立体几何
一、选择题
1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.
111
B. C. D.1 632
【答案】A
2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为
1212122 （A ）+π （B ）+π （C ）+π （D ）1+π
3333366
【答案】C
3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相
28π
垂直的半径. 若该几何体的体积是
3
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
【答案】A
4、（2016年全国I 高考）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面
ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为
（A
【答案】A
1（B
） （C
（D ）
325、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C
6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体
的三视图，则该多面体的表面积为
（A
）18+（B
）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B
7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若
AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是
（A ）4π （B ）【答案】B
二、填空题
1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan
9π
2
（C ）6π （D ）
32π
3
2
，则该正四棱柱的高等于
____________ 3
【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．
3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单
位：m ），则该四棱锥的体积为_______m.
3
【答案】2
4、（2016年全国II 高考） α, β是两个平面，m , n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n , m ⊥α, n //β，那么α⊥β.[ （2）如果m ⊥α, n //α，那么m ⊥n . （3）如果α//β, m ⊂α，那么m //β.
（4）如果m //n , α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
2
5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm，
3
体积是 cm.
【答案】72 32 6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°. 若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是
.
【答案】
1 2
三、解答题
1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，
PA =PD ，AB ⊥AD ，
AB =1，AD =
2，AC =CD
（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM //平面PCD ？若存在，求说明理由.
【解】⑴∵面PAD 面ABCD =AD
面PAD ⊥面ABCD
AM
的值；若不存在，AP
∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB
⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO
∵CD =AC =∴CO ⊥AD ∵PA =PD ∴PO ⊥AD
以O 为原点，如图建系
易知P (0，0，1) ，B (11，，0) ，D (0，-1，0) ，C (2，0，0) ，
C D
z P
A
B
，，-1) ，PD =(0，-1，-1) ，PC =(2，0，-1) ，CD =(-2，-1，0) 则PB =(11
设n 为面PDC 的法向量，令n =(x 0，y 0,1) ⎧n ⋅PD =0 ⎛1⎪⎫
⇒n = ，-1,1⎪，则PB 与面PCD 夹角θ有
⎨
⎝2⎭⎪⎩n ⋅PC =0
sin θ=cos
AM 设=λ，M (0, y ', z ' )
AP
由（2）知A (0,1,0)，P (0,0,1)，AP =(0, -1,1)，B (1,1,0)，AM =(0, y ' -1, z ' )
有AM =λAP ⇒M (0,1-λ, λ)
∴BM =(-1, -λ, λ)
∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量
∴BM ⋅n =0
1
即-+λ+λ=0
21∴λ=
4
AM 1
∴综上，存在M 点，即当=时，M 点即为所求.
AP 4
2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ' 的
直径，FB 是圆台的一条母线.
（I ）已知G , H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =
1
AC
=，AB =BC . 求二面角F -BC -A 的余弦值
. 2
【解】(Ⅰ) 连结FC ，取FC 的中点M ，连结GM, HM ， 因为GM//EF，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ； 又因为MH//BC，BC ⊂平面ABC ，
B
MH ⊄平面ABC ，
所以MH//平面ABC ； 所以平面GHM//平面ABC ，
由GH ⊂平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ， AB =BC ∴O A ⊥OB
以为O 原点，分别以OA, OB, O O '为x, y, z 轴， 建立空间直角坐标系．
1
EF =FB =AC =2, AB =BC ，
2
O O '=BF 2-(BO -FO ) 2=3，
于是有, 0, 0) ，, 0, 0) ，3, 0) ，, 3) ， 可得平面FBC 中的向量=(3, 3) ，=(2, 2, 0) , 于是得平面FBC 的一个法向量为n 1=(-, , 1) ， 又平面ABC 的一个法向量为n 2=(0, 0, 1) ， 设二面角F -BC -A 为θ，
则cos θ=
=
17
． =77
7
． 7
二面角F -BC -A 的余弦值为
3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形AAOO 11（及其内部）绕的OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为
2
π
π， A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AAOO 11的同侧。 3
（1）求三棱锥C -O 1A 1B 1的体积；
（2）求异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小。 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h =1，底面半径r =1． 确定∠A1O1B1=
π
3
．计算S ∆O1A1B1后即得.
