驴驴驴、驴。护、矽、‘弘护、‘弘疥矛协疥移、矿吨争疥力、哥叼卜驴、矽、‘办谚、矿、矿ｑ务硒、彩、矿电争面、驴、矿吲争司、驴ｑ尹它冉彩、驴、矿ｑ伊、矿
２００８年第５期（总第９７期）
广西教育学院学报
ＧＵＡＮＧＸｌＪＩＡＯＹＵＸＵＥＹＵＡＮＸＵＥＢＡＯ
ＮＯ．５。２００８
（ＳｅｒｉａｌＮＯ．９７）
均值不等式在高等数学中的应用
章国凤
（金华教育学院浙江金华邮编：３２１０００）
摘要：作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作
用。本文从重要极限！受（１书。＝ｅ的存在性的证明出发，介绍了均值不等式在高等数学的积
分、极限等领域的重要作用。
关键词：均值不等式极限应用
中图分类号：００１７文献标识码：Ａ文章编号：１００６—９４１０（２００８）０５—０１５１—０３
极限概念是高等数学中的重要概念，极限理论是高等数学中的基础理论。高等数学中有许多重要的概念都是以极限形式来定义的。而极限概念是用不等式刻画的。这就决定了不等式运算是
所以数列Ｋ・弓）１单调递增。再证数列｛（・弓了）有上界。
下面的证明可以看到一个更强的命题：数列
高等数学中最基本的运算之一，因此作为基本不
等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用。
Ｋ・弓）４）以Ｍ＝（ｔ＋妻丁“ｃ南为正整数，为上界。
先证不等式：当厅＞矗时，（・＋丢）…＜（・＋丢）“１．
设口－砰…％＝旨，啦∥一＝舻１．
由均值不等式
１．证明重要极限！晚【１唁Ｊ
２Ｐ的存在性。…
证明：先证数列｛（・砖丁｝单调递增。
得
一蹶＜珊廿．．＋（，＋删盯舸小六一．（・＋驸＋甜．
令口。＝铲…＝铲１＋｝，‰＝１，则由均值不等式
，ｌ
＜熹卜１）．丽ｋ小卅］．熹
．・．（击］“‘＜（斋］”１，因甜＋北（・＋矿
其次由１＋上＞１，有
ｎ
一１５１—
（・—ｒ告］。＜（ｔ—ｒ丢］”＋１．．・．（，＋击］“＜（・—ｒ丢］‘＋１．
４
由上面的结果有（・｛］“＜Ｐ＜（１‘ｌ、、ｊｎ＋ｌ，两边取
当凡＞．｜｝时，任取一个正整数Ｉ｜｝，吖＝（１＋｛）ｈ１对数有熹＜ｈｌ（１＋丢）＜ｉ１
均是数列｛（・｛丁｝的上界。又数列｛（，弓）０单调
递增，．．．当ｎ≤七时，不鲁式（・＋占丁＜（ｔ＋圭丁“仍然
因此，对于数列｛（，嘲０。儿：。，２…，恒有
（・＋丢）“＜（ｔ＋丢厂（Ｉ｜｝为正整数）。任意选定一个后
值，Ｍ：（・＋｛）“１均是数列｛（，｛）ｊ的上界。
所以数列｛（，爿）单调有界，由单调有界定理，数列Ｋ・｛］“｝极限存在。设极限值为ｅ，即
舰㈦“一．
数列雌门极限存在且其极限慨。训Ⅱ记‘＝㈦“
矧川恻”邯［譬厂
２ｌ鬲ｊ
ｆ，刀＋１丫２
１
２石
所以数列ｋ｝单调减少，且１ａ。ａ，＜４数列
｛‰｝收敛，且极限也是ｅ。
一１５２一
由此可以证明数列｛Ⅱ，Ｉ｝，舻１＋｝＋．．‘＋｝一ｌｍ
收敛。（其极限称为Ｅｕｌｅｒ数）
２．求极限舰砺
靠＝（石而≮）二≤掣
附惘而≤盟等坐．
厌Ｉ为
；—２√ｒｎ＋—．－－２＜，２＋１，＝一＜乍＋，
行
、，一
有。≤砺一１＜忑２，故舰砺＝１．３．证明积分不等式
例ｌ【ｚ］证明：若函数以戈）在［口，ｂ］连续，且
并∈［口，ｂ］，有灭并）＞ｏ，则
ｍ皿ｒ南邛－口）２－
ｌ１ｌ
证明：利用百＋ｉ扣”＋百
的变形ｈ＋矿”训・（吉＋１吒…廿一
由已知条件驭石）与芡ｂ在［口，６］上均可积。
应用积分定义，将区间［口，ｂ］进行／＇ｔ等分。
