一、等差数列
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为a n -a n -1=d (n ≥2) 或
a n +1-a n =d (n ≥1) 。
2、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d ；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d >0为递增数列，
d =0为常数列，d
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其a +b a +b 中A = a ，A ，b 成等差数列⇔A =。
22
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 。 4、等差数列的前n 和的求和公式：S n =
22
5、等差数列的性质：
（1）在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，
如：a 1，a 3，a 5，a 7，„„；a 3，a 8，a 13，a 18，„„；
（3）在等差数列{a n }中，对任意m ，n ∈N +，a n =a m +(n -m ) d ，
d =
a n -a m
(m ≠n ) ； n -m
（4）在等差数列{a n }中，若m ，则a m +q ∈N +且m +n =p +q ，a n =a p +a q n ，p ，说明：设数列{a n }是等差数列，且公差为d ，
；
S 奇a
=n ； S 偶a n +1
S n
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n -1项，则①S 偶-S 奇=a n =a 中奇=。
S 偶n -1（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶=nd ； ②
6、数列最值
（1）a 1>0，d 0时，S n 有最小值；
（2）S n 最值的求法：①若已知S n ，可用二次函数最值的求法（n ∈N +）；②若
⎧a n ≥0⎧a n ≤0已知a n ，则S n 最值时n 的值（n ∈N +）可如下确定⎨或⎨。
a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1
二、等比数列 1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常．．．．．
数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用．
字母q 表示(q ≠0) ，即：a n +1：a n =q (q ≠0) 数列对于数列（1）（2）（3）都是等
1
比数列，它们的公比依次是2，5，-。（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比
2
数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：a n =a 1⋅q n -1(a 1⋅q ≠0) 。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d =1时该数列既是等比数
a
列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{a n }为等比数列，则m =q m -n 。
a n
3．等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G , b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4．等比数列前n 项和公式
一般地，设等比数列a 1, a 2, a 3, , a n , 的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+ +a n ，当
a 1(1-q n ) a -a q
或S n =1n ；当q=1时，S n =na 1（错位相减法）。 q ≠1时，S n =
1-q 1-q
说明：（1）a 1, q , n , S n 和a 1, a n , q , S n 各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是q n ，通项公式中是q n -1不要混淆；（3）应用求和公式时q ≠1，必要时应讨论q =1的情况。 5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果a n n 项，a m 是等差数列的第m 项，且m ≤n q ，则有a n =a m q n -m ；
②对于等比数列{a n }，若n +m =u +v ，则a n ⋅a m =a u ⋅a v ，也就是：
a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2
a 1⋅a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n 。 = ，如图所示：1
a 2⋅a n -1
③若数列{a n }S n 是其前n 项的和，k ∈N *，那么S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k
成等比数列。
如下图所示：
S 3k
a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k
S k
S 2k -S k
S 3k -S 2k
三 、数列前n 项和 1．数列求通项与和
⎧s n -s n -1n ≥2
（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎨ 。
s n =1⎩1
（2）求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(an －a n －1)+(an －1+an －2)+…+(a2－a 1)+a1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和
1
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；
2
1
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；
6
1
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2；
4
②等差数列中，S m+n=Sm +Sn +mnd；
③等比数列中，S m+n=Sn +qn S m =Sm +qm S n ； ④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些
常见的裂项，如：a n =
111111
==(-) 、
(An +B )(An +C ) C -B An +B An +C n (n +1) n
－
11n 1
、n ·n ！=(n+1)!－n! 、C n －1r －1=Cn r －C n －1r 、=－等。 n +1(n +1)! n ! (n +1)!
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。a n =b n ⋅c n , 其中{b n }是等差数列，
{c n }是等比数列，记
S n =b 1c 1+b 2c 2+⋯+b n -1c n -1+b n c n ，则qS n =b 1c 2+⋯⋯+b n -1c n +b n c n +1，… ⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：a n =b n ±c n
2．递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(an+k－1,a n+k－2, …,a n ) 称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2an +1，及a 1=1，确定的数列{2n -1}即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：
（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。
（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。
（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =
2、等差数列的通项公式：a n =a1+(n-1)d an =ak +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：
S n = Sn = Sn =
当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na1是关于n 的正比例式。
n-1n-k
4、等比数列的通项公式： an = a1 q an = ak q (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0)
5、等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a1 (是关于n 的正比例式) ；当q≠1时，
S n =
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、……仍为等差数列。
2、等差数列{an }中，若m+n=p+q，则则
3、等比数列{an }中，若m+n=p+q，
4、等比数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an }与{bn }的和差的数列{an+b n }、{an -b n }仍为等差数列。
6、两个等比数列{an }与{bn }的积、商、倒数组成的数列{an
n
b }、 、 仍为等
比数列。
7、等差数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
33
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q,a/q,aq,aq (为什么？)
11、{an }为等差数列，则
(c>0)是等比数列。
1) 是等差数列。
12、{bn }（b n >0）是等比数列，则{logc b n } (c>0且c 13. 在等差数列
中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为14. 在等比数列
则，
中：
，
（1）若项数为 ，则
（2）若数为
则，
一、等差数列
1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为a n -a n -1=d (n ≥2) 或