（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，根据BB1//AA1，知∠C BB1或其补角为直线B1C 与AA1所成的角．确定∠C OB=
π
3
，C B=1．得出∠C B1B=
π
4
．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高h =1，底面半径r =1．
B的长为由A11
ππ，可知∠A1O1B1=． 33
1 S ∆O1A1B1=O1A1⋅O1B1⋅sin ∠A1O1B1=
21 V C -O1A1B1=S ∆O1A1B1⋅h =
3
（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则BB1//AA1， 所以∠C B1B或其补角为直线B1C 与AA1所成的角．
C 长为由A
2π2π
，可知∠AOC =， 33
又∠AOB=∠A1O1B1=
π
3
，所以∠C OB=
π
3
，
从而∆C OB为等边三角形，得C B=1． 因为B1B⊥平面AOC ，所以B1B⊥C B． 在∆C B1B中，因为∠B1BC =
π
2
，C B=1，B1B=1，所以∠C B1B=
π
4
，
从而直线B1C 与AA1所成的角的大小为
π
．
4
4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD //BC ，∠ADC =∠PAB =90︒，
1
BC =CD =AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒.
2
（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM //平面PBE ，
并说明理由；
（II ）若二面角P -CD -A 的大小为45︒，求直线PA 与
平面PCE 所成角的正弦值
.
【解】（I ）延长AB ，交直线CD 于点M ， ∵E 为AD 中点，
1
∴AE =ED =AD ，
21
∵BC =CD =AD ，
2
∴ED =BC ，
∵AD //BC 即 ED //BC ，
∴四边形BCDE 为平行四边形，BE //CD ， ∵AB CD =M ， ∴M ∈CD ，
∴CM //BE ， ∵BE ⊂面PBE ， ∴CM //面PBE ，
∵M ∈AB ，AB ⊂面PAB ，
∴M ∈面PAB 故在面PAB 上可找到一点M 使得CM //面PBE .
（II ）过A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，连结PF ，过A 作AG ⊥PF 交PF 于点G ， ∵∠PAB =90 ，PA 与CD 所成角为90 ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥CD ， ∵AB CD =M ，
∴PA ⊥ABCD ， ∵EC ⊂面ABCD ， ∴PA ⊥EC ，
∵EC ⊥AF 且AF AP =A ， ∴CE ⊥面PAF ， ∵AG ⊂面PAF ， ∴AG ⊥CE ，
∵AG ⊥PF 且AG AF =A ， ∴AG ⊥面PFC ，
∴∠APF 为所求PA 与面PCE 所成的角， ∵PA ⊥面ABCD ，∠ADC =90 即AD ⊥DC . ∴∠PDA 为二面角P -CD -A 所成的平面角, 由题意可得∠PDA =45 ，而∠PAD =90 , ∴PA =AD ,
∵BC =CD , 四边形BCDE 是平行四边形，∠ADM =90 ， ∴四边形BCDE 是正方形， ∴∠BEC =45 ，
∴∠AEF =∠BEC =45 ，
∵∠AFE =90 ，
AE ，
∴AF AD
AF ，
∴tan ∠APF ===AP AP 1
∴sin ∠APF =.
