柯西不等式

柯西不等式及其应用

摘 要：本文先对柯西不等式基本形式、推论、变式、推广及积分形式作了介绍、归纳，然后通过举一系列范例揭示了柯西不等式及其推论、变式在不等式、等式、数列、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用.说明了柯西不等式的重要性及较强的应用性，灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解.

关键词：柯西不等式；闵可夫斯基不等式；赫尔德不等式 ；施瓦兹不等式

Application of Cauchy Inequality

********

Abstract: This paper introduces and summarizes the Cauchy inequality from its basic form , corollary, deformation ,spreading, and integral form .And then reveals their application in inequality, scope, sequence, equation of parameter, equation, function by series examples. It illustrates the importance of the Cauchy inequality and applicability. We can easily solve some difficult problems with Cauchy inequality. Key Words: Cauchy inequality; Minkowski inequality; Holder inequality; Schwarz inequality

1引言

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出

现了与之有关的题目，灵活巧妙地运用柯西不等式，则往往可使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.但在解题过程中，很多时候不能直接应用柯西不等式，需要适当地构造使用它的条件，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变式、推广和积分形式，并通过列举一些高考题、竞赛题讲述了它在多方面的应用.

2柯西不等式各种形式简述

2.1柯西不等式的基本形式[1]

nn

n22

柯西不等式：已知ai,biRi1,2,,n，则aibiaibi,当且仅当

i1i1i1

2

aa1a2

ni1,2,,n时等号成立. b1b2bn2.2柯西不等式的推论

柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，下面归纳出它常见的几个推论. 2.2.1推论1[2]

nn1设a1,a2,,an是正实数，则aii1i1aia1a2an. 2.2.2推论2[2]

2

n，等号成立当且仅当

n

设a1,a2,,an是实数，则naiai，等号成立当且仅当a1a2an.

i1i1

2

n

2

2.2.3推论3[3]

已知aii1,2,,n是正数，xiRi1,2,,n且ai1，则

i1n

n2

axaxiiii. i1i12.2.4推论4[3]

n

2

xin已知aii1,2,,n是正数，xiRi1,2,,n且ai1，则xi.

i1i1aii1

n

n

2

2

2.3柯西不等式的变式[4]

柯西不等式有多种变式，下面只介绍一些常见的变形形式. 2.3.1变式一

nain

aii1ni1bi

aibi

i1

2

ai,bi同号且均不为零，当且仅当b1b2bn时等号成立，

2

在柯西不等式中令ai2.3.2变式二

ai2

,biaibi即得. bi

n

ai2n

aiana1a2i1在柯西aR,bR,时等号成立iinb1b2bni1bibi

i1

2

a2

不等式中令aii,bibi即得.

bi

2

2

2.3.3变式三

n

abiin

2aibii1ni1

ai

i1

2

aR

i



，在柯,biR,当且仅当b1b2bn时等号成立

2

西不等式中令aiai,biaibi即得. 2.3.4变式四

22

aibi

i1

n

1

2

aibii1i1

12

nn

12

aR

i

12



，在,biR,当且仅当ai与bi成比例时等号成立

柯西不等式中令aiai,bibi即得. 2.3.5变式五

n

ana1a222， a,bR,时等号成立aibiaibiiib1b2bni1i1i1n

n1

2

12

将柯西不等式两边开平方根即得. 2.4柯西不等式的推广[4]

由柯西不等式易导出闵可夫斯基不等式. 推广1：设x1,x2,,xn;y1,y2,,ynR，则有：

x1y12x2y22xnyn2

x1x2xny1y2yn

222222

其中等号当且仅当x1,x2,,xn与y1,y2,yn对应成比例时成立. 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的赫尔德（Holder）不等式. 推广2：设ai0,bi0i1,2,,n,p0,q0,

n

n

1p

n

1q

11

1，则 pq

pqpq

abaaiiii，当且仅当aibi时等号成立. i1i1i1注：当pq2时，该不等式即上述变式五.

