第九章 薄板小挠度弯曲
薄板是土木工程中常用的一种构件，例如房屋结构中大量采用的混凝土楼盖结构，设计中须分析板内的弯矩分布，为板的配筋设计提供依据，根据薄板形状以及受力的特点，它在弯曲变形时，属于空间问题，要获得其精确解是很困难的, 因此，在分析薄板弯曲问题时，除了弹性力学的基本假设以外，需引用一些关于应变和应力分布规律的附加假设，使问题得到简化。在这些计算假设的基础上建立一套完整的薄板弯曲理论，可以用来计算工程中的薄板问题，计算精度满足工程要求。本章就对这种薄板弯曲的小挠度理论作一介绍。
§9-1基本概念及计算假定 （1）基本概念
如图9-1的板，板厚度为t，板的最小宽度为b，平分板厚的平面称为中面，坐标平面xoy 与中面重合，对于不同厚度的板，作如下的分类： （A）t
1
b 时，板非常薄，称之为薄膜，板只能在其平面内承受张力，因板的抗弯刚度很小，80
不能承受弯矩； （B）
b b
，因板具有一定的抗弯刚≤t ≤时，称之为薄板，板可在其平面内承受张力（或压力）
8051
b 时，称之为厚板，如基础工程中的桩筏（满堂红承台）就属于厚板，此类问题不在
5
度，可承受弯矩作用，结构工程中绝大多数的板都属于薄板； （C）t >
本书的讨论范围内。
图9-1
作用在薄板上的力总可以分解为二个：（A）作用在板平面内的力，这一问题可归结为平面应力问题，可根据第三~五章的内容进行求解； （B）垂直于板面的力，这类力会使板产生垂直于板面（z轴方向）的位移，属于板的弯曲问题，也是本章要讨论的问题。
当薄板弯曲时，中面所形成的曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在横向的(即垂直于中面方向的)位移w ，称为挠度。
根据板挠度的大小，可分下列两个问题：
（A）挠度w ≤
1
t 时，符合小变形假设，为小挠度问题，结构工程中常见的板弯曲问题绝大数为5
1
t 时，不符合小变形假设，为大挠度问题，属非线性力学的范畴，这一问题已5
小挠度问题； （B）挠度w >
超出了本书的研究范围。
（2）计算假定（Kirchhoff-Love假定）：
（A） 变形前垂直于板中面的直线段(法线)在变形后仍保持为直线,并垂直于变形后的中面,且其长度不变，称为直法线假定，见图9-2，法线变形包括向下的位移w 及刚性转动，与材料力学的平截面假设相似。根据此假设，有εz =0及γzx =γzy =0（设板内的水平剪应力τzx , τzy 引起的形变不计，但剪应力本身并不为零，它们是维持平衡所必需的）。
图9-2
（B）与σx , σy , τxy 相比，σz 小得多，在计算变形时可忽略不计，即板内纵向纤维无挤压，与梁弯曲问题中的纵向纤维间无挤压的假设相似。
，板的挠度 （C）薄板中面在平面内的位移为零：u z =0=0，v z =0=0（法线的中点无水平位移）
w =w (x , y ) ，与z 无关。
§9-2 基本关系式与弹性曲面方程
如图9-3的矩形板，板上表面受面荷载q (x
, y ) 的作用，设体力X=Y=Z=0，实际应用时，体力可化为外荷载。
图9-3
由计算假定（A）γzx =γzy =0⇒
∂u ∂w ∂u ∂w ∂w +=0⇒=−⇒u =−⋅z +f 1(x , y ) , 又由计∂z ∂x ∂z ∂x ∂x
算假定（C）u z =0=0⇒f 1(x , y )=0，于是：
u =−
∂w
⋅z (9.1) ∂x
同理：
v =−
所以：
∂w
⋅z (9.2) ∂y
∂u ∂∂w ∂2w ⎫εx ==(−z ) =−2z ⎪
∂x ∂x ∂x ∂x ⎪
⎪∂v ∂2w ⎪
εy ==−2z ⎬ (9.3)
∂y ∂y ⎪
2⎪∂u ∂v ∂w z γxy =+=−2⎪
∂y ∂x ∂x ∂y ⎪⎭
将(9.3)式代入物理方程：
∂2w ⎫E Ez ∂2w
+ν2) ⎪σx =(εx +νεy ) =−(
∂y ⎪1−ν21−ν2∂x 2
∂2w ⎪E Ez ∂2w ⎪
+=−+(ενε) (ν) (9.4) σy =y x 2222⎬∂x ⎪1−ν1−ν∂y
⎪E Ez ∂2w
τxy =γxy =−⎪
2(1+ν) 1+ν∂x ∂y ⎪⎭
将（9.4）式代入第一个平衡方程得：
∂2w Ez ∂3w Ez ∂3w ∂τxz
−+ν+=0 (a) () −
∂x ∂y 21+ν∂x ∂y 2∂z 1−ν2∂x 3
即：
∂τxz Ez ∂=⋅(∇2w ) (b) 2∂z (1−ν) ∂x
积分上式并利用边界条件τzx
z =±
t 2
=τxz
z =±
t 2
=0，得：
E t 2∂22
z w ) (9.5) τxz =() (⋅−⋅∇2
2(1−ν) 4∂x
同理，将（9.4）式代入第二个平衡方程可得：
E t 2∂22
z w ) (9.6) τyz =((⋅−⋅∇2
2(1−ν) 4∂y
需要说明的是， τxz ≠0, τyz ≠0，它们是维持平衡所必需的，但它们引起的形变γzx , γzy 与其他形变相比很小，可以略去不计（假设（A））。
将(9.5) (9.6)二式代入第三个平衡方程得：
∂τxz ∂τyz ∂σz E t 224
z w (c) =⋅(−) ⋅∇=−−2
∂z ∂x ∂y 2(1−ν) 4
对(c)式积分，并利用边界条件σz
z =
t
2
=0 （下表面荷载为0），得：
Et 31z 2z 4
w (9.7) σz =−i −+⋅∇() (12
t 6(1−ν) 2t
最后，由边界条件：σz
z =−
t
2
=−q ，得：
q
(9.8) D
∇4w =式中：
Et 3
（9.9） D =
12(1−ν2)
(9.8)式即为薄板受荷载时的弹性曲面方程，（9.9）式D 称为薄板的弯曲刚度，它的单位是[力][长度]。根据方程(9.8)及板边上的支撑边界条件，就可得到挠度w 的函数，回代前面(9.1)—（9.7）式就可得位移、应力与应变的函数。
§9-3 薄板横截面上的内力表达式
由上节得到的应力解答一般很难精确满足边界条件，只能由Saint-Venant 原理，由内力来近似满足边界条件。工程上也习惯采用内力（单位长度上的内力）来进行计算,在结构设计上更为方便。
图9-4
任取一边长为dx,dy 的薄板微体，见图9-4的平行六面体，设单位板宽内的内力为，M x , M y , M xy , M yx , Q x , Q y 。板截面上分别作用有应力σx , σy , τxy , τyx , τxz , τyz （见图中阴影部分）规定图9-4中的方向为正向, 其中σx , σy , τxy , τyx 都与坐标z 成正比，为z 的奇函数，所以在宽度dy
的截面上，σx 的作用效果仅有弯矩，轴力为零，弯矩为：
t 2
M x ×dy =
∫σ
−
x
zdz ×dy
（a）
t
2
所以：
t 2
M x =
∫σ
x
zdz
−
t 2
同理有：
t 2
M y =
∫σ
y
zdz （c）−
t 2
t 2
M xy =M yx =∫τxy z dz
−
t
2
而τxz , τyz 为坐标z 的二次函数，其作用效果为剪力，单位板宽内的剪力为：
t 2
Q x =∫τxz dz （e）−
t 2
t 2
Q y =
∫τ
yz
dz （f）−
t 2
将σx , σy , τxy , τxz 的位移表达式(9.4)—（9.7）代入上面(b)—（f）各式有：
M =−D (∂2w ∂2w
⎫x ∂x 2+v ∂y
2)
⎪⎪
2M ∂w ∂2w
⎪y =−D (∂y 2+v ∂x 2⎪
⎪
∂2M =M (1−v ) w ⎪⎪
xy yx =−D ∂x ∂y ⎬
⎪
Q ∂
⎪x =−D ∂x ∇2w ⎪
⎪ （9.10）Q −D ∂2⎪
y =∂y
∇w ⎪⎪⎭
（b）
（d）
§9-4 薄板横截面上的内力平衡方程
取如图9-5边长为dx 和dy,高为t 的矩形微分板单元体, 其四个边上的内力（单位长度上的内力）如图所示，上面作用有横向分布荷载为q 。
图9-5
显然，对于图9-5所示的空间一般力系，6个平衡方程中有3个方程自动满足。其余还有3个平衡方程，由∑Z =0得：
∑X =0, ∑Y =0, ∑M
Z
=0
∂Q x ∂Q y
++q =0 ∂∂x y （9.11）
又由∑M x =0, ∑M y =0得：
∂M x ∂M yx ⎫
+⎪∂x ∂y ⎪
⎬
∂M xy ∂M y ⎪（9.12）Q y =+
⎪∂x ∂y ⎭
Q x =
将（9.12）式代入（9.11）式得：
∂2M xy ∂2M y ∂2M x
+2++q =022
∂x ∂y ∂y （9.13） ∂x
（9.13）式即为内力（弯矩与扭矩）所满足的平衡微分方程式。将（9.10）式M x , M xy , M y 位移表达式代入(9.13)式有：
∇4w =
q
D (a)
上式与（9.8）式完全相同。
§9-5 矩形薄板的边界条件
薄板横截面上有三个内力，在边界上由内力表示的边界条件应有三个，分别为弯矩、扭矩与横向剪力边界条件，但根据微分方程理论，求解薄板的弯曲方程∇w =
