2016年上海高考数学（理科）真题
一、解答题（本大题共有14题，满分56分）
1. 设x ∈R ，则不等式x -3
【答案】(2,4)
【解析】-1
3+2i 2. 设z =，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ i
【答案】-3
【解析】z =-i(3+2i) =2-3i ，故Im z =-3
3. l 1:2x +y -1=0, l 2:2x +y +1=0, 则l 1, l 2的距离为__________________
=【解析】d =
4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）
【答案】1.76
5. 已知点(3,9)在函数f (x ) =1+a x 的图像上，则f (x ) 的反函数f -1(x ) =____________
【答案】log 2(x -1) 【解析】a 3+1=9，故a =2，f (x ) =1+2x
∴x =log 2(y -1)
∴f -1(x ) =log 2(x -1)
26. 如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan ， 3
则该正四棱柱的高等于____________________
【答案】
2【解析】BD =
, DD 1=BD ⋅=3
7. 方程3sin x =1+cos 2x 在区间[0,2π]上的解为________________
π5π, 66
【解析】3sin x =2-2sin 2x ，即2sin 2x +3sin x -2=0
∴(2sinx -1)(sinx +2) =0 1∴sin x = 2
π5π∴x =, 66
【答案】x =
2⎫8.
在⎪的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ x ⎭【答案】112
【解析】2n =256， n =8 8-r 8-4r 2r r r r 3通项C 8⋅x ⋅(-) =C 8(-2) ⋅x 3 x
取r =2
常数项为C 82(-2) 2=112
9. 已知 ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________
a 2+b 2-c 21=-
【解析】a =3, b =5, c =7，cos C =2ab 2
∴sin C =
c =∴R = 2sin C
⎧ax +y =1x , y a >0, b >010. 设，若关于的方程组⎨无解，则a +b 的取值范围是_____________ ⎩x +by =1n
【答案】(2,+∞)
【解析】由已知，ab =1，且a ≠
b ，∴a +b >=2
11. 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则k 的最大
值为___________
【答案】4
12. 在平面直角坐标系中，已知A (1,0), B (0,-1) , P
是曲线y =则BP ⋅BA 的取值范围
是____________
【答案】[0,1
P (cosα,sin α) α∈[0,π]【解析】设, ，BA =(1,1), BP =(cosα,sin α+1)
πBP ⋅BA =cos α+sin α+1=α+) +1∈[0,1 4
π13. 设a , b , ∈R , c ∈[0,2π) ，若对任意实数x 都有2sin(3x -) =a sin(bx +c ) ，则满足条件的有序实数组 3
(a , b , c ) 的组数为______________
【答案】4
【解析】(i)若a =2
5π4π若b =3，则c =； 若b =-3，则c = 33
π2π(ii)若a =-2，若b =-3，则c =；若b =3，则c = 33
共4组
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2 A 8的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i , A j ， 点P 满足OP +OA i +OA j =0，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 5 28
55【解析】2= C 828【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15. 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )
A. ρ=6+5cos θ B. ρ=6+5sin θ C. ρ=6-5cos θ D. ρ=6-5sin θ
【答案】D π【解析】θ=-时，ρ达到最大 2
i m S n =S ，下列条件中，使得2S n
成立的是( )
A. a 1>0, 0.6
C. a 1>0, 0.7
【答案】B a 1a 1(1-q n ) S =S =【解析】n , , -1
2S n 0
1n 若a 1>0，则q >，不可能成立 2
1n 若a 1
18. 设f (x ), g (x ), h (x ) 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若f (x ) +g (x ) ，f (x ) +h (x ) ，g (x ) +h (x ) 均
为增函数，则f (x ), g (x ), h (x ) 中至少有一个为增函数；②若f (x ) +g (x ) ，f (x ) +h (x ) ，g (x ) +h (x ) 均是以T 为周期的函数，则f (x ), g (x ), h (x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
⎧2x +3, x ≤0⎧2x , x ≤1⎧-x , x ≤0⎪g (x ) =-x +3, 00⎩-x +3, x >1⎩⎪2x , x ≥1⎩
②f (x ) +g (x ) =f (x +T ) +g (x +T )
f (x ) +h (x ) =f (x +T ) +h (x +T )