3
5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ；
（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =
2
HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 3
【解析】（Ⅰ）证明：找到AD 中点I ，连结FI ，
∵矩形OBEF ,∴EF OB
∵G 、I 是中点，∴GI 是△ABD 的中位线
1
∴GI ∥BD 且GI =BD
2
∵O 是正方形ABCD 中心
1
∴OB =BD
2
∴EF ∥GI 且EF =GI
∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG ∥FI
∵FI ⊂面ADF ∴EG ∥面ADF
（Ⅱ）O -EF -C 正弦值
解：如图所示建立空间直角坐标系O -
xyz
z ∥
x
A
B 0，-
0，C
设面CEF 的法向量n 1=(x ，y ，z )
⎧n 1⋅EF =(
x ，y ，z )⋅00==0⎪
⎨
0，2=+2z =0⎪n 1⋅CF =(
x ，y ，z )⋅⎩
()0，
0，E 0，-2，F (0，0，2)
)()
(
(
)
)
⎧x =⎪
得：⎨y =0
⎪z =1⎩
1 ∴n 1=0，
)
∵OC ⊥面OEF ，
OEF ∴面的法向量n 2=(1，0，
0)
n 1⋅n 2 cos
n 2>===
n 1n 2
sin = 2
（Ⅲ）∵AH =HF
3
2 24⎫
0，2=0∴AH =AF =⎪⎪ 555⎝⎭
z )
设H (x ，y ，
)
4⎫
0∴AH =x y ，z =⎪⎪
5⎝⎭
⎧⎪x ⎪⎪
得：⎨y =0
⎪4⎪z =
5⎪⎩
(
)
⎛4⎫
BH =
⎪ ⎪5⎭⎝
BH ⋅n 1 cos ==BH n 1
6、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方
形，AF =2FD ，∠AFD =90，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
【解析】 ⑴
∵ABEF 为正方形 ∴AF ⊥EF ∵∠AFD =90︒ ∴AF ⊥DF ∵DF EF =F
∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC
⑵ 由⑴知∠DFE =∠CEF =60︒ ∵AB ∥EF AB ⊄平面EFDC
EF ⊂平面EFDC
∴AB ∥平面ABCD
AB ⊂平面ABCD
∵面ABCD 面EFDC =CD ∴AB ∥CD , ∴CD ∥EF ∴四边形EFDC 为等腰梯形
以E 为原点，如图建立坐标系，设FD =a
E (0，0，0)
⎛a ⎫
B (0，2a ，
0) C ，0⎪ 2⎪⎝⎭
A (2a ，2a ，0)
⎛a ⎫
，-2a ，EB =(0，2a ，
0)，BC = AB =(-2a ，0，0) ⎪ 2⎪⎝⎭
设面BEC 法向量为m =(x ，y ，z ).
⎧2a ⋅y 1=0⎧m ⋅EB =0⎪⎪
，即⎨a
⎨ ⋅z 1=0⎪⋅x 1-2ay 1+⎪⎩m ⋅BC =0⎩
2x 1y 1=0，
z 1=-1
m =
0，-1
)
设面ABC 法向量为n =(x 2，y 2，z 2)
⎧a ⎧n ⋅BC =02=0⎪x 2-2ay 2+⎪
.
即 ⎨2⎨
⎪2ax =0⎪⎩n ⋅AB =0⎩
2
x 2=0，y 2=
z 2=4
n =04
()
设二面角E -BC -A 的大小为θ
.
m ⋅n cos θ==m ⋅n
∴二面角E -BC -
A 的余弦值为
7、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5, AC =6，点E , F 分别在AD , CD 上，AE =CF =
5
，EF 交BD 于点H ．将∆DEF 沿EF 折到4
∆
D ' EF 位置，OD '=
（Ⅰ）证明：D 'H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B -D 'A -C 的正弦值．
【解析】⑴证明：∵AE =CF =
∴EF ∥AC ．
AE CF 5
=，∴，
4AD CD
∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ， ∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，∴EF ⊥D 'H ． ∵AC =6，∴AO =3；
又AB =5，AO ⊥OB ，∴OB =4， ∴OH =
AE
⋅OD =1， AO
∴DH =D 'H =3， ∴OD '=OH +D ' H ， ∴D ' H ⊥OH ． 又∵OH I EF =H ， ∴D ' H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H -xyz ．
2
2
2
B (5，0，0)，C (1，3，0)，D ' (0，0，3)，A (1，-3，0)，
uu u r uuur uuu r
AB =(4，3，0)，AD ' =(-1，3，3)，AC =(0，6，0)， u r
设面ABD ' 法向量n 1=(x ，y ，z )，
⎧x =3⎧⎧4x +3y =0⎪n 1⋅AB =0⎪由⎨ 得⎨，取⎨y =-4， ⎪⎪z =5⎩n 1⋅AD '=0⎩-x +3y +3z =0
⎩u r
∴n 1=(3，-4，5)．
u u r
同理可得面AD ' C 的法向量n 2=(3，0，1)，
u r u u r n 1⋅n 2=∴cos θ=
n 1n 2∴sin θ=
8、（2016年全国III 高考）如图，四棱锥P -ABC 中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，
AB =AD =AC =3，PA =BC =4，M 为线段AD 上一点，AM =2MD ，N 为PC
的中点．
（I ）证明MN 平面PAB ；
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值
.
