《三角函数》小题总结
1. 【2015高考新课标1，理2】sin 20o cos10o -cos160o sin10o =( ) （A
）11（B
（C ）-（D ） 22
π⎫
2. 【2015高考山东，理3】要得到函数y =sin ⎛4x - ⎪的图象，只需要
⎝
3⎭
将函数y =sin 4x 的图象（） （A ）向左平移
π
12
个单位 （B ）向右平移
π
3
π
12
个单位
（C ）向左平移个单位 （D ）向右平移个单位 3. 【2015高考新课标1，理8】函数f (x ) =cos(ωx +ϕ) 的部分图像如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为( )
(A)(k π-, k π+), k ∈Z (B)(2k π-, 2k π+), k ∈Z (C)(k -, k +), k ∈Z (D)(2k -, 2k +), k ∈Z
14
34
14
34
π3
14341434
4. 【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
(A ) y =cos(2x +) (B ) y =sin(2x +)
22(C ) y =sin 2x +cos 2x (D ) y =sin x +cos x
ππ
3π)
π=（ ） 5. 【2015高考重庆，理9】若tan α=2tan ，则
5sin(α-) 5
cos(α-
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin(x +ϕ) +k ，据此函数可知，这段时间水
6
π
深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
7. 【2015高考安徽，理10】已知函数f (x )=Asin (ωx +ϕ)（A，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当x =则下列结论正确的是（ ）
（A ）f (2)
2
2π
时，函数f (x )取得最小值，3
π
个单位后得到函数g (x ) 的图像，若对满足f (x 1) -g (x 2) =2的x 1，x 2，有
x 1-x 2min =
π
3
，则ϕ=（ ）
A.
5ππππ B. C. D. 12346
9. 【2015高考上海，理13】已知函数f (x )=sin x ．若存在x 1，x 2，⋅⋅⋅，
x m 满足0≤x 1
，f (x 1)-f (x 2)+f (x 2)-f (x 3)+⋅⋅⋅+f (x n -1)-f (x n )=12（m ≥2，m
∈N*）
则m 的最小值为．
10. 【2015高考天津，理13】在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知∆
ABC 的面积为 ，b -c =2,cos A =-, 则a 的值为. 11. 【2015高考上海，理14】在锐角三角形ABC 中，tan A=，D 为边BC 上的点，过D 作D E⊥AB于E，∆ABD 与∆ACD 的面积分别为2和4．
DF ⊥AC 于F ，则D E⋅DF =．
14
12
12. 【2015高考广东，理11】设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为
1π
a ，b ，c
，若a = sin B =，C =，则b =.
26
13.. 【2015高考北京，理12】在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin 2A =
sin C
．
2
2
14. 【2015高考湖北，理12】函数f (x ) =4cos 2x cos(π-x ) -2sin x -|ln(x +1) |的零点个数为．
15. 【2015高考四川，理12】sin 15 +sin 75 =16. 【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.
17. 【2015高考重庆，理13】在 ABC 中，B =120o ，AB
，A 的角平分线AD
, 则AC =_______.
18. 【2015高考浙江，理11】函数f (x ) =sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期是，单调递减区间是．
19. 【2015高考福建，理12】若锐角∆
ABC 的面积为 ，且
AB =5, AC =8 ，则BC 等于．
20. 【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是. 21. 【2015江苏高考，8】已知tan α=-2，tan (α+β)=，则tan β的值为_______.
17
《三角函数》小题答案
1. 【答案】D
【解析】原式=sin 20o cos10o +cos 20o sin10o =sin 30o =2. 【答案】B
【解析】因为y =sin 4x -
1
，故选D. 2
⎛⎝
π⎫
π⎫π⎫⎛⎛
，所以要得到函数=sin 4x -y =sin 4x -⎪ ⎪ ⎪的图
3⎭123⎝⎭⎝⎭
π
个单位. 故选B. 12
象，只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移3. 【答案】D
4. 【答案】A
【解析】对于选项A ，因为y =-sin 2x , T =5. 【答案】C 【解析】
2π
=π，且图象关于原点对称，故选A. 2
3π) =由已知，
sin(α-)
5
3ππ3πcos +2tan sin
=
cos(α-
2tan cos =
cos αcos
3π3π
+sin αsin cos =
sin αcos
5
-cos αsin
3π3π
+tan αsin 5
tan αcos
5
-sin
5
5
cos
5
-sin
5
＝
π
cos
3ππ3π
+2sin sin sin
5
cos
5
15πππ5π
(cos+cos ) +
(cos-cos ) 12sin 25
3cos =cos
π=3，选C .
