关键词: 代数 同余
孙子定理,国际上称为中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem),它的内容是:
若整数
两两互素,那么同余方程组
有解,并且它的解为
其中,
,
,
满足
。
历史
孙子定理源于我国古代《孙子算经》中著名的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”
明代数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中用一首诗道出了此问题的解法:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,
七子团圆整半月,除百零五便得知。
这首诗的意思用现代数学语言写出来就是:
,其中
分别是除以3, 5, 7的余数,在上述问题中分别取2, 3, 2。
但上面的讨论都只限于模2, 3, 5的情形,而第一个研究一般情况的数学家是秦九韶。他在1247年成书的《数书九章》中研究了这个定理。
近世交换环及推广
设
为有单位元的交换环,
,…,
为环
的理想,并且当
时,
+
=
.则有典范的环同构
/(
…
)
/
…
/
,
其中环同构由映射
+
…
(
+
,
+
,…,
+
)给出。
关键词: 代数 同余
孙子定理,国际上称为中国剩余定理(Chinese Remainder Theorem),它的内容是:
若整数
两两互素,那么同余方程组
有解,并且它的解为
其中,
,
,
满足
。
历史
孙子定理源于我国古代《孙子算经》中著名的“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”
明代数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中用一首诗道出了此问题的解法:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,
七子团圆整半月,除百零五便得知。
这首诗的意思用现代数学语言写出来就是:
,其中
分别是除以3, 5, 7的余数,在上述问题中分别取2, 3, 2。
但上面的讨论都只限于模2, 3, 5的情形,而第一个研究一般情况的数学家是秦九韶。他在1247年成书的《数书九章》中研究了这个定理。
近世交换环及推广
设
为有单位元的交换环,
,…,
为环
的理想,并且当
时,
+
=
.则有典范的环同构
/(
…
)
/
…
/
,
其中环同构由映射
+
…
(
+
,
+
,…,
+
)给出。