第15章 量子物理
一 选择题
15-1 下列物体中属于绝对黑体的是[ ]
(A) 不辐射可见光的物体 (B) 不辐射任何光线的物体 (C) 不能反射可见光的物体 (D) 不能反射任何光线的物体 解：选(D)。绝对黑体能够100%吸收任何入射光线，因而不能反射任何光线。
15-2 用频率为υ的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E k ；若改用频率为2υ的单色光照射此金属，则逸出光电子的最大初动能为[ ]
(A) 2E k (B) 2h υ-E k (C) h υ-E k (D) h υ+E k 解：选(D)。由E k =h υ-W ，E k ' =2h υ-W ，得逸出光电子的最大初动能
E k ' =hv +(hv -W ) =hv +E k 。
15-3 某金属产生光电效应的红限波长为λ0，今以波长为λ(λ
(A) h /λ (B) h /λ0 (C)
(D)
hc 1hc 212=
m v +解：选(C)。由hv =m e v m +hv 0，，得v m =
e m
λ2λ02因此p =m e v m =
。
15-4 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动速率之比v 1/v 3是[ ]
(A) 1/3 (B) 1/9 (C) 3 (D) 9
12mv
13.6E 1132
解：选(C)。由E n =-2，n 分别代入1和3，得==2=9，因
n E 312mv 32此
v 1
=3。 v 3
15-5 将处于第一激发态的氢原子电离，需要的最小能量为[ ] (A) 13.6eV (B) 3.4eV (C) 1.5eV (D) 0eV 解：选(B)。由E n =-
13.6
，第一激发态n =2，得E 2=-3.4eV ，设氢原子2n
电离需要的能量为E 2' ，当E 2+E 2' >0时，氢原子发生电离，得E 2' >3.4eV ，因此最小能量为3.4eV 。
15-6 关于不确定关系∆x ∆p x ≥h 有以下几种理解，其中正确的是[ ] (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定
(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定
(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其他粒子 (A) (1), (2) (B) (2), (4) (C) (3), (4) (D) (4), (1) 解：选(C)。根据∆x ⋅∆p x ≥h 可知，(1)、(2)错误，(3)正确；不确定关系适用于微观粒子，包括电子、光子和其他粒子，(4)正确。
二 填空题
15-7 已知某金属的逸出功为W ，用频率为υ1的光照射该金属能产生光电效应，则该金属的红限频率υ0=________，截止电势差U c =________。
解：由W =hv 0，得v 0=
hv 1=eU c +W ，得U c =
11W 22
；由hv 1=m e v m +W ，而m e v m =eU c ，所以
22h
h υ1-W
。 e
15-8 在康普顿效应中，波长为λ0的入射光子与静止的自由电子碰撞后反向弹回，而散射光子的波长变为λ，则反冲电子获得的动能为________。
解：由hv 0+m 0c 2=hv +mc 2，得mc 2-m 0c 2=h ν0-hv ，其中mc 2-m 0c 2为反冲电子获得的动能E k ，因此E k =h ν0-hv =hc (
15-9 根据玻尔氢原子理论，若大量氢原子处于主量子数n = 5的激发态，则跃迁辐射的谱线可以有________条，其中属于巴耳末系的谱线有________条。
解：n 从5到4、3、2、1，从4到3、2、1，从3到2、1，从2到1，一共有10条；巴尔末系k =2，从5到2，从4到2，从3到2，一共有3条。
15-10 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子。已知定态l 的电离能为0.85eV ，又知使氢原子从基态激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为________。
解：基态的能量E 1=-13.6eV ，则定态k 的能量E k =-13.6+10.2=-3.4eV ，已知定态l 的电离能为0.85eV ，则定态l 的能量E l =-0.85eV ，因此由定态l 跃迁到定态k ，所发射的光子的能量为E l -E k =2.55eV 。
1
λ0
1
-) 。
λ