10
6. 【答案】C
【解析】由图象知：y min =2，因为y min =-3+k ，所以-3+k =2，解得：k =5，所以这段时间水深的最大值是y max =3+k =3+5=8，故选C ．
7. 【答案】A
8. 【答案】D. 【解析】
试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到g (x ) =sin(2x -2ϕ) ，又∵|f (x 1) -g (x 2) |=2，∴
不妨
2x 1=
π
2
+2k π，2x 2-2ϕ=-
π
2
+2m π，∴x 1-x 2=
π
2
-ϕ+(k -m ) π，又∵
x 1-x 2min =
∴
π
3
，
π
2
-ϕ=
π
3
⇒ϕ=
π
6
，故选D.
9. 【答案】8
【解析】因为f (x )=sin x ，所以f (x m )-f (x n )≤f (x ) max -f (x
) min =2，因此要使得
满足条件f (x 1)-f (x 2)+f (x 2)-f (x 3)+⋅⋅⋅+f (x n -1)-f (x n )=12的m 最小，须取 x 1=0, x 2=
π
2
, x 3=
3π5π7π9π11π, x 4=, x 5=, x 6=, x 7=, x 8=6π, 即m =8. 22222
10. 【答案】8
【解析】因为0
π，所以sin A ==
又S ∆ABC =
⎧b -c =21得b =6, c =4，bc sin A ==∴bc =24，解方程组⎨
2⎩bc =24
由余弦定理得
⎛1⎫
a 2=b 2+c 2-2bc cos A =62+42-2⨯6⨯4⨯ -⎪=64，所以a =8.
⎝4⎭
11. 【答案】-
16 15
12. 【答案】1． 【解析】因为sin B =
1π5πππ且B ∈(0, π)，所以B =或B =，又C =，所以B =，26666
A =π-B -C =
b 2πa b ，又a =，由正弦定理得即解得==
3sin A sin B sin 36
b =1，故应填入1．
13. 【答案】1【解析】：
sin 2A 2sin A cos A 2a b 2+c 2-a 22⨯425+36-16
==⋅=⋅=1
sin C sin C c 2bc 62⨯5⨯6
14. 【答案】2
x π
【解析】因为f (x ) =4cos 2cos(-x ) -2sin x -|ln(x +1) |
22
=
2(1+cos x ) sin x -2sin x -|ln(x +1) |
=sin 2x -|ln(x +1) |
所以函数f (x ) 的零点个数为函数y =sin 2x 与y =|ln(x +1) |图象的交点的个数， 函数y =sin 2x 与y =|ln(x +1) |图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数f (x ) 有2个零点.
15.
【解析】法一、sin15+sin 75=sin15+cos15= +45 ) =
.
法二、sin15+sin 75=sin(45-30) +sin(45+30) =2sin 45cos30=
法三、sin15+sin 75=16. 【答案】1006
=.
17.
【解析】由正弦定理得
AB AD
，
即，解
得==
sin ∠ADB sin B
sin ∠ADB =
，
∠ADB =45︒，从而∠BAD =15︒=∠DAC ，所以
C =180︒-120︒-30︒=30︒
，AC =2AB cos30︒=
18. 【答案】π，[【解析】
3π7π+k π, +k π]，k ∈Z . 88
试题分析：f (x ) =
调递减区间为
1-cos 2x sin 2x π3
++1=x -) +，故最小正周期为π，单2242
[
3π7π
+k π, +k π]，k ∈Z . 88
19. 【答案】7
【解析】由已知得∆ABC 的面积为
1
所以sin A =，AB ⋅
AC sin A =20sin A =，
2
A ∈(0,) ，所以A =．由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos A =49，
23
ππ
BC =7．
20. 【答案】
）
21. 【答案】3
1
+2
tan(α+β) -tan α==3.
