金融中的统计方法

第23章检验投资组合有效性的统计方法：一个综述∗

Jay Shanken

本文将回顾用于检验投资组合（包括或者不包括无风险资产）均值—方差有效性的统计方法。讨论的主题包括估计期望收益和beta 之间线性关系系数的两步(two-pass)方法的渐进性质；两步估计的变量误差(errors-in-variables)问题；期望收益对beta 线性多元检验的小样本性质及其经济解释。

1. 引言

投资组合构建中风险和期望收益之间的权衡是现代金融理论关注的焦点。本章将探讨评价这种权衡以及检验投资组合“有效性”的统计方法，探讨的重点在于方法论而不在于实证研究的结果。

形式上，投资组合通常以一组证券或者资产的权重之和等于1来描述。组合的收益率等于相应证券收益率的加权平均数。这里，收益率指的是时期内价格的变化加上至期末收到的所有现金流（利息或股利），再除以期初的价格。在单个时期里，如果可用投资的收益率服从联合正态分布，那么一个风险厌恶型的（严格凹的效用函数）投资者会偏好期望收益，厌恶收益的变化1。为了使得期望效用最大化，这样的投资者将按有效投资组合来组合证券，也即组合在（ⅰ）给定期望收益下具有可能的最小收益方差和（ⅱ）给定方差下具有最大期望收益。更一般地，满足条件（ⅰ）的所有投资组合称为最小方差投资组合2。现在考虑检验一个给定的投资组合是否满足这些条件的统计方法。

假设已知一组N 个有风险证券和一个投资组合p 。证券i 在时期t 的收益记为R it ，投

，资组合在时期t 的收益记为R pt 。这N +1个收益是线性独立的。众所周知[Fama（1976）

Roll （1977）和Ross （1977）]p 是一个最小方差投资组合，当且仅当存在一个常数，γ0p ，使得证券期望收益向量，r 1, K r N ，是证券关于R p 的beta 向量的精确线性函数, 即， r i =γ0p +βi (r p −γ0p ), i =1, 2, K , N , （1.1）其中r p 是投资组合p 的期望收益，beta 是（已实现的）证券收益对投资组合p 收益的时间序列回归中的斜率系数：

R it =αi +βi R pt +εit 且E (εit )=E (εit R pt )=0 （1.2）此外，一个最小方差投资组合p 是有效的，当且仅当满足附加约束r p >γ0p ，其中“零beta 感谢Dave Chapman，Aditya Kaul，Jonathan Lewellen，John Long，Ane Tamayo，和Guofu Zhou对初稿有益的评论。

1 参见Chamberlain （1983），包括更多的一般条件。

2 为方便起见，这一定义不包括全局最小方差投资组合，即与期望收益无关的最小收益方差投资组合。同样，下面我们假设至少有两个投资组合具有截然不同的期望收益。

∗

率（zero-beta ratio）”γ0p ，是任何证券（或者投资组合）相对于p ，beta 值为零时的期望收益。这样，在有效投资组合的情况下，期望收益是beta 的线性递增函数。

最小方差性质和期望收益——beta 关系的等价源于这样一个事实，即beta 系数决定一个证券对投资组合p 总风险（方差）的边际贡献。这一等价关系对于检验投资组合的有效性是非常重要的，因为假设可以看成是多变量线性回归系统（1.2）的一个参数约束。将（1.1）和（1.2）结合起来，得到假设

H 01：αi =γ0p (1−βi )，i =1, K , N , （1.3）它是时间序列回归中对截距和斜率的联合约束。这个条件表明，存在一个数γ0p ，使得N 个给定证券之间上述的截距－斜率关系成立。如果投资者可以一个已知的无风险利率r f ，借入或贷出资金，而且假定组合p 对于有风险证券和无风险资产的所有组合来说都是有效的，那么γ0p =r f 3。否则，γ0p 是未知的，必须加以估计。

任何N −1个证券的α对1－β的比率都等于余下的那个证券的比率。因此，根据H 01，

（α和β）被隐含在（1.3）中的N −1个约束简化为只有N +1个参数（β和γ0p ）。2N 个参数

[Gibbons（1982）]。在统计意义上，当γ0p 未知时，约束是非线性的，因为γ0p 与βip 相乘进入检验而两者都必须加以估计。

2. 包括无风险资产的有效性检验

2.1. 单变量检验

在讨论一般情况之前，先关注一个简单得多的情况，即γ0p 已知且等于无风险证券的收益。此时，考虑系统（1.2）的超额收益形式是很方便的；即，将R it 视为证券i 超过无风险利率的收益，而r i 是相应的期望超额收益。4这时，（1.1）中的超额零beta 率就等于零，根据（1.3），（1.2）中时间序列回归的截距也等于零。因而，现在关注的主要假设是

H 02：αi =0，i =1, K , N （2.1）对超额收益回归模型这一约束的检验，就是在存在无风险资产的情况下，对已知投资组合是否满足最小方差性质的检验。

Black,Jensen，和Scholes （1972）一个早期研究，使用1931年—1965年间的月超额收益率考察了等权（equal-weighted ）股票市场指数的有效性。等权指数被用作所有金融资产的价值加权(Value-weighted)市场投资组合的代理变量。在Sharpe （1964）和Lintner （1965）无风险资产的空头等于借款，而且假定借款和贷款的无风险利率相同。

在本文中，所有概率陈述可以看成是以无风险利率序列为条件。一般而言，当无风险利率随时间变化时，总收益和超额收益时间序列设定并不需要严格一致。 43

的资本资产定价模型（CAPM ）－—金融市场均衡理论——的假设条件下，后面的投资组合被认为是有效投资组合。Black ，Jensen, 和Scholes 报告了对一组10个股票投资组合截距的t 检验中，有两个组合在0.05水平（双侧）上是显著的。对那些具有相对高beta 估计值的投资组合，估计的截距是负值，而对于那些较低beta 值的投资组合，估计的截距是正值。

