高中函数大题专练
１、已知关于x 的不等式(kx -k 2-4)(x -4) >0，其中k ∈R 。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z =B （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x ) 称为G 函数。
① 对任意的x ∈[0,1]，总有f (x ) ≥0；
② 当x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1时，总有f (x 1+x 2) ≥f (x 1) +f (x 2) 成立。 已知函数g (x ) =x 2与h (x ) =a ⋅2x -1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g (x ) 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数h (x ) 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g (2x -1) +h (x ) =m (m ∈R ) 解的个数情况。
1. |x |2
（1）若f (x ) =2，求x 的值；
3. 已知函数f (x ) =2x -
（2）若2t f (2t ) +mf (t ) ≥0对于t ∈[2,3]恒成立，求实数m 的取值范围.
⎧1
⎪-, x >0;
4. 设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数. 若当x ≥0时，f (x ) =⎨ x
⎪0, x =0. ⎩
（1）求f (x ) 在(-∞,0) 上的解析式.
（2）请你作出函数f (x ) 的大致图像.
（3）当0
（4）若关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实数解，求b , c 满足的条件.
5．已知函数f (x ) =a -
2
b
(x ≠0) 。 |x |
（1）若函数f (x ) 是(0,+∞) 上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当b =2时，若不等式f (x )
（3）对于函数g (x ) 若存在区间[m , n ](m
g (x ) 是[m , n ]上的闭函数。若函数f (x ) 是某区间上的闭函数，试探求a , b 应满足的条件。
6、设f (x ) =
7．对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称点(x 0, x 0) 为函数的不动点。 （1）已知函数f (x ) =ax +bx -b (a ≠0) 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；
2
ax 2+bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x ) 的定义域
和值域相同。
（2）若对于任意实数b ，函数f (x ) =ax 2+bx -b (a ≠0) 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数g (x ) 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
8．设函数f (x ) =x +数为g (x ) .
（1）求函数y =g (x ) 的解析式；
（2）若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.
9．设定义在(0, +∞) 上的函数f (x ) 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有f (a ⋅b ) =f (a ) +f (b ) -1； ②f (2)=0；
③当x >1时，总有f (x )
（2）求证：f (x ) 在(0, +∞) 上是减函数.
10． 已知函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，当x ∈[-2, 0) 时，f (x ) =tx -（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）当t ∈[2, 6]时，求f (x ) 在[-2, 0]上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想f (x ) 在[0, 2]上的单
调递增区间（不必证明）；
（3）当t ≥9时，证明：函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上。
11. 记函数f (x )=
1，(x ≠0) 的图象为C 1、C 1关于点A （2，1）的对称的图象为C 2，C 2对应的函x
12
13
x （t 为常数）。 2
2-
x +7
的定义域为A ，g (x )=lg [(2x -b )(ax +1)](b >0, a ∈R )的定义域为B ， x +2
（1）求A ： （2）若A ⊆B ，求a 、b 的取值范围
a x +1
(a >0, a ≠1)。 12、设f (x )=x
1-a
-1
（1）求f (x )的反函数f (x )：
(x )在(1. +∞)上的单调性，并加以证明：
-1
（3）令g (x )=1+l o g a x ，当[m , n ]⊂(1, +∞)(m
（2）讨论f
-1
的取值范围。
13．集合A 是由具备下列性质的函数f (x ) 组成的：
(1) 函数f (x ) 的定义域是[0,+∞) ；
(2) 函数f (x ) 的值域是[-2, 4) ；
(3) 函数f (x ) 在[0,+∞) 上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数f 1(x ) 2(x ≥0) ，及f 2(x ) =4-6⋅() x (x ≥0) 是否属于集合A ？并简要说明理由．
2
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数f (x ) ，不等式f (x ) +f (x +2)
的x ≥0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎨
2
⎧f (x ) (x >0)
-f (x ) (x
（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)≥0成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下, 当x ∈[-2, 2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数, 求实数k 的取值范围。 （3）（理）设m>0,n0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
15．函数f(x)=
x
(a，b 是非零实常数) ，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax +b
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1) 到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
函数大题专练答案
１、已知关于x 的不等式(kx -k 2-4)(x -4) >0，其中k ∈R 。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z =B （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。 解：（1）当k =0时，A =(-∞,4) ；当k >0且k ≠2时，A =(-∞, 4) (k +
4
, +∞) ； k
当k =2时，A =(-∞,4) (4,+∞) ；（不单独分析k =2时的情况不扣分）
4
, 4) 。 k
（2） 由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；
当k
4
因为k +≤-4，当且仅当k =-2时取等号，
k
所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少。
此时A =(-4,4)，故集合B ={-3, -2, -1,0,1,2,3}。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x ) 称为G 函数。
① 对任意的x ∈[0,1]，总有f (x ) ≥0；
② 当x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1时，总有f (x 1+x 2) ≥f (x 1) +f (x 2) 成立。
当k
已知函数g (x ) =x 2与h (x ) =a ⋅2x -1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g (x ) 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数h (x ) 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g (2x -1) +h (x ) =m (m ∈R ) 解的个数情况。 解：（1） 当x ∈[0,1]时，总有g (x ) =x 2≥0，满足①，
当x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1时，
g (x 1+x 2) =x 12+x 22+2x 1x 2≥x 12+x 22=g (x 1) +g (x 2) ，满足② （2）若a
若a ≥1时，h (x ) 在x ∈[0, 1]上是增函数，则h (x ) ≥0，满足①
x +x x x
由h (x 1+x 2) ≥h (x 1) +h (x 2) ，得a ⋅212-1≥a ⋅21-1+a ⋅22-1，
即a [1-(21-1)(22-1)]≤1， 因为 x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1
所以 0≤21-1≤1 0≤22-1≤ 1 x 1与x 2不同时等于1 ∴0≤(21-1)(21-1)
x
x
x x
x x
∴a ≤
1
x 1x 1
1-(2-1)(2-1)
1
) min =1 ∴a ≤1， 当x 1=x 2=0时，(x 1x 1
1-(2-1)(2-1)
综合上述：a ∈{1}
x x
（3）根据（２）知： a=1，方程为4-2=m ，
⎧0≤2x -1≤1由⎨ 得 x ∈[0, 1] ⎩0≤x ≤1
1212x
令2=t ∈[1, 2]，则m =t -t =(t -) -
24
由图形可知：当m ∈[0, 2]时，有一解；
当m ∈(-∞, 0) ⋃(2, +∞) 时，方程无解。
1. 2|x |
（1）若f (x ) =2，求x 的值；
３. 已知函数f (x ) =2x -
（2）若2t f (2t ) +mf (t ) ≥0对于t ∈[2,3]恒成立，求实数m 的取值范围.