【解析】tan β=tan(α+β-α) =
1+tan(α+β) tan α1-2
7
《三角函数》小题总结
1. 【2015高考新课标1，理2】sin 20o cos10o -cos160o sin10o =( ) （A
）11（B
（C ）-（D ） 22
π⎫
2. 【2015高考山东，理3】要得到函数y =sin ⎛4x - ⎪的图象，只需要
⎝
3⎭
将函数y =sin 4x 的图象（） （A ）向左平移
π
12
个单位 （B ）向右平移
π
3
π
12
个单位
（C ）向左平移个单位 （D ）向右平移个单位 3. 【2015高考新课标1，理8】函数f (x ) =cos(ωx +ϕ) 的部分图像如图所示，则f (x ) 的单调递减区间为( )
(A)(k π-, k π+), k ∈Z (B)(2k π-, 2k π+), k ∈Z (C)(k -, k +), k ∈Z (D)(2k -, 2k +), k ∈Z
14
34
14
34
π3
14341434
4. 【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
(A ) y =cos(2x +) (B ) y =sin(2x +)
22(C ) y =sin 2x +cos 2x (D ) y =sin x +cos x
ππ
3π)
π=（ ） 5. 【2015高考重庆，理9】若tan α=2tan ，则
5sin(α-) 5
cos(α-
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin(x +ϕ) +k ，据此函数可知，这段时间水
6
π
深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
7. 【2015高考安徽，理10】已知函数f (x )=Asin (ωx +ϕ)（A，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当x =则下列结论正确的是（ ）
（A ）f (2)
2
2π
时，函数f (x )取得最小值，3
π
个单位后得到函数g (x ) 的图像，若对满足f (x 1) -g (x 2) =2的x 1，x 2，有
x 1-x 2min =
π
3
，则ϕ=（ ）
A.
5ππππ B. C. D. 12346
9. 【2015高考上海，理13】已知函数f (x )=sin x ．若存在x 1，x 2，⋅⋅⋅，
x m 满足0≤x 1
，f (x 1)-f (x 2)+f (x 2)-f (x 3)+⋅⋅⋅+f (x n -1)-f (x n )=12（m ≥2，m
∈N*）
则m 的最小值为．
10. 【2015高考天津，理13】在∆ABC 中，内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ，已知∆
ABC 的面积为 ，b -c =2,cos A =-, 则a 的值为. 11. 【2015高考上海，理14】在锐角三角形ABC 中，tan A=，D 为边BC 上的点，过D 作D E⊥AB于E，∆ABD 与∆ACD 的面积分别为2和4．
DF ⊥AC 于F ，则D E⋅DF =．
14
12
12. 【2015高考广东，理11】设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为
1π
a ，b ，c
，若a = sin B =，C =，则b =.
26
13.. 【2015高考北京，理12】在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin 2A =
sin C
．
2
2
14. 【2015高考湖北，理12】函数f (x ) =4cos 2x cos(π-x ) -2sin x -|ln(x +1) |的零点个数为．
15. 【2015高考四川，理12】sin 15 +sin 75 =16. 【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.
17. 【2015高考重庆，理13】在 ABC 中，B =120o ，AB
，A 的角平分线AD
, 则AC =_______.
18. 【2015高考浙江，理11】函数f (x ) =sin 2x +sin x cos x +1的最小正周期是，单调递减区间是．
19. 【2015高考福建，理12】若锐角∆
ABC 的面积为 ，且
AB =5, AC =8 ，则BC 等于．
20. 【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是. 21. 【2015江苏高考，8】已知tan α=-2，tan (α+β)=，则tan β的值为_______.
17
《三角函数》小题答案
1. 【答案】D
【解析】原式=sin 20o cos10o +cos 20o sin10o =sin 30o =2. 【答案】B
【解析】因为y =sin 4x -
1
，故选D. 2
⎛⎝
π⎫
π⎫π⎫⎛⎛
，所以要得到函数=sin 4x -y =sin 4x -⎪ ⎪ ⎪的图
3⎭123⎝⎭⎝⎭
π
个单位. 故选B. 12
象，只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移3. 【答案】D
4. 【答案】A
【解析】对于选项A ，因为y =-sin 2x , T =5. 【答案】C 【解析】
2π
=π，且图象关于原点对称，故选A. 2
3π) =由已知，
sin(α-)
5
3ππ3πcos +2tan sin
=
cos(α-
2tan cos =
cos αcos
3π3π
+sin αsin cos =
sin αcos
5
-cos αsin
3π3π
+tan αsin 5
tan αcos
5
-sin
5
5
cos
5
-sin
5
＝
π
cos
3ππ3π
+2sin sin sin
5
cos
5
15πππ5π
(cos+cos ) +
(cos-cos ) 12sin 25
3cos =cos
π=3，选C .