2.2. 多变量检验

2.2.1. 截距的F 检验

最近，Gibbons ，Ross ，和Shanken （1989）将H 02的多变量F 检验应用于Black ，Jensen ，和Scholes 的数据，未能拒绝截距都为零的联合假设[参见Jobson 和Korkie （1982，1985）以及MacKinlay （1987）相关的研究]。F 检验的运用是以收益向量R p 为条件，假设（1.2）中各期扰动项相互独立，且服从联合正态分布，各期的均值都为零，非奇异的横截面协方差

具有自由度为N 和T-N-1矩阵Σ，T 是给定的N 个资产和投资组合p 收益时间序列的长度。

的F 统计量，等于(T −N −1)N

−1(T −2)−1倍的Hotelling T 2统计量 ˆ−1αˆ′∑ˆ/1+p 2/s 2（2.2） Q ≡T αp , []

ˆ是N 维的OLS 截距估计值向其中p 和s p 是投资组合p 超额收益的样本均值和标准差；α

ˆ是∑的无偏估计，由OLS 残差的叉积（cross products）除以T-2而得。量，∑

给定R p ，α估计值的条件协方差矩阵，等于（2.2）中的分母，它是R p 的函数，和残

2差协方差矩阵Σ之积除以T 。因此，T 统计量是α的二次型，以α的估计协方差矩阵的逆

更一般地，可以证明Q 是为权重。当N ＝1，Q 就是普通单变量模型截距的t 统计量的平方。

α的单变量t 统计量平方的最大值，这里的最大是对N 个资产所有投资组合取的5。因此F 检验并不要求R p 本身服从正因为Q 对于无条件R p 和条件R p 都有相同的分布，

态分布；但假定扰动项服从联合正态分布。Affleck-Graves 和McDonald （1989）给出了模拟证据，表明背离残差正态性的多变量检验仍然是稳健的，尽管Mackinlay 和Richardson （1991）报告了条件异方差性的灵敏度。Zhou （1993）得出了类似的结论。

给出我们的假设条件，零截距约束意味着对于无条件R p 和条件R p ，N 个资产的预期超额收益和beta 值成比例变化。在一个给定的样本期，异常高或者异常低的组合p 的收益，并不能说明截距是否为零。因此，（2.2）中的检验统计量取决于组合p 的平均收益，但仅通过平方值而不是其水平值显示。投资组合有效性需要附加的约束，即事前平均超额收益r p 大于零，然而，这一假设能够也必须通过样本均值p 的简单t 检验单独评估6。 5

6 参见Gibbons ，Ross ，和Shanken ，第六部分，关于这一关系的证明和经济解释。因为在有效性的零假设下Q 和p 独立，联合假设——截距为零和r p >0（至少两个统计量中的一个，其概率在相应的尾部面积内）——下的

p 值等于两个p 值的和减去它们的乘积。

2.2.2.F 检验的功效和经济解释

Gibbons ，Ross ，和Shanken （1989）给出了F 统计量的一个有趣的经济解释，但需要引入另外的概念。假设SH （p ）等于r p /σp ，即组合p 的预期超额收益和收益标准差的比率，其中sh (p )表示相应的样本数量。这些报酬/风险度量被称为Sharpe 比率。利用这一术语，一个有效的投资组合的特征是具有最大可能的Sharpe 比率，而一个最小方差投资组合是最大化Sharpe 比率的平方（绝对值）7。如果以预期超额收益为纵轴，收益的标准差为横轴，将投资组合表示成曲线图中的点，那么组合p 的Sharpe 比率就等于由原点经过p 点的射线的斜率；对于最小方差投资组合，射线是曲线的切线。

Gibbons，Ross ，和Shanken 指出（2.2）中的Q 等于

T sh (∗)−sh (p )/1+sh (p )，（2.3） 222[][]

其中sh (∗)是所有组合中具有最大平方值的样本Sharpe 比率。考察（2.3）的分子，发现在其他条件都相同的情况下，F 统计量越大，与样本比率的最大平方值相比，组合p 的Sharpe 比率的平方越小。因此，当组合p 远离事后最小方差边界时，F 统计量就大。

当然，在任何样本中，都将存在样本Sharpe 比率高于p 的投资组合，即使p 确实是一个事前最小方差组合。F 检验为推断提供了基础，即差额sh (∗)−sh (p )是否在零假设下的2

合理预期随机结果的范围内。这一评价自然地依赖于α估计值的准确度。

在上述的假设条件下，Gibbons ，Ross ，和Shanken 进一步指出，在备择假设之下，F 统计量服从具有非中心化参数的非中心F 分布

λ＝T SH (∗)2−SH (p )2/1+sh (p )2. （2.4） [][]

此外，分布是以R p 为条件的，R p 是时间序列回归中的自变量，分布通过事后Sharpe 比率依赖于R p 。从这一意义上，sh (p )可以看成是一个常数，因此，（2.4）中的非中心化参数就是（2.3）中样本统计量Q 的（条件）总体指标。在p 是最小方差投资组合的零假设下，p 达到事前比率的最大平方值。此时，λ等于零，我们得到和前面一样一个中心F 分布。众所周知，F 检验的功效是非中心化参数的递增函数。因此，给定sh (p )，功效越大，SH (p )的平方距离最大（总体）比率的平方越远；即和事前有效性的偏差越大。如果保持事前偏差不变，随着sh (p )平方的增大，功效降低，反映了样本数量（quantity ）高的时候截距估计的低（条件）精确度。

ˆ必须是可逆的，为了进行F 检验，残差协方差矩阵∑这就要求N 至多等于T －2。然而，Gibbons ，Ross ，和Shanken （1989）的分析表明，为了使得检验功效最大，应该使用小得多7 参见Merton （1973a ）以及Litzenberger 和Huang （1988）。

