第26卷第3期2005年9月
固体力学学报
ACTA MECHAN I CA SOLI DA SI N I CA
Vo. l 26N o . 3
Septe m ber 2005
弹性地基上矩形薄板问题的
H a m ilton 正则方程及解析解
*
钟 阳 张永山
(大连理工大学土木学院, 大连, 116024) (广州大学土木学院, 广州, 510405)
摘 要 利用辛算法求出弹性地基上矩形薄板问题的解析解, 将弹性地基视为双参数弹性地基, 直接从弹性矩形薄板的控制方程推导出了问题的H am ilton 正则方程, 为求出任意边界条件下问题的理论解奠定了基础, 并且通过算例验证了文中所采用方法的正确性.
关键词 弹性薄板, 弹性地基, H a m ilton 正则方程, 辛算法, 解析解
0 引言
弹性矩形板是土木工程中最常见的一种结构形
式, 例如:高速公路中的水泥混凝土路面和机场跑道、高层建筑的基础等等. 但其解析解只有在较简单的边界条件下才可以得到(如四边简支或对边简支). 对于复杂的边界条件, 只有采用数值解. 钟万勰教授将辛算法引入弹性力学问题的求解过程, 使得一些无法获得解析解的问题得到了解决. 辛几何法求解问题的关键之一, 是要把所求的问题表示成为H a m ilton 正则方程, 进而可利用辛几何空间的分离变量法求出解析解. 本文将弹性地基视为双参数弹性地基, 直接从弹性矩形薄板的控制方程出发, 推导出了问题的H a m ilton 正则方程, 为利用辛几何方法求出任意边界条件的理论解奠定了基础. 利用所得到的H a m ilton 正则方程, 文中还给出算例来验证方法的正确性.
1 弹性地基上矩形薄板的Ha m ilton 正则方程双参数弹性地基上弹性矩形薄板问题的其控制
[5]
方程为
G s 24K q
W - W +W =(1)
D D D
32
其中D =E h /[12(1- ) ]为板的抗弯刚度. E, , h 分别为材料的弹性模量, 泊松比和厚度. G s 和K 分别为地基的剪切模量和反应模量. W 为板的竖向挠度. 由弹性板的理论可知, 板的内力可以用板的竖向挠度W 表示. 例如, 板的弯矩
22 M x =-D 2+2
x y
[1~4]
M y =-D + y x
由(2) 和(3) 式相加可得
=M x +M y =-D (1+ ) + x y -D (1+ ) W 令
2
2
2
22
(3)
(4)
M x +M y W M
= , =- (5)
D (1+ ) y y
则(1) 和(4) 式可表示为
M =-2
G s =W -+-D D D x
2
(6)
W
=M -(7) x
为了表示成H a m ilton 正则方程, 可把(5) 式中的第三式和(6), (7) 式写成
=-K K
=-D K x
2
=W -G s K -+22D D x K D D K
2
(8) (9)
(10)
由(5) 式中的第二式以及(8), (9) 和(10) 式可写成
Z
=H Z +f y
其中
(11)
(2)
稿
! 326!
固体力学学报 2005年第26卷
Z =[W N ], H =
00
2
T
Q B
A -Q
T
形薄板的边界条件为当x = a; 有M x =0; . x =0 x 为板的总剪力, 它也可用板的竖向挠度W 表示
[5]
1
, A =
K
D
Q =
00-K
. 将(17) 式代入边界条件后, 经整理后可得到
2
2
2
2
关于x 轴对称部分有
A W ( + ! ) Ch (a ) +C W ( + ! ) Ch (a ) =0A W [ +(2- ) ! ]Sh (a ) +C W [ ( + (2- ) ! ]Sh (a ) =0
(18)
并令其系数行列式为零, 可得到本征值的超越方程为
2222
[ Th (a ) -! [ +! ( -2) ]( + ! )
Th (a ) =0(19) 同理也可得到关于x 轴反对称部分2222
B W ( + ! ) Sh (a ) +C W ( + ! ) Sh (a ) =0B W [ +(2- ) ! ]C h (a ) +C W [ ( + (2- ) ! ]Ch (a ) =0
(20) 并令其系数行列式为零, 可得到本征值的超越方程为
2222 [ Th (a ) -2222! [ +! ( -2) ]( + ! )
Th (a ) =0(21) 由(和(19) 式以及(20) 和(21) 式可得到
22
A W = [ +! ( -2) ]Sh (a )
B W = [ +! ( -2) ]Ch (a ) C W =- [ +! ( -2) ]Sh (a )
D W =- [ +! ( -2) ]Ch (a )
将上式代入(17) 式就可以得到W ! 的解析表达式, 由(14) 式就可以求出本征函数向量X (x ) 的解析表达式, 再由(15) 式可以得到问题的全部解析解.
