2016年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1. 设实数a 满足a ＜9-11a ＜｜a ｜, 则a 的取值范围是 .
2. 设负数z ，w 满足｜z ｜=3,(z+)(-w)=7+4i,其中i 是虚数单位，分别表示z ，w 的共轭复数，则（z+2）（-2w ）的模为 .
3. 正数u ，v ，w 均布等于1，若+=5,+=3,则的值为 .
4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币. 现随机从两个袋子中各取出两张纸币, 则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .
5. 设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC=90°，M 为AP 的中点. 若AB=1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A 的大小为 .
6. 设函数，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有，则k 的最小值为 .
7. 双曲线C 的方程为，左、右焦点分别为. 过点作一直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得=90°，则△PQ 的内切圆半径是 .
8. 设是1,2，···，100中的4个互布相同的数，满足则这样的有序数组的个数为 .
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9. （本题满分16分）在△ABC 中，已知. 求的最大值.
10. （本题满分20分）已知f(x)是R 上的奇函数，，且对任意x 0, 均有
⎛1⎫⎛x ⎫()f 1f ⎪+f ⎪=xf (x )求的值. ⎝100⎭⎝x -1⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪f ⎪+⎝2⎭⎝99⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪f ⎪+⋅⋅⋅+⎝3⎭⎝98⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪f ⎪⎝50⎭⎝51⎭
xOy F 11. （本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，
是x 轴正半轴上的一个动点. 以F 为焦点、O 为顶点作抛物
线C. 设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上的一
点，使得PQ 为C 的切线，且∣PQ ∣=2.圆 , C 1C 2
均与直线
C OP 相切于点P, 且均与x 轴相切. 求点F 的坐标，使圆与 1
C 的面积之和取到最小值. 2
2016全国高中数学联合竞赛加试试题
一、（本题满分40分）设实数a1，a2，。。。 a2014满足……
的最大值。
二、（本题满分40分）如图所示，在ABC 中，X Y 在直线BC 上两点（X B C Y 依次排列）使得
BX AC=CY-AB。
设 ABY 的外心分别为……，直线……与AB ，AC 分别交于点U ，V 证明，AUV 是等腰三角形
（解题时请将图画在答卷纸上）
三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线数目的最大值。
四、（本题满分50分）设P 与P+2均是素数，P 〉3，数列{a }定义为a =2，
这里[x]表示不小于实数x 的最小整数。
证明：对n =3，4，。。。，P-1均为n/pa +1 成立
2016年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1. 设实数a 满足a ＜9-11a ＜｜a ｜, 则a 的取值范围是 .
2. 设负数z ，w 满足｜z ｜=3,(z+)(-w)=7+4i,其中i 是虚数单位，分别表示z ，w 的共轭复数，则（z+2）（-2w ）的模为 .
3. 正数u ，v ，w 均布等于1，若+=5,+=3,则的值为 .
4. 袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币. 现随机从两个袋子中各取出两张纸币, 则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 .
5. 设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC=90°，M 为AP 的中点. 若AB=1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A 的大小为 .
6. 设函数，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有，则k 的最小值为 .
7. 双曲线C 的方程为，左、右焦点分别为. 过点作一直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得=90°，则△PQ 的内切圆半径是 .
8. 设是1,2，···，100中的4个互布相同的数，满足则这样的有序数组的个数为 .
二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9. （本题满分16分）在△ABC 中，已知. 求的最大值.
10. （本题满分20分）已知f(x)是R 上的奇函数，，且对任意x 0, 均有
⎛1⎫⎛x ⎫()f 1f ⎪+f ⎪=xf (x )求的值. ⎝100⎭⎝x -1⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪f ⎪+⎝2⎭⎝99⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪f ⎪+⋅⋅⋅+⎝3⎭⎝98⎭⎛1⎫⎛1⎫f ⎪f ⎪⎝50⎭⎝51⎭
xOy F 11. （本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，
是x 轴正半轴上的一个动点. 以F 为焦点、O 为顶点作抛物
线C. 设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上的一
点，使得PQ 为C 的切线，且∣PQ ∣=2.圆 , C 1C 2
均与直线
C OP 相切于点P, 且均与x 轴相切. 求点F 的坐标，使圆与 1
C 的面积之和取到最小值. 2
2016全国高中数学联合竞赛加试试题
一、（本题满分40分）设实数a1，a2，。。。 a2014满足……
的最大值。
二、（本题满分40分）如图所示，在ABC 中，X Y 在直线BC 上两点（X B C Y 依次排列）使得
BX AC=CY-AB。
设 ABY 的外心分别为……，直线……与AB ，AC 分别交于点U ，V 证明，AUV 是等腰三角形
（解题时请将图画在答卷纸上）
三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线数目的最大值。
四、（本题满分50分）设P 与P+2均是素数，P 〉3，数列{a }定义为a =2，
这里[x]表示不小于实数x 的最小整数。
证明：对n =3，4，。。。，P-1均为n/pa +1 成立