[解] （1）当x
12x x
=22-2⋅2-1=0， ，即 x 2
1. 2x
解得 2x =1±2.
2x >0，∴x =log 21+2.
()
（2）当t ∈[1, 2]时，2t 22t -
即 m (22t -1)≥-(24t -1).
22t -1>0， ∴ m ≥-(22t +1). 故m 的取值范围是[-17, +∞) .
⎛⎝1⎫⎛t 1⎫
+m ⎪ 2-t ⎪≥0， 22t ⎭2⎭⎝
t ∈[2,3],∴-(1+22t )∈[-65, -17]，
⎧1
⎪-, x >0;
４. 设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数. 若当x ≥0时，f (x ) =⎨ x
⎪0, x =0. ⎩
（1）求f (x ) 在(-∞,0) 上的解析式.
（2）请你作出函数f (x ) 的大致图像.
（3）当0
（4）若关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实数解，求b , c 满足的条件.
2
[解]（1）当x ∈(-∞,0) 时，f (x ) =f (-x ) =-（2）f (x ) 的大致图像如下：.
11=+. -x x
1111⎛1⎫⎛1⎫
⇔-=-⇔ 1-⎪= 1-⎪⇔+=2，
a b a b ⎝a ⎭⎝b ⎭
⇔a +b =2ab >
解得ab 的取值范围是(1,+∞) . （4）由（2），对于方程f (x ) =a ，当a =0时，方程有3个根；当0
a ≥1时，方程有2个根；当a
2
f x 所以，要使关于的方程(x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实数解，关于f (x ) 的方程
22
f 2(x ) +bf (x ) +c =0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。
所以c =0, f (x ) =-b ∈(0,1)，即-1
b
(x ≠0) 。 |x |
（1）若函数f (x ) 是(0,+∞) 上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当b =2时，若不等式f (x )
（3）对于函数g (x ) 若存在区间[m , n ](m
g (x ) 是[m , n ]上的闭函数。若函数f (x ) 是某区间上的闭函数，试探求a , b 应满足的条件。
解：（1） 当x ∈(0,+∞) 时，f (x ) =a -
b
x
设x 1, x 2∈(0,+∞) 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =
b (x 1-x 2)
x 1x 2
由x 10，所以b >0，即b ∈(0,+∞)
（2）当b =2时，f (x ) =a -
22
x |x |
因为x +
22
≥x =
即x =
x x
2
(1, +∞) ，所以x +在x ∈(1,+∞
) 上的最小值为
a
（3） 因为f (x ) =a -且b ≠0
（4） ①若0
b
的定义域是(-∞,0) (0,+∞) ，设f (x ) 是区间[m , n ]上的闭函数，则mn >0|x |
当b >0时，f (x ) =a -
⎧f (m ) =m b
是(0,+∞) 上的增函数，则⎨， |x |⎩f (n ) =n
所以方程a -
2
b
=x 在(0,+∞) 上有两不等实根， x
即x -ax +b =0在(0,+∞) 上有两不等实根，所以
⎧a 2-4b >0⎪2
⎨x 1+x 2=a >0，即a >0, b >0且a -4b >0 ⎪x ⋅x =b >0⎩12
当b
f (x ) =a -
⎧f (m ) =n b -b
(0,+∞) =a +在上递减，则⎨，即
|x |x f (n ) =m ⎩
b ⎧a -=n ⎪⎧a =0⎪m
⇒⎨，所以a =0, b
b mn =-b ⎪a -=m ⎩⎪n ⎩
②若m
当b >0时，f (x ) =a -
⎧f (m ) =n b b
，即=a +是(-∞,0) 上的减函数，所以⎨
|x |x ⎩f (n ) =m
b ⎧
a +=n ⎪⎧a =0⎪m
⇒，所以a =0, b >0 ⎨⎨
⎪a +b =m ⎩mn =b ⎪n ⎩
６、设f (x ) =
ax 2+bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x ) 的定义域
和值域相同。
解：（1）若a =0，则对于每个正数b ，f (x ) =bx 的定义域和值域都是[0, +∞)
故a =0满足条件 （2）若a >0，则对于正数b ，f (x ) =
b ⎤⎛
ax 2+bx 的定义域为D = -∞, -⎥ [0, +∞)，
a ⎦⎝
但f (x ) 的值域A ⊆[0, +∞)，故D ≠A ，即a >0不合条件； （3）若a
b
a
b 2-a
，
⎧a
⇔⎨⇔a =-4 f (x ) 的值域为[0, ]，-=
a 2-a 2-a ⎩2-a =-a
b
综上所述：a 的值为0或-4
７．对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称点(x 0, x 0) 为函数的不动点。 （1）已知函数f (x ) =ax 2+bx -b (a ≠0) 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；
（2）若对于任意实数b ，函数f (x ) =ax 2+bx -b (a ≠0) 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数g (x ) 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。 解：（1）由不动点的定义：f (x ) -x =0，∴ax +(b -1) x -b =0 代入x =1知a =1，又由x =-3及a =1知b =3。
∴a =1，b =3。
（2）对任意实数b ，f (x ) =ax +bx -b (a ≠0) 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程
2
2
f (x ) -x =0总有两个相异的实数根。
∴ax +(b -1) x -b =0中∆=(b -1) +4ab >0，
2
2
即b 2+(4a -2) b +1>0恒成立。故∆1=(4a -2) 2-4故当0
所以有2k 个（k ∈N ），加上原点，共有n =2k +1个。即n 必为奇数 ８．设函数f (x ) =x +数为g (x ) .