15-11 运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是________；质量为m =1g ，以速度v =1cm/s运动的小球的德布罗意波长是________。（氢原子质量m H =1.67⨯10-27kg ）
解：
方均根速率为v rms =
，代入数据，得v rms =2.73⨯103 m/s，因为v rms c ，所以氢原子的德布罗意波长λ=
h h
=，代入数据，得λ=0.145nm ；p m H v rms
同样，小球速度v c ，德布罗意波长λ=
h h
=，代入数据，得λ=6.63⨯10-20nm p mv
15-12 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1nm （1nm=10-9m ），电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量∆p =________。
解：由a ⋅∆p ≥h ，得∆p ≥
h
，代入数据，得∆p ≥6.63⨯10-24kg.m/s。 a
15-13 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为
ψ(x ) =
3πx (0≤x ≤a ) a
那么粒子在x =a /6处出现的概率密度为________。
解：概率密度为(x ) =sin 2
2
2a 3π22
x ，x =a /6代入，得(x ) =。 a a
三 计算题
15-14 已知从铝金属逸出一个电子需要4.2eV 的能量，若用可见光投射到铝的表面，能否产生光电效应？
12
解：由hv =m e v m +W 可知，只有当hv >W 时，才能产生光电效应；可见光
2
的波长范围为400 760nm ，当波长为400nm 时，能量最大，hv =
W =4.2eV ，因此hv
hc
λ
=3.1eV ，而
15-15 如图所示为在一次光电效应实验中得出的曲线，（1）证明对不同材料的金属，AB 线的斜率相同；（2）由图上数据求出普朗克常量h 。
习题15-15图
U c ，横坐标为υ，列出两者关系式即可得斜率。由解：（1）证明：纵坐标为
11h W h 22
hv =eU +W ，得 ，因此，斜率hv =m e v m +W ，而mv =e U U =υ-c e m c c
22e e e
为常数，即对不同材料的金属，AB 线的斜率相同；
（2）由图可知斜率为
2h -15
，由得h =6.4⨯10-34J.S 。 =4⨯10=4⨯10-15，14
5⨯10e
15-16 在康普顿效应中，入射光子的波长为3.0⨯10-3nm ，反冲电子的速度为光速的60%，求散射光子的波长及散射角。
解：由hv 0+m 0c 2=hv +mc 2，得mc 2-m 0c 2=h ν0-hv ，由于反冲电子的速度为光速的60%，
2m 0c 2=
hc
λ0
-
hc
λ
，代入数据，得λ=4.35⨯10-3nm ；
由∆λ=λ-λ0=
h
(1-cos θ)，代入数据，得θ=arccos0.444=63.6︒=63︒36' 。 m 0c
15-17 波长为0.1nm 的辐射，射在碳上，从而产生康普顿效应。从实验中，测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。
解：（1）由∆λ=λ-λ0=
h
代入数据，得λ=0.1024nm ； θ=90︒，(1-cos θ)，
m 0c
（2）由hv 0+m 0c 2=hv +mc 2，得mc 2-m 0c 2=h ν0-hv ，其中mc 2-m 0c 2为反冲电子获得的动能E k ，因此E k =h ν0-hv =hc (
1
λ0
1
代入数据，得E k =4.66⨯10-17J ； -) ，
λ
设反冲电子的方向与入射辐射的方向夹角为ϕ，而散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直，即θ=90︒，通过矢量作图可知，tan ϕ=
p
，因此p 0
ϕ=arctan(
λp h /λ
) =arctan() =arctan(0) ，代入数据，得ϕ=44︒18' 。 p 0h /λ0λ
15-18 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出的谱线仅有三条，问此外来光的频率为多少？
解：由于谱线仅有三条，得n =3，n 从3到2、1，从2到1；因此
E 3-E 1=[(-
13.6
) -(-13.6)]⨯1.6⨯10-19=h ν，得ν=2.92⨯1015Hz 23
15-19 处于基态的氢原子吸收了一个能量为hv =15eV 的光子后，其电子成