g (x ) +h (x ) =g (x +T ) +h (x +T )
前两式作差，可得g (x ) -h (x ) =g (x +T ) -h (x +T )
结合第三式，可得g (x ) =g (x +T ) , h (x ) =h (x +T )
也有f (x ) =f (x +T )
∴②正确
故选D
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的
步骤．
19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长π2为π， A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧 33
(1) 求三棱锥C -O 1A 1B 1的体积
(2) 求异面直线B 1C 与AA 1所成角的大小
πA 1B 1=∠AO 【解析】(1) 连O 1B 1，则 11B 1=3
∴ O 1A 1B 1为正三角形
1∴V C -O 1A 1B 1=OO 1⋅S O 1A 1B 1= 3(2) 设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连BB 1，则BB 1∥AA 1 ∴S O 1A 1B 1=
∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角）
BB 1=AA 1=1
连BC , BO , OC
π2π AB = A 1B 1=, AC = 33
=∴BC π
3 ∴∠BOC = 3
∴ BOC 为正三角形
∴BC =BO =1 BC =1 ∴tan ∠BB 1C =BB 1
∴∠BB 1C =45︒
∴直线B 1C 与AA 1所成角大小为45︒
20．（本题满分14分）
有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜 地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2
的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点， 点F 的坐标为(1,0)，如图
(1) 求菜地内的分界线C 的方程
8(2) 菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为。设M 是C 上 3
纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并 判断哪一个更接近于S 1面积的经验值
【解析】(1) 设分界线上任一点为(x , y ) ，依题意
π
x +
可得y =≤x ≤1)
(2) 设M (x 0, y 0) ，则y 0=1 2y 01= ∴x 0=44
15∴设所表述的矩形面积为S 3，则S 3=2⨯(+1) = 42
设五边形EMOGH 面积为S 4，则S 4=S 3-S OMP +S MGQ =5111311-⨯⨯1+⨯⨯1= 224244
85111811S 1-S 3=-=, S 4-S 1=-=
∴五边形EOMGH 的面积更接近S 1的面积
21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 y 2
2双曲线x -2=1(b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A , B 两点 b
(1) 若l 的倾斜角为π， F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 2
(2)
设b =l 的斜率存在，且(F 1A +F 1B ) ⋅AB =0，求l 的斜率
【解析】(1)
由已知F 1(
, F 2
取x ，得y =
b 2
F 1F 22A
2∵F , F 2A =b
1F 2=∴2
即3b 4-4b 2-4=(3b 2+2)(b 2-2) =0
∴b =
∴渐近线方程为y =
y 2
(2)
若b =x -=1 3
∴F 1(-2,0) , F 2(2,0)
设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ，则 F 1A =(x 1+2, y 1) , F 1B =(x 2+2, y 2) , AB =(x 2-x 1, y 2-y 1) ∴F 1A +F 1B =(x 1+x 2+4, y 1+y 2) 22(F 1A +F 1B ) ⋅AB =x 2-x 12+4(x 2-x 1) +y 2-y 12=0 (*) 2
2y 12y 22=x 2-=1 ∵x -33
22-y 12=3(x 2-x 12) ∴y 221
2-x 12) +4(x 2-x 1) =0 ∴代入(*)式，可得4(x 2
直线l 的斜率存在，故x 1≠x 2
∴x 1+x 2=-1
设直线l 为y =k (x -2) ，代入3x 2-y 2=3
得(3-k 2) x 2+4k 2x -(4k 2+3) =0
∴3-k 2≠0，且∆=16k 4+4(3-k 2)(4k 2+3) =36(k 2+1) >0
4k 2
x 1+x 2=-=-1 3-k 2
3
2∴k = ∴k =
∴直线l 的斜率为
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
1已知a ∈R ，函数f (x ) =log 2(+a ) x
(1) 当a =5时，解不等式f (x ) >0
(2) 若关于x 的方程f (x ) -log 2[(a -4) x +2a -5]=0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围
1(3) 设a >0，若对任意t ∈[,1]，函数f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 2
的取值范围
【解析】(1)log 114x +1
2(x +5) >0⇔x +5>1⇔x >0⇔x (4x +1) >0