的N 值。这是源于这样一个事实，即必须估计的协方差的个数随着资产个数的增加而迅速增加。虽然N 的增大可以通过加大最大Sharpe 比率而增加（2.4）的非中心化参数，但显然这一好处会被估计∑及其逆中增加的噪声所抵消。

可供分析的股票成千上万，而要求N （大大）小于T ，因此需要某些程序以减少资产的个数。虽然可以使用股票的子集，但是更通常的是将检验应用于股票的投资组合。对于一个给定的N ，这可以减小残差的方差，从而提高α估计的精确度8。另一方面，正如Roll （1979）注意到的那样，个体股票的期望收益偏差在投资组合中会互相抵消，从而降低功效。因此，检验的预期功效取决于研究人员关于投资组合无效性可能来源的先验信念9。

2.3. 其他检验

似然比检验（LRT ）和拉格朗日乘数（Rao 得分）检验统计量都是（2.2）中的T 统计量（修正的Wald 检验）的单调变换，因此不需要在F 检验之外单独考虑10。特别地，

2LRT =T ln [1+Q /(T −2)]. （2.5） Lo和MacKinlay （1990）强调，多变量检验中使用分组的投资组合，加之探查各种潜在相关的公司的排序变量，会导致实质上的“数据探查（data-snooping ）”偏倚；也就是，即使有效性的零假设为真也会存在统计显著性。在这点上，由Affleck-Graves 和McDonald （1990）提出的多变量检验的一种可供选择的对角形式，是令人感兴趣的，因为它不要求分组。就这点而论，它也避免了Roll 所关心建立的在投资组合基础上的检验的问题。在模拟中，对角检验(diagonal test)看起来具有合乎要求的功效特征，但是检验统计量的分布是未知的。接受某种近似分布理论对这种方法是有帮助的。

在本节的余下部分，将考虑多变量结构中的几种不同变形－联合置信区间近似有效性检验，检验有效性的贝叶斯方法，以及条件有效性的检验等。

2.3.1. 联合置信区间

在某种背景下人们对指数的均值－方差有效性感兴趣，主要目的是通过（1.1）的线性关系获得资产期望收益（统计上）的有效估计值。例如，在资本预算的应用中，一组项目的待定贴现率可以等于某些行业的投资组合（根据财务杠杆调整后）的期望收益。这里，偏离期望收益关系的大小是很重要的。在这样的情况下Shanken （1990，p.110）提出检查α的联合置信区间，因为在这一点上F 检验的p 值不是很有指示作用。

联合置信区间方法使用了这样一个事实，前面已经指出，（2.2）中的T 统计量等于α2

的单变量t 统计量平方的最大值，这里最大化是对给定资产所有可能投资组合取最大值11。联合置信区间由k 倍OLS 估计值样本标准误之内的α组成，其中常数k 是相对于T 分布的分位数，或者，等价地，是N (T −2)(T −N −1)乘以自由度为N 和T −N −1的F 分布的−12

使用投资组合还出于另一种动机。一些股票随时间而出现或者消失，使用投资组合可以使用比其他情况下更长的时间序列。加之，即使个别证券的β随时间变化，按某些经济特征定期排序形成的投资组合可以有相当稳定的β。注意在这种背景下，每一个投资组合的构成是随时间而变化的。

9 参见Mackinlay （1995）中有关功效问题的分析。

10 参见Evans 和Savin （1982）的相关研究。

11 参见Morrison （1976），第四章，关于联合置信区间的讨论。遵循相同的逻辑，这些方法的渐近形式

[例如，Shanken （1990）]基于卡方或正态分布。

分位数。作为选择，可以用Bonferroni 方法得到N 个α的（保守）联合置信区间。在这种情况下，将指定的误差概率除以N ，然后以自由度为T －2的t 分布计算常规置信区间。

2.3.2. 近似有效性的检验

在组合投资中，人们可能不仅关注期望收益，而且还关注给定发投资组合偏离有效性的程度。这反映在（2.4）的非中心化参数λ中，非中心化参数依赖于α和残差协方差矩阵Σ。Kandel 和Stambaugh （1987）以及Shanken （1987b ）利用多变量结构来建立近似有效性的检验。这使得研究者可以检验偏离均值－方差有效性的“经济意义”。这对于检验实证理论，例如前面提到的CAPM ，也是同样重要的。

Roll（1977）强调，推断股票指数代理变量的有效性并不能说明真实市场组合是否有效，而这是资产定价理论所要求的。然而，Kandel ，Stambaugh 和Shanken 指出，真实市场组合的有效性，以及对代理变量和市场之间相关性的先验认识，可以用来限制代理无效的程度。如果超过了这一限度，就拒绝真实市场组合的有效性。

例如，Shanken 在1953－1983年的数据的基础上，假定和等权股票替代指数的相关系数大于0.7，拒绝真实市场组合的有效性。这在某种程度上缓和了Roll 提出的可检验性问题，正如他也推测，最合理的替代指数应该和真实市场组合高度相关，无论真实市场组合是否有效。

2.3.3. 有效性的贝叶斯检验

Shanken （1987a ）利用给定正态性的条件下最小方差检验统计量的分布性质在零假设和备择假设下都已知的事实，提出了检验资产组合有效性的一种贝叶斯方法。Harvey 和Zhou （1990）以及Kandel ，McCulloch ，和Stambaugh （1995），通过考虑在多变量回归模型整个参数空间形成的先验分布，扩充了这一分析12。在这一检验的背景下，（2.4）的关系是至关紧要，因为它有助于评定偏离零假设的经济意义，以及相关的有意义的未知参数先验信息的形成。

2.3.4. 条件有效性的检验

迄今，我们都假设资产的beta 不随时间变化。但是，如果以描述不同经济状态的变量为条件，那么beta 完全可以变化。如果我们愿意设定相应的状态变量，例如利率，并假定和beta 有某种函数关系，那么很容易将回归框架扩展，以适应beta 的变化。

