《二元一次方程与一次函数》 一、教材分析
1、课标解读
《数学课程标准》在7-9年级数与代数中提出应注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系；在“函数”中对“二元一次方程与一次函数”部分的描述是：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
2、教材的地位和作用
函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函
数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
3、教学重难点
重点：（1）二元一次方程与一次函数关系的探索；
（2）学会用作图象的方法求二元一次方程组的近似解
难点：揭示二元一次方程与一次函数之间的对应关系，即数形结合的意识与能力。
4、教学目标
（1）能理解二元一次方程与一次函数的关系，会用图象法求二元一次方程组的近似解。
（2）通过自主探究，小组合作，会用（一次函数图象）形的方法处理
（3）在学习过程中体验数形结合、转化等数学思想方法，在解决问题的过程中感受数学的严谨性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
二、教法设计 （二元一次方程组）数的问题。培养学生自主学习，合作学习的习惯。
对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用引导—探究式教学法. 学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，从特殊到一般探索出方程与图象之间的对应关系，引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——一 一次函数的图象(直线) 之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
三、评价设计
通过以问质疑和突破疑难环节达成目标一和目标二；通过知识升华环节达成目标三；通过突破疑难环节达成目标四。 四、教学过程
（一）以问质疑
式子 y =-x +2这是什么？
[设计意图]通过移项变形，让学生体会二元一次方程和一次函数之间是相互转化的。向学生渗透转化的思想。初步感知二者的对应关系。
2x -y =0 1.对于方程 如何用x 表示y?
2.是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？
11 （1） (2) 3x +5y =8x +y =623
估计绝大多数结 论：任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
动手写：方程x+y=2的解。
动口说：它的解有多少个？
[设计意图]从简单的问题情境入手，构建二元一次方程，并写出方程的一些解，回顾二元一次方程有无数个解，为描点与画直线做好准备。 动手描：在直角坐标系描出以这些解为坐标的点，看谁描的又好又快。
[学情预设] 在准备好的坐标纸上描点学生们已较熟练，描点如左下 动脑想：两数和为2，这两数分别是多少？
图。
[设计意图] 从数到形渗透。
动手画：在同一坐标系画出一次函数y=2-x的图象。
[学情预设] 作一次函数的图象 ——直线，学生也不难用过两点的
办法连线得到右上图：
放眼看：同学们发现了什么？请认真观察描出的点与此图象的关系。
[学情预设] 图中很直观感知：所有的点都在直线上。
[设计意图] 引导学生操作与探索，产生新的问题：为何这些点会全
部在直线上？
猜想：（1）是否任意的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式？
（2）二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢？
[学情预设] 为进一步探索二元一次方程与一次函数的关系奠定良
好的基石。
[设计意图]用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程
在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。
（二）突破疑难
探究一次函数与二元一次方程的关系
逆向思维：直线y=2-x上任取一点，它的坐标都适合方程x+y=2吗？ 大胆猜想，并探索你猜想的理由。
特殊性：如图在直线上取一点（3，-1）。
[学情预设] 多数同学答案是肯定的，但理由是它的特殊性：如图在
直线上取一点（3，-1）。
一般性：其它的点如何验证？
[设计意图]这显然是一般性问题，让学生探索，若有个别学生能有
所发现，要及时表扬，让其他同学学习他勇于探索、敢于发现的精神。
若没有，利用对比与类比积极引导学生探索发现：二元一次方程与
一次函数是自己与自己的不同展现形式。
从而解决上面两个问题 。
结论：1、直线y=2-x上的所有点，它的坐标都适合对应方程；
即：直线上的点与二元一次方程解的对应。
[设计意图] 本问是教学难点，函数与方程的关系抽象，困扰许许多
多的学生，数学教学论指出，数学学习应使学生的认识结构得到优化，那么知识脉络要十分清晰，而方程的解与函数的图象实质关系不点破，学生只能囫囵吞枣 ，为此，我设计此猜想，让学生从特殊性过渡到一般性，这种设问有利于学生在自主探索中观察、分析、多方位多角度思维，培养了学生自主学习、合作学习的习惯。同时, 妙比活跃了课堂，突破了难点，为后继的探究与学习铺平了道路。达成目标1
（三）知识升华 探究一次函数与二元一次方程组的关系
（1）动手操作：在同一坐标系内再作出一次函数y=x的图象，观察图象，你有什么发现？
并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
[设计意图] 此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：解二元一次方程组还可以用——图象法。即：从“形”的角度看，解方程组
相当于确定两条直线交点的坐标。
（2）当自变量x 取何值时，函数y=2-x与y=x的值相等？这个函数值是什么？这一问题与对应的解方程组是同一问题吗？