∴不等式的解为{x |x >0或x
4
(2)依题意，log 1
2(x +a ) =log 2[(a -4) x +2a -5] ∴1
x +a =(a -4) x +2a -5>0 ①
可得(a -4) x 2+(a -5) x -1=0
即(x +1)[(a -4) x -1]=0 ②
当a =4时，方程②的解为x =-1，代入①式，成立
当a =3时，方程②的解为x =-1，代入①式，成立
当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x =-1, 1
a -4
若x =-1为方程①的解，则1
x +a =a -1>0，即a >1 若x =1
a -4为方程①的解，则1
x +a =2a -4>0，即a >2
要使得方程①有且仅有一个解，则1
综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为1
(3)f (x ) 在[t , t +1]上单调递减
依题意，f (t ) -f (t +1) ≤1 即log 11
2(t +a ) -log 2(t +1+a ) ≤1 ∴1
t +a ≤2(1
t +1+a ) ，即a ≥12
t -t +1=1-t
t (t +1)
设1-t =r ，则r ∈[0,1
2]
1-t r
t (t +1) =(1-r )(2-r ) =r
r 2-3r +2
当r =0时，r
r 2-3r +2=0 当0
2时，r 2-3r +2r +2
r -3 ∵函数y =x +
2
x 在递减 ∴r +219
r ≥2+4=2 112
∴r +≤=
-3-33
r 2
∴a 的取值范围为a ≥2
3
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 若无穷数列{a n }满足：只要a p =a q (p , q ∈N *) ，必有a p +1=a q +1，则称{a n }具有性质P .
(1) 若{a n }具有性质P . 且a 1=1, a 2=2, a 4=3, a 5=2, a 6+a 7+a 8=21，求a 3；
(2) 若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1，b 5=c 1=81，
a n =b n +c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；
(3) 设{b n }是无穷数列，已知a n +1=b n +sin a n (n ∈N *) ，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条
件为“{b n }是常数列”.
【解析】(1) a 2=a 5=2
∴a 3=a 6
∴a 4=a 7=3
∴a 5=a 8=2
∴a 6=21-a 7-a 8=16
∴a 3=16
(2)设{b n }的公差为d ，{c n }的公差为q ，则q >0 b 5-b 1=4d =80
∴d =20
∴b n =20n -19
c 5
c =q 4=1
81 1
∴q =1
3 ∴c 1n -5
n =(3) ∴a 19+(1n -5
n =b n +c n =20n -3)
∵a 1=82, a 5=82
而a 27=48, a 1304
2=21+6=101+3=3 a 1=a 5但a 2≠a 6
故{a n }不具有性质P
(3) 充分性：若{b n }为常数列，设b n =C 则a n +1=C +sin a n
若存在p , q 使得a p =a q ，
则a p +1=C +sin a p =C +sin a q =a q +1, 故{a n }具有性质P
必要性：若对任意a 1，{a n }具有性质P 则a 2=b 1+sin a 1
设函数f (x ) =x -b 1, g (x ) =sin x 由f (x ), g (x ) 图像可得，对任意的b 1，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个a 1，使得a 1-b 1=sin a 1 ∴a 2=b 1+sin a 1=a 1
∴a n =a n +1
故b n +1=a n +2-sin a n +1=a n +1-sin a n =b n ∴{b n }是常数列
2016年上海高考数学（理科）真题
一、解答题（本大题共有14题，满分56分）
1. 设x ∈R ，则不等式x -3
【答案】(2,4)
【解析】-1
3+2i 2. 设z =，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ i
【答案】-3
【解析】z =-i(3+2i) =2-3i ，故Im z =-3
3. l 1:2x +y -1=0, l 2:2x +y +1=0, 则l 1, l 2的距离为__________________
=【解析】d =
4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）
【答案】1.76
5. 已知点(3,9)在函数f (x ) =1+a x 的图像上，则f (x ) 的反函数f -1(x ) =____________
【答案】log 2(x -1) 【解析】a 3+1=9，故a =2，f (x ) =1+2x
∴x =log 2(y -1)
∴f -1(x ) =log 2(x -1)
26. 如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan ， 3
则该正四棱柱的高等于____________________
【答案】
2【解析】BD =
, DD 1=BD ⋅=3
7. 方程3sin x =1+cos 2x 在区间[0,2π]上的解为________________
π5π, 66
【解析】3sin x =2-2sin 2x ，即2sin 2x +3sin x -2=0
∴(2sinx -1)(sinx +2) =0 1∴sin x = 2
π5π∴x =, 66
【答案】x =
2⎫8.