例如，假定有单个平稳、零均值的状态变量z t −1在t 时期初是已知的，而条件beta 为 βit −1=i +c i z t −1 （2.6）这里，i 是证券i 的长期平均beta ，c i 表示证券i 的条件beta 对状态变量变化的灵敏度。用βit −1代替（1.2）中的βi ，并假定εit 具有以z t −1和R pt 为条件的零均值，

R it =αi +i R pt +c i (z t −1R pt )+εit （2.7）这是扩展的回归方程，可以据此估计重要的参数并检验零截距约束。这种有效性检验的方法是Campbell （1985）和Shanken （1990）在跨期CAPM[Merton（1973b ）]中发展起来的13。除了随时间变化的beta 之外，组合p 的期望收益或风险也可以随时间而变化。这并不12

13 参见McCulloch 和Rossi （1990）相关的研究。参见Ferson ，Kandel ，和Stambaugh （1987）和Harvey （1989）相关的研究。

构成问题，因为如前面指出的，回归分析以组合p 的收益为条件。当（2.7）中的扰动项在随时间变化中，具有以R pt 和z t −1为条件的常数方差，联合零截距约束的F 检验仍然是适用的。然而，Shanken （1990）发现了条件残差异方差性的强有力证据，并使用基于截距估计的异方差性——一致协方差矩阵的渐近卡方检验[White（1984）]。这一方法也被MacKinlay 和Richardson （1991）所采用，用于研究以R p 的同期实现为条件的残差异方差性的影响。 3. 不包括无风险资产的有效性检验

因为美国短期国库券只是名义上的无风险，所以如果我们关心的是真实投资组合（经通货膨胀调整）的有效性，那么无风险资产的假设就可能是不合适的。即使是名义的投资组合，如果存在借款的限制[Black（1972）]，或者投资者的无风险借款利率大于短期国库券的利率

[Brennan（1971）]，那么有效投资组合的零beta 率就可能大于短期国库券的利率, 而必须加以估计。因此在这一节，我们将γ0p 视为未知参数，并研究（1.3）非线性约束的检验。（1.2）中的回归变量现在可以视为总收益或超额收益；在后一种情况中，γ0p 是超额零beta 率。

3.1. 传统的两步估计法

已知（1.3）关系式的“双线性”性质[Brown和Weinstein （1983）]，一个直观上吸引人的方法是首先需要从时间序列回归中估计每一个证券的α和β，然后将N 个α估计值对N 个1减去β估计值（不含常数项）进行横截面回归以估计γ0p 。Black ，Jensen ，和Scholes （1972）采用的这种方法是有效的[参见Blume 和Friend （1973）的相关讨论]。

另一种方法基本上来自Fama 和MacBeth （1973），是平均证券收益对beta 和常数项的横截面回归14。这种横截面回归（CSR ）的截距作为γ0p 的估计值，而beta 的斜率系数作为

在本文的余下部分中，我们主要关注“两步”方法的Fama-MacBeth γ1p ≡r p −γ0p 的估计15。

形式，因为它是文献中运用最多的方法16。

众所周知，由于共同的市场和行业因素，证券收益是横截面相关的，同时存在异方差。例如，小公司收益倾向于比大公司收益有更大的波动。其结果是，基于纯量协方差矩阵假定的标准误一般公式，对于Black ，Jensen ，Scholes ，Fama 和MacBeth 所进行的横截面OLS 回归（OLS CSR）来说就不合适了。

认识到这个问题，Fama 和MacBeth 按月进行CSR ，生成γ0p 和γ1p 估计值的时间序列。然后从这些时间序列中计算出均值，标准误，以及“t 统计量”，并按照通常的方式进行推断，这一方法有许多变形。这里，我们假定每一资产的β是单一时间序列在全时期的回归估计的。参见Jensen （1972）对这一方法早期发展的文献回顾。

1514 虽然γ0p 和γ1p 被视为分开的参数，但如果OLS CSR中p 是N 个资产的等权组合，就隐含地施加了约束γ1p =r p −γ0p 。Fama-MacBeth方法也可以用于资产定价的检验，这时“因素” 比方说是，宏观经济变量，而不是组合收益[如，Chen，Roll，和Ross（1986）以及Shanken 和Weinstein（1990）]，而对多个γ的约束不再合适。

16 这里总结的各种结论都有对Black ，Jensen ，和Scholes 设定的直接扩展。参见Shanken （1992）。

就象这些时间序列是独立同分布一样。因为月估计量的真实方差依赖于收益的协方差矩阵，横截面相关和异方差性就反映在月估计值的时间序列中。但是，由于在每个月的横截面回归中使用的是相同的beta 估计值，因此月的γ估计值就不是序列独立的。这一相关在传统的两步法中被忽略了。

由于beta 的估计误差，每一个月的横截面回归存在共同的误差成分，导致平均γ估计量的小样本分布难以评估。计量经济学文献有时将它称为“生成回归元”问题 [Pagan（1983）]。虽然beta 估计量的一致性（当T →∞）隐含了γ估计量的一致性，但从CSR 估计值时间序列计算出的“Fama-MacBeth 标准误”通常是渐近标准误的不一致估计[Shanken（1983，1992）]。

ˆ是由估计的β组成的对应的矩阵假设X 是1和β组成的N ×2矩阵[1N ，β]，X

N [1

ˆ。令R 是时期t 证券收益的N 维向量，是样本均值收益的N 维向量。用这些符，βt ]号，（1.1）可以表示成 ˆ−β （3.1）ˆΓ+error -γβR t =X Γ+error =X 1p

−1′ˆ是对应的估′)()≡, γ、“error ”是未预期收益的分量。如果A X X X ′而A 0p 1p [()]其中Γ≡(γ

ˆ，月估计量的均值是ΓˆR 。 ˆ≡(γˆ0，γˆ1)′≡A ˆt ≡A 计量，那么γ的二步估计量是Γt

因为γ的估计值是资产收益的线性组合，所以它们具有直观的吸引人的组合解释[Fama（1976），第九章]。注意AX 是一个2×2的单位矩阵。观察A 的第一行，发现γ0p 的估计值是beta （加权平均的资产beta ）为零的标准（权重之和等于1）组合的样本平均收益。同样地，风险溢价的估计值γ1p 是beta 为1的零投资组合（权重之和等于0）的平均收益——在无风险资产情况下组合p 的平均超额收益所具有的性质。