为自由电子，求该电子的速率。
解：由基态能量E 1=-13.6eV ，吸收光子后，电子动能为E k =E 1+h ν=1.4eV ，对于电子，其静能E 0=m 0c 2=0.51 MeV，由于1 .4eV的电子动能远远小于电子的静能，因此可以用非相对论公式计算，E k =1.4eV =
v =7.01⨯105m/s
1
m e v 2，代入数据，得2
15-20 同时确定能量为1 keV的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.01nm 以内，则动量不确定值的相对比值∆p /p 至少为多少？
解：对于电子，其静能E 0=m 0c 2=0.51 MeV，由于E =1keV 远远小于电子
p 2
=E ，代入数据，得的静能，因此可以用非相对论公式计算，2m e
p =1.707⨯10-23kg.m/s，根据不确定度关系∆x ⋅∆p ≥h 可知，∆p ≥6.63⨯10-23kg.m/s，所以∆p /p 至少为6.63⨯10
-23
/1.707⨯10-23=3.88。
15-21 设有一电子在宽为0.20nm 的一维无限深的方势阱中。（1）计算电子在最低能级的能量；（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小，其值为多少？
解：（1）能量E 只能取一系列分立的值E n =n 入数据，得E 1=9.43eV ；
（2）一维无限深的方势阱中波函数为ψn (x ) =
2n π
sin x ，a a
2
π2 2
2ma
2
，最低能级n =1，代
(n =1, 2, 3, ; 0≤x ≤a ) ，电子处于第一激发态n =2时，波函数
为
ψ2(x ) =
d 2(x ) d x
2
2π22π2
x ，概率密度为2(x ) =sin 2x 。出现的概率最小，即
a a a =0，且
d 22(x ) d x 2
2
>0，由
d 2(x ) d x
2
=0，得
8π2π2π
sin x cos x =0，2a a a
d 22(x ) 4π4πa a 3a
>0，sin x =0，考虑到0≤x ≤a ，因此，x =0, , , , a ，又由
d x 2a 2a 424
2
16π24π16π24πa a
得3cos x >0，仅当x =0, , a 时，3cos x >0，所以x =0, , a ，代
a a a a 22
入数据，得x =0,0.10nm,0.20nm 。
第15章 量子物理
一 选择题
15-1 下列物体中属于绝对黑体的是[ ]
(A) 不辐射可见光的物体 (B) 不辐射任何光线的物体 (C) 不能反射可见光的物体 (D) 不能反射任何光线的物体 解：选(D)。绝对黑体能够100%吸收任何入射光线，因而不能反射任何光线。
15-2 用频率为υ的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E k ；若改用频率为2υ的单色光照射此金属，则逸出光电子的最大初动能为[ ]
(A) 2E k (B) 2h υ-E k (C) h υ-E k (D) h υ+E k 解：选(D)。由E k =h υ-W ，E k ' =2h υ-W ，得逸出光电子的最大初动能
E k ' =hv +(hv -W ) =hv +E k 。
15-3 某金属产生光电效应的红限波长为λ0，今以波长为λ(λ
(A) h /λ (B) h /λ0 (C)
(D)
hc 1hc 212=
m v +解：选(C)。由hv =m e v m +hv 0，，得v m =
e m
λ2λ02因此p =m e v m =
。
15-4 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动速率之比v 1/v 3是[ ]
(A) 1/3 (B) 1/9 (C) 3 (D) 9
12mv
13.6E 1132
解：选(C)。由E n =-2，n 分别代入1和3，得==2=9，因
n E 312mv 32此
v 1
=3。 v 3
15-5 将处于第一激发态的氢原子电离，需要的最小能量为[ ] (A) 13.6eV (B) 3.4eV (C) 1.5eV (D) 0eV 解：选(B)。由E n =-
13.6
，第一激发态n =2，得E 2=-3.4eV ，设氢原子2n
电离需要的能量为E 2' ，当E 2+E 2' >0时，氢原子发生电离，得E 2' >3.4eV ，因此最小能量为3.4eV 。
15-6 关于不确定关系∆x ∆p x ≥h 有以下几种理解，其中正确的是[ ] (1) 粒子的动量不可能确定 (2) 粒子的坐标不可能确定