(16)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B =
- x
D
2G s
-D x 2D
, N =D K D
[4]
T
f =
0 0 0 -
可见, 矩阵A 和B 是对称的, 由文献
可知H
是典型的H a m ilton 微分算子矩阵, 其特点是本征值
正负成对出现, 本征向量相互辛正交. 因此, 方程(11) 为双参数弹性地基上矩形薄板弯曲问题的H a m ilton 正则方程, 这样就可以在辛空间内分离变量
[1, 3]
. 令
Z =X (x ) Y(y) (12)
T
其中X (x ) =[W ! (x ) N ! (x ) ∀(x ) #(x ) ]. 将(12) 式代入(11) 式的齐次方程可得到
Y(y) =e
! y
(13) (14)
HX (x) =! X (x )
数向量. 全解为
Z (x, y ) =
[2]
其中! 是本征值待求. 而X (x ) 是与之对应的本征函
∃
i=1
Q a i exp (! i y ) -X b i
T
T
f a i X a i +(15)
Q b i exp (-! i y ) +X a i
f b i X b i
其中待定常数Q ai 和Q bi 可由板在y 方向的两边边界条件确定出. 实际上, 方程(14) 是特征值问题, 将它展开可归结为如下常微分方程的求解
22W ! (x ) W ! (x )
+2(! -t ) +d x d x 4
2
(! +s -2t ) W ! (x ) =0
2
2
442
2 算例
为了证明本文所推导出的公式的正确性, 取文献[6]中的弹性地基上四边自由矩形薄板为例, 板的边长a =b , 泊松比 =0. 167, K a =10D, 在板面上中心位置作用有集中荷载P. 分别计算板的挠度值以及在x =0边界处的板的弯矩值. 表1和表2分别列出了本文的计算结果和文献[6]的结果. 由表可知, 本文的计算结果同文献[6]的计算结果非常
接近, 从而表明本文采用辛几何方法推导出的弹性.
4
4
方程(16) 的特征根为 = t -! +s +t ; = t -! -s +t . 其中s =K /D ; t =G s /(2D ), 所以其解为
W ! (x ) =A W Ch ( x ) +B W Sh ( x ) + C W C h ( x ) +D W Sh ( x )
(17)
由于板的内力都可用竖向挠度W 表示, 所以只给出W ! (x ) 的表达式. 式中的常数A w , B w , C w , D w 可
. 2
2
4
2
因篇幅限制, 本文只推导出了弹性地基上矩形薄板的解析解, 但其方法完全适用于解决相应的矩
形厚板以及其它形状板的问题. 有关这方面作者已另有撰文.
表1 板的挠度值(10-4Pa 4/D)
项目
-a /2
文献[6]
y =-a /2
挠度值
文献[6]
y =0
本文
-0. 45-0. 46
-0. 002-0. 001
1. 75 1. 76
6. 71 6. 77
12. 27512. 45
本文
-0. 12-0. 11
-3a /8-0. 26-0. 24
x 值-a /4-0. 36-0. 38
-a /8-0. 43-0. 48
0-0. 45-0. 56
表2 板在x =0边界上的弯矩值M x
y 值弯矩
-a /4-3. 8∀10-4P -3. 9∀10P
-4
-a /21. 2∀10-4P 1. 3∀10P
-4
参 考 文 献
1 钟万勰. 分离变量法与哈密尔顿体系. 计算结构力学及其应用, 1991, 8(3):229~240
2 钟万勰. 条形域弹性平面问题与哈密尔顿体系. 大连理工大学学报, 1991, 31(4):373~384
3 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连:大连理工大学出版社1995
4 钟万勰, 姚伟岸. 板弯曲求解新体系及其应用. 力学学报,
1999, 31(2):173~183
5 张福范, 弹性平板(第二版). 北京:科学出版社, 19846 曲庆璋, 章权, 梁兴复. 弹性薄板理论. 北京:人民交通出版社, 2000
文献[6]1. 9∀10-4P 本文
1. 9∀10P
-4
3 结论
将弹性地基上矩形薄板的基本方程导向H a m il ton 体系的正则方程, 问题可以在辛几何空间中用分离变量法推导出了问题的解析解. 由于不需要人为选取位移函数, 而是直接从弹性板的基本方程出发, 推导出能完全满足边界条件的解析解, 使得本文的方法更加合理化和理论化. 通过数值算例也证明了方法的正确性.