4
q
时，只需两个内力的边界条
件即可，而现在有三个，可见三个内力边界条件并非完全独立，有必要对边界条件进行合并处理。
（1）扭矩的等效剪力
考察图9-6的薄板，在AB,BC 边界上分别受有分布扭矩M yx ，M xy 的作用，现以AB 边上的扭矩为例进行等效剪力分析。
图9-6
见图9-7，取AB 边任意两个相邻的微段，这两个微段上所受到扭矩力的大小分别为
M yx dx , (M yx +
∂M yx ∂x
dx ) dx （见图9-7（a），注意到M yx 为单位长度上的扭矩），平面内的一个扭矩
力可以等效为一对力偶（见图9-7（b））, 两个微段公共边上方向相反的集中剪力M yx 相互抵消，只
剩下集中剪力
∂M yx ∂x
）,此集中剪力除以微段长度dx 就化为分布剪力dx （见图9-7（c）
∂M yx ∂x
（见图
9-7（d）所示）。将上述分析方法用于AB 边的所有微段上，就可得到图9-7（d）的结果。所以板内
的扭矩可以等效为分布剪力及两个端点的集中剪力，AB边上总的分布剪力为：
V y =Q y +
∂M yx
∂
x （9.14）
图9-7
同理，BC边上总的分布剪力为：
V x =Q x +
∂M xy
∂y （9.15）
V x , V y 的符号规定同Q x , Q y 。角点集中力如图9-8所示，图中指向为正，角点B 处的集中力为：
R B =(M yx )+(M xy )=2(M xy )
B
B
B
（9.16）
图9-8
将总的剪力和集中力由挠度表示为：
⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v )V x =Q x +∂y ∂x ∂y 2⎥⎣∂x ⎦∂M yx ⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v )2⎥V y =Q y +∂x ∂x ∂y ⎦⎣∂y R B =(M yx )+(M xy )
B
B
∂M xy
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪（9.17）
⎛∂2w ⎞⎪
=−D (2−v )⎜⎟⎪
⎪ ⎝∂x ∂y ⎠B ⎭
（2）边界条件
以图
9-9所示的矩形薄板为例,说明简支边界、固支边界、自由边界以及角点边界条件的写法。图中简支边采用虚线表示, 固支边采用斜线表示。
图9-9
简支边界OC（y=0）:挠度和弯矩为零，即
w
y =o
=0
⎛∂2w ∂2w ⎞=−D ⎜2+v 2⎟
∂x ⎠y =0⎝∂y
y =o
M y
y =0
⎫
⎪⎪⎬=0⎪⎪⎭
（9.18）
上式与简支梁支座的边界条件相似，因为w 界上挠度为常数），所以=0（在边
∂w
∂x
y =0
∂2w =2
∂x
=0，于是简支边界又可写为
y =0
=0⎫
⎪⎪2
⎬∂w
=0⎪（9.19）
∂y 2y =0
⎪⎭
w
y =0
固支边界OA（x=0）:挠度和转角为零（与固支梁端的边界条件相似），即
=0⎫⎪
∂w ⎬
=0⎪（9.20） ∂x x =0⎭
x =0
w
自由边界AB(y=b)与BC(x=a)：弯矩与总剪力为零，即
M y
V y 与
y =b
⎡∂2w ∂2w ⎤
=−D ⎢2+v 2⎥=0
y x ∂∂⎣⎦y =b
y =b
⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v ) 2⎥
∂x ∂y ⎦y =b ⎣∂y
⎫
⎪⎪⎬⎪（9.21） =0⎪ ⎪⎭
M x V x
x =a
⎡∂2w ∂2w ⎤
=−D ⎢2+v 2⎥=0
∂∂x y ⎣⎦x =a
x =a
⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v ) 2⎥∂∂∂x x y ⎣⎦x =a
⎫
⎪⎪⎬⎪（9.22） =0⎪ ⎭
角点B (x =a , y =b ) 边界条件：集中力为零，即
R B =2(M xy )
§9-6 单向板的柱面弯曲
B
∂2w =
∂x ∂y
=0
x =a y =b
（9.23）
若矩形板一个方向的长度比另一个方向的长度要大许多,见图9-10, 设板上荷载沿y 方向没有变
化, 荷载仅为的x 函数,板受荷载变形后成为柱形曲面, 柱面的母线与y 轴平行,板的挠度w 不随y 变
化，所以板的挠度为:
w =
w (x ) (9.24)
图9-10
则薄板弹性曲面方程变为:
d 4w (x ) q (x )
= (9.25) 4
dx D
Et 3
这里D =为板的抗弯刚度, 于是板内的各个内力分量为： 2
12(1−ν)
⎫d 2w
M x =−D 2⎪dx ⎪2
d w ⎪
M y =−νD 2=νM x ⎪
dx
⎪
（9.26） M xy =M yx =0⎬
⎪
d 3w dM x ⎪
Q x =−D 3=
dx dx ⎪
⎪Q y =0
⎪⎪⎭
工程上采用简化方法，沿y 方向任取一单位长度的板条进行分析, 将其等效为梁的弯曲问题进行
分析，则板条梁的平衡微分方程为：
d 4x ) q (x )
= （9.27） 4
dx EI Et 3
式中：(x ) ，EI =分别为单位宽度板条的挠度与抗弯刚度。
12
比较方程（9.25）与（9.27）可以发现，在给定相同荷载及边界条件的情况下，板的挠度w 与等效板条梁的挠度有如下的对应关系：
w (x ) =(1−ν) x ) （9.28）
2
板的内力与等效板条梁的内力也有如（9.28）式相同的关系。对于混凝土板ν=
1
，则：6
1−ν2≈0.972，可见等效板条梁的位移、内力与实际板的位移、内力非常相近，两者的相对误差在
3%以内。等效板条梁的计算精度完全满足工程要求。对于钢板ν=0.25，1−ν2≈0. 94，两者的相对误差约6%，计算精度在工程上也是可以接受的。
必须指出的是等效板条梁模型所计算的是板短跨方向的弯矩M x ，而无法得到单向板在长跨上的弯矩M y ，工程上按等效梁理论计算时，容易误认为板的长向没有弯矩作用，事实上，板的长跨方向仍有弯矩作用，根据（9.26）式，其大小为M y =νM x ，在结构设计中应注意这一问题。
§9-7 简支边矩形薄板的Navier 解法
图9-11所示为四边简支矩形薄板，边长分别为a 和b，受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。此问题的边界条件为
∂2w
w x =0=0, 2=0, w
∂x x =0
∂2w
w y =0=0, 2
∂y
y =0
⎫∂2w
==0, 0⎪x =a
∂x 2x =a
⎪
⎬2
∂w
=0, w y =b =0, 2=0⎪
⎪∂y y =b
⎭ (9.29)
图9-11
设挠度函数为
w =∑∑A mn ⋅sin
m =1n =1
∞∞
m πx n πy
（9.30） ⋅sin
a b
4
显然w 满足所有边界条件（9.29）式，代入方程∇w =其中m,n 为正整数，A mn 为待定系数，
4
∞
∞
q
得：
⎛m 2n 2⎞m πx n πy sin =q (x , y ) πD ∑∑⎜2+2⎟A mn sin
b ⎠a b m =1n =1⎝a (9.31)
将(9.30)式两边分别对x, y积分,并利用下列三角函数系的正交性:
(a)
得
4b
y ) ⋅sin
m πx n A 0
∫
q (x , mn =
∫
a
sin πy
dxdy 222π4abD ⎛⎜m n ⎞⎝a 2+b 2⎟
⎠
所以
∞
∞
4w =∑∑
∫
a
∫
b
q (x , y ) ⋅sin
m πx n πsin y dxdy
m πx n πm =1n =1
22⋅sin ⋅sin
y π4
abD ⎛⎜m n ⎞2a b ⎝a 2+b 2⎟
⎠ (9.32)
⎛∂2w ∂2w ⎞∞∞M ⎡⎛m π⎞2⎛n π⎞2⎤
m πx n πy ⎫x =−D ⎜⎝∂x 2+v ∂y 2⎟⎠=∑∑A mn ⎢m =1n =1⎢⎣⎜⎝a ⎟⎠+v ⎜⎝b ⎟⎠⎥⎥sin
sin ⎦
a b ⎪⎪⎛∂2w ∂2w ⎞∞∞M ⎡⎛n π⎞2⎛m π⎞2⎤
y =−D ⎜⎝∂y 2+v ∂x 2⎟⎠=∑∑A mn ⎢m =1n =1⎢⎣⎜⎝b ⎟⎠+v ⎜⎝a ⎟⎠⎥
sin m πx ⎬⎦⎥a sin n πy ⎪b ⎪⎭当q =q 0(常数), 为均布荷载时：
A 16q 0
mn =
22
2
(m , n =1,3,5, )
π6Dmn ⎜
⎛m
⎝a
2
+n ⎞
b 2⎟⎠
M x , M y 的最大值发生在板中央x =
a b
2, y =2
处： (m +n )
∞
∞
M (−1)
2
−1⎡⎛m ⎞2⎛n 2
⎫x ,max =M x
x =a /2, y =b =16q
0⎪/2
π4D m =∑1,3,5,... n =∑1,3,5,...