⎧2x -4z =0⎧⎪⋅=0⎪设=(x , y , z ) 为平面PMN 的法向量，则⎨，即⎨，可取
x +y -2z =0⎪⎪⎩⋅=0⎩2
=(0, 2, 1) ，
于是|cos
, >|=
8. =
25
9、（2016年浙江高考）如图, 在三棱台ABC -DEF 中, 平面BCFE ⊥平面
ABC , ∠ACB =90 , BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.
(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；
(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值
.
（II ）方法一：
过点F 作FQ ⊥AK，连结BQ ．
因为BF ⊥平面AC K，所以BF ⊥AK，则AK⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK． 所以，∠BQF 是二面角B-AD -F 的平面角．
在Rt ∆AC K中，AC =3，C K=
2，得FQ =
． 在Rt ∆B
QF 中，FQ =
，BF =
cos ∠BQF =． ．
4
所以，二面角B-AD -
F 的平面角的余弦值为
立体几何
一、选择题
1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A.
111
B. C. D.1 632
【答案】A
2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为
1212122 （A ）+π （B ）+π （C ）+π （D ）1+π
3333366
【答案】C
3、（2016年全国I 高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相
28π
垂直的半径. 若该几何体的体积是
3
（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π
【答案】A
4、（2016年全国I 高考）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面
ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为
（A
【答案】A
1（B
） （C
（D ）
325、（2016年全国II 高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C
6、（2016年全国III 高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体
的三视图，则该多面体的表面积为
（A
）18+（B
）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B
7、（2016年全国III 高考）在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若
AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是
（A ）4π （B ）【答案】B
二、填空题
1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan
9π
2
（C ）6π （D ）
32π
3
2
，则该正四棱柱的高等于
____________ 3
【答案】2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．
3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单
位：m ），则该四棱锥的体积为_______m.
3
【答案】2
4、（2016年全国II 高考） α, β是两个平面，m , n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n , m ⊥α, n //β，那么α⊥β.[ （2）如果m ⊥α, n //α，那么m ⊥n . （3）如果α//β, m ⊂α，那么m //β.
（4）如果m //n , α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
2
5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm，
3
体积是 cm.
【答案】72 32 6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°. 若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是
.
【答案】
1 2
三、解答题
1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，
PA =PD ，AB ⊥AD ，
AB =1，AD =
2，AC =CD
（1）求证：PD ⊥平面PAB ；
（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
（3）在棱PA 上是否存在点M ，使得BM //平面PCD ？若存在，求说明理由.
【解】⑴∵面PAD 面ABCD =AD
面PAD ⊥面ABCD
AM
的值；若不存在，AP
∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB
⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO
∵CD =AC =∴CO ⊥AD ∵PA =PD ∴PO ⊥AD
以O 为原点，如图建系
易知P (0，0，1) ，B (11，，0) ，D (0，-1，0) ，C (2，0，0) ，
C D
z P
A
B
，，-1) ，PD =(0，-1，-1) ，PC =(2，0，-1) ，CD =(-2，-1，0) 则PB =(11
设n 为面PDC 的法向量，令n =(x 0，y 0,1) ⎧n ⋅PD =0 ⎛1⎪⎫
⇒n = ，-1,1⎪，则PB 与面PCD 夹角θ有
⎨
⎝2⎭⎪⎩n ⋅PC =0
sin θ=cos
AM 设=λ，M (0, y ', z ' )
AP
由（2）知A (0,1,0)，P (0,0,1)，AP =(0, -1,1)，B (1,1,0)，AM =(0, y ' -1, z ' )
有AM =λAP ⇒M (0,1-λ, λ)
∴BM =(-1, -λ, λ)
∵BM ∥面PCD ，n 为PCD 的法向量
∴BM ⋅n =0
1
即-+λ+λ=0
21∴λ=
4
AM 1
∴综上，存在M 点，即当=时，M 点即为所求.