a n +1-a n =d (n ≥1) 。
2、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d ；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d >0为递增数列，
d =0为常数列，d
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其a +b a +b 中A = a ，A ，b 成等差数列⇔A =。
22
n (a 1+a n ) n (n -1)
=na 1+d 。 4、等差数列的前n 和的求和公式：S n =
22
5、等差数列的性质：
（1）在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是AP ，
如：a 1，a 3，a 5，a 7，„„；a 3，a 8，a 13，a 18，„„；
（3）在等差数列{a n }中，对任意m ，n ∈N +，a n =a m +(n -m ) d ，
d =
a n -a m
(m ≠n ) ； n -m
（4）在等差数列{a n }中，若m ，则a m +q ∈N +且m +n =p +q ，a n =a p +a q n ，p ，说明：设数列{a n }是等差数列，且公差为d ，
；
S 奇a
=n ； S 偶a n +1
S n
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有2n -1项，则①S 偶-S 奇=a n =a 中奇=。
S 偶n -1（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶=nd ； ②
6、数列最值
（1）a 1>0，d 0时，S n 有最小值；
（2）S n 最值的求法：①若已知S n ，可用二次函数最值的求法（n ∈N +）；②若
⎧a n ≥0⎧a n ≤0已知a n ，则S n 最值时n 的值（n ∈N +）可如下确定⎨或⎨。
a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1
二、等比数列 1．等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常．．．．．
数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用．
字母q 表示(q ≠0) ，即：a n +1：a n =q (q ≠0) 数列对于数列（1）（2）（3）都是等
1
比数列，它们的公比依次是2，5，-。（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比
2
数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：a n =a 1⋅q n -1(a 1⋅q ≠0) 。
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比d =1时该数列既是等比数
a
列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{a n }为等比数列，则m =q m -n 。
a n
3．等比中项
如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a , G , b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。 4．等比数列前n 项和公式
一般地，设等比数列a 1, a 2, a 3, , a n , 的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+ +a n ，当
a 1(1-q n ) a -a q
或S n =1n ；当q=1时，S n =na 1（错位相减法）。 q ≠1时，S n =
1-q 1-q
说明：（1）a 1, q , n , S n 和a 1, a n , q , S n 各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是q n ，通项公式中是q n -1不要混淆；（3）应用求和公式时q ≠1，必要时应讨论q =1的情况。 5．等比数列的性质
①等比数列任意两项间的关系：如果a n n 项，a m 是等差数列的第m 项，且m ≤n q ，则有a n =a m q n -m ；
②对于等比数列{a n }，若n +m =u +v ，则a n ⋅a m =a u ⋅a v ，也就是：
a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2
a 1⋅a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n 。 = ，如图所示：1
a 2⋅a n -1
③若数列{a n }S n 是其前n 项的和，k ∈N *，那么S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k
成等比数列。
如下图所示：
S 3k
a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k
S k
S 2k -S k
S 3k -S 2k
三 、数列前n 项和 1．数列求通项与和
⎧s n -s n -1n ≥2
（1）数列前n 项和S n 与通项a n 的关系式：a n =⎨ 。
s n =1⎩1
（2）求通项常用方法
①作新数列法。作等差数列与等比数列；
②累差叠加法。最基本的形式是：a n =(an －a n －1)+(an －1+an －2)+…+(a2－a 1)+a1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前n 项和
1
①重要公式：1+2+…+n=n(n+1)；
2
1
12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)；
6
1
13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=n 2(n+1)2；
4
②等差数列中，S m+n=Sm +Sn +mnd；
③等比数列中，S m+n=Sn +qn S m =Sm +qm S n ； ④裂项求和
将数列的通项分成两个式子的代数和，即a n =f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些
常见的裂项，如：a n =
111111
==(-) 、
(An +B )(An +C ) C -B An +B An +C n (n +1) n
－
11n 1
、n ·n ！=(n+1)!－n! 、C n －1r －1=Cn r －C n －1r 、=－等。 n +1(n +1)! n ! (n +1)!
⑤错项相消法
对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。a n =b n ⋅c n , 其中{b n }是等差数列，
{c n }是等比数列，记
S n =b 1c 1+b 2c 2+⋯+b n -1c n -1+b n c n ，则qS n =b 1c 2+⋯⋯+b n -1c n +b n c n +1，… ⑥并项求和
把数列的某些项放在一起先求和，然后再求S n 。
数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。 ⑦通项分解法：a n =b n ±c n
2．递归数列
数列的连续若干项满足的等量关系a n+k=f(an+k－1,a n+k－2, …,a n ) 称为数列的递归关系。由递归关系及k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由a n+1=2an +1，及a 1=1，确定的数列{2n -1}即为递归数列。
递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：
（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。
（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。
（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =
2、等差数列的通项公式：a n =a1+(n-1)d an =ak +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。 3、等差数列的前n 项和公式：
S n = Sn = Sn =
当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na1是关于n 的正比例式。
n-1n-k
4、等比数列的通项公式： an = a1 q an = ak q (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0)
5、等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a1 (是关于n 的正比例式) ；当q≠1时，
S n =
三、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、……仍为等差数列。
2、等差数列{an }中，若m+n=p+q，则则
3、等比数列{an }中，若m+n=p+q，
4、等比数列{an }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S3m 、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an }与{bn }的和差的数列{an+b n }、{an -b n }仍为等差数列。
6、两个等比数列{an }与{bn }的积、商、倒数组成的数列{an
n
b }、 、 仍为等
比数列。
7、等差数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{an }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
33
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q,a/q,aq,aq (为什么？)
11、{an }为等差数列，则
(c>0)是等比数列。
1) 是等差数列。
12、{bn }（b n >0）是等比数列，则{logc b n } (c>0且c 13. 在等差数列
中：
（1）若项数为 ，则
（2）若数为14. 在等比数列
则，
中：
，
（1）若项数为 ，则
（2）若数为
则，