222
⎢⎜⎪mn ⎛⎜m n ⎞⎢⎣⎝a ⎟⎠+v ⎜⎞⎤⎝b ⎟⎠⎥⎥⎦⎪⎝a
2+b 2⎟⎠⎪
(m +n )
⎬M =16q ∞∞−1⎞20(−1) 2⎡⎛n π⎞2⎛m π⎤⎪y ,max =M y
x =a /2, y =b /2
π4D m =∑1,3,5,... n =∑2⎢1,3,5... mn ⎛⎜m 2n 2⎞⎢⎣⎜⎝b ⎟⎠+v ⎜⎝a ⎟⎠⎥⎪
⎦⎥⎪ （9.35）⎝a 2+b 2⎟⎠⎪
⎪⎭
对于四边简支的混凝土板,可根据上述的最大弯矩（每米内的弯矩）进行配筋计算。
(b)
（9.33）
（9.34）
当板上作用有集中力P 时，作用点位置坐标为(x o , y o ),见图
9-12
图9-12
P 作用在微元面积∆S =∆x ⋅∆y 上的分布荷载为：
q =根据中值定理有：
∆x ⋅∆y ) （c）
P m πx n πy
sin sin d xdy =
222∫∫∆x ⋅∆y a b ⎛m n ⎞∆S 4
πabD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a
⎛P m πx o n πy o ⎞4
sin sin （d）=⋅⋅⋅⎜⎟∆x ⋅∆y =222x y a b ∆⋅∆⎛m n ⎞⎝⎠
π4abD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a
m πx o n πy o 4P
sin sin =⋅⋅
222a b ⎛⎞m n 4
πabD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a A mn =
4
将(d)式代入（9.33）式，得到弯矩为：
2
⎡⎛m ⎞2m πx n πy ⎫⎛n ⎞⎤
sin ⎪⎢⎜⎟+v ⎜⎟⎥sin a b ⎪⎝b ⎠⎦⎢⎝a ⎠⎥⎣
⎪⎪⎬22∞∞
m πx o n πy o ⎡⎛n ⎞4P m πx n πy ⎪⎛m ⎞⎤sin sin sin sin M y =∑∑v ⋅⋅+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎪222a b b a a b ⎝⎠⎝⎠m =1n =1⎛⎞⎢⎥m n ⎣⎦⎪(9.36) π2abD ⎜2+2⎟
⎪b ⎠⎝a ⎭
m πx o n πy o
sin sin M x =∑∑⋅⋅
222a b m =1n =1⎛⎞m n 2
πabD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a
∞
∞
4P
工程中，当四边简支的混凝土板上局部作用有集中荷载时，如固定的设备荷载等，可采用（9.36）式估计板内作用的弯矩。Navier 方法求解简单，但计算量较大，级数收敛较慢,且只能用于四边简
支的矩形板。
§9-8Levy 解法
图9-13所示的矩形板，两对边简支，其他两对边可为任意的支承形式（自由边、简支或固支），板上受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。两对边简支边界条件为：
∂2w
w x =o =0, 2
∂x ∂2w
w x =a =0, 2
∂x
x =o
=0
x =a
=0
（9.37）
图9-13
于是可设解为:
w =∑Y m (y )⋅sin
m =1
∞
m πx
(9.38) a
显然上式满足边界条件（9.37）式，将上式代入方程∇w =
∞
4
q (x , y )
得：
242
⎡d 4m (y ) ⎤m πx q (x , y ) ⎛m π⎞d m (y ) ⎛m π⎞
2(y ) sin −⋅+=⎢∑⎜⎟⎜⎟Y m ⎥42
dy a D ⎝a ⎠⎝a ⎠m =1⎢⎥⎣dy ⎦
（a）
将
q (x , y )
展为关于x 的付氏级数： D
q (x , y ) ∞⎡2a q (x , y ) m πx ⎤m πx
sin dx ⎥⋅sin =∑⎢∫0D D a a ⎦m =1⎣a
（b）
将（b）式代入(a)式,比较两边级数的系数得：
d 4m (y ) dy 4
⎛m π⎞d m (y ) ⎛m π⎞
−2⎜+⎜⎟⋅⎟2
a dy ⎝⎠⎝a ⎠
2
24
2a q (x , y ) m πx
（9.39） (y ) sin d x =⋅Y m
a ∫0D a
*m
上面（9.39）式为非齐次常微分方程，其一般解可表为齐次方程的通解m (y ) 与一个特解Y 和：
(y ) 的
*
(y ) =(y ) +Y m m (y ) Y m
齐次方程的通解为： m (y ) =A m ch 所以挠度解可以写为：
(9.40)
m πy m πy m πy m πy m πy m πy
（c） +B m ⋅sh +C m sh +D m ⋅ch
a a a a a a
m πy m πy m πy m πy m πy m πy m πx *⎡⎤
w =∑⎢A m ch sh ch +B m +C m sh +D m +Y m (y )⎥⋅sin
a a a a a a a ⎦m =1⎣
∞
（9.41）
(9.41)式中的待定系数A m , B m , C m , D m 可由另外两个边y =±b /2的边界条件决定，特解由荷载q (x , y ) 的具体形式确定。
根据微分方程（9.39）例9-1、应用Levy 解法求解受均布荷载q (x , y ) =q 0作用的四边简支薄板。式，方程的右边项为：
Y (y )可
m
*
⎧0
2q 02a q (x , y ) m πx ⎪
π=−=sin 1cos m ()⎨4q 0
πDm a ∫0D a ⎪πDm
⎩
可设特解
(m =2, 4,6, )(m =1,3,5, )
（d）
Y
*
m
，代入方程（9.39）可得： (y ) =A （常数解）
⎧4a 4q 0
*⎪55
y =()⎨πDm Y m
⎪0⎩
(m =1,3,5, )(m =2, 4,6, )
（e）
本问题挠度解答关于x 轴对称，所以
Y
m
(y ) 应为偶函数，则待定系数C m =D m =0。由边界条件：
⎫
w b =0⎪y =2⎪
⎬2
⎪ （f） ∂w =02y =b ⎪∂y 2⎭
可求得：
2(2+αm th αm )q 0a 4⎫
A m =−⎪
π5Dm 5ch αm ⎪
⎬ (m =1,3,5, ) (g) 4
2q a ⎪B m =505
⎪πDm ch αm ⎭
及：
A m =0⎫ ⎬ (m =2, 4,6, ) (h) B m =0⎭
式中：
αm =
m πb
（i） 2a
注意到，由于已利用了对称性，所以上面只用到了一边（y =b /2）的边界条件。最后的解答为：
4q 0a 4w =5
πD
2αm y αm 2y 2αm y ⎞1⎛2+αm th αm m πx
1ch sh s in −⋅+⋅⋅⋅⎟∑5⎜
2ch αm 2ch αm b b b ⎠a m =1,3,5, m ⎝
∞
（g）
板中最大弯矩为：
M x ,max =M x M y ,max
式中：
2
⎫=αq a o x =a /2, y =0⎪⎬
=M y =α1q o a 2⎪
x =a /2, y =0⎭
(9.42)
12
α=−3
8π
⎫
(1−ν) αm th αm +2⎪⋅
⎪ch αm ⎪
⎬ (9.43) m −1
ν2∞(−1) 2(1−ν) αm th αm −2ν⎪
⎪α1=+2∑⋅3
8πm =1,3,5,... m ch αm ⎪⎭
(−1)
∑m 3m =1,3,5,...