ˆt 的样本协根据（3.1），Shanken （1992）指出，计算Fama-MacBeth 标准误使用到的Γ

2方差矩阵收敛于A ∑A ′+M ，其中M 是一个2×2的矩阵，右下角元素为σp ，其他元素

都为017。第一项A ∑A ′，产生于（1.2）中的收益残差；其对角线元素捕捉了组合估计量的剩余变差（residual variation）。第二项M ，解释与R p 有关的“系统”变差，同时反映了γ0p 和γ1p 的估计值分别是beta 值为0和1时投资组合的收益这样一个事实。由此可以得出，组

ˆ1方差的下限。合p 的平均超额收益的方差是γ

前面指出，计算γ估计量标准误的传统方法忽视了beta 的估计误差。意识到这一测量

ˆ−Γ，是18： ˆ的渐近协方差矩阵，即多元正态极限分布的协方差矩阵Γ误差，Γ

18() 这是由于R t 的协方差矩阵是∑+ββ′σ2，而A β是M 的第二列。 p Gibbons（1980）独立推导出了Black ，Jensen ，和Scholes 估计量的渐近分布，是Shanken （1992）

(1+γ21p ′ /σ2p A ∑A +M , （3.2）2)ˆ的渐近协方差矩阵是∑/σ，ⅱ）由（3.1），（3.2）中的附加项源于这样的事实，ⅰ）βp

ˆ的测量误差对CSR 扰动项的影响与γ成比例。因此，传统的标准误过低，除了beta 的β1p

测量误差是不相干的情形，即在γ1p 等于0的零假设条件下19。γ的渐近置信区间总是要求使用调整后的标准误。

（3.2）中用一致估计值代替各个参数值，可以很容易得到渐近有效标准误。对γ0p 而

ˆ1/s p 。言，这等于将Fama-MacBeth 方差乘以变量误差（errors-in-variables ）调整项1+γ

对γ1p 而言，在和调整项相乘之前先将s p 从Fama-MacBeth 方差中减去，然后再加上。 2(22)

3.2. 有具体备择假设的线性检验

上述估计结果和γ1p 是否大于0的检验有关，它是p 为有效投资组合必要的条件。分析中假定期望收益为线性关系，然而，这是必须单独进行检验的。最简单的方法是在CSR 中包括beta 和其他自变量，并检验附加变量的系数是否不等于0。如果附加变量的系数不等于0，那么beta 就不是期望收益横截面变差的唯一决定因素，因此拒绝有效性。这就是Fama 和MacBeth （1973）使用的方法，他们用beta 的平方及残差的方差作为附加变量，结论是存在正的风险溢价，支持了beta 的线性性。和Black ，Jensen ，和Scholes （1972）的研究结

ˆ0显著大于短期国库券的利率而γˆ1小于市场指数的平均超额收益果相同，他们还发现了，γ

率。

为简单起见，假定附加的横截面变量不随时间变化，且没有测量误差，使前面的渐近分析易于修正。附加变量包含在X 矩阵中，每增加一个附加变量，矩阵M 就增加元素为0的一行和一列。于是，（3.2）给出的就是扩展的γ估计量的渐近协方差矩阵。请注意，即使有关联的自变量没有测量误差，beta 的测量误差也会影响附加变量系数的标准误。此外，在线性检验中应该一直包括调整项1+γ1p /σp ，因为γ1p 在线性假设下无须等于0。

和多变量方法不同，本节基于系数的检验，要求研究者建立一个具体的线性备择假设。当零假设被拒绝时，这是一个有利之处，因为检验提供了偏离线性性的具体信息。这种检验缺点是，对其他潜在的合适的可替代检验而言，它的功效是有限的，甚至全无。另外，还存在数据挖掘的内在倾向，也即，研究者有研究各种备择情况，发表那些名义上显示统计显著性的实验结果，而放弃那些“不成功的”实验的倾向。

当T →∞，多变量检验方法可以拒绝任何对期望收益线性性的偏离，检验功效趋于1。然而，这种具有“拟合优度”性质的方法并非没有缺点，对某些可供选择情况来说，它可能的一个特例。

19 在“多因素”背景下，调整项是因素风险溢价向量和加权矩阵的二次型，加权矩阵为因素协方差矩阵的逆。当零假设给定因素的风险溢价等于0时，渐近“t 统计量”总是要求调整项是混合的，因为在零假设下其他因素溢价不必等于0。

比更集中的检验缺乏效力。而且如同前面所讨论的一样，它也有自己的数据挖掘问题。

3.3. 最大似然和修正回归估计

Gibbons （1982）提出，用古典的最大似然估计（MLE ）同时估计（1.3）中的β和γ。因为MLE 是渐近有效的（当T →∞），所以将两步估计的有效性和MLE 的有效性进行比较就引起了关注。前面讨论的OLS 二步估计量的渐近分析，容易推广到基于样本方差和协方差估计的加权最小二乘（WLS ）或广义最小二乘（GLS ）估计量20。仅仅需要重新定义矩阵A 。

结果证明二步GLS 估计量的渐近协方差矩阵和MLE 的一样，因此，GLS 是渐近有效

事实上，Γ的二步GLS 估计量和一步Gauss-Newton （线性化）过程是相同的，Gibbons 的21。

用它来简化计算过程。随后，Kandel （1984）提出精确MLE 的一种简单计算方法，Shanken （1992）对其进行了扩展。

虽然当T →∞，两步估计是一致估计，但是它存在变量误差问题，因为β，横截面关系中的自变量存在测量误差。因此，斜率（风险溢价）估计量向零偏倚，而且这种偏倚通过增加证券的数目也不能消除；也就是，估计量不是N －一致的（N-consistent ）22。认识到这一点，早期研究将证券分组形成投资组合以减少beta 估计时的误差方差。考虑到这可能降低有效性，故运用复杂的方法确保投资组合beta 有大的散布。假设残差协方差矩阵是（近似）对角矩阵，Black ，Jensen ，和Scholes （1972）证明了最终估计量是N —一致的。