AP 4
2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ' 的
直径，FB 是圆台的一条母线.
（I ）已知G , H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =
1
AC
=，AB =BC . 求二面角F -BC -A 的余弦值
. 2
【解】(Ⅰ) 连结FC ，取FC 的中点M ，连结GM, HM ， 因为GM//EF，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ； 又因为MH//BC，BC ⊂平面ABC ，
B
MH ⊄平面ABC ，
所以MH//平面ABC ； 所以平面GHM//平面ABC ，
由GH ⊂平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ， AB =BC ∴O A ⊥OB
以为O 原点，分别以OA, OB, O O '为x, y, z 轴， 建立空间直角坐标系．
1
EF =FB =AC =2, AB =BC ，
2
O O '=BF 2-(BO -FO ) 2=3，
于是有, 0, 0) ，, 0, 0) ，3, 0) ，, 3) ， 可得平面FBC 中的向量=(3, 3) ，=(2, 2, 0) , 于是得平面FBC 的一个法向量为n 1=(-, , 1) ， 又平面ABC 的一个法向量为n 2=(0, 0, 1) ， 设二面角F -BC -A 为θ，
则cos θ=
=
17
． =77
7
． 7
二面角F -BC -A 的余弦值为
3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形AAOO 11（及其内部）绕的OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为
2
π
π， A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AAOO 11的同侧。 3
（1）求三棱锥C -O 1A 1B 1的体积；
（2）求异面直线BC 1与AA 1所成的角的大小。 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h =1，底面半径r =1． 确定∠A1O1B1=
π
3
．计算S ∆O1A1B1后即得.
（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，根据BB1//AA1，知∠C BB1或其补角为直线B1C 与AA1所成的角．确定∠C OB=
π
3
，C B=1．得出∠C B1B=
π
4
．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高h =1，底面半径r =1．
B的长为由A11
ππ，可知∠A1O1B1=． 33
1 S ∆O1A1B1=O1A1⋅O1B1⋅sin ∠A1O1B1=
21 V C -O1A1B1=S ∆O1A1B1⋅h =
3
（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则BB1//AA1， 所以∠C B1B或其补角为直线B1C 与AA1所成的角．
C 长为由A
2π2π
，可知∠AOC =， 33
又∠AOB=∠A1O1B1=
π
3
，所以∠C OB=
π
3
，
从而∆C OB为等边三角形，得C B=1． 因为B1B⊥平面AOC ，所以B1B⊥C B． 在∆C B1B中，因为∠B1BC =
π
2
，C B=1，B1B=1，所以∠C B1B=
π
4
，
从而直线B1C 与AA1所成的角的大小为
π
．
4
4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD //BC ，∠ADC =∠PAB =90︒，
1
BC =CD =AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒.
2
（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM //平面PBE ，
并说明理由；
（II ）若二面角P -CD -A 的大小为45︒，求直线PA 与
平面PCE 所成角的正弦值
.
【解】（I ）延长AB ，交直线CD 于点M ， ∵E 为AD 中点，
1
∴AE =ED =AD ，
21
∵BC =CD =AD ，
2
∴ED =BC ，
∵AD //BC 即 ED //BC ，
∴四边形BCDE 为平行四边形，BE //CD ， ∵AB CD =M ， ∴M ∈CD ，
∴CM //BE ， ∵BE ⊂面PBE ， ∴CM //面PBE ，
∵M ∈AB ，AB ⊂面PAB ，
∴M ∈面PAB 故在面PAB 上可找到一点M 使得CM //面PBE .