∞
m −12
工程上，可根据不同的板尺寸a , b 可制成表格使用。计算结果表明，当b /a 增大时，板中最大弯矩很快趋近于单向板条（b /a =∞）的计算值，当b /a =3时，两者相差约6.5%，所以当b /a ≥3时，可近似地按单向板条计算，计算精度满足工程要求。
例9-2、现有一边长为a 和b，四边简支的矩形板，在y =±b /2的边界上受分布弯矩M y =f (x ) 的作用（见图
9-14）,求挠度的表达式。
图9-14
因为板面无荷载作用q (x , y ) =0，所以基本方程为：
∂4w ∂4w ∂4w
+222+4=0 4∂∂∂∂x x y y （h）
边界条件为：
w
x =o . a
=0=0
∂2w ∂x 2w
y =±
x =0, a
b 2
=0∂2w =−D 2
∂y
M y
y =±
b 2
y =±
b 2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪
⎪ （i）⎪=f (x )⎪
⎪⎭
采用Levy 方法，本问题的解答由（9.41）式确定，由于q (x , y ) =0，根据方程（9.39）可得到一个特解为：
Y (y )=0
m
*
(j )
又根据对称性，w 为y 的偶函数，则C m =D m =0，所以：
m πy m πy m πy ⎤m πx ⎡
+B m ⋅sh ⋅sin w =∑⎢A m ch a a a ⎥a ⎦m =1⎣
∞
(k )
由边界条件w 得：
y =
b
2
=0，M y
y =
b 2
∂2w =−D 2
∂y
y =
b 2
=f (x )（因为对称性已利用，只用一个边界条件即可）
a αm th αm
A m =
Dm 2π2ch αm B m =−
a
∫
a
f (x ) ⋅sin
a
Dm 2π2ch αm
∫
m πx ⎫
dx ⎪a ⎪
⎬
m πx ⎪
f (x ) ⋅sin dx
⎪a ⎭ （l）
其中αm 由（i）式确定，所以：
w =∑
∞
a Dm 2π2ch αm
m =1
∫
a
f (x ) ⋅sin
m πx ⎡m πy m πy m πy ⎤m πx
−⋅sh ⋅sin dx ⎢αm th αm ⋅ch
a a a a ⎥a （m）⎣⎦
§9-9 薄板弯曲的叠加法
图9-15（1）为两对边简支而另外两对边固支的矩形薄板，边长分别为a 和b，受均匀分布荷载q o
作用，求挠度w。取如图所示的坐标，采用求解超静定结构的方法，首先放松两个对称固支边的转动，这一约束，代之以相应的反力—弯矩M y =f (y ) ，薄板成为四边简支的受力体系，见图9-15（2）
问题可分解为图9-15（3）受均布荷载q o 与图9-15（4）两对边受分布弯矩M y =f (y ) 的两个情形，根据叠加原理，将两个情形的解答叠加起来就是原问题的解。
图9-15
根据例9-1与9-2，已知图9-15（3）（4）的解答分别为：
∞
=4q 4w o a m =∑1⎛2αm y αm 2y 2αm y ⎞1π5
D
1,3,5, m 5⎜⎝1−2+αm th αm 2ch α⋅ch m b +2ch α⋅sh ⎟⋅s in m πx ⎫
⎪m b b ⎠
a ⎪∞
w ⎛m πx 2=⋅sh m πx ⎬−αm πx ⎞m πx ⎪m th m =∑B m 1,3,5, ⎜⎝a a αm ch a ⎟⎠⋅sin a ⎪⎭
其中：
B a m =−
Dm 2π2ch α(x ) ⋅sin
m πx
a
dx (o) m
∫
a
f 或：
f (x ) =−2D ∑∞
⎛m π⎞
2
B m πx m m =1
⎜⎝a ⎟
⎠ch αm ⋅sin a =M y (p) 由两个固支边的转动约束条件有：
∂w ∂y
y =±
b =∂
2
∂y
(w 1+w 2)y =±
b =0
2
将（n）式代入(q)式，可解得：
B =−2q o a 4
αm −th αm (1+αm th αm )m D (m π)5
ch α⋅m αm −th αm αm th αm −1
由此可得到约束弯矩M y 的分布：
(q)
(n) (r)
M y =f (x ) =
于是，原问题的挠度解答为：
4q o a 2
π3
1αm −th αm (1+αm th αm )m πx ⋅⋅ （s） sin ∑3
−−ααααm th th 1a m =1m m m m
∞
m πy ⎡
+αch αsh αch ()∞m m m 4q o a 1⎢+1−w =w 1+w 2= 5∑5⎢2
πD m =1,3,5, m ⎢ch αm αm ch αm +sh αm −αm sh αm
⎣
4
(9.44)
sh αm m πy m πy ⎤m πx
⋅⋅sin sh ⎥
ch αm αm ch αm +sh αm −αm sh 2αm a a ⎦a
§9-10 工程中薄板的计算原理
（1）单个矩形薄板的计算
对于在简支与固支边界条件下承受均布荷载的各种矩形薄板，很多工程结构设计手册给出关于挠度和弯矩的计算表格可供工程设计之用。设计手册是按材料泊松比v =0得到的挠度w 和弯矩
M x , M y 。而实际的跨中弯矩M x ′, M y ′应按下式计算：
⎫M x ′=M x +vM y ⎪
⎬ (9.45)
M y ′=M y +vM x ⎪⎭
实际的固支边界弯矩M x , M y 与挠度w ′可直接得到：
o
o
⎫M x o =M x ⎪
(9.46) ⎬o
M y =M y ⎪⎭
w ′=w (9.47)
以下给出（9.45）—(9.47)式的计算原理。薄板的弹性曲面微分方程可以写成：
∇4(Dw )=q （a）
对于固支及简支的边界条件，不外乎有如下的形式：
⎫∂∂2
Dw x =x 1=0, Dw x =x 1=0, 2Dw x =x 1=0⎪
∂x ∂x ⎪
（b） ⎬
∂∂2
Dw y =y 1=0, Dw y =y 1=0, 2Dw y =y 1=0⎪
⎪∂y ∂y ⎭
注意到微分方程（a）式与边界条件(b)式都不包括泊松比v ，所以板的挠度解答也与泊松比v 无关，
所以，实际的挠度解答可由（9.47）式计算。
当v =0时, 计算弯矩M x , M y 为：
⎫∂2∂2∂2
M x =−2Dw −v ⋅2Dw =−2Dw ⎪
∂x ∂y ∂x ⎪
（c） ⎬222
∂∂∂
M y =−2Dw −v ⋅2Dw =−2Dw ⎪
⎪∂y ∂x ∂y ⎭
对于实际的混凝土薄板，v =1/6≠0，所以根据（c）式， 实际的跨中弯矩M x ′, M y ′为：
22
⎫∂∂
M x ′=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =M x +v ⋅M y ⎪
∂x ∂y ⎪
（d） ⎬22
∂∂
M y ′=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =M y +v ⋅M x ⎪
⎪∂y ∂x ⎭
∂2
=0，由于固支边界上w x =x 1=0，w y =y 1=0 （挠度等于常数），所以(−2Dw )
∂y x =x
1
∂2
=0，于是，实际的固支边界弯矩M x o , M y o 为： (−2Dw )
∂x y =y
1
M x M y
o x =x 1
∂2∂2∂2
=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =(−2Dw ) =M x
∂x ∂∂y x x =x x =x x =x
1
1
1
o y =y 1
∂2∂2∂2
=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =(−2Dw )
∂y ∂x ∂y y =y y =y y =y
1
1
1
⎫
⎪⎪x =x 1⎪（e） ⎬
⎪
=M y
y =y 1⎪⎪⎭
显然(e)式与（9.46）式完全相同。
必须说明的是，对于具有自由边的矩形板，（9.45）—（9.47）式是不成立的，因为自由边的边界条件中包含有泊松比v ，在应用工程手册计算矩形板的挠度与弯矩时，应注意图表的适用范围。
（2）连续矩形薄板的近似计算
结构工程中常常会遇到连续的矩形薄板，例如房屋结构中的现浇钢筋混凝土楼盖多为连续的矩形薄板（见图9-16），这类结构需要计算板支座与跨中的弯矩，供配筋设计使用，应用本章的理论来精确地分析连续矩形薄板的内力将是一个非常复杂的工作，工程上难以实现，而采用大型有限元程序分析会大大增加工程设计的成本，实用上可将连续的矩形薄板简化为单个的矩形板计算，对板内的弯矩作适当的调整后，再用于配筋设计。以下用图9-16中的混凝土楼板简化计算作一说明。
图9-16
同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编）