推广3：设ai,bi为正数i1,2,,n，k为整数，且k2，则

1nk1nk1n

aibiaibi. ni1ni1ni1

注：当k2时，上式即柯西不等式.

bik

推广4：设ai,biRi1,2,,n,kz,则aii1i1ai

n

n

n2knai当且仅当 ，i1

k

k

a1a2an;b1b2bn时等号成立. 注：当k2时，上式即变式二. 2.5柯西不等式的积分形式[5]

柯西（Cauchy）不等式的积分形式称为施瓦兹（Schwarz）不等式.

bb

定理：若fx、gx在a,b上可积，则fxgxdxf

aa

[1]

2

2

xdxag2xdx.

b

若fx、gx在a,b上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得fxgx

. 时成立，,不同时为零

3柯西不等式的应用

柯西不等式是著名的不等式，它在数学上的应用十分广泛.应用柯西不等式解题的关键是将原问题变形使之适合于柯西不等式的形式，下面就举例说明柯西不等式的推论、变式及基本形式在解题中的巧妙应用. 3.1应用柯西不等式的推论

3.1.1应用推论一

例1 非零实数a1,a2,,an满足a1a2an1，求证：

y

ana1a2

有最

1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1

小值并求之.（1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目） 解：a1a2an1



1a1a2a3ana12

1

1a2a3an1a2a3an2a1

同理可得：

1a1a2a3ana22

1

1a1a3an1a1a3an2a2



an1a1a2a3an1an2

1

1a1a2a3an11a1a2a3an12an将上面n个等式相加得：

ana1a2

n

1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1



222



2a12a22an

n

n

21

即yn （其中i1,2,,n） 2

i12aii12ai

又2ai2nai2n1

i1

i1

nn

而由推论一可得：

2ai

i1

i1

nn

yn1

n2 n2 即2n122ai

y

n1

，等号当且仅当a1a2an时成立，所以y有最小值2n1n

n. 2n1

3.1.2应用推论二

例2 (1988年四川高中联赛试题)已知：x1,x2,,xnR,满足

x1x2xnaa0，且x1x2xn

2

2

2

a2n2,nN，求证：n1

0xi

2a

i1,2,,n n

证明： x1x2xna

axnx1x2xn-1

由推论二得，axn

2

2

n1

a222

xnn1xnn1xn1n

i1i1n1

2

axna2n1xn

2

0xn

2a

n

由x1,x2,,xn的对称性，有0xi

3.1.3应用推论三

2a

i1,2,,n. n

a2b2c2

例3 已知正数a,b,c满足abc1，求证：abc

3

3

3

3

证明：由于正数a,b,c满足abc1，故由推论三可得：

111

a2b2c23a2b2c2

333

111

3abc

333abc

3

3



1

⑴ 3

2

2

而a3b3c3aa2bb2cc2，故由推论三可得： a3b3c3aabbcc

2

a2b2c2

2

a

b2c2

a

2

2

b2c2 ⑵



由⑴⑵得： a3b3c3 故原不等式得证. 3.1.4应用推论四

12

ab2c2 3



a2b2c2

abc,其中a,b,c为ABC的三边。例4 求证：

bcacababc

证明：设xbca,ycab,zabc,

a,b,c为ABC的三边

x0,y0,z0且xyzabc, 即

xyz

1

abcabcabc

a2b2c2

 bcacababc

a2b2c2 xyz



222a1bc



xyzabcabcabcabc

则由推论四得： 上式 

1

abc2abc

abc

故原不等式得证. 3.2应用柯西不等式的变式 3.2.1应用变式一

abc3 例5设a,b,cR,bccaab2

证明：由变式一可得，

abcabc



bccaababcbcacab2

a2b2c22abbcca 

2abbcca





故原不等式成立.

3.2.2应用变式二

abbcca2abbcca

2abbcca3 2

例6 设a1,a2,,an是正数，且aipp为常数，试证明：

i1

n

an1ana1a2p



a1a2a2a3an1ana1an2

an1ana1a2



证明：由变式二得, a1a2a2a3an1ana1an

2

a1a2an1an 

a1a2a2a3an1ana1an2

2

2

2

2222

p2



2p

p 2

故原不等式得证.