(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定
(4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其他粒子 (A) (1), (2) (B) (2), (4) (C) (3), (4) (D) (4), (1) 解：选(C)。根据∆x ⋅∆p x ≥h 可知，(1)、(2)错误，(3)正确；不确定关系适用于微观粒子，包括电子、光子和其他粒子，(4)正确。
二 填空题
15-7 已知某金属的逸出功为W ，用频率为υ1的光照射该金属能产生光电效应，则该金属的红限频率υ0=________，截止电势差U c =________。
解：由W =hv 0，得v 0=
hv 1=eU c +W ，得U c =
11W 22
；由hv 1=m e v m +W ，而m e v m =eU c ，所以
22h
h υ1-W
。 e
15-8 在康普顿效应中，波长为λ0的入射光子与静止的自由电子碰撞后反向弹回，而散射光子的波长变为λ，则反冲电子获得的动能为________。
解：由hv 0+m 0c 2=hv +mc 2，得mc 2-m 0c 2=h ν0-hv ，其中mc 2-m 0c 2为反冲电子获得的动能E k ，因此E k =h ν0-hv =hc (
15-9 根据玻尔氢原子理论，若大量氢原子处于主量子数n = 5的激发态，则跃迁辐射的谱线可以有________条，其中属于巴耳末系的谱线有________条。
解：n 从5到4、3、2、1，从4到3、2、1，从3到2、1，从2到1，一共有10条；巴尔末系k =2，从5到2，从4到2，从3到2，一共有3条。
15-10 氢原子由定态l 跃迁到定态k 可发射一个光子。已知定态l 的电离能为0.85eV ，又知使氢原子从基态激发到定态k 所需能量为10.2eV ，则在上述跃迁中氢原子所发射的光子的能量为________。
解：基态的能量E 1=-13.6eV ，则定态k 的能量E k =-13.6+10.2=-3.4eV ，已知定态l 的电离能为0.85eV ，则定态l 的能量E l =-0.85eV ，因此由定态l 跃迁到定态k ，所发射的光子的能量为E l -E k =2.55eV 。
1
λ0
1
-) 。
λ
15-11 运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是________；质量为m =1g ，以速度v =1cm/s运动的小球的德布罗意波长是________。（氢原子质量m H =1.67⨯10-27kg ）
解：
方均根速率为v rms =
，代入数据，得v rms =2.73⨯103 m/s，因为v rms c ，所以氢原子的德布罗意波长λ=
h h
=，代入数据，得λ=0.145nm ；p m H v rms
同样，小球速度v c ，德布罗意波长λ=
h h
=，代入数据，得λ=6.63⨯10-20nm p mv
15-12 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1nm （1nm=10-9m ），电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量∆p =________。
解：由a ⋅∆p ≥h ，得∆p ≥
h
，代入数据，得∆p ≥6.63⨯10-24kg.m/s。 a
15-13 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为
ψ(x ) =
3πx (0≤x ≤a ) a
那么粒子在x =a /6处出现的概率密度为________。
解：概率密度为(x ) =sin 2
2
2a 3π22
x ，x =a /6代入，得(x ) =。 a a
三 计算题
15-14 已知从铝金属逸出一个电子需要4.2eV 的能量，若用可见光投射到铝的表面，能否产生光电效应？
12
解：由hv =m e v m +W 可知，只有当hv >W 时，才能产生光电效应；可见光
2
的波长范围为400 760nm ，当波长为400nm 时，能量最大，hv =
W =4.2eV ，因此hv
hc
λ
=3.1eV ，而
15-15 如图所示为在一次光电效应实验中得出的曲线，（1）证明对不同材料的金属，AB 线的斜率相同；（2）由图上数据求出普朗克常量h 。
习题15-15图
U c ，横坐标为υ，列出两者关系式即可得斜率。由解：（1）证明：纵坐标为
11h W h 22
hv =eU +W ，得 ，因此，斜率hv =m e v m +W ，而mv =e U U =υ-c e m c c
22e e e