（1）求函数y =g (x ) 的解析式；
（2）若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标. 解．（1）设p (u , v ) 是y =x +
1
，(x ≠0) 的图象为C 1、C 1关于点A （2，1）的对称的图象为C 2，C 2对应的函x
11
上任意一点，∴v =u + ① x u
设P 关于A （2，1）对称的点为Q (x , y ), ∴⎨代入①得2-y =4-x +
⎧u +x =4⎧u =4-x
⇒⎨
⎩v +y =2⎩v =2-y
11
⇒y =x -2+ 4-x x -4
∴g (x ) =x -2+
1
(x ∈(-∞, 4) ⋃(4, +∞)); x -4
⎧y =b ⎪2
（2）联立⎨1⇒x -(b +6) x +4b +9=0,
y =x -2+⎪x -4⎩
∴∆=(b +6) 2-4⨯(4b +9) =b 2-4b =0⇒b =0或b =4,
（1）当b =0时得交点（3，0）； （2）当b =4时得交点（5，4）. 9．设定义在(0, +∞) 上的函数f (x ) 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有f (a ⋅b ) =f (a ) +f (b ) -1； ②f (2)=0；
③当x >1时，总有f (x )
（2）求证：f (x ) 在(0, +∞) 上是减函数.
1
2
解（1）取a=b=1，则f (1)=2f (1)-1. 故f (1)=1 又f (1)=f (2⋅1) =f (2)+f (1) -1. 且f (2)=0.
2
2
得：f (1) =f (1)-f (2)+1=1+1=2
2
（2）设0
x 1x 1
=f (
x x 2
) -1 依01
x 1x 1
x 2
)
再依据当x >1时，总有f (x )
即f (x 2) -f (x 1)
10． 已知函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，当x ∈[-2, 0) 时，f (x ) =tx -（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）当t ∈[2, 6]时，求f (x ) 在[-2, 0]上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想f (x ) 在[0, 2]上的单
调递增区间（不必证明）；
（3）当t ≥9时，证明：函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上。
13
x （t 为常数）。 2
11
(-x ) 3=-tx +x 3， ∵函数f (x ) 是定义221313
在[-2, 2]上的奇函数，即f (-x )=-f (x )，∴-f (x )=-tx +x ，即 f (x ) =tx -x ，又可知
22
1
f (0)=0，∴函数f (x ) 的解析式为 f (x ) =tx -x 3 ，x ∈[-2, 2]；
2
解：（1）x ∈(0, 2]时，-x ∈[-2, 0)， 则 f (-x ) =t (-x ) -（2）f (x )=x t -
⎛
⎝112⎫
x ⎪，∵t ∈[2, 6]，x ∈[-2, 0]，∴t -x 2≥0，
22⎭
3
∵ [f (x )]
2
1212⎫⎛2
2x +t -x +t -x ⎪ 3
18t 12⎛⎫222⎪==x t -x ⎪≤ ，∴x =t -x ，
3272⎪⎝2⎭
⎪⎝⎭
即 x 2=
6t 262t 6t
∈[-2, 0]) 时，f min =-t t 。 , x =-(-3339
⎡⎣
t ⎤
⎥。 3⎦
猜想f (x ) 在[0, 2]上的单调递增区间为⎢0,
（3）t ≥9时，任取-2≤x 1
⎡⎣122⎤
x 1+x 1x 2+x 2⎥
()
∴f (x )在[-2, 2]上单调递增，即f (x )∈[f (-2), f (2)]，即f (x )∈[4-2t , 2t -4]，t ≥9，∴
4-2t ≤-14, 2t -4≥14，
∴14∈[4-2t , 2t -4]，∴当t ≥9时，函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上。 11. 记函数f (x )=
2-
x +7
的定义域为A ，g (x )=lg [(2x -b )(ax +1)](b >0, a ∈R )的定义域为B ， x +2
（1）求A ： （2）若A ⊆B ，求a 、b 的取值范围
x +7⎫⎧x -3⎫
≥0⎬=⎨x ≥0⎬=(-∞, -2)⋃[3, +∞)， x +2⎭⎩x +2⎭
b 1
（2）(2x -b )(ax +1)>0，由A ⊆B ，得a >0，则x >orx
2a
b ⎧
10
。 B = -∞, -⎪⋃ , +∞⎪， ⎨⇒⎨2
1a 2⎝⎭⎝⎭⎪-2≤-
a x +1
(a >0, a ≠1)。 12、设f (x )=x
1-a
（1）求f (x )的反函数f -1(x )：
（2）讨论f -1(x )在(1. +∞)上的单调性，并加以证明：
（3）令g (x )=1+l o g a x ，当[m , n ]⊂(1, +∞)(m
解：（1）A =⎨x 2-
⎧
⎩
的取值范围。
x -1
(x >1或x
x -1x 2-12(x 1-x 2)（2）设1
-1
(x )=log a
∴0
-1
-1
(x )在(1. +∞)上是增函数。
-1
（3）当0
-1⎧x -1x -1⎪f (m )=g (m )=1+l o g a x 得=ax ，即ax 2+(a -1)x +1=0， 可知方程的两 ∴⎨-1，由l o g a
x +1x +1⎪⎩f (n )=g (n )
⎧
⎪∆>0⎪-1
个根均大于1，即⎨f (1)>0⇒01时，∵f (x )在(1. +∞)上是增函数，∴
⎪1-a ⎪>1⎩2a
-1⎧⎪f (m )=g (n )⎧m -1=amn +an
⇒a =-1（舍去）。 综上，得 0
⎪⎩f (n )=g (m )⎩n -1=amn +am
13．集合A 是由具备下列性质的函数f (x ) 组成的：
(1) 函数f (x ) 的定义域是[0,+∞) ； (2) 函数f (x ) 的值域是[-2, 4) ；
(3) 函数f (x ) 在[0,+∞) 上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数f 1(x ) 2(x ≥0) ，及f 2(x ) =4-6⋅() x (x ≥0) 是否属于集合A ？并简要说明理由．
2
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数f (x ) ，不等式f (x ) +f (x +2)
的x ≥0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数f 1(x ) =
(x 1)>f -1(x 2)，∴f -1(x )在(1. +∞)上是减函数：a >1时，f -1(x 1)
x -2不属于集合A. 因为f 1(x ) 的值域是[-2, +∞) , 所以函数f 1(x ) =x -2不属