在⎪的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ x ⎭【答案】112
【解析】2n =256， n =8 8-r 8-4r 2r r r r 3通项C 8⋅x ⋅(-) =C 8(-2) ⋅x 3 x
取r =2
常数项为C 82(-2) 2=112
9. 已知 ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________
a 2+b 2-c 21=-
【解析】a =3, b =5, c =7，cos C =2ab 2
∴sin C =
c =∴R = 2sin C
⎧ax +y =1x , y a >0, b >010. 设，若关于的方程组⎨无解，则a +b 的取值范围是_____________ ⎩x +by =1n
【答案】(2,+∞)
【解析】由已知，ab =1，且a ≠
b ，∴a +b >=2
11. 无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *，S n ∈{2,3}，则k 的最大
值为___________
【答案】4
12. 在平面直角坐标系中，已知A (1,0), B (0,-1) , P
是曲线y =则BP ⋅BA 的取值范围
是____________
【答案】[0,1
P (cosα,sin α) α∈[0,π]【解析】设, ，BA =(1,1), BP =(cosα,sin α+1)
πBP ⋅BA =cos α+sin α+1=α+) +1∈[0,1 4
π13. 设a , b , ∈R , c ∈[0,2π) ，若对任意实数x 都有2sin(3x -) =a sin(bx +c ) ，则满足条件的有序实数组 3
(a , b , c ) 的组数为______________
【答案】4
【解析】(i)若a =2
5π4π若b =3，则c =； 若b =-3，则c = 33
π2π(ii)若a =-2，若b =-3，则c =；若b =3，则c = 33
共4组
14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2 A 8的中心，A 1(1,0)，任取不同的两点A i , A j ， 点P 满足OP +OA i +OA j =0，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 5 28
55【解析】2= C 828【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15. 设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>1”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )
A. ρ=6+5cos θ B. ρ=6+5sin θ C. ρ=6-5cos θ D. ρ=6-5sin θ
【答案】D π【解析】θ=-时，ρ达到最大 2
i m S n =S ，下列条件中，使得2S n
成立的是( )
A. a 1>0, 0.6
C. a 1>0, 0.7
【答案】B a 1a 1(1-q n ) S =S =【解析】n , , -1
2S n 0
1n 若a 1>0，则q >，不可能成立 2
1n 若a 1
18. 设f (x ), g (x ), h (x ) 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若f (x ) +g (x ) ，f (x ) +h (x ) ，g (x ) +h (x ) 均
为增函数，则f (x ), g (x ), h (x ) 中至少有一个为增函数；②若f (x ) +g (x ) ，f (x ) +h (x ) ，g (x ) +h (x ) 均是以T 为周期的函数，则f (x ), g (x ), h (x ) 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
⎧2x +3, x ≤0⎧2x , x ≤1⎧-x , x ≤0⎪g (x ) =-x +3, 00⎩-x +3, x >1⎩⎪2x , x ≥1⎩
②f (x ) +g (x ) =f (x +T ) +g (x +T )
f (x ) +h (x ) =f (x +T ) +h (x +T )
g (x ) +h (x ) =g (x +T ) +h (x +T )
前两式作差，可得g (x ) -h (x ) =g (x +T ) -h (x +T )
结合第三式，可得g (x ) =g (x +T ) , h (x ) =h (x +T )
也有f (x ) =f (x +T )
∴②正确
故选D
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的