设图9-16中的连续矩形薄板表面受均布荷载作用（包括自重），实际计算中只需取几个典型的矩形板计算即可，以图中阴影板为例，该板一边支承在边梁上，由于梁的抗扭刚度较小，对板的扭转约束可忽略不计，这一边可以近似地处理为简支边界；该板的其他三边均与相邻的板整体相连，毗邻的板对这三个边有较强的扭转约束，这三个边可以近似地简化为固支边界。于是阴影板合理的计算简图如图9-17所示。根据工程设计手册的计算图表，可容易地算得板的支座与跨中弯矩（见图9-17），由于计算简图的近似性，图中板的弯矩与实际情况有一定的差距，例如：OC 边上，边梁对板有（较小的）扭转约束，实际的支座弯矩y ≠0，因此设计中需要在OC 边上布置（构造）抗弯钢筋；实际的板在OA 、AB 与BC 边上可以有很小的转动，简图中的固支边界夸大了这些边上的扭转约束作用，因此图中的固支端弯矩M x , M y 比实际的要大，按M x , M y 进行配筋计算是偏于安全的；对于x 方向的跨中弯矩M x ，由于两端的固支边分担了过多的弯矩，所以图中M x 比实际弯矩要小， 配筋设计时应将M x 适当地扩大，以保证安全；对于Y 方向的跨中弯矩M y ，由于板的一端固支边夸大了扭转约束作用，而另一端简支边人为地减小了扭转约束作用，因此很难判断图中的M y 比实际的弯矩大还是小，为安全计，可将M y 作适当地扩大。
o o o o
图9-17
第九章 薄板小挠度弯曲
薄板是土木工程中常用的一种构件，例如房屋结构中大量采用的混凝土楼盖结构，设计中须分析板内的弯矩分布，为板的配筋设计提供依据，根据薄板形状以及受力的特点，它在弯曲变形时，属于空间问题，要获得其精确解是很困难的, 因此，在分析薄板弯曲问题时，除了弹性力学的基本假设以外，需引用一些关于应变和应力分布规律的附加假设，使问题得到简化。在这些计算假设的基础上建立一套完整的薄板弯曲理论，可以用来计算工程中的薄板问题，计算精度满足工程要求。本章就对这种薄板弯曲的小挠度理论作一介绍。
§9-1基本概念及计算假定 （1）基本概念
如图9-1的板，板厚度为t，板的最小宽度为b，平分板厚的平面称为中面，坐标平面xoy 与中面重合，对于不同厚度的板，作如下的分类： （A）t
1
b 时，板非常薄，称之为薄膜，板只能在其平面内承受张力，因板的抗弯刚度很小，80
不能承受弯矩； （B）
b b
，因板具有一定的抗弯刚≤t ≤时，称之为薄板，板可在其平面内承受张力（或压力）
8051
b 时，称之为厚板，如基础工程中的桩筏（满堂红承台）就属于厚板，此类问题不在
5
度，可承受弯矩作用，结构工程中绝大多数的板都属于薄板； （C）t >
本书的讨论范围内。
图9-1
作用在薄板上的力总可以分解为二个：（A）作用在板平面内的力，这一问题可归结为平面应力问题，可根据第三~五章的内容进行求解； （B）垂直于板面的力，这类力会使板产生垂直于板面（z轴方向）的位移，属于板的弯曲问题，也是本章要讨论的问题。
当薄板弯曲时，中面所形成的曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在横向的(即垂直于中面方向的)位移w ，称为挠度。
根据板挠度的大小，可分下列两个问题：
（A）挠度w ≤
1
t 时，符合小变形假设，为小挠度问题，结构工程中常见的板弯曲问题绝大数为5
1
t 时，不符合小变形假设，为大挠度问题，属非线性力学的范畴，这一问题已5
小挠度问题； （B）挠度w >
超出了本书的研究范围。
（2）计算假定（Kirchhoff-Love假定）：
（A） 变形前垂直于板中面的直线段(法线)在变形后仍保持为直线,并垂直于变形后的中面,且其长度不变，称为直法线假定，见图9-2，法线变形包括向下的位移w 及刚性转动，与材料力学的平截面假设相似。根据此假设，有εz =0及γzx =γzy =0（设板内的水平剪应力τzx , τzy 引起的形变不计，但剪应力本身并不为零，它们是维持平衡所必需的）。
图9-2
（B）与σx , σy , τxy 相比，σz 小得多，在计算变形时可忽略不计，即板内纵向纤维无挤压，与梁弯曲问题中的纵向纤维间无挤压的假设相似。
，板的挠度 （C）薄板中面在平面内的位移为零：u z =0=0，v z =0=0（法线的中点无水平位移）
w =w (x , y ) ，与z 无关。
§9-2 基本关系式与弹性曲面方程
如图9-3的矩形板，板上表面受面荷载q (x
, y ) 的作用，设体力X=Y=Z=0，实际应用时，体力可化为外荷载。
图9-3
由计算假定（A）γzx =γzy =0⇒
∂u ∂w ∂u ∂w ∂w +=0⇒=−⇒u =−⋅z +f 1(x , y ) , 又由计∂z ∂x ∂z ∂x ∂x
算假定（C）u z =0=0⇒f 1(x , y )=0，于是：
u =−
∂w
⋅z (9.1) ∂x
同理：
v =−
所以：
∂w
⋅z (9.2) ∂y
∂u ∂∂w ∂2w ⎫εx ==(−z ) =−2z ⎪
∂x ∂x ∂x ∂x ⎪
⎪∂v ∂2w ⎪
εy ==−2z ⎬ (9.3)
∂y ∂y ⎪
2⎪∂u ∂v ∂w z γxy =+=−2⎪
∂y ∂x ∂x ∂y ⎪⎭
将(9.3)式代入物理方程：
∂2w ⎫E Ez ∂2w
+ν2) ⎪σx =(εx +νεy ) =−(
∂y ⎪1−ν21−ν2∂x 2
∂2w ⎪E Ez ∂2w ⎪
+=−+(ενε) (ν) (9.4) σy =y x 2222⎬∂x ⎪1−ν1−ν∂y
⎪E Ez ∂2w
τxy =γxy =−⎪
2(1+ν) 1+ν∂x ∂y ⎪⎭
将（9.4）式代入第一个平衡方程得：
∂2w Ez ∂3w Ez ∂3w ∂τxz
−+ν+=0 (a) () −
∂x ∂y 21+ν∂x ∂y 2∂z 1−ν2∂x 3
即：
∂τxz Ez ∂=⋅(∇2w ) (b) 2∂z (1−ν) ∂x
积分上式并利用边界条件τzx
z =±
t 2
=τxz
z =±
t 2
=0，得：
E t 2∂22
z w ) (9.5) τxz =() (⋅−⋅∇2
2(1−ν) 4∂x
同理，将（9.4）式代入第二个平衡方程可得：
E t 2∂22
z w ) (9.6) τyz =((⋅−⋅∇2
2(1−ν) 4∂y
需要说明的是， τxz ≠0, τyz ≠0，它们是维持平衡所必需的，但它们引起的形变γzx , γzy 与其他形变相比很小，可以略去不计（假设（A））。
将(9.5) (9.6)二式代入第三个平衡方程得：
∂τxz ∂τyz ∂σz E t 224
z w (c) =⋅(−) ⋅∇=−−2
∂z ∂x ∂y 2(1−ν) 4
对(c)式积分，并利用边界条件σz
z =
t
2
=0 （下表面荷载为0），得：
Et 31z 2z 4
w (9.7) σz =−i −+⋅∇() (12
t 6(1−ν) 2t
最后，由边界条件：σz
z =−
t
2
=−q ，得：
q
(9.8) D
∇4w =式中：
Et 3
（9.9） D =
12(1−ν2)
(9.8)式即为薄板受荷载时的弹性曲面方程，（9.9）式D 称为薄板的弯曲刚度，它的单位是[力][长度]。根据方程(9.8)及板边上的支撑边界条件，就可得到挠度w 的函数，回代前面(9.1)—（9.7）式就可得位移、应力与应变的函数。
§9-3 薄板横截面上的内力表达式
由上节得到的应力解答一般很难精确满足边界条件，只能由Saint-Venant 原理，由内力来近似满足边界条件。工程上也习惯采用内力（单位长度上的内力）来进行计算,在结构设计上更为方便。
图9-4
任取一边长为dx,dy 的薄板微体，见图9-4的平行六面体，设单位板宽内的内力为，M x , M y , M xy , M yx , Q x , Q y 。板截面上分别作用有应力σx , σy , τxy , τyx , τxz , τyz （见图中阴影部分）规定图9-4中的方向为正向, 其中σx , σy , τxy , τyx 都与坐标z 成正比，为z 的奇函数，所以在宽度dy
的截面上，σx 的作用效果仅有弯矩，轴力为零，弯矩为：
t 2
M x ×dy =
∫σ
−
x
zdz ×dy
（a）
t
2
所以：
t 2
M x =
∫σ
x
zdz
−
t 2
同理有：
t 2
M y =
∫σ
y
zdz （c）−
t 2
t 2
M xy =M yx =∫τxy z dz
−
t
2
而τxz , τyz 为坐标z 的二次函数，其作用效果为剪力，单位板宽内的剪力为：
t 2
Q x =∫τxz dz （e）−
t 2
t 2
Q y =
∫τ
yz
dz （f）−
t 2
将σx , σy , τxy , τxz 的位移表达式(9.4)—（9.7）代入上面(b)—（f）各式有：
M =−D (∂2w ∂2w
⎫x ∂x 2+v ∂y
2)
⎪⎪
2M ∂w ∂2w
⎪y =−D (∂y 2+v ∂x 2⎪
⎪
∂2M =M (1−v ) w ⎪⎪
xy yx =−D ∂x ∂y ⎬
⎪
Q ∂
⎪x =−D ∂x ∇2w ⎪
⎪ （9.10）Q −D ∂2⎪
y =∂y
∇w ⎪⎪⎭
（b）
（d）
§9-4 薄板横截面上的内力平衡方程
取如图9-5边长为dx 和dy,高为t 的矩形微分板单元体, 其四个边上的内力（单位长度上的内力）如图所示，上面作用有横向分布荷载为q 。
图9-5
显然，对于图9-5所示的空间一般力系，6个平衡方程中有3个方程自动满足。其余还有3个平衡方程，由∑Z =0得：
∑X =0, ∑Y =0, ∑M
Z
=0
∂Q x ∂Q y
++q =0 ∂∂x y （9.11）
又由∑M x =0, ∑M y =0得：
∂M x ∂M yx ⎫
+⎪∂x ∂y ⎪
⎬
∂M xy ∂M y ⎪（9.12）Q y =+
⎪∂x ∂y ⎭
Q x =
将（9.12）式代入（9.11）式得：