于集合A.(或 当x =49>0时, f 1(49)=5>4，不满足条件.)
1f 2(x ) =4-6⋅() x (x ≥0) 在集合A 中, 因为: ① 函数f 2(x ) 的定义域是[0,+∞) ；② 函数f 2(x ) 的值2
域是[-2, 4) ；③ 函数f 2(x ) 在[0,+∞) 上是增函数．
1x 1（2）f (x ) +f (x +2) -2f (x +1) =6⋅() (-)
∴不等式f (x ) +f (x +2)
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎨2⎧f (x ) (x >0)
⎩-f (x ) (x
（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)≥0成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下, 当x ∈[-2, 2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数, 求实数k 的取值范围。
（3）（理）设m>0,n0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1） f(-1)=0 ∴b
2=a +1由f(x)≥0恒成立 知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0 (x >0)
(x
2⎧(x +1) ∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)=⎨2⎩-(x +1) 2 ， （2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在[-2, 2]上是单调函数, 知2-k 2-k ≤-2或-≥2，得k ≤-2或k ≥6 ， 22
（3） f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f (x ) 在[0, +∞]上为增函数 -
对于F(x)，当x>0时-x0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)， ∴F(x)是奇函数且F(x)在[0，+∞]上为增函数，
m>0,n-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
15．函数f(x)=x (a，b 是非零实常数) ，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。 ax +b
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1) 到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程
所以x =x的解， ax +b 11=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 ax +b 2
2x (2)f(x)=，设存在常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立， x +2
2m 2x 2(-4-x ) +取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性) ，又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==……x +2-4-x +2m +2
=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x -22) ，设x+2=t，t ≠0， 则x +2
t -[1**********]4|AP|2=(t+1)2+() =t+2t+2–+2=(t2+2)+2(t–)+2=(t–) 2+2(t–)+10=( t–+1)2+9， t t t t t t t t
4-1±-5±所以当t –+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。 t 22
21+mx 16、已知函数f (x ) =-log 2是奇函数。 x 1-x
（1）求m 的值； (3)|AP|2=(x+3)2+(
（2）请讨论它的单调性，并给予证明。
解（1） f (x ) 是奇函数，∴f (-x ) +f (x ) =0； 21-mx 21+mx -log 2) +(-log 2) =0，解得：m =1，其中m =-1（舍）； x 1+x x 1-x
21+x (x ∈(-1, 0)⋃(0, 1)) 确是奇函数。 经验证当m =1时，f (x ) =-log 2x 1-x 即(-
（2）先研究f (x ) 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1
=(
由1+x 121+x 22-log 2-+log 2x 11-x 1x 21-x 22222-) +[log2(-1) -log 2(-1)], x 1x 21-x 21-x 12222->0, log 2(-1) -log 2(-1) >0, x 1x 21-x 21-x 1
得f (x 1) -f (x 2) >0，即f (x ) 在（0，1）内单调递减；
由于f (x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f (x ) 在（－1，0）内单调递减。
高中函数大题专练
１、已知关于x 的不等式(kx -k 2-4)(x -4) >0，其中k ∈R 。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z =B （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x ) 称为G 函数。
① 对任意的x ∈[0,1]，总有f (x ) ≥0；
② 当x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1时，总有f (x 1+x 2) ≥f (x 1) +f (x 2) 成立。 已知函数g (x ) =x 2与h (x ) =a ⋅2x -1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g (x ) 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数h (x ) 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g (2x -1) +h (x ) =m (m ∈R ) 解的个数情况。
1. |x |2
（1）若f (x ) =2，求x 的值；
3. 已知函数f (x ) =2x -
（2）若2t f (2t ) +mf (t ) ≥0对于t ∈[2,3]恒成立，求实数m 的取值范围.