步骤．
19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长π2为π， A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧 33
(1) 求三棱锥C -O 1A 1B 1的体积
(2) 求异面直线B 1C 与AA 1所成角的大小
πA 1B 1=∠AO 【解析】(1) 连O 1B 1，则 11B 1=3
∴ O 1A 1B 1为正三角形
1∴V C -O 1A 1B 1=OO 1⋅S O 1A 1B 1= 3(2) 设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连BB 1，则BB 1∥AA 1 ∴S O 1A 1B 1=
∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角）
BB 1=AA 1=1
连BC , BO , OC
π2π AB = A 1B 1=, AC = 33
=∴BC π
3 ∴∠BOC = 3
∴ BOC 为正三角形
∴BC =BO =1 BC =1 ∴tan ∠BB 1C =BB 1
∴∠BB 1C =45︒
∴直线B 1C 与AA 1所成角大小为45︒
20．（本题满分14分）
有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。于是，菜 地分为两个区域S 1和S 2，其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2
的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点， 点F 的坐标为(1,0)，如图
(1) 求菜地内的分界线C 的方程
8(2) 菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的“经验值”为。设M 是C 上 3
纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并 判断哪一个更接近于S 1面积的经验值
【解析】(1) 设分界线上任一点为(x , y ) ，依题意
π
x +
可得y =≤x ≤1)
(2) 设M (x 0, y 0) ，则y 0=1 2y 01= ∴x 0=44
15∴设所表述的矩形面积为S 3，则S 3=2⨯(+1) = 42
设五边形EMOGH 面积为S 4，则S 4=S 3-S OMP +S MGQ =5111311-⨯⨯1+⨯⨯1= 224244
85111811S 1-S 3=-=, S 4-S 1=-=
∴五边形EOMGH 的面积更接近S 1的面积
21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 y 2
2双曲线x -2=1(b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A , B 两点 b
(1) 若l 的倾斜角为π， F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 2
(2)
设b =l 的斜率存在，且(F 1A +F 1B ) ⋅AB =0，求l 的斜率
【解析】(1)
由已知F 1(
, F 2
取x ，得y =
b 2
F 1F 22A
2∵F , F 2A =b
1F 2=∴2
即3b 4-4b 2-4=(3b 2+2)(b 2-2) =0
∴b =
∴渐近线方程为y =
y 2
(2)
若b =x -=1 3
∴F 1(-2,0) , F 2(2,0)
设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ，则 F 1A =(x 1+2, y 1) , F 1B =(x 2+2, y 2) , AB =(x 2-x 1, y 2-y 1) ∴F 1A +F 1B =(x 1+x 2+4, y 1+y 2) 22(F 1A +F 1B ) ⋅AB =x 2-x 12+4(x 2-x 1) +y 2-y 12=0 (*) 2
2y 12y 22=x 2-=1 ∵x -33
22-y 12=3(x 2-x 12) ∴y 221
2-x 12) +4(x 2-x 1) =0 ∴代入(*)式，可得4(x 2
直线l 的斜率存在，故x 1≠x 2
∴x 1+x 2=-1
设直线l 为y =k (x -2) ，代入3x 2-y 2=3
得(3-k 2) x 2+4k 2x -(4k 2+3) =0
∴3-k 2≠0，且∆=16k 4+4(3-k 2)(4k 2+3) =36(k 2+1) >0
4k 2
x 1+x 2=-=-1 3-k 2
3
2∴k = ∴k =
∴直线l 的斜率为
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分