10
6. 【答案】C
【解析】由图象知：y min =2，因为y min =-3+k ，所以-3+k =2，解得：k =5，所以这段时间水深的最大值是y max =3+k =3+5=8，故选C ．
7. 【答案】A
8. 【答案】D. 【解析】
试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到g (x ) =sin(2x -2ϕ) ，又∵|f (x 1) -g (x 2) |=2，∴
不妨
2x 1=
π
2
+2k π，2x 2-2ϕ=-
π
2
+2m π，∴x 1-x 2=
π
2
-ϕ+(k -m ) π，又∵
x 1-x 2min =
∴
π
3
，
π
2
-ϕ=
π
3
⇒ϕ=
π
6
，故选D.
9. 【答案】8
【解析】因为f (x )=sin x ，所以f (x m )-f (x n )≤f (x ) max -f (x
) min =2，因此要使得
满足条件f (x 1)-f (x 2)+f (x 2)-f (x 3)+⋅⋅⋅+f (x n -1)-f (x n )=12的m 最小，须取 x 1=0, x 2=
π
2
, x 3=
3π5π7π9π11π, x 4=, x 5=, x 6=, x 7=, x 8=6π, 即m =8. 22222
10. 【答案】8
【解析】因为0
π，所以sin A ==
又S ∆ABC =
⎧b -c =21得b =6, c =4，bc sin A ==∴bc =24，解方程组⎨
2⎩bc =24
由余弦定理得
⎛1⎫
a 2=b 2+c 2-2bc cos A =62+42-2⨯6⨯4⨯ -⎪=64，所以a =8.
⎝4⎭
11. 【答案】-
16 15
12. 【答案】1． 【解析】因为sin B =
1π5πππ且B ∈(0, π)，所以B =或B =，又C =，所以B =，26666
A =π-B -C =
b 2πa b ，又a =，由正弦定理得即解得==
3sin A sin B sin 36
b =1，故应填入1．
13. 【答案】1【解析】：
sin 2A 2sin A cos A 2a b 2+c 2-a 22⨯425+36-16
==⋅=⋅=1
sin C sin C c 2bc 62⨯5⨯6
14. 【答案】2
x π
【解析】因为f (x ) =4cos 2cos(-x ) -2sin x -|ln(x +1) |
22
=
2(1+cos x ) sin x -2sin x -|ln(x +1) |
=sin 2x -|ln(x +1) |
所以函数f (x ) 的零点个数为函数y =sin 2x 与y =|ln(x +1) |图象的交点的个数， 函数y =sin 2x 与y =|ln(x +1) |图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数f (x ) 有2个零点.
15.
【解析】法一、sin15+sin 75=sin15+cos15= +45 ) =
.
法二、sin15+sin 75=sin(45-30) +sin(45+30) =2sin 45cos30=
法三、sin15+sin 75=16. 【答案】1006
=.
17.
【解析】由正弦定理得
AB AD
，
即，解
得==
sin ∠ADB sin B
sin ∠ADB =
，
∠ADB =45︒，从而∠BAD =15︒=∠DAC ，所以
C =180︒-120︒-30︒=30︒
，AC =2AB cos30︒=
18. 【答案】π，[【解析】
3π7π+k π, +k π]，k ∈Z . 88
试题分析：f (x ) =
调递减区间为
1-cos 2x sin 2x π3
++1=x -) +，故最小正周期为π，单2242
[
3π7π
+k π, +k π]，k ∈Z . 88
19. 【答案】7
【解析】由已知得∆ABC 的面积为
1
所以sin A =，AB ⋅
AC sin A =20sin A =，
2
A ∈(0,) ，所以A =．由余弦定理得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ⋅AC cos A =49，
23
ππ
BC =7．
20. 【答案】
）
21. 【答案】3
1
+2
tan(α+β) -tan α==3.
【解析】tan β=tan(α+β-α) =
1+tan(α+β) tan α1-2
7