金融数学复习答案
一、 填空
1、原始本金经过一段时间所产生的价值的增值称为 利息 .
2、在指定时期内利息额同借贷资本总额的比率称为 利率 .
3、在单利的条件下，每期的 利息 都是常数。
4、在复利的条件下，每期的 利率 都是常数。
5、名义利率为6%，期限二年，则半年复利一次的年实际利率为 6.09% .
6、若面值为100元的债券在到期前3个月时的买价为96元, 则买方的季换算名义贴现率为 16% .
7、本金为100元，以6%的利率每半年复利一次，则一年的终值为106.09.
8、本金为100元，以8%的利率每季复利一次，则一年的终值为108.20
9、付款周期与利息换算周期相同的年金称为 基本年金 .
10、付款周期与利息换算周期不同的年金称为 广义年金 .
11、基本年金中有四种类型, 它们是 期末年金、期初年金、递延年金、永久年金 .
12、按每次付款金额是否相等，年金可以分为 等额年金和变额年金 .
13、若年金的现金流在第一个付款期末首次发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为 期末年金 .
14、若年金的现金流在合同生效时立即发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为 期初年金 .
15、投资收益分析中常用的基本分析方法有收益率法、净现值法、未结
价值法 .
16、投资收益分析中收益率的计算方法有资本加权法、时间加权法 .
17、等额摊还法中未结贷款余额的计算方法有预期法、追溯法 .
18、债务偿还分析的两种主要方法是摊还法和偿债基金法 .
19、已知13周国库券以6%的贴现率出售, 则面值为10000元的这种债券的当前认购价格为9848.43元 .
20、某公司刚刚发放的股利为2元/股, 预计该分司每年将以2%的速度递增, 预期收益率为12%,则该股票的理论价格为20元 .
21、已知(1+i ) 5=X ，(1+i ) 2=Y ，则(1+
i ) 1122、假设市场的无风险利率为6%，息票率为7%，期限为1年，则风险不发生的概率为 99.07% .
23、由久期的性质可知，收益率越高，久期 ，债券价格对利率变化的敏感性越小，风险越小。
二、计算题
1、已知600元投资两年将产生利息264元（复利方式）计算2000元以同样的实际利率投资3年的终值。
解：设年利率为i ，依题意有价值方程
600(1+i ) 2-600=264，解得i =20%
所求和终值为：2000(1+20%)3元=3456元
2、某人在每年初存入100元，持续20年，年实际利率为i =4%。如果存款按复利计息，则这些存款在20年末的累积值是多少？
解：存款以复利计息时的累积值为：
(1+i ) n -1F =A (1+i ) i
(1+0.04) 20-1(1+0.04) （(F /A ,4%,20)=29.7781） =1000.04
=3097（元）
3、一个项目的初始投资为50000元，第一年末可获得30000元的收益；在第二年初追加投资20000元，项目在第二年末可获得60000元的收益，假设该项目的预期收益率是25%，问该项目是否可行？
解：R 0=-50000, R 1=30000-20000=10000, R 2=60000, n =2
P (i ) =∑R t 1000060000=-50000++=0 t 2(1+i ) 1+i (1+i ) t =0
5，即i =20%
故该项目不可行。
4、一个项目的初始投资为30000元，第一年末可获得20000元的收益；在第二年初追加投资10000元，项目在第二年末可获得40000元的收益，假设该项目的预期收益率是25%，问该项目是否可行？
5、某贷款按季度分期偿还，每次还1000元，还期为5年，季换算名义利率为12%。计算第六次还款中的利息量和本金量。
解：第五次还款后的未结贷款余额为：
1-(1+0.03) -15
B =1000⨯=11937.94（元）（(P /A ,3%,15)=11.9379） 0.03p
5
第六次还款中的利息量和本金量分别为：
I 6=iB 5=11937.94⨯0.03=358.14（元）
P 6=R -I 6=1000-358.14=641.86（元）
6、现有1000元贷款通过每季度还款100元偿还，且已知季换算名义利率为16%。计算第4次还款中的利息量和本金量。
7、假设某人从银行获得一笔贷款，期限5年，年实际利率为10%。借款人在每期末以偿债基金方式偿还，每期末偿还总额分别为：1000元、2000元、3000元、4000元、5000元。假设偿债基金利率为8%，试计算原始的贷款额。