3.2.3应用变式三

例7 已知x2y3z4u5v30,求Wx22y23z24u25v2的最小值。 解：由变式三得，Wx22y23z24u25v2

2

x2y3z4u5v 

12345

30260 15

当且仅当xyzuv即xyzuv2时等号成立，故W的最小值为60.

3.2.4应用变式四

例8 已知a,b,c,dR,且abcd1,求证：

 4a14b14c14d14280年列宁格勒数学竞赛题

证明：可利用变式四，

令a14a1,a24b1,a34c1,a44d1,b1b2b3b41 则原不等式左边

a1b1a2b2a3b3a4b4 a1a2a3a4b1b2b3b4

1

2

12

4abcd44 42

故原不等式成立. 3.2.5应用变式五 例9 如果x,y,z1,且

12

12

1x11

2,xyzx1y1z1 yz

（1998年伊朗数学奥林匹克试题） 证明：

111

2 xyz



111x1y1z1

3xyz321 xyz

不妨令 a1x,a2y,a3z,b1

x1

,b2xy1

,b3yz1

z

则由变式六得：xyz

2

2

x1y1z1



xyz

2

2

2

2

a1a2a3b1b2b3 a1b1a2b2a3b3 x1y1z1 即xyzx1y1z1 3．3应用柯西不等式

柯西不等式作为重要不等式，其价值是不可估量的.下面通过具体的例子介绍柯西不等式的基本形式在数学中的巧妙应用.

3.3.1在证明不等式中的应用 例10 设x,y,z是正数，证明：日本数学奥林匹克试题) 证明：由柯西不等式得

xy2

zxy11xy1

z

1yzzx

1xy2



1zxxy

1yz2



1xyyz

1zx2

1(2010年

即 zxzy1 所以

xyz2

xy1 z

1yzzx

1xy2



z

⑴

xyz

x

⑵

xyz

y

⑶

xyz

同理可得

1zxxy

1yz2

1xyyz





1zx2

将上面三个不等式⑴，⑵，⑶相加，得

1yzzx

1xy故原不等式得证. 3.3.2在证明等式中的应用

2



1zxxy

1yz2



1xyyz

1zx2

1



例11 若,0,且1-tansin1tancos2sec，求证：

4





4

.

证明：由柯西不等式得，

1tansin1tancos21tan21tan2sin2cos2

22

21tan2sec



则1tansin1tancos2sec 当1tancos1tansin即tan成立

1tan

tan时等号

1tan4

又，0，所以3.3.3在解数列题中的应用

4



4

，即



4

.

3an3

例12 （2008年陕西高考）已知数列an的首项a1,an1,n1,2,,证

52an1

n2

明：a1a2an

n1

证明：由an1

3an1112111

可得，，则11 an13an32an1an13an

n1

111

11ana13



1212

1n1n anan33

1112

n由柯西不等式得：a1a2an aan1a2

所以a1a2an

n2

111

a1a2an

n2

222

1121n333



n21n1n

3



n2 n1

故原不等式得证.

3.3.4在求参数范围中的应用

例13 已知对于满足等式x26y26的任意实数，对x,y恒有axy5，求实数a的范围.

解：由柯西不等式得，axy

2

1

ax6y

6

2

1

a2x26y2

6



11

6a21

axy6a21

若使对x,y恒有axy5，则必须满足axymax5，即6a215

2a2

3.3.5在解方程或方程组问题中的应用 例14 解方程4x322x 解：原方程可变形为22x

由柯西不等式可得

3

22x 2



231522x22x 2

2

223

2x2222x2



2



 

15

2x

其中等号成立的充要条件为

1

解得x

3

3

22x

21

原方程的解为x

3

x2y2z22

例15 在实数集内解方程

3x4y5z10解：由柯西不等式得

x

2

y2z2324253x4y5z

2

2



又x2y2z232425291625100102

2





3x4y5z2102

x2y2z2324253x4y5z

2

2



即柯西不等式中只有取等号时上式才成立，从而由柯西不等式中等号成立的条

12

件，得

xyz34，它与3x4y5z10联立得：x,y,z1. 34555

3.3.6在解函数问题中的应用 例16 求函数y

sinx3cosx

的值域.