⎧1
⎪-, x >0;
4. 设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数. 若当x ≥0时，f (x ) =⎨ x
⎪0, x =0. ⎩
（1）求f (x ) 在(-∞,0) 上的解析式.
（2）请你作出函数f (x ) 的大致图像.
（3）当0
（4）若关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实数解，求b , c 满足的条件.
5．已知函数f (x ) =a -
2
b
(x ≠0) 。 |x |
（1）若函数f (x ) 是(0,+∞) 上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当b =2时，若不等式f (x )
（3）对于函数g (x ) 若存在区间[m , n ](m
g (x ) 是[m , n ]上的闭函数。若函数f (x ) 是某区间上的闭函数，试探求a , b 应满足的条件。
6、设f (x ) =
7．对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称点(x 0, x 0) 为函数的不动点。 （1）已知函数f (x ) =ax +bx -b (a ≠0) 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；
2
ax 2+bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x ) 的定义域
和值域相同。
（2）若对于任意实数b ，函数f (x ) =ax 2+bx -b (a ≠0) 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数g (x ) 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
8．设函数f (x ) =x +数为g (x ) .
（1）求函数y =g (x ) 的解析式；
（2）若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.
9．设定义在(0, +∞) 上的函数f (x ) 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有f (a ⋅b ) =f (a ) +f (b ) -1； ②f (2)=0；
③当x >1时，总有f (x )
（2）求证：f (x ) 在(0, +∞) 上是减函数.
10． 已知函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，当x ∈[-2, 0) 时，f (x ) =tx -（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）当t ∈[2, 6]时，求f (x ) 在[-2, 0]上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想f (x ) 在[0, 2]上的单
调递增区间（不必证明）；
（3）当t ≥9时，证明：函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上。
11. 记函数f (x )=
1，(x ≠0) 的图象为C 1、C 1关于点A （2，1）的对称的图象为C 2，C 2对应的函x
12
13
x （t 为常数）。 2
2-
x +7
的定义域为A ，g (x )=lg [(2x -b )(ax +1)](b >0, a ∈R )的定义域为B ， x +2
（1）求A ： （2）若A ⊆B ，求a 、b 的取值范围
a x +1
(a >0, a ≠1)。 12、设f (x )=x
1-a
-1
（1）求f (x )的反函数f (x )：
(x )在(1. +∞)上的单调性，并加以证明：
-1
（3）令g (x )=1+l o g a x ，当[m , n ]⊂(1, +∞)(m
（2）讨论f
-1
的取值范围。
13．集合A 是由具备下列性质的函数f (x ) 组成的：
(1) 函数f (x ) 的定义域是[0,+∞) ；
(2) 函数f (x ) 的值域是[-2, 4) ；
(3) 函数f (x ) 在[0,+∞) 上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数f 1(x ) 2(x ≥0) ，及f 2(x ) =4-6⋅() x (x ≥0) 是否属于集合A ？并简要说明理由．
2
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数f (x ) ，不等式f (x ) +f (x +2)
的x ≥0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎨
2
⎧f (x ) (x >0)
-f (x ) (x
（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)≥0成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下, 当x ∈[-2, 2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数, 求实数k 的取值范围。 （3）（理）设m>0,n0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
15．函数f(x)=
x
(a，b 是非零实常数) ，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。
ax +b
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1) 到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
函数大题专练答案
１、已知关于x 的不等式(kx -k 2-4)(x -4) >0，其中k ∈R 。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z =B （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。 解：（1）当k =0时，A =(-∞,4) ；当k >0且k ≠2时，A =(-∞, 4) (k +
4
, +∞) ； k
当k =2时，A =(-∞,4) (4,+∞) ；（不单独分析k =2时的情况不扣分）
4
, 4) 。 k
（2） 由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限；
当k
4
因为k +≤-4，当且仅当k =-2时取等号，
k
所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少。
此时A =(-4,4)，故集合B ={-3, -2, -1,0,1,2,3}。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x ) 称为G 函数。
① 对任意的x ∈[0,1]，总有f (x ) ≥0；
② 当x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1时，总有f (x 1+x 2) ≥f (x 1) +f (x 2) 成立。
当k
已知函数g (x ) =x 2与h (x ) =a ⋅2x -1是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数g (x ) 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数h (x ) 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g (2x -1) +h (x ) =m (m ∈R ) 解的个数情况。 解：（1） 当x ∈[0,1]时，总有g (x ) =x 2≥0，满足①，
当x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1时，
g (x 1+x 2) =x 12+x 22+2x 1x 2≥x 12+x 22=g (x 1) +g (x 2) ，满足② （2）若a
若a ≥1时，h (x ) 在x ∈[0, 1]上是增函数，则h (x ) ≥0，满足①
x +x x x
由h (x 1+x 2) ≥h (x 1) +h (x 2) ，得a ⋅212-1≥a ⋅21-1+a ⋅22-1，
即a [1-(21-1)(22-1)]≤1， 因为 x 1≥0, x 2≥0, x 1+x 2≤1
所以 0≤21-1≤1 0≤22-1≤ 1 x 1与x 2不同时等于1 ∴0≤(21-1)(21-1)
x
x
x x
x x
∴a ≤
1
x 1x 1
1-(2-1)(2-1)
1
) min =1 ∴a ≤1， 当x 1=x 2=0时，(x 1x 1
1-(2-1)(2-1)
综合上述：a ∈{1}
x x
（3）根据（２）知： a=1，方程为4-2=m ，
⎧0≤2x -1≤1由⎨ 得 x ∈[0, 1] ⎩0≤x ≤1
1212x
令2=t ∈[1, 2]，则m =t -t =(t -) -
24
由图形可知：当m ∈[0, 2]时，有一解；
当m ∈(-∞, 0) ⋃(2, +∞) 时，方程无解。
1. 2|x |
（1）若f (x ) =2，求x 的值；
３. 已知函数f (x ) =2x -
（2）若2t f (2t ) +mf (t ) ≥0对于t ∈[2,3]恒成立，求实数m 的取值范围.
