1. （本小题14分）
如图，在三棱锥V
-ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，∆VAB 为等边三角形，AC ⊥
BC 且
分别为
AC =BC =O , M AB , VA 的中点。
（Ⅰ）求证：VB //平面MOC . （Ⅱ）求证：平面MOC （Ⅲ）求三棱锥V
2. （本小题满分14分）如图，在三棱柱直于底面，
⊥平面VAB
-ABC 的体积。
ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂
分别为
AB ⊥BC ，AA 1=AC =2，E 、F
ABE ⊥平面B 1BCC 1；
ABE ；
AC 11、BC 的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：C 1F //平面（3）求三棱锥E -
ABC 的体积.
A 1
C 1
A
中，
C 3．（本小题共14分）如图，在四棱锥P -
ABCD
AB //CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，
分别是CD 和PC 的中点，求证：
PA ⊥AD ，E 和F
（1）PA
⊥底面ABCD
（2）BE //平面PAD （3）平面BEF
⊥平面PCD
4. （本小题共14分）
t 如图1，在R ∆A B C 中，∠C =90 ，D , E 分别为AC , AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，
将∆ADE 沿DE 折起到∆A 1DE 的位置，使（Ⅰ）求证：DE //平面（Ⅱ）求证：（Ⅲ）线段
； ACB 1
A 1F ⊥CD ，如图2。
A 1F ⊥BE ；
A 1B 上是否存在点Q ，使AC ⊥平面DEQ ？说明理由。 1
F 图1
图2
5．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC, 点D,E,F,G
分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.
（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.
6. （本小题共13分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC，
（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面
BDF;
7．（本小题共14分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上.
（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；
（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的
角的大小.
答案:
（1）（共14分） 解：
（Ⅰ）因为O , M 分别为
AB , VA 的中点，
所以OM
//VB
又因为VB
⊄平面MOC ，
所以VB //平面MOC
（Ⅱ）因为
AC =BC ，O 为AB 的中点，
所以OC
⊥AB
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，
所以OC
⊥平面VAB
所以平面MOC ⊥平面VAB
（Ⅲ）在等腰直角三角形
ACB
中，AC =BC =所以
AB =2, OC =1
所以等边三角形VAB
的面积S ∆VAB
又因为OC
⊥平面VAB ，
1所以三棱锥C
-
VAB 的体积等于3OC S ∆VAB =
3
又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，
所以三棱锥V -
ABC 的体积为
2. （共14分） 解：（Ⅰ）在三棱柱
ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，
所以BB 1⊥AB ，
又因为AB ⊥BC ，
所以
AB ⊥平面B 1BCC 1，
所以平面
ABE ⊥平面B 1BCC 1
（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG,FG
因为E ，F 分别是AC 11, BC 的中点，
所以FG //AC ，且FG =
1
2
AC ， 因为
AC //AC 11，且AC =AC 11，
所以FG //EC 1，且FG =
EC 1
所以四边形FGEC 1为平行四边形 所以C 1F //EG 又因为EG
⊂平面ABE , C 1F ⊄平面ABE ，
所以C 1F //平面ABE
（Ⅲ）因为
AA 1=AC =2, BC =1, AB ⊥BC ，
所以
AB =所以三棱锥E -
ABC 的体积
V =13S 11∆ABC ⋅AA 1=3⨯21⨯2=
3
3．（本小题共14分） 证明：（1）因为PA ⊥AD ，平面PAD ⊥底面ABCD 且平面PAD 底面ABCD =AD
所以PA
⊥底面ABCD
（2）因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以EF //PD ，
而EF
⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以BE //平面PAD （3）因为PA
⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD
所以PA ⊥CD ，即CD
⊥PA
因为
AB ⊥AD ，CD //AB ，所以CD //AD
而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD =A
所以CD ⊥平面PAD
因为
AB //CD ，所以CD =2AB ，所以四边形ABED 是平行四边形，所以BE //AD ，而BE
⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD
所以BE //平面PAD ，同理EF //平面PAD ，
而EF
⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF 且EF BE =E
所以平面BEF //平面PAD ，所以CD ⊥平面BEF //
又因为CD
⊂平面PCD
所以平面BEF
⊥平面PCD
5. （共14分）
证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点， 所以DE//PC。
又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。
（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。 所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，
所以四边形DEFG 为矩形。
（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=
12
EG.