∂2M xy ∂2M y ∂2M x
+2++q =022
∂x ∂y ∂y （9.13） ∂x
（9.13）式即为内力（弯矩与扭矩）所满足的平衡微分方程式。将（9.10）式M x , M xy , M y 位移表达式代入(9.13)式有：
∇4w =
q
D (a)
上式与（9.8）式完全相同。
§9-5 矩形薄板的边界条件
薄板横截面上有三个内力，在边界上由内力表示的边界条件应有三个，分别为弯矩、扭矩与横向剪力边界条件，但根据微分方程理论，求解薄板的弯曲方程∇w =
4
q
时，只需两个内力的边界条
件即可，而现在有三个，可见三个内力边界条件并非完全独立，有必要对边界条件进行合并处理。
（1）扭矩的等效剪力
考察图9-6的薄板，在AB,BC 边界上分别受有分布扭矩M yx ，M xy 的作用，现以AB 边上的扭矩为例进行等效剪力分析。
图9-6
见图9-7，取AB 边任意两个相邻的微段，这两个微段上所受到扭矩力的大小分别为
M yx dx , (M yx +
∂M yx ∂x
dx ) dx （见图9-7（a），注意到M yx 为单位长度上的扭矩），平面内的一个扭矩
力可以等效为一对力偶（见图9-7（b））, 两个微段公共边上方向相反的集中剪力M yx 相互抵消，只
剩下集中剪力
∂M yx ∂x
）,此集中剪力除以微段长度dx 就化为分布剪力dx （见图9-7（c）
∂M yx ∂x
（见图
9-7（d）所示）。将上述分析方法用于AB 边的所有微段上，就可得到图9-7（d）的结果。所以板内
的扭矩可以等效为分布剪力及两个端点的集中剪力，AB边上总的分布剪力为：
V y =Q y +
∂M yx
∂
x （9.14）
图9-7
同理，BC边上总的分布剪力为：
V x =Q x +
∂M xy
∂y （9.15）
V x , V y 的符号规定同Q x , Q y 。角点集中力如图9-8所示，图中指向为正，角点B 处的集中力为：
R B =(M yx )+(M xy )=2(M xy )
B
B
B
（9.16）
图9-8
将总的剪力和集中力由挠度表示为：
⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v )V x =Q x +∂y ∂x ∂y 2⎥⎣∂x ⎦∂M yx ⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v )2⎥V y =Q y +∂x ∂x ∂y ⎦⎣∂y R B =(M yx )+(M xy )
B
B
∂M xy
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪（9.17）
⎛∂2w ⎞⎪
=−D (2−v )⎜⎟⎪
⎪ ⎝∂x ∂y ⎠B ⎭
（2）边界条件
以图
9-9所示的矩形薄板为例,说明简支边界、固支边界、自由边界以及角点边界条件的写法。图中简支边采用虚线表示, 固支边采用斜线表示。
图9-9
简支边界OC（y=0）:挠度和弯矩为零，即
w
y =o
=0
⎛∂2w ∂2w ⎞=−D ⎜2+v 2⎟
∂x ⎠y =0⎝∂y
y =o
M y
y =0
⎫
⎪⎪⎬=0⎪⎪⎭
（9.18）
上式与简支梁支座的边界条件相似，因为w 界上挠度为常数），所以=0（在边
∂w
∂x
y =0
∂2w =2
∂x
=0，于是简支边界又可写为
y =0
=0⎫
⎪⎪2
⎬∂w
=0⎪（9.19）
∂y 2y =0
⎪⎭
w
y =0
固支边界OA（x=0）:挠度和转角为零（与固支梁端的边界条件相似），即
=0⎫⎪
∂w ⎬
=0⎪（9.20） ∂x x =0⎭
x =0
w
自由边界AB(y=b)与BC(x=a)：弯矩与总剪力为零，即
M y
V y 与
y =b
⎡∂2w ∂2w ⎤
=−D ⎢2+v 2⎥=0
y x ∂∂⎣⎦y =b
y =b
⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v ) 2⎥
∂x ∂y ⎦y =b ⎣∂y
⎫
⎪⎪⎬⎪（9.21） =0⎪ ⎪⎭
M x V x
x =a
⎡∂2w ∂2w ⎤
=−D ⎢2+v 2⎥=0
∂∂x y ⎣⎦x =a
x =a
⎡∂3w ∂3w ⎤
=−D ⎢3+(2−v ) 2⎥∂∂∂x x y ⎣⎦x =a
⎫
⎪⎪⎬⎪（9.22） =0⎪ ⎭
角点B (x =a , y =b ) 边界条件：集中力为零，即
R B =2(M xy )
§9-6 单向板的柱面弯曲
B
∂2w =
∂x ∂y
=0
x =a y =b
（9.23）
若矩形板一个方向的长度比另一个方向的长度要大许多,见图9-10, 设板上荷载沿y 方向没有变
化, 荷载仅为的x 函数,板受荷载变形后成为柱形曲面, 柱面的母线与y 轴平行,板的挠度w 不随y 变
化，所以板的挠度为:
w =
w (x ) (9.24)
图9-10
则薄板弹性曲面方程变为:
d 4w (x ) q (x )
= (9.25) 4
dx D
Et 3
这里D =为板的抗弯刚度, 于是板内的各个内力分量为： 2
12(1−ν)
⎫d 2w
M x =−D 2⎪dx ⎪2
d w ⎪
M y =−νD 2=νM x ⎪
dx
⎪
（9.26） M xy =M yx =0⎬
⎪
d 3w dM x ⎪
Q x =−D 3=
dx dx ⎪
⎪Q y =0
⎪⎪⎭
工程上采用简化方法，沿y 方向任取一单位长度的板条进行分析, 将其等效为梁的弯曲问题进行
分析，则板条梁的平衡微分方程为：
d 4x ) q (x )
= （9.27） 4
dx EI Et 3
式中：(x ) ，EI =分别为单位宽度板条的挠度与抗弯刚度。
12
比较方程（9.25）与（9.27）可以发现，在给定相同荷载及边界条件的情况下，板的挠度w 与等效板条梁的挠度有如下的对应关系：
w (x ) =(1−ν) x ) （9.28）
2
板的内力与等效板条梁的内力也有如（9.28）式相同的关系。对于混凝土板ν=
1
，则：6
1−ν2≈0.972，可见等效板条梁的位移、内力与实际板的位移、内力非常相近，两者的相对误差在
3%以内。等效板条梁的计算精度完全满足工程要求。对于钢板ν=0.25，1−ν2≈0. 94，两者的相对误差约6%，计算精度在工程上也是可以接受的。
必须指出的是等效板条梁模型所计算的是板短跨方向的弯矩M x ，而无法得到单向板在长跨上的弯矩M y ，工程上按等效梁理论计算时，容易误认为板的长向没有弯矩作用，事实上，板的长跨方向仍有弯矩作用，根据（9.26）式，其大小为M y =νM x ，在结构设计中应注意这一问题。
§9-7 简支边矩形薄板的Navier 解法
图9-11所示为四边简支矩形薄板，边长分别为a 和b，受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。此问题的边界条件为
∂2w
w x =0=0, 2=0, w
∂x x =0
∂2w
w y =0=0, 2
∂y
y =0
⎫∂2w
==0, 0⎪x =a
∂x 2x =a
⎪
⎬2
∂w
=0, w y =b =0, 2=0⎪
⎪∂y y =b
⎭ (9.29)
图9-11
设挠度函数为
w =∑∑A mn ⋅sin
m =1n =1
∞∞
m πx n πy
（9.30） ⋅sin
a b
4
显然w 满足所有边界条件（9.29）式，代入方程∇w =其中m,n 为正整数，A mn 为待定系数，
4
∞
∞
q
得：
⎛m 2n 2⎞m πx n πy sin =q (x , y ) πD ∑∑⎜2+2⎟A mn sin
b ⎠a b m =1n =1⎝a (9.31)
将(9.30)式两边分别对x, y积分,并利用下列三角函数系的正交性:
(a)
得
4b
y ) ⋅sin
m πx n A 0
∫
q (x , mn =
∫
a
sin πy
dxdy 222π4abD ⎛⎜m n ⎞⎝a 2+b 2⎟
⎠
所以
∞
∞
4w =∑∑
∫
a
∫
b
q (x , y ) ⋅sin
m πx n πsin y dxdy
m πx n πm =1n =1
22⋅sin ⋅sin
y π4
abD ⎛⎜m n ⎞2a b ⎝a 2+b 2⎟
⎠ (9.32)
⎛∂2w ∂2w ⎞∞∞M ⎡⎛m π⎞2⎛n π⎞2⎤
m πx n πy ⎫x =−D ⎜⎝∂x 2+v ∂y 2⎟⎠=∑∑A mn ⎢m =1n =1⎢⎣⎜⎝a ⎟⎠+v ⎜⎝b ⎟⎠⎥⎥sin
sin ⎦
a b ⎪⎪⎛∂2w ∂2w ⎞∞∞M ⎡⎛n π⎞2⎛m π⎞2⎤
y =−D ⎜⎝∂y 2+v ∂x 2⎟⎠=∑∑A mn ⎢m =1n =1⎢⎣⎜⎝b ⎟⎠+v ⎜⎝a ⎟⎠⎥
sin m πx ⎬⎦⎥a sin n πy ⎪b ⎪⎭当q =q 0(常数), 为均布荷载时：
A 16q 0
mn =
22
2
(m , n =1,3,5, )
π6Dmn ⎜
⎛m
⎝a
2
+n ⎞
b 2⎟⎠
M x , M y 的最大值发生在板中央x =
a b
2, y =2
处： (m +n )
∞
∞
M (−1)
2
−1⎡⎛m ⎞2⎛n 2
⎫x ,max =M x
x =a /2, y =b =16q
0⎪/2
π4D m =∑1,3,5,... n =∑1,3,5,...