学［ｍ）＋．．吖（吒）］
（喜胞，爿陲高等］＝
‰＋．．・＋志卜孚。
取极限（一∞腑ｒ巾皿ｒ而ｄｘ≥（６一一
例２［２］证明：若函数以（筇）在［口，６］上是正值
可积的，ｋ＝ｌ，２…乃，且Ｏ＜ａ＜ｂ，则
ｆ［石（工）．五（工）…ｚ（工）］：出≤叭（ｘ埘
证明：利用析＿磊≤鱼±半有
［ｒ五（工皿卜ｍ（工№］．．
ｆ彳（石）
五（工）
．．
ｚ（ｒ）
，
可ｒｚ（ｘ）出ｒ厶（ｚ）出ｒｚ（ｘ）出
≤乩嚣＋蒜＋””＋嚣ｊ
‘
－Ｔ是：
ｒ｛［蒜『｛蒜¨别卜
ｓ趣雠＋牒…雠卜。玎ｌｆｚ（ｘ）出。ｅ五【工）出。
。ｒ正（工）出Ｊ“ｍ（工）・正（ｘ）…ｚ（ｘ）扛虹ｒ彳（ｘ皿］ｉ
ｍ（ｘ皿卜ｍ（工皿］－．
例３设，（石）在［Ｏ，１］上非负连续，证明：
Ｐ舢Ｊ弦ｓＣｍ）凼
证明：由题设知“石），１矾ｘ）／ｒ［ｏ，１ｊ上．－ｑ－积，
将［０，１Ｉｎ等分，作积分和
∽出＝熙去喜圯），
ｆ－ｎ／ｃｘ，出＝！奎曼丢喜－ｎ。，．（丢）＝．１ｉ．＋ｒａ。・ｎ［ｉ，旦。ｉ。ｆ［Ｌ几）］ｉ
所以
由均值不等式拆Ｆ而≤鱼兰警得
Ｐ『：ｈ，（Ｊ，士：ｅ五ｈ【ｏ，【÷）了：。，，．．ｍ。Ｌｉｌ。．．１厂（音）］；
熙卧班…ｌｉｍｎｌ百ｉ．＼（匀ｉ
故ＰＭＪ冲ｓｆ／（力凼．
注１：此例中的结论仅仅是著名的Ｊｅｎｓｅｎ不等式的一个特例。
注２：如瑚ｅｎ不等式：设斗是在集Ｑ内的叮一
代数Ｍ上的正测度，使得斗（Ｑ）＝１，若厂是Ｌ１（斗）
内的实函数，对所有的石∈Ｑ，口积菇）＜６，且‘Ｐ是在
（口，６）上是凸的，则缈（￡∥∥）ｓＬ（妒。，）ｄ∥・
参考文献：
［１］陈复华．均值不等式在微积分中的应用及
其它［Ｊ］．湖北民族学院学报（自然科学版），１９９４
（２）：８８—９０．’
［２］冉凯．均值不等式在数学分析中的应用
『Ｊ］．青海师专学报。１９９７（４）：３５—３８．
一１５３—
均值不等式在高等数学中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
章国凤， Zhang Guofeng
金华教育学院,浙江,金华,321000
广西教育学院学报
JOURNAL OF GUANGXI COLLEGE OF EDUCATION2008，""(5)0次
参考文献(2条)
1. 陈复华 均值不等式在微积分中的应用及其它 1994(02)
2. 冉凯 均值不等式在数学分析中的应用[期刊论文]-青海师专学报(教育科学) 1997(04)
相似文献(10条)
1.期刊论文 彭云飞. PENG Yun-fei 重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法 -数学的实践与认识2008,38(12)
利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1+1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.
2.期刊论文 张士军 利用均值不等式求解物理极值问题 -教师2009,""(6)
能够准确应用数学知识解决物理问题是物理考纲中对学生的五大能力要求之一,而这一能力的要求从没有降低过.目前新课程的新课标依然如此.应用数学基础知识解决物理问题的范围比较广泛,比如三角函数知识、二次函数知识、二次不等式知识、数学归纳法知识、数列知识、极限思想、几何知识等等.下面我们就来看几例利用均值不等式求解物理极值的问题.