（II ）过A 作AF ⊥EC 交EC 于点F ，连结PF ，过A 作AG ⊥PF 交PF 于点G ， ∵∠PAB =90 ，PA 与CD 所成角为90 ， ∴PA ⊥AB ，PA ⊥CD ， ∵AB CD =M ，
∴PA ⊥ABCD ， ∵EC ⊂面ABCD ， ∴PA ⊥EC ，
∵EC ⊥AF 且AF AP =A ， ∴CE ⊥面PAF ， ∵AG ⊂面PAF ， ∴AG ⊥CE ，
∵AG ⊥PF 且AG AF =A ， ∴AG ⊥面PFC ，
∴∠APF 为所求PA 与面PCE 所成的角， ∵PA ⊥面ABCD ，∠ADC =90 即AD ⊥DC . ∴∠PDA 为二面角P -CD -A 所成的平面角, 由题意可得∠PDA =45 ，而∠PAD =90 , ∴PA =AD ,
∵BC =CD , 四边形BCDE 是平行四边形，∠ADM =90 ， ∴四边形BCDE 是正方形， ∴∠BEC =45 ，
∴∠AEF =∠BEC =45 ，
∵∠AFE =90 ，
AE ，
∴AF AD
AF ，
∴tan ∠APF ===AP AP 1
∴sin ∠APF =.
3
5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB =BE =2. （I ）求证：EG ∥平面ADF ；
（II ）求二面角O -EF -C 的正弦值； （III ）设H 为线段AF 上的点，且AH =
2
HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值. 3
【解析】（Ⅰ）证明：找到AD 中点I ，连结FI ，
∵矩形OBEF ,∴EF OB
∵G 、I 是中点，∴GI 是△ABD 的中位线
1
∴GI ∥BD 且GI =BD
2
∵O 是正方形ABCD 中心
1
∴OB =BD
2
∴EF ∥GI 且EF =GI
∴四边形EFIG 是平行四边形 ∴EG ∥FI
∵FI ⊂面ADF ∴EG ∥面ADF
（Ⅱ）O -EF -C 正弦值
解：如图所示建立空间直角坐标系O -
xyz
z ∥
x
A
B 0，-
0，C
设面CEF 的法向量n 1=(x ，y ，z )
⎧n 1⋅EF =(
x ，y ，z )⋅00==0⎪
⎨
0，2=+2z =0⎪n 1⋅CF =(
x ，y ，z )⋅⎩
()0，
0，E 0，-2，F (0，0，2)
)()
(
(
)
)
⎧x =⎪
得：⎨y =0
⎪z =1⎩
1 ∴n 1=0，
)
∵OC ⊥面OEF ，
OEF ∴面的法向量n 2=(1，0，
0)
n 1⋅n 2 cos
n 2>===
n 1n 2
sin = 2
（Ⅲ）∵AH =HF
3
2 24⎫
0，2=0∴AH =AF =⎪⎪ 555⎝⎭
z )
设H (x ，y ，
)
4⎫
0∴AH =x y ，z =⎪⎪
5⎝⎭
⎧⎪x ⎪⎪
得：⎨y =0
⎪4⎪z =
5⎪⎩
(
)
⎛4⎫
BH =
⎪ ⎪5⎭⎝
BH ⋅n 1 cos ==BH n 1
6、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方
形，AF =2FD ，∠AFD =90，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
【解析】 ⑴
∵ABEF 为正方形 ∴AF ⊥EF ∵∠AFD =90︒ ∴AF ⊥DF ∵DF EF =F
∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC
⑵ 由⑴知∠DFE =∠CEF =60︒ ∵AB ∥EF AB ⊄平面EFDC
EF ⊂平面EFDC
∴AB ∥平面ABCD
AB ⊂平面ABCD
∵面ABCD 面EFDC =CD ∴AB ∥CD , ∴CD ∥EF ∴四边形EFDC 为等腰梯形
以E 为原点，如图建立坐标系，设FD =a
E (0，0，0)
⎛a ⎫
B (0，2a ，
0) C ，0⎪ 2⎪⎝⎭
A (2a ，2a ，0)
⎛a ⎫
，-2a ，EB =(0，2a ，
0)，BC = AB =(-2a ，0，0) ⎪ 2⎪⎝⎭
设面BEC 法向量为m =(x ，y ，z ).