[解] （1）当x
12x x
=22-2⋅2-1=0， ，即 x 2
1. 2x
解得 2x =1±2.
2x >0，∴x =log 21+2.
()
（2）当t ∈[1, 2]时，2t 22t -
即 m (22t -1)≥-(24t -1).
22t -1>0， ∴ m ≥-(22t +1). 故m 的取值范围是[-17, +∞) .
⎛⎝1⎫⎛t 1⎫
+m ⎪ 2-t ⎪≥0， 22t ⎭2⎭⎝
t ∈[2,3],∴-(1+22t )∈[-65, -17]，
⎧1
⎪-, x >0;
４. 设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数. 若当x ≥0时，f (x ) =⎨ x
⎪0, x =0. ⎩
（1）求f (x ) 在(-∞,0) 上的解析式.
（2）请你作出函数f (x ) 的大致图像.
（3）当0
（4）若关于x 的方程f (x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实数解，求b , c 满足的条件.
2
[解]（1）当x ∈(-∞,0) 时，f (x ) =f (-x ) =-（2）f (x ) 的大致图像如下：.
11=+. -x x
1111⎛1⎫⎛1⎫
⇔-=-⇔ 1-⎪= 1-⎪⇔+=2，
a b a b ⎝a ⎭⎝b ⎭
⇔a +b =2ab >
解得ab 的取值范围是(1,+∞) . （4）由（2），对于方程f (x ) =a ，当a =0时，方程有3个根；当0
a ≥1时，方程有2个根；当a
2
f x 所以，要使关于的方程(x ) +bf (x ) +c =0有7个不同实数解，关于f (x ) 的方程
22
f 2(x ) +bf (x ) +c =0有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。
所以c =0, f (x ) =-b ∈(0,1)，即-1
b
(x ≠0) 。 |x |
（1）若函数f (x ) 是(0,+∞) 上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当b =2时，若不等式f (x )
（3）对于函数g (x ) 若存在区间[m , n ](m
g (x ) 是[m , n ]上的闭函数。若函数f (x ) 是某区间上的闭函数，试探求a , b 应满足的条件。
解：（1） 当x ∈(0,+∞) 时，f (x ) =a -
b
x
设x 1, x 2∈(0,+∞) 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =
b (x 1-x 2)
x 1x 2
由x 10，所以b >0，即b ∈(0,+∞)
（2）当b =2时，f (x ) =a -
22
x |x |
因为x +
22
≥x =
即x =
x x
2
(1, +∞) ，所以x +在x ∈(1,+∞
) 上的最小值为
a
（3） 因为f (x ) =a -且b ≠0
（4） ①若0
b
的定义域是(-∞,0) (0,+∞) ，设f (x ) 是区间[m , n ]上的闭函数，则mn >0|x |
当b >0时，f (x ) =a -
⎧f (m ) =m b
是(0,+∞) 上的增函数，则⎨， |x |⎩f (n ) =n
所以方程a -
2
b
=x 在(0,+∞) 上有两不等实根， x
即x -ax +b =0在(0,+∞) 上有两不等实根，所以
⎧a 2-4b >0⎪2
⎨x 1+x 2=a >0，即a >0, b >0且a -4b >0 ⎪x ⋅x =b >0⎩12
当b
f (x ) =a -
⎧f (m ) =n b -b
(0,+∞) =a +在上递减，则⎨，即
|x |x f (n ) =m ⎩
b ⎧a -=n ⎪⎧a =0⎪m
⇒⎨，所以a =0, b
b mn =-b ⎪a -=m ⎩⎪n ⎩
②若m
当b >0时，f (x ) =a -
⎧f (m ) =n b b
，即=a +是(-∞,0) 上的减函数，所以⎨
|x |x ⎩f (n ) =m
b ⎧
a +=n ⎪⎧a =0⎪m
⇒，所以a =0, b >0 ⎨⎨
⎪a +b =m ⎩mn =b ⎪n ⎩
６、设f (x ) =
ax 2+bx ，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数f (x ) 的定义域
和值域相同。
解：（1）若a =0，则对于每个正数b ，f (x ) =bx 的定义域和值域都是[0, +∞)
故a =0满足条件 （2）若a >0，则对于正数b ，f (x ) =
b ⎤⎛
ax 2+bx 的定义域为D = -∞, -⎥ [0, +∞)，
a ⎦⎝
但f (x ) 的值域A ⊆[0, +∞)，故D ≠A ，即a >0不合条件； （3）若a
b
a
b 2-a
，
⎧a
⇔⎨⇔a =-4 f (x ) 的值域为[0, ]，-=
a 2-a 2-a ⎩2-a =-a
b
综上所述：a 的值为0或-4
７．对于函数f (x ) ，若存在x 0∈R ，使f (x 0) =x 0成立，则称点(x 0, x 0) 为函数的不动点。 （1）已知函数f (x ) =ax 2+bx -b (a ≠0) 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值；
（2）若对于任意实数b ，函数f (x ) =ax 2+bx -b (a ≠0) 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数g (x ) 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。 解：（1）由不动点的定义：f (x ) -x =0，∴ax +(b -1) x -b =0 代入x =1知a =1，又由x =-3及a =1知b =3。
∴a =1，b =3。
（2）对任意实数b ，f (x ) =ax +bx -b (a ≠0) 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程
2
2
f (x ) -x =0总有两个相异的实数根。
∴ax +(b -1) x -b =0中∆=(b -1) +4ab >0，
2
2
即b 2+(4a -2) b +1>0恒成立。故∆1=(4a -2) 2-4故当0
所以有2k 个（k ∈N ），加上原点，共有n =2k +1个。即n 必为奇数 ８．设函数f (x ) =x +数为g (x ) .