1已知a ∈R ，函数f (x ) =log 2(+a ) x
(1) 当a =5时，解不等式f (x ) >0
(2) 若关于x 的方程f (x ) -log 2[(a -4) x +2a -5]=0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围
1(3) 设a >0，若对任意t ∈[,1]，函数f (x ) 在区间[t , t +1]上的最大值和最小值的差不超过1，求a 2
的取值范围
【解析】(1)log 114x +1
2(x +5) >0⇔x +5>1⇔x >0⇔x (4x +1) >0
∴不等式的解为{x |x >0或x
4
(2)依题意，log 1
2(x +a ) =log 2[(a -4) x +2a -5] ∴1
x +a =(a -4) x +2a -5>0 ①
可得(a -4) x 2+(a -5) x -1=0
即(x +1)[(a -4) x -1]=0 ②
当a =4时，方程②的解为x =-1，代入①式，成立
当a =3时，方程②的解为x =-1，代入①式，成立
当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x =-1, 1
a -4
若x =-1为方程①的解，则1
x +a =a -1>0，即a >1 若x =1
a -4为方程①的解，则1
x +a =2a -4>0，即a >2
要使得方程①有且仅有一个解，则1
综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为1
(3)f (x ) 在[t , t +1]上单调递减
依题意，f (t ) -f (t +1) ≤1 即log 11
2(t +a ) -log 2(t +1+a ) ≤1 ∴1
t +a ≤2(1
t +1+a ) ，即a ≥12
t -t +1=1-t
t (t +1)
设1-t =r ，则r ∈[0,1
2]
1-t r
t (t +1) =(1-r )(2-r ) =r
r 2-3r +2
当r =0时，r
r 2-3r +2=0 当0
2时，r 2-3r +2r +2
r -3 ∵函数y =x +
2
x 在递减 ∴r +219
r ≥2+4=2 112
∴r +≤=
-3-33
r 2
∴a 的取值范围为a ≥2
3
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 若无穷数列{a n }满足：只要a p =a q (p , q ∈N *) ，必有a p +1=a q +1，则称{a n }具有性质P .
(1) 若{a n }具有性质P . 且a 1=1, a 2=2, a 4=3, a 5=2, a 6+a 7+a 8=21，求a 3；
(2) 若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1，b 5=c 1=81，
a n =b n +c n ，判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；
(3) 设{b n }是无穷数列，已知a n +1=b n +sin a n (n ∈N *) ，求证：“对任意a 1，{a n }都具有性质P ”的充要条
件为“{b n }是常数列”.
【解析】(1) a 2=a 5=2
∴a 3=a 6
∴a 4=a 7=3
∴a 5=a 8=2
∴a 6=21-a 7-a 8=16
∴a 3=16
(2)设{b n }的公差为d ，{c n }的公差为q ，则q >0 b 5-b 1=4d =80
∴d =20
∴b n =20n -19
c 5
c =q 4=1
81 1
∴q =1
3 ∴c 1n -5
n =(3) ∴a 19+(1n -5
n =b n +c n =20n -3)
∵a 1=82, a 5=82
而a 27=48, a 1304
2=21+6=101+3=3 a 1=a 5但a 2≠a 6
故{a n }不具有性质P
(3) 充分性：若{b n }为常数列，设b n =C 则a n +1=C +sin a n
若存在p , q 使得a p =a q ，
则a p +1=C +sin a p =C +sin a q =a q +1, 故{a n }具有性质P
必要性：若对任意a 1，{a n }具有性质P 则a 2=b 1+sin a 1
设函数f (x ) =x -b 1, g (x ) =sin x 由f (x ), g (x ) 图像可得，对任意的b 1，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个a 1，使得a 1-b 1=sin a 1 ∴a 2=b 1+sin a 1=a 1
∴a n =a n +1
故b n +1=a n +2-sin a n +1=a n +1-sin a n =b n ∴{b n }是常数列