[空间距离]

空间距离

1. 点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.

2. 直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.

3. 两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：点到平面的距离

【例1】如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；

【变式1】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求点A 1到平面AD 1B 1的距离。

【例2】已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱CC 1的中点。求B 1C 1到平面ADE 的距离。

【变式2】正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为8，对角线B 1C =10，D 是AC 的中点。

（1）求点B 1到直线AC 的距离. （2）求直线AB 1到平面C 1BD 的距离．

B A B

【范例3】如图，在长方体AC 1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1

D ；

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；

1 A

巩固练习

1. △ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°. △ABC 所4. 在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，PC ⊥平面ABCD ，E 是P A 的中点，求点E 到面PBC 的距离． 5、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC=60°，PC ⊥平面ABCD ，M 是PA 的中点。

在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )

A.7 B.9 C.11 D.13

2. 在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直. M 是面 ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )

A.7 B.8 C.9 D.10 3、已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，AA 1=2，E 为棱

CC 1的中点。求C 到平面ADE 的

距离。

（1）求证：平面ABCD ⊥平面MDB ；（2）求点M 到平面PBC 的距离。