3.期刊论文 王冰 算术平均值-几何平均值不等式的一个应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,""(2)
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4.期刊论文 席华昌 Bernoulli不等式及其应用 -高等数学研究2005,8(4)
使用均值不等式及实数的稠密性推证Bernoulli不等式,并将其应用于证明极限、连续、单调以及其它不等式和判定级数敛散性.
5.期刊论文 黄明 重要极限limn→∞(1+(1n))n=e的注记 -高等数学研究2004,7(5)
利用平均值不等式对重要极限limn→∞1+(1n)n=e给出一个较简捷的证明方法.利用证明过程中所得到的不等式还可求得e的达到任意精度的近似值.
6.期刊论文 徐秀荣. XU Xiu-rong 关于两个常见不等式的讨论 -宿州师专学报2003,18(2)
本文主要介绍了柯西不等式、平均值不等式的证明方法,以及它们在其它不等式方面的一些应用.简单阐述了两个不等式的极限形式.
7.期刊论文 张润玲. ZHANG Run-ling 数列an=(1+1/n)n极限存在的一种证明方法 -吕梁高等专科学校学报2003,19(1)
运用平均值不等式证明了数列an=(1+1/n)n的极限存在性,并且得到有界性比较强的结果.
8.期刊论文 吴鹏 证明极限limn→∞(1+1/n)n存在的三种方法 -四川教育学院学报2004,20(z2)
本文介绍了证明极限limn→∞(1+1/n)n存在的三种方法.
9.期刊论文 吴新根 算术-幂平均值不等式一个加强的推广 -岳阳师范学院学报(自然科学版)2001,14(2)
利用极值理论得到了算术-幂平均不等式一个加强的推广,作为其应用,得到了Rado不等式与Popovic不等式。
10.期刊论文 明清河 数列{(1+1/n)n}收敛性的几种证法 -泰安师专学报2002,24(6)
对数列极限中的重要极限limn→∞(1+1n)n的存在性,分别用二项式展开定理、贝努利不等式、平均值不等式、构造不等式等方法,给出了不同的证明.
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驴驴驴、驴。护、矽、‘弘护、‘弘疥矛协疥移、矿吨争疥力、哥叼卜驴、矽、‘办谚、矿、矿ｑ务硒、彩、矿电争面、驴、矿吲争司、驴ｑ尹它冉彩、驴、矿ｑ伊、矿
２００８年第５期（总第９７期）
广西教育学院学报
ＧＵＡＮＧＸｌＪＩＡＯＹＵＸＵＥＹＵＡＮＸＵＥＢＡＯ
ＮＯ．５。２００８
（ＳｅｒｉａｌＮＯ．９７）
均值不等式在高等数学中的应用
章国凤
（金华教育学院浙江金华邮编：３２１０００）
摘要：作为基本不等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作
用。本文从重要极限！受（１书。＝ｅ的存在性的证明出发，介绍了均值不等式在高等数学的积
分、极限等领域的重要作用。
关键词：均值不等式极限应用
中图分类号：００１７文献标识码：Ａ文章编号：１００６—９４１０（２００８）０５—０１５１—０３
极限概念是高等数学中的重要概念，极限理论是高等数学中的基础理论。高等数学中有许多重要的概念都是以极限形式来定义的。而极限概念是用不等式刻画的。这就决定了不等式运算是
所以数列Ｋ・弓）１单调递增。再证数列｛（・弓了）有上界。
下面的证明可以看到一个更强的命题：数列
高等数学中最基本的运算之一，因此作为基本不
等式之一的均值不等式在解决高等数学的问题中发挥着重要的作用。
Ｋ・弓）４）以Ｍ＝（ｔ＋妻丁“ｃ南为正整数，为上界。
先证不等式：当厅＞矗时，（・＋丢）…＜（・＋丢）“１．
设口－砰…％＝旨，啦∥一＝舻１．
由均值不等式
１．证明重要极限！晚【１唁Ｊ
２Ｐ的存在性。…
证明：先证数列｛（・砖丁｝单调递增。