提出使用MLE 的同时，Gibbons （1982）推测，β和γ的联合估计可能为变量误差问题提供一个解决办法。但是，Amsler 和Schmidt （1985）的模拟结果显示，依照均方误差，横截面GLS 回归（GLS CSR）（他们称之为“Newton-Raphson ”）估计量优于MLE ；GLS 向上偏倚而MLE 向下偏倚。然而，Shanken （1992）提供了Gibbons 猜想的一些支持证据，残差协方差矩阵约束为对角矩阵的MLE 被证明是N －一致的。也就是说，MLE 的优点只能在有大量资产的时候实现。

二步估计量的一个修正形式也是尽管β和γ的联合估计是实现N －一致性的一个途径，

N －一致的[Litzenberger和Ramaswamy （1979）以及Shanken （1992）]。修正估计量是基于

ˆ′X ˆ的右下角元素存在系统偏倚引起的。将这样的观察，即二步估计量的不一致性是矩阵X

组合p 的收益时间序列作为条件，有：

ˆ′βˆ=β′β+tr (∑)/(Ts 2)，（3.3）E β p ()

其中tr (⋅)是矩阵对角线元素之和。因此，倘若残差协方差矩阵Σ是（近似）对角矩阵，将矩

ˆ/Ts 2，ˆ′X ˆ的右下角元素减去tr ∑阵X 就可以得到Γ的一个N －一致估计量23。当T →∞，p

估计量的渐进分布不受这一修正的影响24。事实上，无论使用的是收益的残差协方差矩阵还是收益的（总）协方差矩阵，得到的是相同的估计量。这是Litzenberger 和Ramaswamy （1979）在WLS 中最先注意到的。

21这是真的，尽管在CSR 中使用的β的OLS 估计量是无效的。同样，我们在合适的时候也假设施加了约束，γ1p

2320()()=r p −γ0p 。更正式地，它不收敛于组合p 的样本平均收益减去零β率，这一“风险的事后价格”。不幸的是，在有限样本中这会导致负对角元素。

24 同样推导了修正CSR 估计量的WLS 和GLS 形式，而没有测量误差的附加变量可以象在3.2节那样包括在内。参见前面引用的参考文献。Kim （1995）提出一种适合于使用从先验数据估计的β的MLE 过程。修正回归方法同样也可以使用先验β。在这种情况下，将时间序列回归得到的T ，s p ，和残差方差的估计值

ˆ1）向0衰减，衰减系数等于从古典的变量误差分析中，我们回想起，斜率估计量（γ

ˆ）的方差。该衰减系数小于1，因为后一个方差真实自变量（β）的方差除以代理变量（β

等于真实方差与测量误差的方差之和。容易证明，上述修正估计量的斜率分量等于回归斜率估计量除以衰减系数的估计量25。

MLE和修正CSR 估计的结果表明，传统的使用投资组合分组技术解决变量误差问题可能是不必要的。然而，还有一个尚未发现的有趣问题，那就是有很大一组证券的（修正）OLS 或WLS 估计相对于中等数量的组合和一个完全协方差矩阵的MLE 或GLS 估计的有效性。

3.4. 多变量检验

3.4.1似然比和横截面回归（CSR ） T 检验

MacBeth （1975）进行了多变量线性检验的第一步，他用Hotelling T 检验的一种变形

来评估Fama-MacBeth CSR的残差是否系统地偏离0。但是，这个检验没有完全考虑全部现有参数的不确定性。Gibbons （1982）在收益时间上独立且服从相同的联合正态分布的假定下，提出非线性约束（1.3）的似然比检验（LRT ）。推断因而是基于普通渐近卡方分布。和MacBeth 的方法不同，LRT 考虑了，至少是渐近地，全部有关的参数的不确定性。可是，正如我们即将看到的，渐近检验将碰到严重的小样本问题。

Shanken（1985）研究了LRT 和多变量T 检验之间的关系。他指出，（2.5）关系式对这一模型仍然成立，只要用下面的表达式代替Q ：

222ˆ−1e /1+γ2/s 2, （3.4） Q MLE =T e ′∑1MLE p

ˆΓ, e ≡−X MLE ()其中

′ˆ是残差协方差矩阵的无偏估计，s 2是组合p 收益的样本方差，而Γ()∑≡γ, γp MLE 0MLE 1MLE

是Γ的MLE 。Shanken 提到基于Γ的横截面GLS 回归（GLS CSR）估计的相应检验，例如CSR 检验（CSRT ）26。

3.4.2. 小样本推断

（3.4）的检验统计量是在无风险资产情况下（2.2）中Q 的直接推广，因为用无风险利

ˆ27。率和投资组合p 的平均超额收益分别代替γ0MLE 和γ1MLE ，可以从残差向量e 中得到α

代入（3.3），就可用于估计β。

25 Banz（1981）研究了当附加变量如公司规模在横截面回归中和β一起考虑在内时，γ的变量误差偏

倚问题。β的系数仍然向0偏倚，而“规模效应”则被夸大了。

26 参见Kandel （1984）和Roll （1985）关于LRT 和CSRT 各自的几何意义。

27 这遵循（时间序列）回归估计与回归变量均值之间的一般关系。

换句话说，（2.2）中Q 仅仅是（3.4）中Q MLE 的约束形式。这种平行关系说明T 分布在近似LRT 和CSRT 的小样本分布时可能是相当有用的282。用这种逻辑，(T −N +1)(N −2)−1(T −2)−1Q MLE （和相应的