解：每期支付的利息为：I =iL =0.1L
第一年支付的本金为：P 1=1000-0.1L
第二年支付的本金为：P 2=2000-0.1L
以此类推，第五年支付的本金为：P 5=5000-0.1L
L =∑P t (1+j ) n -t
t =1n
=(1000-0.1L )(1+0.08) 4+(2000-0.1L )(1+0.08) 3++(5000-0.1L )
=(1000-0.1L ) ⨯1.36+(2000-0.1L ) ⨯1.26+(3000-01. L ) ⨯1.166++(5000-0.1L ) =15698元-0.5846L
解得，L =10165.34元
8、面值为100元的10年期债券，每半年付息一次，其中息率为10%，兑现值为105元。如果以名收益率8%认购，计算该债券的认购价格。
解：F =100元, C =105元, r =0.05, i =0.04, n =20
1-(1+i ) -n C ((P /A ,4%,20)=13.5903) P =Fr +n i (1+i )
1-(1+0.04) -20105=100⨯0.05元+元 0.04(1+0.04) 20
=67.95元+47.92元
=115.87元
9、面值为100元的10年期债券，每半年付息一次，其中息率为8%。如果以名收益率6%认购，计算该债券的认购价格。
10、已知息票率为5%的10年期债券的年利率为6%，按面值兑现。试计算该债券的的久期和修正久期。（1.0610=1.79085，100.06=7.36）
解：设面值为F 元，则
1-1.06-10F 1-(1+i ) -n C 0.05⨯F += P =Fr +0.061.0610i (1+i ) n
=0.05F ⨯7.36+0.5584F =0.9264F
10R t t F =0.05F ⨯36.962+5.5839F =7.4321F t ⨯=0.05F +10⨯∑∑t t 10(1+i ) 1.061.06t =1t =1n
tR t ∑t 7.4321F t =1(1+i ) ===8.0226 P 0.9264F n
=d 8.0226==7.57 1+i 1.06
三、应用题
1、一辆新汽车的现金价为150000元，某顾客在首次付款45000元后，
余额以月换算名义利率12%分期付款购买此车，期限4年，则每月末付款多少元？
1-(1+i ) -n 解：设每月付款A 元，由期末年金的现值公式P =A ，得 i
105000=A ⨯1-(1+0.12-48) =A ⨯37.97396 0.12
12
解得，A =2765.05元 (P /A ,1%,48)=37.97396）
2、某人购买一套房款金额为500000元的新房，首次付款比例为60%，余额以月换算名义利率6%分期付款，期限4年，则每月末付款多少元？
1-(1+i ) -n 解：设每月付款A 元，由期末年金的现值公式P =A ，得 i
500000(1-0.6) =A ⨯1-(1+0.06-48) =A ⨯42.58032 0.06
12
解得，A =4696.69元 (P /A ,0.5%,48)=42.58032）
3、某投资者购买了如下金融产品：
（1）每年底得到1000元；
（2）每年的收入可以按年利率4%投资且当年收回利息。
如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%，计算购买价格。
4、某人留下遗产100000元，第一个10年将每年的利息付给受益人甲，第二个10年将每年的利息付给受益人乙，20年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，均为年底支付。如果年利率为7%，试计算三个受
益人的相对受益比例。
解：100000元每年的利息为：100000×7%元=7000元
甲的受益现值相当于7000元的10年期末年金的现值，故其受益现值
1-1.07-10
元=7000⨯7.0236元=49162元 为 70000.07
乙的受益现值相当于7000元递延10年的10年期末年金的现值，故其受
1-1.07-201-1.07-10
-) 元=7000⨯(10.5940-7.0236) 元=24993元 益现值为 7000(0.070.07
丙的受益现值相当于7000元递延20年的永久期末年金的现值，故其受
11-1.07-20
-) 元=7000⨯(14.2857-10.5940) 元=25842元 益现值为 7000(0.070.07
故甲、乙、丙的受益比例分别为49%、25%、26%。
金融数学复习答案
一、 填空
1、原始本金经过一段时间所产生的价值的增值称为 利息 .