222
⎢⎜⎪mn ⎛⎜m n ⎞⎢⎣⎝a ⎟⎠+v ⎜⎞⎤⎝b ⎟⎠⎥⎥⎦⎪⎝a
2+b 2⎟⎠⎪
(m +n )
⎬M =16q ∞∞−1⎞20(−1) 2⎡⎛n π⎞2⎛m π⎤⎪y ,max =M y
x =a /2, y =b /2
π4D m =∑1,3,5,... n =∑2⎢1,3,5... mn ⎛⎜m 2n 2⎞⎢⎣⎜⎝b ⎟⎠+v ⎜⎝a ⎟⎠⎥⎪
⎦⎥⎪ （9.35）⎝a 2+b 2⎟⎠⎪
⎪⎭
对于四边简支的混凝土板,可根据上述的最大弯矩（每米内的弯矩）进行配筋计算。
(b)
（9.33）
（9.34）
当板上作用有集中力P 时，作用点位置坐标为(x o , y o ),见图
9-12
图9-12
P 作用在微元面积∆S =∆x ⋅∆y 上的分布荷载为：
q =根据中值定理有：
∆x ⋅∆y ) （c）
P m πx n πy
sin sin d xdy =
222∫∫∆x ⋅∆y a b ⎛m n ⎞∆S 4
πabD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a
⎛P m πx o n πy o ⎞4
sin sin （d）=⋅⋅⋅⎜⎟∆x ⋅∆y =222x y a b ∆⋅∆⎛m n ⎞⎝⎠
π4abD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a
m πx o n πy o 4P
sin sin =⋅⋅
222a b ⎛⎞m n 4
πabD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a A mn =
4
将(d)式代入（9.33）式，得到弯矩为：
2
⎡⎛m ⎞2m πx n πy ⎫⎛n ⎞⎤
sin ⎪⎢⎜⎟+v ⎜⎟⎥sin a b ⎪⎝b ⎠⎦⎢⎝a ⎠⎥⎣
⎪⎪⎬22∞∞
m πx o n πy o ⎡⎛n ⎞4P m πx n πy ⎪⎛m ⎞⎤sin sin sin sin M y =∑∑v ⋅⋅+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎪222a b b a a b ⎝⎠⎝⎠m =1n =1⎛⎞⎢⎥m n ⎣⎦⎪(9.36) π2abD ⎜2+2⎟
⎪b ⎠⎝a ⎭
m πx o n πy o
sin sin M x =∑∑⋅⋅
222a b m =1n =1⎛⎞m n 2
πabD ⎜2+2⎟
b ⎠⎝a
∞
∞
4P
工程中，当四边简支的混凝土板上局部作用有集中荷载时，如固定的设备荷载等，可采用（9.36）式估计板内作用的弯矩。Navier 方法求解简单，但计算量较大，级数收敛较慢,且只能用于四边简
支的矩形板。
§9-8Levy 解法
图9-13所示的矩形板，两对边简支，其他两对边可为任意的支承形式（自由边、简支或固支），板上受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。两对边简支边界条件为：
∂2w
w x =o =0, 2
∂x ∂2w
w x =a =0, 2
∂x
x =o
=0
x =a
=0
（9.37）
图9-13
于是可设解为:
w =∑Y m (y )⋅sin
m =1
∞
m πx
(9.38) a
显然上式满足边界条件（9.37）式，将上式代入方程∇w =
∞
4
q (x , y )
得：
242
⎡d 4m (y ) ⎤m πx q (x , y ) ⎛m π⎞d m (y ) ⎛m π⎞
2(y ) sin −⋅+=⎢∑⎜⎟⎜⎟Y m ⎥42
dy a D ⎝a ⎠⎝a ⎠m =1⎢⎥⎣dy ⎦
（a）
将
q (x , y )
展为关于x 的付氏级数： D
q (x , y ) ∞⎡2a q (x , y ) m πx ⎤m πx
sin dx ⎥⋅sin =∑⎢∫0D D a a ⎦m =1⎣a
（b）
将（b）式代入(a)式,比较两边级数的系数得：
d 4m (y ) dy 4
⎛m π⎞d m (y ) ⎛m π⎞
−2⎜+⎜⎟⋅⎟2
a dy ⎝⎠⎝a ⎠
2
24
2a q (x , y ) m πx
（9.39） (y ) sin d x =⋅Y m
a ∫0D a
*m
上面（9.39）式为非齐次常微分方程，其一般解可表为齐次方程的通解m (y ) 与一个特解Y 和：
(y ) 的
*
(y ) =(y ) +Y m m (y ) Y m
齐次方程的通解为： m (y ) =A m ch 所以挠度解可以写为：
(9.40)
m πy m πy m πy m πy m πy m πy
（c） +B m ⋅sh +C m sh +D m ⋅ch
a a a a a a
m πy m πy m πy m πy m πy m πy m πx *⎡⎤
w =∑⎢A m ch sh ch +B m +C m sh +D m +Y m (y )⎥⋅sin
a a a a a a a ⎦m =1⎣
∞
（9.41）
(9.41)式中的待定系数A m , B m , C m , D m 可由另外两个边y =±b /2的边界条件决定，特解由荷载q (x , y ) 的具体形式确定。
根据微分方程（9.39）例9-1、应用Levy 解法求解受均布荷载q (x , y ) =q 0作用的四边简支薄板。式，方程的右边项为：
Y (y )可
m
*
⎧0
2q 02a q (x , y ) m πx ⎪
π=−=sin 1cos m ()⎨4q 0
πDm a ∫0D a ⎪πDm
⎩
可设特解
(m =2, 4,6, )(m =1,3,5, )
（d）
Y
*
m
，代入方程（9.39）可得： (y ) =A （常数解）
⎧4a 4q 0
*⎪55
y =()⎨πDm Y m
⎪0⎩
(m =1,3,5, )(m =2, 4,6, )
（e）
本问题挠度解答关于x 轴对称，所以
Y
m
(y ) 应为偶函数，则待定系数C m =D m =0。由边界条件：
⎫
w b =0⎪y =2⎪
⎬2
⎪ （f） ∂w =02y =b ⎪∂y 2⎭
可求得：
2(2+αm th αm )q 0a 4⎫
A m =−⎪
π5Dm 5ch αm ⎪
⎬ (m =1,3,5, ) (g) 4
2q a ⎪B m =505
⎪πDm ch αm ⎭
及：
A m =0⎫ ⎬ (m =2, 4,6, ) (h) B m =0⎭
式中：
αm =
m πb
（i） 2a
注意到，由于已利用了对称性，所以上面只用到了一边（y =b /2）的边界条件。最后的解答为：
4q 0a 4w =5
πD
2αm y αm 2y 2αm y ⎞1⎛2+αm th αm m πx
1ch sh s in −⋅+⋅⋅⋅⎟∑5⎜
2ch αm 2ch αm b b b ⎠a m =1,3,5, m ⎝
∞
（g）
板中最大弯矩为：
M x ,max =M x M y ,max
式中：
2
⎫=αq a o x =a /2, y =0⎪⎬
=M y =α1q o a 2⎪
x =a /2, y =0⎭
(9.42)
12
α=−3
8π
⎫
(1−ν) αm th αm +2⎪⋅
⎪ch αm ⎪
⎬ (9.43) m −1
ν2∞(−1) 2(1−ν) αm th αm −2ν⎪
⎪α1=+2∑⋅3
8πm =1,3,5,... m ch αm ⎪⎭
(−1)
∑m 3m =1,3,5,...