的横截面参数，γ0p 和γ1p 。 CSRT 统计量）应该近似服从自由度为N −2和T −N +1的F 分布。这里，N −2代替无风险资产情况下的N ，因为现在要估计两个额外

Shanken（1985）进一步指出，在计算CRST “F 统计量”中忽略beta 的估计误差和遗

另一方面，忽视ΓMLE 漏变量误差调整项（（3.4）中的分母），会产生检验中精确p 值的下限。

的估计误差和将γ视为已知，会产生真实p 值的上限。在这种情况下，象2.2.1节那样计算“F 统计量”，自由度为N 和T −N −1[Shanken（1986）]。Zhou （1991）推导了LRT 的精确分布，发现它取决于一个必须加以估计的多余参数。同时他还给出了不依赖于未知参数的最优边界。

多变量检验基于小样本分析的推断和基于渐近卡方分布的推断有很大的不同。例如，尽管Gibbons （1982）在检验股票指数有效性时得出P 渐近值小于0.001，Shanken （1985）却报告真实p 值的小样本下限是0.75。这一分歧是由于极限卡方分布没有反映残差协方差矩阵估计中的误差引起的。在小样本中，残差协方差矩阵逆的估计很受干扰，而当资产数N 相对大于时间序列长度T 时，会发生严重的向上偏倚29。在Gibbons 的例子中，检验应用于N ＝40，T ＝60的子时期。Jobson 和Korkie （1982）使用Bartlett 校正因子得出了与Gibbons 的检验相似的结论[参见Stambaugh （1982）]。Amsler 和Schmidt （1985）发现这一校正和Shanken 的CSRT 在联合正态性下的模拟中都表现得相当好。

4. 相关研究

给出资产一大集合中的一个子集，很自然就会考虑该子集资产的某个组合是否是以大集

合为基准的最小方差投资组合。本章中考虑的最小方差问题是一个特例，其中子集由单个投资组合组成。这里得出的大多数结论可以直接推广至多个投资组合或“多因素”的情况。一个相关的问题是一个给定的风险资产子集是否实际张成（Span ）了大集合的全部最小方差边界。和前面讨论的约束相比，这是一个更强的约束，Huberman 和Kandel （1987）称之为“相交(intersection)”。他们指出张成条件相当于一个联合约束，即在（1.2）的多因素形式中截距等于0和每一资产的beta 系数之和等于1。这可以用小样本F 统计量加以检验。也有文献将有效投资组合处理成未观测到的“潜变量”。假定条件期望的时间序列模型，然后用它导出观测的证券收益联合分布的可检验横截面约束。参阅Gibbons 和Ferson （1985）以及Hansen 和Hodrick （1983）中潜变量模型的早期实例。Zhou （1994）的一篇最新论文，给出了潜变量模型广义矩方法，允许比以前的可行计算使用更多的资产。

参考文献

Amsler, C. and P. Schmidt (1985). A Monte Carlo investigation of the accuracy of CAPM tests. Economics 14, 359-375. 28 这一结论得益于后见之明。事实上，有关γ0p 未知的多变量统计模型的大部分研究工作是在深入分

析无风险资产之前完成的。

29 样本协方差矩阵分布的一阶和二阶矩并不依赖于N ，但是，逆的分布的矩在分母表达式中包含T －

N 。参见Press （1982），pp.107－120，有关Wishart 和逆Wishart 分布的基本性质。

Affieck-Graves, J. and B. McDonald (1989). Nonnormalities and tests of asset pricing theories. J. Finance 44, 889-908.

Affieck-Graves, J. and B. McDonald (1990). Multivariate tests of asset pricing: The comparative power of alternative statistics. J. Financ. Quant. Anal 25, 163-183.

Banz, R. (1981). The relationship between return and market value of common stocks. J. Financ. Econom. 9, 3-18.

Black, F. (1972). Capital market equilibrium with restricted borrowing. J. Business 45, 444-455.

Brennan, M. (1971). Capital market equilibrium with divergent borrowing and lending rates. J. Financ. Quant. Anal. 6, 1197-1205.

Black, F., M. C. Jensen and M. Scholes (1972). The capital asset pricing model: Some empirical tests. In: M. C. Jensen, ed., Studies in the theory of capital markets, Praeger, New York, NY.

Blume, M. and I. Friend (1973). A new look at the capital asset pricing model. J. Finance 28, 19-34. Brown, S. and M. Weinstein (1983). A new approach to testing asset pricing models: The bilinear paradigm. J. Finance 38, 711-743.

Campbell, J. (1985). Stock returns and the term structure. NBER Working Paper.

Chamberlain G. (1983). A characterization of the distributions that imply mean-variance utility

functions. J. Econom. Theory 29, 185-2-1.

Chen, N. F., R. Roll and S. Ross (1986). Economic forces and the stock market. J. Business 59, 383- 403.

Evans, G. and N. Savin (1982). Conflict among the criteria revisited: The W, LR and LM tests.

Econometrica 50, 737-748.

Fama, E. F. (1976). Foundations of Finance. Basic Books, New York, NY.

Fama E. F. and J. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests. J. Politic. Econom. 81, 607-636.

Ferson, W., S. Kandel and R. Stambaugh (1987). Tests of asset pricing with time-varying expected risk premiums and market betas. J. Finance 42, 201-220.

Gibbons, M. (1980). Estimating the parameters of the capital asset pricing model: A minimum expected

loss approach. Unpublished manuscript, Graduate School of Business, Stanford, University.

Gibbons, M. (1982). Multivariate tests of financial models: A new approach. J. Financ. Econom. 10, 3- 27.

Gibbons, M. and W. Ferson (1985). Testing asset pricing models with changing expectations and an unobservable market portfolio. J. Financ. Econom. 14, 217-236.

Gibbons, M., S. Ross and J. Shanken (1989). A test of the efficiency of a given portfolio. Econometrica 57, 1121-1152.