2、在指定时期内利息额同借贷资本总额的比率称为 利率 .
3、在单利的条件下，每期的 利息 都是常数。
4、在复利的条件下，每期的 利率 都是常数。
5、名义利率为6%，期限二年，则半年复利一次的年实际利率为 6.09% .
6、若面值为100元的债券在到期前3个月时的买价为96元, 则买方的季换算名义贴现率为 16% .
7、本金为100元，以6%的利率每半年复利一次，则一年的终值为106.09.
8、本金为100元，以8%的利率每季复利一次，则一年的终值为108.20
9、付款周期与利息换算周期相同的年金称为 基本年金 .
10、付款周期与利息换算周期不同的年金称为 广义年金 .
11、基本年金中有四种类型, 它们是 期末年金、期初年金、递延年金、永久年金 .
12、按每次付款金额是否相等，年金可以分为 等额年金和变额年金 .
13、若年金的现金流在第一个付款期末首次发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为 期末年金 .
14、若年金的现金流在合同生效时立即发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为 期初年金 .
15、投资收益分析中常用的基本分析方法有收益率法、净现值法、未结
价值法 .
16、投资收益分析中收益率的计算方法有资本加权法、时间加权法 .
17、等额摊还法中未结贷款余额的计算方法有预期法、追溯法 .
18、债务偿还分析的两种主要方法是摊还法和偿债基金法 .
19、已知13周国库券以6%的贴现率出售, 则面值为10000元的这种债券的当前认购价格为9848.43元 .
20、某公司刚刚发放的股利为2元/股, 预计该分司每年将以2%的速度递增, 预期收益率为12%,则该股票的理论价格为20元 .
21、已知(1+i ) 5=X ，(1+i ) 2=Y ，则(1+
i ) 1122、假设市场的无风险利率为6%，息票率为7%，期限为1年，则风险不发生的概率为 99.07% .
23、由久期的性质可知，收益率越高，久期 ，债券价格对利率变化的敏感性越小，风险越小。
二、计算题
1、已知600元投资两年将产生利息264元（复利方式）计算2000元以同样的实际利率投资3年的终值。
解：设年利率为i ，依题意有价值方程
600(1+i ) 2-600=264，解得i =20%
所求和终值为：2000(1+20%)3元=3456元
2、某人在每年初存入100元，持续20年，年实际利率为i =4%。如果存款按复利计息，则这些存款在20年末的累积值是多少？
解：存款以复利计息时的累积值为：
(1+i ) n -1F =A (1+i ) i
(1+0.04) 20-1(1+0.04) （(F /A ,4%,20)=29.7781） =1000.04
=3097（元）
3、一个项目的初始投资为50000元，第一年末可获得30000元的收益；在第二年初追加投资20000元，项目在第二年末可获得60000元的收益，假设该项目的预期收益率是25%，问该项目是否可行？
解：R 0=-50000, R 1=30000-20000=10000, R 2=60000, n =2
P (i ) =∑R t 1000060000=-50000++=0 t 2(1+i ) 1+i (1+i ) t =0
5，即i =20%
故该项目不可行。
4、一个项目的初始投资为30000元，第一年末可获得20000元的收益；在第二年初追加投资10000元，项目在第二年末可获得40000元的收益，假设该项目的预期收益率是25%，问该项目是否可行？
5、某贷款按季度分期偿还，每次还1000元，还期为5年，季换算名义利率为12%。计算第六次还款中的利息量和本金量。
解：第五次还款后的未结贷款余额为：
1-(1+0.03) -15
B =1000⨯=11937.94（元）（(P /A ,3%,15)=11.9379） 0.03p
5
第六次还款中的利息量和本金量分别为：
I 6=iB 5=11937.94⨯0.03=358.14（元）
P 6=R -I 6=1000-358.14=641.86（元）
6、现有1000元贷款通过每季度还款100元偿还，且已知季换算名义利率为16%。计算第4次还款中的利息量和本金量。
7、假设某人从银行获得一笔贷款，期限5年，年实际利率为10%。借款人在每期末以偿债基金方式偿还，每期末偿还总额分别为：1000元、2000元、3000元、4000元、5000元。假设偿债基金利率为8%，试计算原始的贷款额。