HA M I LTON CANON I CAL EQUAT I ONS AND THE ANALYT ICAL
S OLUTI ON FOR RECTANGULAR TH I N PLATE
ON ELAST I C FOUNDAT I ON
Zhong Y ang Zhang Yongshan
1
2
(1Schoo l of Civil Engineer i ng, D alian Uni versity of T echnology , D alian, 116024) (2S choo l of C ivil E n g ineer i ng, GuangZhou Univers it y, GuangZhou, 510405)
Abst ract The H a m ilton canon ica l equati o ns and the theoretical so l u ti o n for rectangu lar thin plate on founda ti o n w it h four free edges are derived by sy mp lectic geo m e try m et h od . F irstl y , the basic equations for e lastic th i n plate on e l a stic foundation are transferred i n to H a m ilton canon ica l equations . Then the whole variab les are separated and the eigenva l u es are obta i n ed by the sy m plectic geo m etry m ethod . Fi n ally , according to the m ethod of e i g en f u nction expansi o n i n the sy mp lectic geo m etr y , the explicit solutions for a rectangu lar th i n p late on the foundation w it h four free edges are presented . Num erical resu lts based on the so lution are co m pared w ith that i n literature to clarify the correctness o f the so l u tion .
K ey w ords rectangular thi n plate , elasti c foundati o n , H a m ilton canon ica l equati o n sy m plectic geo m etry , t h eore tic solution
第26卷第3期2005年9月
固体力学学报
ACTA MECHAN I CA SOLI DA SI N I CA
Vo. l 26N o . 3
Septe m ber 2005
弹性地基上矩形薄板问题的
H a m ilton 正则方程及解析解
*
钟 阳 张永山
(大连理工大学土木学院, 大连, 116024) (广州大学土木学院, 广州, 510405)
摘 要 利用辛算法求出弹性地基上矩形薄板问题的解析解, 将弹性地基视为双参数弹性地基, 直接从弹性矩形薄板的控制方程推导出了问题的H am ilton 正则方程, 为求出任意边界条件下问题的理论解奠定了基础, 并且通过算例验证了文中所采用方法的正确性.
关键词 弹性薄板, 弹性地基, H a m ilton 正则方程, 辛算法, 解析解
0 引言
弹性矩形板是土木工程中最常见的一种结构形
式, 例如:高速公路中的水泥混凝土路面和机场跑道、高层建筑的基础等等. 但其解析解只有在较简单的边界条件下才可以得到(如四边简支或对边简支). 对于复杂的边界条件, 只有采用数值解. 钟万勰教授将辛算法引入弹性力学问题的求解过程, 使得一些无法获得解析解的问题得到了解决. 辛几何法求解问题的关键之一, 是要把所求的问题表示成为H a m ilton 正则方程, 进而可利用辛几何空间的分离变量法求出解析解. 本文将弹性地基视为双参数弹性地基, 直接从弹性矩形薄板的控制方程出发, 推导出了问题的H a m ilton 正则方程, 为利用辛几何方法求出任意边界条件的理论解奠定了基础. 利用所得到的H a m ilton 正则方程, 文中还给出算例来验证方法的正确性.