Hansen, L. and R. Hodrick (1983). Risk-averse speculation in the forward foreign exchange market: An econometric analysis of linear models. In: J. J. Frenkel ed., Exchange rates and international macroeconomics. Cambridge, MA: National Bureau of Economic Research, I 13-146.

Harvey, C. (1989). Time-varying conditional covariances in tests of asset-pricing models. J. Financ. Econom. 24, 289-317.

Harvey, C. and G. Zhou (1990). Bayesian inference in asset pricing tests. J. Financ. Econom. 26, 221- 254.

Huberman, G. and S. Kandel (1987). Mean-variance spanning. J. Finance 42, 873-888.

Jensen, M. 1972, Capital markets: Theory and evidence. Bell J. Econom. Mgmt. Sci. 3, 357-398. Jobson, J. D. and B. Korkie (1982) Potential performance and tests of portfolio efficiency. J. Financ.

Econom. 10, 433-466.

Jobson, J. D. and B. Korkie (1985). Some test of linear asset pricing with multivariate normality. Canad. J. Administ. Sci. 2, I14-138.

Kandel, S. (1984). The likelihood ratio test statistic of mean-variance efficiency without a riskless asset. J. Financ. Econom. 13, 575-592.

Kandel, S. and R. F. Stambaugh (1987). On correlations and inferences about mean-variance

efficiency. J. Financ. Econom. 18, 61-90.

Kandel, S. R. McCulloch and R. F. Stambaugh (1995). Bayesian inference and portfolio efficiency. Rev. Financ. Stud. 8, 1-53.

Kim, D. (1995). The errors in the variables problem in the cross-section of expected stock returns. J. Finance 50, 1605-1634.

Lintner, J. (1965). The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets. Rev. Econorn. Statist. 47, 13-37.

Litzenberger, R. and K. Ramaswamy (1979). The effect of personal taxes and dividends on capital asset prices: Theory and empirical evidence. J. Financ. Econom. 7, 163-195.

Litzerberger, R. and C-f Huang (1988). Foundations for Financial Economics. Elsevier Science

Publishing Company, Inc., North Holland.

Lo, A. W. and A. C. MacKinlay (1990). Data-snooping biases in tests of financial asset pricing models. Rev. Financ. Stud. 3, 431-467.

MacBeth, J. (1975). Tests of the two parameter model of capital market equilibrium. Ph.D. Dissertation,

University of Chicago, Chicago, IL.

MacKinlay, A. C. (1987). On multivariate tests of the CAPM, J. Financ. Econom. 18, 341-371.

MacKinlay, A. C. (1995). Multifactor models do not explain deviations from the CAPM, J. Financ. Econom. 38, 3-28.

MacKinlay A. C. and M. Richardson (1991). Using generalized method of moments to test mean- variance efficiency. J. Finance 46, 511-527.

McCulloch, R. and P. E. Rossi (1990). Posterior, predictive, and utility based approaches to testing the arbitrage pricing theory. J. Financ. Econom. 28, 7-38.

Merton, R. (1973a). An analytic derivation of the efficient portfolio frontier. J. Financ. Quant. Anal., 1851-1872.

Merton, R. (1973b). An intertemporal capital asset pricing model. Econometrica 41, 867-887.

Morrison, D. (1976). Multivariate statistical methods. McGraw-Hill, New York.

Pagan, A. (1983). Econometric issues in the analysis of regressions with generated regressors. Internat. Econom. Rev. 25, 221-247.

Press, S. J. (1982). Applied Multivariate Analysis. Robert E. Krieger Publishing Company, Malabar, Florida.

Roll, R. (1977). A critique of the asset pricing theory's test - Part 1: On past and potential testability of the theory. J. Financ. Econom. 4, 129-176.

Roll, R. (1979). A reply to Mayers and Rice. J. Financ. Econom. 7, 391-399.

Roll, R. (1985). A note on the geometry of Shanken's CSR T test for mean/variance efficiency. J. Financ. Econom. 14, 349--357.

Ross, S. (1977). The capital asset pricing model, short sales restrictions and related issues. J. Finance 32, 177-183.

Shanken, J. (1983). An asymptotic analysis of the traditional risk-return model. Ph.D. Dissertation,

Carnegie Mellon University, Chapter 2.

Shanken, J. (1985). Multivariate tests of the zero-beta CAPM. J. Financ. Econom. 14, 327-348.

Shanken, J. (1986). Testing portfolio efficiency when the zero-beta rate is unknown: A note. J. Finance 41, 269-276.

Shanken, I. (1987a). A Bayesian approach to testing portfolio efficiency. J. Financ. Econom. 19, 195- 215.

Shanken, J. (1987b). Multivariate proxies and asset pricing relations: Living with the Roll critique. J. Financ. Econom. 18, 91-110.

Shanken, J. (1990). Intertemporal asset pricing: An empirical investigation. J. Econometrics 45, 99-- 120.

Shanken, J. and M. Weinstein (1990). Macroeconomic variables and asset pricing: Further results. Working Paper, University of Rochester.

Shanken, J. (1992). On the estimation of beta-pricing models. Rev. Financ. Stud. 5, 1-33.

Stambaugh, R. F. (1982). On the exclusion of assets from tests of the two-parameter model: A sensitivity analysis. J. Financ. Econom. 10, 237-268.

Sharpe, W. F. (1964). Capital asset prices: A theory of market equilibrium under conditions of risk. J. Finance 19, 425-442.

White H. (1984). Asymptotic theory for econometricians. Academic Press, Orlando, Florida. Zhou, G. (1991). Small sample tests of portfolio efficiency. J. Financ. Econom. 30, 165-191. Zhou, G. (1993). Asset pricing tests under alternative distributions. J. Finance 48, 1927-1942.

Zhou, G. (1994). Analytical GMM tests: Asset pricing with time-varying risk premiums. Rev. Financ. Stud. 7, 687-709.