解：每期支付的利息为：I =iL =0.1L
第一年支付的本金为：P 1=1000-0.1L
第二年支付的本金为：P 2=2000-0.1L
以此类推，第五年支付的本金为：P 5=5000-0.1L
L =∑P t (1+j ) n -t
t =1n
=(1000-0.1L )(1+0.08) 4+(2000-0.1L )(1+0.08) 3++(5000-0.1L )
=(1000-0.1L ) ⨯1.36+(2000-0.1L ) ⨯1.26+(3000-01. L ) ⨯1.166++(5000-0.1L ) =15698元-0.5846L
解得，L =10165.34元
8、面值为100元的10年期债券，每半年付息一次，其中息率为10%，兑现值为105元。如果以名收益率8%认购，计算该债券的认购价格。
解：F =100元, C =105元, r =0.05, i =0.04, n =20
1-(1+i ) -n C ((P /A ,4%,20)=13.5903) P =Fr +n i (1+i )
1-(1+0.04) -20105=100⨯0.05元+元 0.04(1+0.04) 20
=67.95元+47.92元
=115.87元
9、面值为100元的10年期债券，每半年付息一次，其中息率为8%。如果以名收益率6%认购，计算该债券的认购价格。
10、已知息票率为5%的10年期债券的年利率为6%，按面值兑现。试计算该债券的的久期和修正久期。（1.0610=1.79085，100.06=7.36）
解：设面值为F 元，则
1-1.06-10F 1-(1+i ) -n C 0.05⨯F += P =Fr +0.061.0610i (1+i ) n
=0.05F ⨯7.36+0.5584F =0.9264F
10R t t F =0.05F ⨯36.962+5.5839F =7.4321F t ⨯=0.05F +10⨯∑∑t t 10(1+i ) 1.061.06t =1t =1n
tR t ∑t 7.4321F t =1(1+i ) ===8.0226 P 0.9264F n
=d 8.0226==7.57 1+i 1.06
三、应用题
1、一辆新汽车的现金价为150000元，某顾客在首次付款45000元后，
余额以月换算名义利率12%分期付款购买此车，期限4年，则每月末付款多少元？
1-(1+i ) -n 解：设每月付款A 元，由期末年金的现值公式P =A ，得 i
105000=A ⨯1-(1+0.12-48) =A ⨯37.97396 0.12
12
解得，A =2765.05元 (P /A ,1%,48)=37.97396）
2、某人购买一套房款金额为500000元的新房，首次付款比例为60%，余额以月换算名义利率6%分期付款，期限4年，则每月末付款多少元？
1-(1+i ) -n 解：设每月付款A 元，由期末年金的现值公式P =A ，得 i
500000(1-0.6) =A ⨯1-(1+0.06-48) =A ⨯42.58032 0.06
12
解得，A =4696.69元 (P /A ,0.5%,48)=42.58032）
3、某投资者购买了如下金融产品：
（1）每年底得到1000元；
（2）每年的收入可以按年利率4%投资且当年收回利息。
如果该投资者将每年的利息收入以年利率3%再投资，实际年收益率为4%，计算购买价格。
4、某人留下遗产100000元，第一个10年将每年的利息付给受益人甲，第二个10年将每年的利息付给受益人乙，20年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去，均为年底支付。如果年利率为7%，试计算三个受
益人的相对受益比例。
解：100000元每年的利息为：100000×7%元=7000元
甲的受益现值相当于7000元的10年期末年金的现值，故其受益现值
1-1.07-10
元=7000⨯7.0236元=49162元 为 70000.07
乙的受益现值相当于7000元递延10年的10年期末年金的现值，故其受
1-1.07-201-1.07-10
-) 元=7000⨯(10.5940-7.0236) 元=24993元 益现值为 7000(0.070.07
丙的受益现值相当于7000元递延20年的永久期末年金的现值，故其受
11-1.07-20
-) 元=7000⨯(14.2857-10.5940) 元=25842元 益现值为 7000(0.070.07
故甲、乙、丙的受益比例分别为49%、25%、26%。