1 弹性地基上矩形薄板的Ha m ilton 正则方程双参数弹性地基上弹性矩形薄板问题的其控制
[5]
方程为
G s 24K q
W - W +W =(1)
D D D
32
其中D =E h /[12(1- ) ]为板的抗弯刚度. E, , h 分别为材料的弹性模量, 泊松比和厚度. G s 和K 分别为地基的剪切模量和反应模量. W 为板的竖向挠度. 由弹性板的理论可知, 板的内力可以用板的竖向挠度W 表示. 例如, 板的弯矩
22 M x =-D 2+2
x y
[1~4]
M y =-D + y x
由(2) 和(3) 式相加可得
=M x +M y =-D (1+ ) + x y -D (1+ ) W 令
2
2
2
22
(3)
(4)
M x +M y W M
= , =- (5)
D (1+ ) y y
则(1) 和(4) 式可表示为
M =-2
G s =W -+-D D D x
2
(6)
W
=M -(7) x
为了表示成H a m ilton 正则方程, 可把(5) 式中的第三式和(6), (7) 式写成
=-K K
=-D K x
2
=W -G s K -+22D D x K D D K
2
(8) (9)
(10)
由(5) 式中的第二式以及(8), (9) 和(10) 式可写成
Z
=H Z +f y
其中
(11)
(2)
稿
! 326!
固体力学学报 2005年第26卷
Z =[W N ], H =
00
2
T
Q B
A -Q
T
形薄板的边界条件为当x = a; 有M x =0; . x =0 x 为板的总剪力, 它也可用板的竖向挠度W 表示
[5]
1
, A =
K
D
Q =
00-K
. 将(17) 式代入边界条件后, 经整理后可得到
2
2
2
2
关于x 轴对称部分有
A W ( + ! ) Ch (a ) +C W ( + ! ) Ch (a ) =0A W [ +(2- ) ! ]Sh (a ) +C W [ ( + (2- ) ! ]Sh (a ) =0
(18)
并令其系数行列式为零, 可得到本征值的超越方程为
2222
[ Th (a ) -! [ +! ( -2) ]( + ! )
Th (a ) =0(19) 同理也可得到关于x 轴反对称部分2222
B W ( + ! ) Sh (a ) +C W ( + ! ) Sh (a ) =0B W [ +(2- ) ! ]C h (a ) +C W [ ( + (2- ) ! ]Ch (a ) =0
(20) 并令其系数行列式为零, 可得到本征值的超越方程为
2222 [ Th (a ) -2222! [ +! ( -2) ]( + ! )
Th (a ) =0(21) 由(和(19) 式以及(20) 和(21) 式可得到
22
A W = [ +! ( -2) ]Sh (a )
B W = [ +! ( -2) ]Ch (a ) C W =- [ +! ( -2) ]Sh (a )
D W =- [ +! ( -2) ]Ch (a )
将上式代入(17) 式就可以得到W ! 的解析表达式, 由(14) 式就可以求出本征函数向量X (x ) 的解析表达式, 再由(15) 式可以得到问题的全部解析解.
(16)
2
2
2
2
2
2
2
2
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2
B =
- x
D
2G s
-D x 2D
, N =D K D
[4]
T
f =
0 0 0 -
可见, 矩阵A 和B 是对称的, 由文献
可知H
是典型的H a m ilton 微分算子矩阵, 其特点是本征值
正负成对出现, 本征向量相互辛正交. 因此, 方程(11) 为双参数弹性地基上矩形薄板弯曲问题的H a m ilton 正则方程, 这样就可以在辛空间内分离变量
[1, 3]
. 令
Z =X (x ) Y(y) (12)
T
其中X (x ) =[W ! (x ) N ! (x ) ∀(x ) #(x ) ]. 将(12) 式代入(11) 式的齐次方程可得到
Y(y) =e
! y
(13) (14)
HX (x) =! X (x )
数向量. 全解为
Z (x, y ) =
[2]
其中! 是本征值待求. 而X (x ) 是与之对应的本征函
∃
i=1
Q a i exp (! i y ) -X b i
T
T
f a i X a i +(15)
Q b i exp (-! i y ) +X a i
f b i X b i
其中待定常数Q ai 和Q bi 可由板在y 方向的两边边界条件确定出. 实际上, 方程(14) 是特征值问题, 将它展开可归结为如下常微分方程的求解
22W ! (x ) W ! (x )
+2(! -t ) +d x d x 4
2
(! +s -2t ) W ! (x ) =0
2
2
442
2 算例
为了证明本文所推导出的公式的正确性, 取文献[6]中的弹性地基上四边自由矩形薄板为例, 板的边长a =b , 泊松比 =0. 167, K a =10D, 在板面上中心位置作用有集中荷载P. 分别计算板的挠度值以及在x =0边界处的板的弯矩值. 表1和表2分别列出了本文的计算结果和文献[6]的结果. 由表可知, 本文的计算结果同文献[6]的计算结果非常
接近, 从而表明本文采用辛几何方法推导出的弹性.