分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ， 且QM=QN=
12
EG ，
所以Q 为满足条件的点. 6. （共13分）
证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。因为EF ∥AG, 且EF=1，AG= 所以四边形AGEF 为平行四边形 所以AF ∥EG
因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面
BDE
1
2
AG=1
（Ⅱ）连接FG 。因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。所以CF ⊥EG. 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC. 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD, 且平面 ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF. 所以CF ⊥BD. 又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.
7. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB ， ∴平面
AEC ⊥平面PDB .
（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，OE
=
1
PD ， 2
又∵PD ⊥底面ABCD ，
∴OE⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE
中，OE
=
1PD =AB =AO ， 22
∴∠AEO
=45︒，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.
【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D -xyz ，
设
AB =a , PD =h , 则A (a ,0,0), B (a , a ,0), C (0, a ,0), D (0,0,0), P (0,0, h )，
（Ⅰ）∵AC =(-a , a ,0), DP =(0,0, h ), DB =(a , a ,0)，
∴AC ⋅DP =0, AC ⋅DB =0，
∴AC⊥DP，AC⊥BD ， ∴AC⊥平面PDB ， ∴平面
（Ⅱ）当PD
AEC ⊥平面PDB .
=且E 为PB 的中点时，
⎛11⎫
P , E a , a ⎪，
22⎪⎭⎝
(
)
设
11
AC ⋂BD =O ，则O (a , a ,0) ，连接OE ，
22
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO为AE 与平面PDB 所成的角，
⎛1 ⎛1⎫ ⎫
a , EO =0,0, -a ⎪∵EA = a , -a , -，
⎪ 2⎪ ⎪22⎭2⎭⎝⎝
EA ⋅EO ∴cos ∠AEO ==
2EA ⋅EO
∴∠AEO
，
=45︒，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.
1. （本小题14分）
如图，在三棱锥V
-ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，∆VAB 为等边三角形，AC ⊥
BC 且
分别为
AC =BC =O , M AB , VA 的中点。
（Ⅰ）求证：VB //平面MOC . （Ⅱ）求证：平面MOC （Ⅲ）求三棱锥V
2. （本小题满分14分）如图，在三棱柱直于底面，
⊥平面VAB
-ABC 的体积。
ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂
分别为
AB ⊥BC ，AA 1=AC =2，E 、F
ABE ⊥平面B 1BCC 1；
ABE ；
AC 11、BC 的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：C 1F //平面（3）求三棱锥E -
ABC 的体积.
A 1
C 1
A
中，
C 3．（本小题共14分）如图，在四棱锥P -
ABCD
AB //CD ，AB ⊥AD ，CD =2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，
分别是CD 和PC 的中点，求证：
PA ⊥AD ，E 和F
（1）PA
⊥底面ABCD
（2）BE //平面PAD （3）平面BEF
⊥平面PCD
4. （本小题共14分）
t 如图1，在R ∆A B C 中，∠C =90 ，D , E 分别为AC , AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，
将∆ADE 沿DE 折起到∆A 1DE 的位置，使（Ⅰ）求证：DE //平面（Ⅱ）求证：（Ⅲ）线段
； ACB 1
A 1F ⊥CD ，如图2。
A 1F ⊥BE ；
A 1B 上是否存在点Q ，使AC ⊥平面DEQ ？说明理由。 1
F 图1
图2
5．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC 中，PC ⊥AB ，PA ⊥BC, 点D,E,F,G
分别是棱AP,AC,BC,PB 的中点.
（Ⅰ）求证：DE ∥平面BCP ； （Ⅱ）求证：四边形DEFG 为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由.
6. （本小题共13分）
如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC，
（Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面
BDF;
7．（本小题共14分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上.
（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；
（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的
角的大小.
