ）Ｒｅｑｕｉｒｅｄ
Ｒｐ嚼Ｏｎｓ
图６
稳定裕度约束下的ＰＩＤ参数（女。ｋ．一ｋ）的稳定区域
Ｆｉｇ．６
ＳｔａｂｉｌｉｚｉｎｇｒｅｇｉｏｎｓｏｆＰＩＤｐａｒａｍｅｔｅｒｓ（奄．，，女．，女ｄ）ｆｏｒｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｏｆｓｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｓ
表２选定点Ｂ。～Ｂ６对应的稳定裕度
０）附近的形状，定义了４种稳定裕度（ｈ’，ｈ，０＋，
Ｔａｂ．２ＳｔａｂｉｌｉｔｙｍａｒｇｉｎｓｆｏｒｓｅｌｅｃｔｅｄＢ１～Ｂ＾
０一）。根据Ｎｙｑｕｉｓｔ稳定ｆ－０据的条件，分析了开环含ＲＨＰ极点和不含有ＲＨＰ极点两种情况下的稳定裕度。给出了以这些稳定裕度作为约束条件时的ＰＩＤ稳定参数区域的构建方法。并且通过引入可行ｋ。分区间上的构建序列不变性，将求解构建序列部分的算法复杂度由０（门）降低为０（１），大幅度提高了算法的执行效率。该方法非常
６
结
论
适合于Ｍａｔｌａｂ编程实现，文中用于验证有效性的２个例子就是笔者通过自己编制的ＰＩＤ参数域工具箱实现的。
本文根据开环Ｎｙｑｕｉｓｔ曲线在临界点（一ｌ，
［４］
ｃＨＡＩ’ＥＩ。Ｉ。ＡＴＨ，ＭＡＮＳ（）ｕＲ
Ｍ．ＢＨＡｒＴＡｃＨ
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＠＠［１３］ ＨＯ Ｍ Ｔ，ＤＡＴＴＡ Ａ，ＢＨＡＴＴＡＣＨＡＲＹＹＡ Ｓ Ｐ．
Ａ ｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａｌｌ ｓｔａｂｉ ｌｉｚｉｎｇ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ［Ｃ］． Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ
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ｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｃｏｎｔｒｏｌ， Ｃａｎｃｕｎ ，
Ｍｅｘｉｃｏ， ２００８ ： ９７７－ ９８２．
＠＠［２１］ ＫＮＡＰ Ｍ Ｊ，ＫＥＥＬ Ｌ Ｈ，ＢＨＡＴＴＡＣＨＡＲＹＹＡ Ｓ
Ｐ． Ｒｏｂｕｓｔ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ａｐｐｌｉ
１９９７ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ， １９９７，６：３９２２－
３９２８．
＠＠［１４］ ＡＣＫＥＲＭＡＮＮ Ｊ，ＫＡＥＳＢＡＵＥＲ Ｄ． Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｒｏ
ｂｕｓｔ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ［Ｃ］． Ｐｒｏｃ． Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ
ｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ａｔｔａｉｎｍｅｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ［Ｃ］．
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ ２０１０ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｃｏｎ
ｆｅｒｅｎｃｅ， Ｂａｌｔｉｍｏｒｅ， ２０１０： ３９０７－３９１２．＠＠［２２］ ＨＯ Ｍ Ｔ，ＤＡＴＴＡ Ａ， ＢＨＡＴＴＡＣＨＡＲＹＹＡ Ｓ Ｐ．
Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｈｅｒｍｉｔｅ － Ｂｉｅｈｌｅｒ ｔｈｅｏｒｅｍ：
Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ， Ｐｏｒｔｏ， ２００１．
＠＠［１５］ ＢＡＪＣＩＮＣＡ Ｎ． Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ
ｆｏｒ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｉｎ ａｎ ａｆｆｉｎｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ
ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｃａｓｅ ［Ｊ］． Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐ
ｓｐａｃｅ ［Ｊ］． ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｃｏｎ ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， ２０００， ３２０：２３－３６．
＠＠［２３］ ＨＯ Ｍ Ｔ，ＷＡＮＧ Ｈ Ｓ． ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｄｅｓｉｇｎ ｗｉｔｈ
ｇｕａｒａｎｔｅｅｄ ｇａｉｎ ａｎｄ ｐｈａｓｅ ｍａｒｇｉｎｓ ［Ｊ］． Ａｓｉａｎ
ｔｒｏｌ， ２００１， １００－１０５．
＠＠［１６］ ＢＡＪＣＩＮＣＡ Ｎ． Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｒｏｂｕｓｔ ＰＩＤ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ｕ
ｓｉｎｇ ｄｅｃｏｕｐｌｉｎｇ ａｔ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ［Ｊ］． Ａｕｔｏ
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｔｒｏｌ， ２００３， ５（３） ：３７４－３８１．
赵秀伟（１９８３－），男，山东潍坊人，博士，２００５年于山东大学控制科学与工程学院获得学士学位，２０１３年于中国科学院长春光学精密机械与物理研究所获得博士学位，主要从事２－ＤＯＦ－ＰＩＤ鲁棒控制方面的研究。Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｄｃｐ＠
１６３．ｃｏｍ
任建岳（１９５２－），男，吉林长春人，研究
员，博士生导师，主要研究方向为光学遥感器的研制和性能评价，曾获８６３计划航天领域先进个人，８６３计划先进个人，全国优秀科技工作者等称号。Ｅ－ｍａｉｌ： ｒｅｎｊｙ＠ ｃｉｏｍｐ． ａｃ． ｃｎ．
万方数据
确保稳定裕度的PID稳定域计算
作者：作者单位：
赵秀伟， 任建岳， ZHAO Xiu-wei， REN Jian-yue
赵秀伟,ZHAO Xiu-wei(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春130033;中国科学院大学,北京100039;中国电子科技集团公司第四十五研究所,北京100176)， 任建岳,REN Jian-yue(中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春,130033)光学精密工程
Optics and Precision Engineering2013,21(12)
刊名：英文刊名：年，卷(期)：
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_gxjmgc201312031.aspx