4
4
方程(16) 的特征根为 = t -! +s +t ; = t -! -s +t . 其中s =K /D ; t =G s /(2D ), 所以其解为
W ! (x ) =A W Ch ( x ) +B W Sh ( x ) + C W C h ( x ) +D W Sh ( x )
(17)
由于板的内力都可用竖向挠度W 表示, 所以只给出W ! (x ) 的表达式. 式中的常数A w , B w , C w , D w 可
. 2
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4
2
因篇幅限制, 本文只推导出了弹性地基上矩形薄板的解析解, 但其方法完全适用于解决相应的矩
形厚板以及其它形状板的问题. 有关这方面作者已另有撰文.
表1 板的挠度值(10-4Pa 4/D)
项目
-a /2
文献[6]
y =-a /2
挠度值
文献[6]
y =0
本文
-0. 45-0. 46
-0. 002-0. 001
1. 75 1. 76
6. 71 6. 77
12. 27512. 45
本文
-0. 12-0. 11
-3a /8-0. 26-0. 24
x 值-a /4-0. 36-0. 38
-a /8-0. 43-0. 48
0-0. 45-0. 56
表2 板在x =0边界上的弯矩值M x
y 值弯矩
-a /4-3. 8∀10-4P -3. 9∀10P
-4
-a /21. 2∀10-4P 1. 3∀10P
-4
参 考 文 献
1 钟万勰. 分离变量法与哈密尔顿体系. 计算结构力学及其应用, 1991, 8(3):229~240
2 钟万勰. 条形域弹性平面问题与哈密尔顿体系. 大连理工大学学报, 1991, 31(4):373~384
3 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连:大连理工大学出版社1995
4 钟万勰, 姚伟岸. 板弯曲求解新体系及其应用. 力学学报,
1999, 31(2):173~183
5 张福范, 弹性平板(第二版). 北京:科学出版社, 19846 曲庆璋, 章权, 梁兴复. 弹性薄板理论. 北京:人民交通出版社, 2000
文献[6]1. 9∀10-4P 本文
1. 9∀10P
-4
3 结论
将弹性地基上矩形薄板的基本方程导向H a m il ton 体系的正则方程, 问题可以在辛几何空间中用分离变量法推导出了问题的解析解. 由于不需要人为选取位移函数, 而是直接从弹性板的基本方程出发, 推导出能完全满足边界条件的解析解, 使得本文的方法更加合理化和理论化. 通过数值算例也证明了方法的正确性.
HA M I LTON CANON I CAL EQUAT I ONS AND THE ANALYT ICAL
S OLUTI ON FOR RECTANGULAR TH I N PLATE
ON ELAST I C FOUNDAT I ON
Zhong Y ang Zhang Yongshan
1
2
(1Schoo l of Civil Engineer i ng, D alian Uni versity of T echnology , D alian, 116024) (2S choo l of C ivil E n g ineer i ng, GuangZhou Univers it y, GuangZhou, 510405)
Abst ract The H a m ilton canon ica l equati o ns and the theoretical so l u ti o n for rectangu lar thin plate on founda ti o n w it h four free edges are derived by sy mp lectic geo m e try m et h od . F irstl y , the basic equations for e lastic th i n plate on e l a stic foundation are transferred i n to H a m ilton canon ica l equations . Then the whole variab les are separated and the eigenva l u es are obta i n ed by the sy m plectic geo m etry m ethod . Fi n ally , according to the m ethod of e i g en f u nction expansi o n i n the sy mp lectic geo m etr y , the explicit solutions for a rectangu lar th i n p late on the foundation w it h four free edges are presented . Num erical resu lts based on the so lution are co m pared w ith that i n literature to clarify the correctness o f the so l u tion .
K ey w ords rectangular thi n plate , elasti c foundati o n , H a m ilton canon ica l equati o n sy m plectic geo m etry , t h eore tic solution