答案:
（1）（共14分） 解：
（Ⅰ）因为O , M 分别为
AB , VA 的中点，
所以OM
//VB
又因为VB
⊄平面MOC ，
所以VB //平面MOC
（Ⅱ）因为
AC =BC ，O 为AB 的中点，
所以OC
⊥AB
又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ，
所以OC
⊥平面VAB
所以平面MOC ⊥平面VAB
（Ⅲ）在等腰直角三角形
ACB
中，AC =BC =所以
AB =2, OC =1
所以等边三角形VAB
的面积S ∆VAB
又因为OC
⊥平面VAB ，
1所以三棱锥C
-
VAB 的体积等于3OC S ∆VAB =
3
又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，
所以三棱锥V -
ABC 的体积为
2. （共14分） 解：（Ⅰ）在三棱柱
ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，
所以BB 1⊥AB ，
又因为AB ⊥BC ，
所以
AB ⊥平面B 1BCC 1，
所以平面
ABE ⊥平面B 1BCC 1
（Ⅱ）取AB 中点G ，连结EG,FG
因为E ，F 分别是AC 11, BC 的中点，
所以FG //AC ，且FG =
1
2
AC ， 因为
AC //AC 11，且AC =AC 11，
所以FG //EC 1，且FG =
EC 1
所以四边形FGEC 1为平行四边形 所以C 1F //EG 又因为EG
⊂平面ABE , C 1F ⊄平面ABE ，
所以C 1F //平面ABE
（Ⅲ）因为
AA 1=AC =2, BC =1, AB ⊥BC ，
所以
AB =所以三棱锥E -
ABC 的体积
V =13S 11∆ABC ⋅AA 1=3⨯21⨯2=
3
3．（本小题共14分） 证明：（1）因为PA ⊥AD ，平面PAD ⊥底面ABCD 且平面PAD 底面ABCD =AD
所以PA
⊥底面ABCD
（2）因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，所以EF //PD ，
而EF
⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以BE //平面PAD （3）因为PA
⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD
所以PA ⊥CD ，即CD
⊥PA
因为
AB ⊥AD ，CD //AB ，所以CD //AD
而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA AD =A
所以CD ⊥平面PAD
因为
AB //CD ，所以CD =2AB ，所以四边形ABED 是平行四边形，所以BE //AD ，而BE
⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD
所以BE //平面PAD ，同理EF //平面PAD ，
而EF
⊂平面BEF ，BE ⊂平面BEF 且EF BE =E
所以平面BEF //平面PAD ，所以CD ⊥平面BEF //
又因为CD
⊂平面PCD
所以平面BEF
⊥平面PCD
5. （共14分）
证明：（Ⅰ）因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点， 所以DE//PC。
又因为DE ⊄平面BCP ， 所以DE//平面BCP 。
（Ⅱ）因为D ，E ，F ，G 分别为 AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。 所以四边形DEFG 为平行四边形， 又因为PC ⊥AB ， 所以DE ⊥DG ，
所以四边形DEFG 为矩形。
（Ⅲ）存在点Q 满足条件，理由如下： 连接DF ，EG ，设Q 为EG 的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=
12
EG.
分别取PC ，AB 的中点M ，N ，连接ME ，EN ，NG ，MG ，MN 。 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG 为矩形，其对角线点为EG 的中点Q ， 且QM=QN=
12
EG ，
所以Q 为满足条件的点. 6. （共13分）
证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。因为EF ∥AG, 且EF=1，AG= 所以四边形AGEF 为平行四边形 所以AF ∥EG
因为EG ⊂平面BDE,AF ⊄平面BDE, 所以AF ∥平面
BDE
1
2
AG=1
（Ⅱ）连接FG 。因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG 为菱形。所以CF ⊥EG. 因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC. 又因为平面ACEF ⊥平面ABCD, 且平面 ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF. 所以CF ⊥BD. 又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE.
7. 【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD⊥AC， ∴AC⊥平面PDB ， ∴平面
AEC ⊥平面PDB .
（Ⅱ）设AC∩BD=O ，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，OE
=
1
PD ， 2
又∵PD ⊥底面ABCD ，
∴OE⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE
中，OE
=
1PD =AB =AO ， 22
∴∠AEO
=45︒，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.
【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D -xyz ，
设
AB =a , PD =h , 则A (a ,0,0), B (a , a ,0), C (0, a ,0), D (0,0,0), P (0,0, h )，
（Ⅰ）∵AC =(-a , a ,0), DP =(0,0, h ), DB =(a , a ,0)，
∴AC ⋅DP =0, AC ⋅DB =0，
∴AC⊥DP，AC⊥BD ， ∴AC⊥平面PDB ， ∴平面
（Ⅱ）当PD
AEC ⊥平面PDB .
=且E 为PB 的中点时，
⎛11⎫
P , E a , a ⎪，
22⎪⎭⎝
(
)
设
11
AC ⋂BD =O ，则O (a , a ,0) ，连接OE ，
22
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO为AE 与平面PDB 所成的角，
⎛1 ⎛1⎫ ⎫
a , EO =0,0, -a ⎪∵EA = a , -a , -，
⎪ 2⎪ ⎪22⎭2⎭⎝⎝
EA ⋅EO ∴cos ∠AEO ==
2EA ⋅EO
∴∠AEO
，
=45︒，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.