进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为
何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。从“ 形”的角度看，解方程组相当求两条直线的交点坐标。
[设计意图] 通过巡视学生作图，了解学生“形”的操作过程与能力，再观察图象，发现交点， 进一步合作交流交点与方程组的关系，让学生加以叙述，培养语言表达能力，从方程组的解到函数图象的交点数形有机结合的探索中，获得知识升华——用图象法解方程组。培养了学生独立思考、合作学习的习惯。通过从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知 2、以方程x+y=2的解为坐标的所有点，都在对应直线上。
识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程达成目标3。
（3）提出问题你能用图像法解方程组吗？
归纳总结出用图象法解二元一次方程组的步骤：写函数，作图象、
找交点，下结论。
y =-2x +1的交点y =-x -2 （4）若求直线 与
坐标，你有哪些方法? 分析各种方法的利弊．
解法思路l ：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(因作图误
差可能有较大差别)
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的
解决，便捷准确)
（四）学以致用
A组：抢答题
（1）以方程3x -y =2的解为坐标的所有点都在一次函数y =_____的图象上。
⎧x =2则一次函数y=x-1的图象上 （2）方程x-y=1有一个解为 ⎨
有一点为________。 ⎩y =1
（3） 一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2), 则方程2x-y=4有一
个解 为 ________。
[设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生
的眼、耳、脑、口得到充分的调动，培养了学生动手的能力，并在抢答
中品味成功的快乐，提高思维的速度。达成目标3 （五）分享收获
在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？
你印象最深的是什么？ 你还有哪些疑惑？
[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、
数学方法和数学情感等方面进行自我评价。完成目标2 （六）布置作业
北京2008奥运的理念是“科技奥运、人文奥运、绿色奥运”。为了
响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲班每小时植树20
棵，乙班每小时植树24棵。由于某些原因，甲班植完8棵后，乙班才开始。你认为哪个班植树棵数多？
[设计意图] 从作业的巩固性和发展性出发，（1）必做题是对本节课的一个反馈，面向全体学生，选做题是对本节知识的一个延伸，面对学有余力的学生，从而使不同的学生得到不同的发展。（2）课后思考题融基础性，灵活性，实践性，开放性为一体，为下一节预设伏笔。
（七) 板书设计：
《二元一次方程与一次函数》 一、教材分析
1、课标解读
《数学课程标准》在7-9年级数与代数中提出应注重使学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性与合理性的过程，应加强方程、不等式、函数等内容的联系；在“函数”中对“二元一次方程与一次函数”部分的描述是：能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
2、教材的地位和作用
函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函
数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
3、教学重难点
重点：（1）二元一次方程与一次函数关系的探索；
（2）学会用作图象的方法求二元一次方程组的近似解
难点：揭示二元一次方程与一次函数之间的对应关系，即数形结合的意识与能力。
4、教学目标
（1）能理解二元一次方程与一次函数的关系，会用图象法求二元一次方程组的近似解。
（2）通过自主探究，小组合作，会用（一次函数图象）形的方法处理
（3）在学习过程中体验数形结合、转化等数学思想方法，在解决问题的过程中感受数学的严谨性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
二、教法设计 （二元一次方程组）数的问题。培养学生自主学习，合作学习的习惯。
对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用引导—探究式教学法. 学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，从特殊到一般探索出方程与图象之间的对应关系，引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——一 一次函数的图象(直线) 之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
三、评价设计
通过以问质疑和突破疑难环节达成目标一和目标二；通过知识升华环节达成目标三；通过突破疑难环节达成目标四。 四、教学过程
（一）以问质疑
式子 y =-x +2这是什么？
[设计意图]通过移项变形，让学生体会二元一次方程和一次函数之间是相互转化的。向学生渗透转化的思想。初步感知二者的对应关系。
2x -y =0 1.对于方程 如何用x 表示y?
2.是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？
11 （1） (2) 3x +5y =8x +y =623
估计绝大多数结 论：任意一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数.