（1）求函数y =g (x ) 的解析式；
（2）若直线y =b 与C 2只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标. 解．（1）设p (u , v ) 是y =x +
1
，(x ≠0) 的图象为C 1、C 1关于点A （2，1）的对称的图象为C 2，C 2对应的函x
11
上任意一点，∴v =u + ① x u
设P 关于A （2，1）对称的点为Q (x , y ), ∴⎨代入①得2-y =4-x +
⎧u +x =4⎧u =4-x
⇒⎨
⎩v +y =2⎩v =2-y
11
⇒y =x -2+ 4-x x -4
∴g (x ) =x -2+
1
(x ∈(-∞, 4) ⋃(4, +∞)); x -4
⎧y =b ⎪2
（2）联立⎨1⇒x -(b +6) x +4b +9=0,
y =x -2+⎪x -4⎩
∴∆=(b +6) 2-4⨯(4b +9) =b 2-4b =0⇒b =0或b =4,
（1）当b =0时得交点（3，0）； （2）当b =4时得交点（5，4）. 9．设定义在(0, +∞) 上的函数f (x ) 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有f (a ⋅b ) =f (a ) +f (b ) -1； ②f (2)=0；
③当x >1时，总有f (x )
（2）求证：f (x ) 在(0, +∞) 上是减函数.
1
2
解（1）取a=b=1，则f (1)=2f (1)-1. 故f (1)=1 又f (1)=f (2⋅1) =f (2)+f (1) -1. 且f (2)=0.
2
2
得：f (1) =f (1)-f (2)+1=1+1=2
2
（2）设0
x 1x 1
=f (
x x 2
) -1 依01
x 1x 1
x 2
)
再依据当x >1时，总有f (x )
即f (x 2) -f (x 1)
10． 已知函数f (x ) 是定义在[-2, 2]上的奇函数，当x ∈[-2, 0) 时，f (x ) =tx -（1）求函数f (x ) 的解析式；
（2）当t ∈[2, 6]时，求f (x ) 在[-2, 0]上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想f (x ) 在[0, 2]上的单
调递增区间（不必证明）；
（3）当t ≥9时，证明：函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上。
13
x （t 为常数）。 2
11
(-x ) 3=-tx +x 3， ∵函数f (x ) 是定义221313
在[-2, 2]上的奇函数，即f (-x )=-f (x )，∴-f (x )=-tx +x ，即 f (x ) =tx -x ，又可知
22
1
f (0)=0，∴函数f (x ) 的解析式为 f (x ) =tx -x 3 ，x ∈[-2, 2]；
2
解：（1）x ∈(0, 2]时，-x ∈[-2, 0)， 则 f (-x ) =t (-x ) -（2）f (x )=x t -
⎛
⎝112⎫
x ⎪，∵t ∈[2, 6]，x ∈[-2, 0]，∴t -x 2≥0，
22⎭
3
∵ [f (x )]
2
1212⎫⎛2
2x +t -x +t -x ⎪ 3
18t 12⎛⎫222⎪==x t -x ⎪≤ ，∴x =t -x ，
3272⎪⎝2⎭
⎪⎝⎭
即 x 2=
6t 262t 6t
∈[-2, 0]) 时，f min =-t t 。 , x =-(-3339
⎡⎣
t ⎤
⎥。 3⎦
猜想f (x ) 在[0, 2]上的单调递增区间为⎢0,
（3）t ≥9时，任取-2≤x 1
⎡⎣122⎤
x 1+x 1x 2+x 2⎥
()
∴f (x )在[-2, 2]上单调递增，即f (x )∈[f (-2), f (2)]，即f (x )∈[4-2t , 2t -4]，t ≥9，∴
4-2t ≤-14, 2t -4≥14，
∴14∈[4-2t , 2t -4]，∴当t ≥9时，函数y =f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线y =14上。 11. 记函数f (x )=
2-
x +7
的定义域为A ，g (x )=lg [(2x -b )(ax +1)](b >0, a ∈R )的定义域为B ， x +2
（1）求A ： （2）若A ⊆B ，求a 、b 的取值范围
x +7⎫⎧x -3⎫
≥0⎬=⎨x ≥0⎬=(-∞, -2)⋃[3, +∞)， x +2⎭⎩x +2⎭
b 1
（2）(2x -b )(ax +1)>0，由A ⊆B ，得a >0，则x >orx
2a
b ⎧
10
。 B = -∞, -⎪⋃ , +∞⎪， ⎨⇒⎨2
1a 2⎝⎭⎝⎭⎪-2≤-
a x +1
(a >0, a ≠1)。 12、设f (x )=x
1-a
（1）求f (x )的反函数f -1(x )：
（2）讨论f -1(x )在(1. +∞)上的单调性，并加以证明：
（3）令g (x )=1+l o g a x ，当[m , n ]⊂(1, +∞)(m
解：（1）A =⎨x 2-
⎧
⎩
的取值范围。
x -1
(x >1或x
x -1x 2-12(x 1-x 2)（2）设1
-1
(x )=log a
∴0
-1
-1
(x )在(1. +∞)上是增函数。
-1
（3）当0
-1⎧x -1x -1⎪f (m )=g (m )=1+l o g a x 得=ax ，即ax 2+(a -1)x +1=0， 可知方程的两 ∴⎨-1，由l o g a
x +1x +1⎪⎩f (n )=g (n )
⎧
⎪∆>0⎪-1
个根均大于1，即⎨f (1)>0⇒01时，∵f (x )在(1. +∞)上是增函数，∴
⎪1-a ⎪>1⎩2a
-1⎧⎪f (m )=g (n )⎧m -1=amn +an
⇒a =-1（舍去）。 综上，得 0
⎪⎩f (n )=g (m )⎩n -1=amn +am
13．集合A 是由具备下列性质的函数f (x ) 组成的：
(1) 函数f (x ) 的定义域是[0,+∞) ； (2) 函数f (x ) 的值域是[-2, 4) ；
(3) 函数f (x ) 在[0,+∞) 上是增函数．试分别探究下列两小题：
1