得
一蹶＜珊廿．．＋（，＋删盯舸小六一．（・＋驸＋甜．
令口。＝铲…＝铲１＋｝，‰＝１，则由均值不等式
，ｌ
＜熹卜１）．丽ｋ小卅］．熹
．・．（击］“‘＜（斋］”１，因甜＋北（・＋矿
其次由１＋上＞１，有
ｎ
一１５１—
（・—ｒ告］。＜（ｔ—ｒ丢］”＋１．．・．（，＋击］“＜（・—ｒ丢］‘＋１．
４
由上面的结果有（・｛］“＜Ｐ＜（１‘ｌ、、ｊｎ＋ｌ，两边取
当凡＞．｜｝时，任取一个正整数Ｉ｜｝，吖＝（１＋｛）ｈ１对数有熹＜ｈｌ（１＋丢）＜ｉ１
均是数列｛（・｛丁｝的上界。又数列｛（，弓）０单调
递增，．．．当ｎ≤七时，不鲁式（・＋占丁＜（ｔ＋圭丁“仍然
因此，对于数列｛（，嘲０。儿：。，２…，恒有
（・＋丢）“＜（ｔ＋丢厂（Ｉ｜｝为正整数）。任意选定一个后
值，Ｍ：（・＋｛）“１均是数列｛（，｛）ｊ的上界。
所以数列｛（，爿）单调有界，由单调有界定理，数列Ｋ・｛］“｝极限存在。设极限值为ｅ，即
舰㈦“一．
数列雌门极限存在且其极限慨。训Ⅱ记‘＝㈦“
矧川恻”邯［譬厂
２ｌ鬲ｊ
ｆ，刀＋１丫２
１
２石
所以数列ｋ｝单调减少，且１ａ。ａ，＜４数列
｛‰｝收敛，且极限也是ｅ。
一１５２一
由此可以证明数列｛Ⅱ，Ｉ｝，舻１＋｝＋．．‘＋｝一ｌｍ
收敛。（其极限称为Ｅｕｌｅｒ数）
２．求极限舰砺
靠＝（石而≮）二≤掣
附惘而≤盟等坐．
厌Ｉ为
；—２√ｒｎ＋—．－－２＜，２＋１，＝一＜乍＋，
行
、，一
有。≤砺一１＜忑２，故舰砺＝１．３．证明积分不等式
例ｌ【ｚ］证明：若函数以戈）在［口，ｂ］连续，且
并∈［口，ｂ］，有灭并）＞ｏ，则
ｍ皿ｒ南邛－口）２－
ｌ１ｌ
证明：利用百＋ｉ扣”＋百
的变形ｈ＋矿”训・（吉＋１吒…廿一
由已知条件驭石）与芡ｂ在［口，６］上均可积。
应用积分定义，将区间［口，ｂ］进行／＇ｔ等分。
学［ｍ）＋．．吖（吒）］
（喜胞，爿陲高等］＝
‰＋．．・＋志卜孚。
取极限（一∞腑ｒ巾皿ｒ而ｄｘ≥（６一一
例２［２］证明：若函数以（筇）在［口，６］上是正值
可积的，ｋ＝ｌ，２…乃，且Ｏ＜ａ＜ｂ，则
ｆ［石（工）．五（工）…ｚ（工）］：出≤叭（ｘ埘
证明：利用析＿磊≤鱼±半有
［ｒ五（工皿卜ｍ（工№］．．
ｆ彳（石）
五（工）
．．
ｚ（ｒ）
，
可ｒｚ（ｘ）出ｒ厶（ｚ）出ｒｚ（ｘ）出
≤乩嚣＋蒜＋””＋嚣ｊ
‘
－Ｔ是：
ｒ｛［蒜『｛蒜¨别卜
ｓ趣雠＋牒…雠卜。玎ｌｆｚ（ｘ）出。ｅ五【工）出。
。ｒ正（工）出Ｊ“ｍ（工）・正（ｘ）…ｚ（ｘ）扛虹ｒ彳（ｘ皿］ｉ
ｍ（ｘ皿卜ｍ（工皿］－．
例３设，（石）在［Ｏ，１］上非负连续，证明：
Ｐ舢Ｊ弦ｓＣｍ）凼
证明：由题设知“石），１矾ｘ）／ｒ［ｏ，１ｊ上．－ｑ－积，
将［０，１Ｉｎ等分，作积分和
∽出＝熙去喜圯），
ｆ－ｎ／ｃｘ，出＝！奎曼丢喜－ｎ。，．（丢）＝．１ｉ．＋ｒａ。・ｎ［ｉ，旦。ｉ。ｆ［Ｌ几）］ｉ
所以
由均值不等式拆Ｆ而≤鱼兰警得
Ｐ『：ｈ，（Ｊ，士：ｅ五ｈ【ｏ，【÷）了：。，，．．ｍ。Ｌｉｌ。．．１厂（音）］；
熙卧班…ｌｉｍｎｌ百ｉ．＼（匀ｉ
故ＰＭＪ冲ｓｆ／（力凼．
注１：此例中的结论仅仅是著名的Ｊｅｎｓｅｎ不等式的一个特例。
注２：如瑚ｅｎ不等式：设斗是在集Ｑ内的叮一
代数Ｍ上的正测度，使得斗（Ｑ）＝１，若厂是Ｌ１（斗）
内的实函数，对所有的石∈Ｑ，口积菇）＜６，且‘Ｐ是在
（口，６）上是凸的，则缈（￡∥∥）ｓＬ（妒。，）ｄ∥・
参考文献：
［１］陈复华．均值不等式在微积分中的应用及
其它［Ｊ］．湖北民族学院学报（自然科学版），１９９４
（２）：８８—９０．’
［２］冉凯．均值不等式在数学分析中的应用
『Ｊ］．青海师专学报。１９９７（４）：３５—３８．
一１５３—
均值不等式在高等数学中的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
章国凤， Zhang Guofeng
金华教育学院,浙江,金华,321000
广西教育学院学报