∞
m −12
工程上，可根据不同的板尺寸a , b 可制成表格使用。计算结果表明，当b /a 增大时，板中最大弯矩很快趋近于单向板条（b /a =∞）的计算值，当b /a =3时，两者相差约6.5%，所以当b /a ≥3时，可近似地按单向板条计算，计算精度满足工程要求。
例9-2、现有一边长为a 和b，四边简支的矩形板，在y =±b /2的边界上受分布弯矩M y =f (x ) 的作用（见图
9-14）,求挠度的表达式。
图9-14
因为板面无荷载作用q (x , y ) =0，所以基本方程为：
∂4w ∂4w ∂4w
+222+4=0 4∂∂∂∂x x y y （h）
边界条件为：
w
x =o . a
=0=0
∂2w ∂x 2w
y =±
x =0, a
b 2
=0∂2w =−D 2
∂y
M y
y =±
b 2
y =±
b 2
⎫⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪
⎪ （i）⎪=f (x )⎪
⎪⎭
采用Levy 方法，本问题的解答由（9.41）式确定，由于q (x , y ) =0，根据方程（9.39）可得到一个特解为：
Y (y )=0
m
*
(j )
又根据对称性，w 为y 的偶函数，则C m =D m =0，所以：
m πy m πy m πy ⎤m πx ⎡
+B m ⋅sh ⋅sin w =∑⎢A m ch a a a ⎥a ⎦m =1⎣
∞
(k )
由边界条件w 得：
y =
b
2
=0，M y
y =
b 2
∂2w =−D 2
∂y
y =
b 2
=f (x )（因为对称性已利用，只用一个边界条件即可）
a αm th αm
A m =
Dm 2π2ch αm B m =−
a
∫
a
f (x ) ⋅sin
a
Dm 2π2ch αm
∫
m πx ⎫
dx ⎪a ⎪
⎬
m πx ⎪
f (x ) ⋅sin dx
⎪a ⎭ （l）
其中αm 由（i）式确定，所以：
w =∑
∞
a Dm 2π2ch αm
m =1
∫
a
f (x ) ⋅sin
m πx ⎡m πy m πy m πy ⎤m πx
−⋅sh ⋅sin dx ⎢αm th αm ⋅ch
a a a a ⎥a （m）⎣⎦
§9-9 薄板弯曲的叠加法
图9-15（1）为两对边简支而另外两对边固支的矩形薄板，边长分别为a 和b，受均匀分布荷载q o
作用，求挠度w。取如图所示的坐标，采用求解超静定结构的方法，首先放松两个对称固支边的转动，这一约束，代之以相应的反力—弯矩M y =f (y ) ，薄板成为四边简支的受力体系，见图9-15（2）
问题可分解为图9-15（3）受均布荷载q o 与图9-15（4）两对边受分布弯矩M y =f (y ) 的两个情形，根据叠加原理，将两个情形的解答叠加起来就是原问题的解。
图9-15
根据例9-1与9-2，已知图9-15（3）（4）的解答分别为：
∞
=4q 4w o a m =∑1⎛2αm y αm 2y 2αm y ⎞1π5
D
1,3,5, m 5⎜⎝1−2+αm th αm 2ch α⋅ch m b +2ch α⋅sh ⎟⋅s in m πx ⎫
⎪m b b ⎠
a ⎪∞
w ⎛m πx 2=⋅sh m πx ⎬−αm πx ⎞m πx ⎪m th m =∑B m 1,3,5, ⎜⎝a a αm ch a ⎟⎠⋅sin a ⎪⎭
其中：
B a m =−
Dm 2π2ch α(x ) ⋅sin
m πx
a
dx (o) m
∫
a
f 或：
f (x ) =−2D ∑∞
⎛m π⎞
2
B m πx m m =1
⎜⎝a ⎟
⎠ch αm ⋅sin a =M y (p) 由两个固支边的转动约束条件有：
∂w ∂y
y =±
b =∂
2
∂y
(w 1+w 2)y =±
b =0
2
将（n）式代入(q)式，可解得：
B =−2q o a 4
αm −th αm (1+αm th αm )m D (m π)5
ch α⋅m αm −th αm αm th αm −1
由此可得到约束弯矩M y 的分布：
(q)
(n) (r)
M y =f (x ) =
于是，原问题的挠度解答为：
4q o a 2
π3
1αm −th αm (1+αm th αm )m πx ⋅⋅ （s） sin ∑3
−−ααααm th th 1a m =1m m m m
∞
m πy ⎡
+αch αsh αch ()∞m m m 4q o a 1⎢+1−w =w 1+w 2= 5∑5⎢2
πD m =1,3,5, m ⎢ch αm αm ch αm +sh αm −αm sh αm
⎣
4
(9.44)
sh αm m πy m πy ⎤m πx
⋅⋅sin sh ⎥
ch αm αm ch αm +sh αm −αm sh 2αm a a ⎦a
§9-10 工程中薄板的计算原理
（1）单个矩形薄板的计算
对于在简支与固支边界条件下承受均布荷载的各种矩形薄板，很多工程结构设计手册给出关于挠度和弯矩的计算表格可供工程设计之用。设计手册是按材料泊松比v =0得到的挠度w 和弯矩
M x , M y 。而实际的跨中弯矩M x ′, M y ′应按下式计算：
⎫M x ′=M x +vM y ⎪
⎬ (9.45)
M y ′=M y +vM x ⎪⎭
实际的固支边界弯矩M x , M y 与挠度w ′可直接得到：
o
o
⎫M x o =M x ⎪
(9.46) ⎬o
M y =M y ⎪⎭
w ′=w (9.47)
以下给出（9.45）—(9.47)式的计算原理。薄板的弹性曲面微分方程可以写成：
∇4(Dw )=q （a）
对于固支及简支的边界条件，不外乎有如下的形式：
⎫∂∂2
Dw x =x 1=0, Dw x =x 1=0, 2Dw x =x 1=0⎪
∂x ∂x ⎪
（b） ⎬
∂∂2
Dw y =y 1=0, Dw y =y 1=0, 2Dw y =y 1=0⎪
⎪∂y ∂y ⎭
注意到微分方程（a）式与边界条件(b)式都不包括泊松比v ，所以板的挠度解答也与泊松比v 无关，
所以，实际的挠度解答可由（9.47）式计算。
当v =0时, 计算弯矩M x , M y 为：
⎫∂2∂2∂2
M x =−2Dw −v ⋅2Dw =−2Dw ⎪
∂x ∂y ∂x ⎪
（c） ⎬222
∂∂∂
M y =−2Dw −v ⋅2Dw =−2Dw ⎪
⎪∂y ∂x ∂y ⎭
对于实际的混凝土薄板，v =1/6≠0，所以根据（c）式， 实际的跨中弯矩M x ′, M y ′为：
22
⎫∂∂
M x ′=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =M x +v ⋅M y ⎪
∂x ∂y ⎪
（d） ⎬22
∂∂
M y ′=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =M y +v ⋅M x ⎪
⎪∂y ∂x ⎭
∂2
=0，由于固支边界上w x =x 1=0，w y =y 1=0 （挠度等于常数），所以(−2Dw )
∂y x =x
1
∂2
=0，于是，实际的固支边界弯矩M x o , M y o 为： (−2Dw )
∂x y =y
1
M x M y
o x =x 1
∂2∂2∂2
=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =(−2Dw ) =M x
∂x ∂∂y x x =x x =x x =x
1
1
1
o y =y 1
∂2∂2∂2
=(−2Dw ) +v ⋅(−2Dw ) =(−2Dw )
∂y ∂x ∂y y =y y =y y =y
1
1
1
⎫
⎪⎪x =x 1⎪（e） ⎬
⎪
=M y
y =y 1⎪⎪⎭
显然(e)式与（9.46）式完全相同。
必须说明的是，对于具有自由边的矩形板，（9.45）—（9.47）式是不成立的，因为自由边的边界条件中包含有泊松比v ，在应用工程手册计算矩形板的挠度与弯矩时，应注意图表的适用范围。
（2）连续矩形薄板的近似计算
结构工程中常常会遇到连续的矩形薄板，例如房屋结构中的现浇钢筋混凝土楼盖多为连续的矩形薄板（见图9-16），这类结构需要计算板支座与跨中的弯矩，供配筋设计使用，应用本章的理论来精确地分析连续矩形薄板的内力将是一个非常复杂的工作，工程上难以实现，而采用大型有限元程序分析会大大增加工程设计的成本，实用上可将连续的矩形薄板简化为单个的矩形板计算，对板内的弯矩作适当的调整后，再用于配筋设计。以下用图9-16中的混凝土楼板简化计算作一说明。
图9-16
同济大学结构工程与防灾研究所 （李遇春编）
设图9-16中的连续矩形薄板表面受均布荷载作用（包括自重），实际计算中只需取几个典型的矩形板计算即可，以图中阴影板为例，该板一边支承在边梁上，由于梁的抗扭刚度较小，对板的扭转约束可忽略不计，这一边可以近似地处理为简支边界；该板的其他三边均与相邻的板整体相连，毗邻的板对这三个边有较强的扭转约束，这三个边可以近似地简化为固支边界。于是阴影板合理的计算简图如图9-17所示。根据工程设计手册的计算图表，可容易地算得板的支座与跨中弯矩（见图9-17），由于计算简图的近似性，图中板的弯矩与实际情况有一定的差距，例如：OC 边上，边梁对板有（较小的）扭转约束，实际的支座弯矩y ≠0，因此设计中需要在OC 边上布置（构造）抗弯钢筋；实际的板在OA 、AB 与BC 边上可以有很小的转动，简图中的固支边界夸大了这些边上的扭转约束作用，因此图中的固支端弯矩M x , M y 比实际的要大，按M x , M y 进行配筋计算是偏于安全的；对于x 方向的跨中弯矩M x ，由于两端的固支边分担了过多的弯矩，所以图中M x 比实际弯矩要小， 配筋设计时应将M x 适当地扩大，以保证安全；对于Y 方向的跨中弯矩M y ，由于板的一端固支边夸大了扭转约束作用，而另一端简支边人为地减小了扭转约束作用，因此很难判断图中的M y 比实际的弯矩大还是小，为安全计，可将M y 作适当地扩大。
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图9-17