（Ⅰ）判断函数f 1(x ) 2(x ≥0) ，及f 2(x ) =4-6⋅() x (x ≥0) 是否属于集合A ？并简要说明理由．
2
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数f (x ) ，不等式f (x ) +f (x +2)
的x ≥0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（1）函数f 1(x ) =
(x 1)>f -1(x 2)，∴f -1(x )在(1. +∞)上是减函数：a >1时，f -1(x 1)
x -2不属于集合A. 因为f 1(x ) 的值域是[-2, +∞) , 所以函数f 1(x ) =x -2不属
于集合A.(或 当x =49>0时, f 1(49)=5>4，不满足条件.)
1f 2(x ) =4-6⋅() x (x ≥0) 在集合A 中, 因为: ① 函数f 2(x ) 的定义域是[0,+∞) ；② 函数f 2(x ) 的值2
域是[-2, 4) ；③ 函数f 2(x ) 在[0,+∞) 上是增函数．
1x 1（2）f (x ) +f (x +2) -2f (x +1) =6⋅() (-)
∴不等式f (x ) +f (x +2)
14、设函数f(x)=ax+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=⎨2⎧f (x ) (x >0)
⎩-f (x ) (x
（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)≥0成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下, 当x ∈[-2, 2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数, 求实数k 的取值范围。
（3）（理）设m>0,n0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
解：（1） f(-1)=0 ∴b
2=a +1由f(x)≥0恒成立 知△=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0 (x >0)
(x
2⎧(x +1) ∴a=1从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)=⎨2⎩-(x +1) 2 ， （2）由（1）可知f(x)=x+2x+1 ∴g(x)=f(x)-kx=x+(2-k)x+1，由于g(x)在[-2, 2]上是单调函数, 知2-k 2-k ≤-2或-≥2，得k ≤-2或k ≥6 ， 22
（3） f(x)是偶函数，∴f(x)=f(x)，而a>0∴f (x ) 在[0, +∞]上为增函数 -
对于F(x)，当x>0时-x0，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)， ∴F(x)是奇函数且F(x)在[0，+∞]上为增函数，
m>0,n-n>0知F(m)>F(-n)∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0 。
15．函数f(x)=x (a，b 是非零实常数) ，满足f(2)=1，且方程f(x)=x有且仅有一个解。 ax +b
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1) 到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
解 (1)由f(2)=1得2a+b=2，又x=0一定是方程
所以x =x的解， ax +b 11=1无解或有解为0，若无解，则ax+b=1无解，得a=0，矛盾，若有解为0，则b=1，所以a=。 ax +b 2
2x (2)f(x)=，设存在常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立， x +2
2m 2x 2(-4-x ) +取x=0，则f(0)+f(m–0)=4，即=4，m= –4(必要性) ，又m= –4时，f(x)+f(–4–x)==……x +2-4-x +2m +2
=4成立(充分性) ，所以存在常数m= –4，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m–x)=4恒成立，
x -22) ，设x+2=t，t ≠0， 则x +2
t -[1**********]4|AP|2=(t+1)2+() =t+2t+2–+2=(t2+2)+2(t–)+2=(t–) 2+2(t–)+10=( t–+1)2+9， t t t t t t t t
4-1±-5±所以当t –+1=0时即t=，也就是x=时，|AP| min = 3 。 t 22
21+mx 16、已知函数f (x ) =-log 2是奇函数。 x 1-x
（1）求m 的值； (3)|AP|2=(x+3)2+(
（2）请讨论它的单调性，并给予证明。
解（1） f (x ) 是奇函数，∴f (-x ) +f (x ) =0； 21-mx 21+mx -log 2) +(-log 2) =0，解得：m =1，其中m =-1（舍）； x 1+x x 1-x
21+x (x ∈(-1, 0)⋃(0, 1)) 确是奇函数。 经验证当m =1时，f (x ) =-log 2x 1-x 即(-
（2）先研究f (x ) 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1
=(
由1+x 121+x 22-log 2-+log 2x 11-x 1x 21-x 22222-) +[log2(-1) -log 2(-1)], x 1x 21-x 21-x 12222->0, log 2(-1) -log 2(-1) >0, x 1x 21-x 21-x 1
得f (x 1) -f (x 2) >0，即f (x ) 在（0，1）内单调递减；
由于f (x ) 是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数f (x ) 在（－1，0）内单调递减。