动手写：方程x+y=2的解。
动口说：它的解有多少个？
[设计意图]从简单的问题情境入手，构建二元一次方程，并写出方程的一些解，回顾二元一次方程有无数个解，为描点与画直线做好准备。 动手描：在直角坐标系描出以这些解为坐标的点，看谁描的又好又快。
[学情预设] 在准备好的坐标纸上描点学生们已较熟练，描点如左下 动脑想：两数和为2，这两数分别是多少？
图。
[设计意图] 从数到形渗透。
动手画：在同一坐标系画出一次函数y=2-x的图象。
[学情预设] 作一次函数的图象 ——直线，学生也不难用过两点的
办法连线得到右上图：
放眼看：同学们发现了什么？请认真观察描出的点与此图象的关系。
[学情预设] 图中很直观感知：所有的点都在直线上。
[设计意图] 引导学生操作与探索，产生新的问题：为何这些点会全
部在直线上？
猜想：（1）是否任意的二元一次方程都可以转化为一次函数的形式？
（2）二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢？
[学情预设] 为进一步探索二元一次方程与一次函数的关系奠定良
好的基石。
[设计意图]用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程
在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。
（二）突破疑难
探究一次函数与二元一次方程的关系
逆向思维：直线y=2-x上任取一点，它的坐标都适合方程x+y=2吗？ 大胆猜想，并探索你猜想的理由。
特殊性：如图在直线上取一点（3，-1）。
[学情预设] 多数同学答案是肯定的，但理由是它的特殊性：如图在
直线上取一点（3，-1）。
一般性：其它的点如何验证？
[设计意图]这显然是一般性问题，让学生探索，若有个别学生能有
所发现，要及时表扬，让其他同学学习他勇于探索、敢于发现的精神。
若没有，利用对比与类比积极引导学生探索发现：二元一次方程与
一次函数是自己与自己的不同展现形式。
从而解决上面两个问题 。
结论：1、直线y=2-x上的所有点，它的坐标都适合对应方程；
即：直线上的点与二元一次方程解的对应。
[设计意图] 本问是教学难点，函数与方程的关系抽象，困扰许许多
多的学生，数学教学论指出，数学学习应使学生的认识结构得到优化，那么知识脉络要十分清晰，而方程的解与函数的图象实质关系不点破，学生只能囫囵吞枣 ，为此，我设计此猜想，让学生从特殊性过渡到一般性，这种设问有利于学生在自主探索中观察、分析、多方位多角度思维，培养了学生自主学习、合作学习的习惯。同时, 妙比活跃了课堂，突破了难点，为后继的探究与学习铺平了道路。达成目标1
（三）知识升华 探究一次函数与二元一次方程组的关系
（1）动手操作：在同一坐标系内再作出一次函数y=x的图象，观察图象，你有什么发现？
并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
[设计意图] 此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：解二元一次方程组还可以用——图象法。即：从“形”的角度看，解方程组
相当于确定两条直线交点的坐标。
（2）当自变量x 取何值时，函数y=2-x与y=x的值相等？这个函数值是什么？这一问题与对应的解方程组是同一问题吗？
进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为
何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。从“ 形”的角度看，解方程组相当求两条直线的交点坐标。
[设计意图] 通过巡视学生作图，了解学生“形”的操作过程与能力，再观察图象，发现交点， 进一步合作交流交点与方程组的关系，让学生加以叙述，培养语言表达能力，从方程组的解到函数图象的交点数形有机结合的探索中，获得知识升华——用图象法解方程组。培养了学生独立思考、合作学习的习惯。通过从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知 2、以方程x+y=2的解为坐标的所有点，都在对应直线上。
识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程达成目标3。
（3）提出问题你能用图像法解方程组吗？
归纳总结出用图象法解二元一次方程组的步骤：写函数，作图象、
找交点，下结论。
y =-2x +1的交点y =-x -2 （4）若求直线 与
坐标，你有哪些方法? 分析各种方法的利弊．
解法思路l ：画出图象找出交点，确定交点坐标近似值．(因作图误
差可能有较大差别)
解法思路2：由解方程组，得到交点坐标．(把形的问题归结为数的
解决，便捷准确)
（四）学以致用
A组：抢答题
（1）以方程3x -y =2的解为坐标的所有点都在一次函数y =_____的图象上。
⎧x =2则一次函数y=x-1的图象上 （2）方程x-y=1有一个解为 ⎨
有一点为________。 ⎩y =1
（3） 一次函数y=2x-4上有一点坐标为(3,2), 则方程2x-y=4有一
个解 为 ________。
[设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生
的眼、耳、脑、口得到充分的调动，培养了学生动手的能力，并在抢答
中品味成功的快乐，提高思维的速度。达成目标3 （五）分享收获
在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？
你印象最深的是什么？ 你还有哪些疑惑？
[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、
数学方法和数学情感等方面进行自我评价。完成目标2 （六）布置作业
北京2008奥运的理念是“科技奥运、人文奥运、绿色奥运”。为了
响应号召，某校甲、乙两班同学参加植树活动。已知甲班每小时植树20
棵，乙班每小时植树24棵。由于某些原因，甲班植完8棵后，乙班才开始。你认为哪个班植树棵数多？
[设计意图] 从作业的巩固性和发展性出发，（1）必做题是对本节课的一个反馈，面向全体学生，选做题是对本节知识的一个延伸，面对学有余力的学生，从而使不同的学生得到不同的发展。（2）课后思考题融基础性，灵活性，实践性，开放性为一体，为下一节预设伏笔。
（七) 板书设计：