⎧2a ⋅y 1=0⎧m ⋅EB =0⎪⎪
，即⎨a
⎨ ⋅z 1=0⎪⋅x 1-2ay 1+⎪⎩m ⋅BC =0⎩
2x 1y 1=0，
z 1=-1
m =
0，-1
)
设面ABC 法向量为n =(x 2，y 2，z 2)
⎧a ⎧n ⋅BC =02=0⎪x 2-2ay 2+⎪
.
即 ⎨2⎨
⎪2ax =0⎪⎩n ⋅AB =0⎩
2
x 2=0，y 2=
z 2=4
n =04
()
设二面角E -BC -A 的大小为θ
.
m ⋅n cos θ==m ⋅n
∴二面角E -BC -
A 的余弦值为
7、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB =5, AC =6，点E , F 分别在AD , CD 上，AE =CF =
5
，EF 交BD 于点H ．将∆DEF 沿EF 折到4
∆
D ' EF 位置，OD '=
（Ⅰ）证明：D 'H ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B -D 'A -C 的正弦值．
【解析】⑴证明：∵AE =CF =
∴EF ∥AC ．
AE CF 5
=，∴，
4AD CD
∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ， ∴EF ⊥BD ，∴EF ⊥DH ，∴EF ⊥D 'H ． ∵AC =6，∴AO =3；
又AB =5，AO ⊥OB ，∴OB =4， ∴OH =
AE
⋅OD =1， AO
∴DH =D 'H =3， ∴OD '=OH +D ' H ， ∴D ' H ⊥OH ． 又∵OH I EF =H ， ∴D ' H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H -xyz ．
2
2
2
B (5，0，0)，C (1，3，0)，D ' (0，0，3)，A (1，-3，0)，
uu u r uuur uuu r
AB =(4，3，0)，AD ' =(-1，3，3)，AC =(0，6，0)， u r
设面ABD ' 法向量n 1=(x ，y ，z )，
⎧x =3⎧⎧4x +3y =0⎪n 1⋅AB =0⎪由⎨ 得⎨，取⎨y =-4， ⎪⎪z =5⎩n 1⋅AD '=0⎩-x +3y +3z =0
⎩u r
∴n 1=(3，-4，5)．
u u r
同理可得面AD ' C 的法向量n 2=(3，0，1)，
u r u u r n 1⋅n 2=∴cos θ=
n 1n 2∴sin θ=
8、（2016年全国III 高考）如图，四棱锥P -ABC 中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，
AB =AD =AC =3，PA =BC =4，M 为线段AD 上一点，AM =2MD ，N 为PC
的中点．
（I ）证明MN 平面PAB ；
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值
.
⎧2x -4z =0⎧⎪⋅=0⎪设=(x , y , z ) 为平面PMN 的法向量，则⎨，即⎨，可取
x +y -2z =0⎪⎪⎩⋅=0⎩2
=(0, 2, 1) ，
于是|cos
, >|=
8. =
25
9、（2016年浙江高考）如图, 在三棱台ABC -DEF 中, 平面BCFE ⊥平面
ABC , ∠ACB =90 , BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.
(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；
(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值
.
（II ）方法一：
过点F 作FQ ⊥AK，连结BQ ．
因为BF ⊥平面AC K，所以BF ⊥AK，则AK⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK． 所以，∠BQF 是二面角B-AD -F 的平面角．
在Rt ∆AC K中，AC =3，C K=
2，得FQ =
． 在Rt ∆B
QF 中，FQ =
，BF =
cos ∠BQF =． ．
4
所以，二面角B-AD -
F 的平面角的余弦值为