为常数，即对不同材料的金属，AB 线的斜率相同；
（2）由图可知斜率为
2h -15
，由得h =6.4⨯10-34J.S 。 =4⨯10=4⨯10-15，14
5⨯10e
15-16 在康普顿效应中，入射光子的波长为3.0⨯10-3nm ，反冲电子的速度为光速的60%，求散射光子的波长及散射角。
解：由hv 0+m 0c 2=hv +mc 2，得mc 2-m 0c 2=h ν0-hv ，由于反冲电子的速度为光速的60%，
2m 0c 2=
hc
λ0
-
hc
λ
，代入数据，得λ=4.35⨯10-3nm ；
由∆λ=λ-λ0=
h
(1-cos θ)，代入数据，得θ=arccos0.444=63.6︒=63︒36' 。 m 0c
15-17 波长为0.1nm 的辐射，射在碳上，从而产生康普顿效应。从实验中，测量到散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直。求：（1）散射辐射的波长；（2）反冲电子的动能和运动方向。
解：（1）由∆λ=λ-λ0=
h
代入数据，得λ=0.1024nm ； θ=90︒，(1-cos θ)，
m 0c
（2）由hv 0+m 0c 2=hv +mc 2，得mc 2-m 0c 2=h ν0-hv ，其中mc 2-m 0c 2为反冲电子获得的动能E k ，因此E k =h ν0-hv =hc (
1
λ0
1
代入数据，得E k =4.66⨯10-17J ； -) ，
λ
设反冲电子的方向与入射辐射的方向夹角为ϕ，而散射辐射的方向与入射辐射的方向相垂直，即θ=90︒，通过矢量作图可知，tan ϕ=
p
，因此p 0
ϕ=arctan(
λp h /λ
) =arctan() =arctan(0) ，代入数据，得ϕ=44︒18' 。 p 0h /λ0λ
15-18 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出的谱线仅有三条，问此外来光的频率为多少？
解：由于谱线仅有三条，得n =3，n 从3到2、1，从2到1；因此
E 3-E 1=[(-
13.6
) -(-13.6)]⨯1.6⨯10-19=h ν，得ν=2.92⨯1015Hz 23
15-19 处于基态的氢原子吸收了一个能量为hv =15eV 的光子后，其电子成
为自由电子，求该电子的速率。
解：由基态能量E 1=-13.6eV ，吸收光子后，电子动能为E k =E 1+h ν=1.4eV ，对于电子，其静能E 0=m 0c 2=0.51 MeV，由于1 .4eV的电子动能远远小于电子的静能，因此可以用非相对论公式计算，E k =1.4eV =
v =7.01⨯105m/s
1
m e v 2，代入数据，得2
15-20 同时确定能量为1 keV的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.01nm 以内，则动量不确定值的相对比值∆p /p 至少为多少？
解：对于电子，其静能E 0=m 0c 2=0.51 MeV，由于E =1keV 远远小于电子
p 2
=E ，代入数据，得的静能，因此可以用非相对论公式计算，2m e
p =1.707⨯10-23kg.m/s，根据不确定度关系∆x ⋅∆p ≥h 可知，∆p ≥6.63⨯10-23kg.m/s，所以∆p /p 至少为6.63⨯10
-23
/1.707⨯10-23=3.88。
15-21 设有一电子在宽为0.20nm 的一维无限深的方势阱中。（1）计算电子在最低能级的能量；（2）当电子处于第一激发态时，在势阱何处出现的概率最小，其值为多少？
解：（1）能量E 只能取一系列分立的值E n =n 入数据，得E 1=9.43eV ；
（2）一维无限深的方势阱中波函数为ψn (x ) =
2n π
sin x ，a a
2
π2 2
2ma
2
，最低能级n =1，代
(n =1, 2, 3, ; 0≤x ≤a ) ，电子处于第一激发态n =2时，波函数
为
ψ2(x ) =
d 2(x ) d x
2
2π22π2
x ，概率密度为2(x ) =sin 2x 。出现的概率最小，即
a a a =0，且
d 22(x ) d x 2
2
>0，由
d 2(x ) d x
2
=0，得
8π2π2π
sin x cos x =0，2a a a
d 22(x ) 4π4πa a 3a
>0，sin x =0，考虑到0≤x ≤a ，因此，x =0, , , , a ，又由
d x 2a 2a 424
2
16π24π16π24πa a
得3cos x >0，仅当x =0, , a 时，3cos x >0，所以x =0, , a ，代
a a a a 22
入数据，得x =0,0.10nm,0.20nm 。