JOURNAL OF GUANGXI COLLEGE OF EDUCATION2008，""(5)0次
参考文献(2条)
1. 陈复华 均值不等式在微积分中的应用及其它 1994(02)
2. 冉凯 均值不等式在数学分析中的应用[期刊论文]-青海师专学报(教育科学) 1997(04)
相似文献(10条)
1.期刊论文 彭云飞. PENG Yun-fei 重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法 -数学的实践与认识2008,38(12)
利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1+1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.
2.期刊论文 张士军 利用均值不等式求解物理极值问题 -教师2009,""(6)
能够准确应用数学知识解决物理问题是物理考纲中对学生的五大能力要求之一,而这一能力的要求从没有降低过.目前新课程的新课标依然如此.应用数学基础知识解决物理问题的范围比较广泛,比如三角函数知识、二次函数知识、二次不等式知识、数学归纳法知识、数列知识、极限思想、几何知识等等.下面我们就来看几例利用均值不等式求解物理极值的问题.
3.期刊论文 王冰 算术平均值-几何平均值不等式的一个应用 -牡丹江师范学院学报（自然科学版）2006,""(2)
利用算术平均值-几何平均值不等式解答了几个数列极限题目.
4.期刊论文 席华昌 Bernoulli不等式及其应用 -高等数学研究2005,8(4)
使用均值不等式及实数的稠密性推证Bernoulli不等式,并将其应用于证明极限、连续、单调以及其它不等式和判定级数敛散性.
5.期刊论文 黄明 重要极限limn→∞(1+(1n))n=e的注记 -高等数学研究2004,7(5)
利用平均值不等式对重要极限limn→∞1+(1n)n=e给出一个较简捷的证明方法.利用证明过程中所得到的不等式还可求得e的达到任意精度的近似值.
6.期刊论文 徐秀荣. XU Xiu-rong 关于两个常见不等式的讨论 -宿州师专学报2003,18(2)
本文主要介绍了柯西不等式、平均值不等式的证明方法,以及它们在其它不等式方面的一些应用.简单阐述了两个不等式的极限形式.
7.期刊论文 张润玲. ZHANG Run-ling 数列an=(1+1/n)n极限存在的一种证明方法 -吕梁高等专科学校学报2003,19(1)
运用平均值不等式证明了数列an=(1+1/n)n的极限存在性,并且得到有界性比较强的结果.
8.期刊论文 吴鹏 证明极限limn→∞(1+1/n)n存在的三种方法 -四川教育学院学报2004,20(z2)
本文介绍了证明极限limn→∞(1+1/n)n存在的三种方法.
9.期刊论文 吴新根 算术-幂平均值不等式一个加强的推广 -岳阳师范学院学报(自然科学版)2001,14(2)
利用极值理论得到了算术-幂平均不等式一个加强的推广,作为其应用,得到了Rado不等式与Popovic不等式。
10.期刊论文 明清河 数列{(1+1/n)n}收敛性的几种证法 -泰安师专学报2002,24(6)
对数列极限中的重要极限limn→∞(1+1n)n的存在性,分别用二项式展开定理、贝努利不等式、平均值不等式、构造不等式等方法,给出了不同的证明.
本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gxjyxyxb200805046.aspx
授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：6a96eee6-106b-45f4-9233-9dcd0090bc62
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