sinx2cosx1

解：原式可化为ysinx2cosx1sinx3cosx

即 yy1sinx2y3cosx

利用柯西不等式及sin2xcos2x1可得:

222

y2y1sinx2y3cosxsin2xcos2xy12y3



即 y2y12y3

2

2

化简即得2y27y50

5

所以函数值域为,1,

2

3.3.7在几何中的应用

例17 ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R，求证：

a

2

1112

b2c2236R22

sinAsinBsinC



证明：由三角形中的正弦定理得：sinA

abc,sinB,sinC 2R2R2R

14R214R214R2

所以22,同理22,22

sinAasinBbsinCb

4R24R24R2

于是原不等式左边 =abca2b2c2





222



2R2R2R2

abc36R

abc 故原不等式得证.

[参考文献]

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2

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谢 辞

本文在写作过程中得到了肖*老师的精心指导，在此表示衷心的感谢.

14

柯西不等式及其应用

摘 要：本文先对柯西不等式基本形式、推论、变式、推广及积分形式作了介绍、归纳，然后通过举一系列范例揭示了柯西不等式及其推论、变式在不等式、等式、数列、求参数范围、解方程、解函数、几何等方面的应用.说明了柯西不等式的重要性及较强的应用性，灵活巧妙地运用它，往往可使一些比较困难的问题迎刃而解.

关键词：柯西不等式；闵可夫斯基不等式；赫尔德不等式 ；施瓦兹不等式

Application of Cauchy Inequality

********

Abstract: This paper introduces and summarizes the Cauchy inequality from its basic form , corollary, deformation ,spreading, and integral form .And then reveals their application in inequality, scope, sequence, equation of parameter, equation, function by series examples. It illustrates the importance of the Cauchy inequality and applicability. We can easily solve some difficult problems with Cauchy inequality. Key Words: Cauchy inequality; Minkowski inequality; Holder inequality; Schwarz inequality

1引言

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.在高考试卷和国内外的数学竞赛题中，越来越多地出

现了与之有关的题目，灵活巧妙地运用柯西不等式，则往往可使一些比较困难的问题得以比较简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率，甚至可以收到出奇制胜、事半功倍的效果.但在解题过程中，很多时候不能直接应用柯西不等式，需要适当地构造使用它的条件，以挖掘出隐含的联系后达到最终目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、变式、推广和积分形式，并通过列举一些高考题、竞赛题讲述了它在多方面的应用.

2柯西不等式各种形式简述

2.1柯西不等式的基本形式[1]

nn

n22

柯西不等式：已知ai,biRi1,2,,n，则aibiaibi,当且仅当

i1i1i1

2

aa1a2

ni1,2,,n时等号成立. b1b2bn2.2柯西不等式的推论

柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它结构对称和谐，具有极强的应用性，下面归纳出它常见的几个推论. 2.2.1推论1[2]

nn1设a1,a2,,an是正实数，则aii1i1aia1a2an. 2.2.2推论2[2]

2

n，等号成立当且仅当

n

设a1,a2,,an是实数，则naiai，等号成立当且仅当a1a2an.

i1i1

2

n

2

2.2.3推论3[3]

已知aii1,2,,n是正数，xiRi1,2,,n且ai1，则

i1n

n2

axaxiiii. i1i12.2.4推论4[3]

n

2

xin已知aii1,2,,n是正数，xiRi1,2,,n且ai1，则xi.

i1i1aii1

n

n

2

2

2.3柯西不等式的变式[4]

柯西不等式有多种变式，下面只介绍一些常见的变形形式. 2.3.1变式一

nain

aii1ni1bi

aibi

i1

2

ai,bi同号且均不为零，当且仅当b1b2bn时等号成立，

2

在柯西不等式中令ai2.3.2变式二

ai2

,biaibi即得. bi

n

ai2n

aiana1a2i1在柯西aR,bR,时等号成立iinb1b2bni1bibi

i1

2

a2

不等式中令aii,bibi即得.

bi

2

2

2.3.3变式三

n

abiin

2aibii1ni1

ai

i1

2

aR

i



，在柯,biR,当且仅当b1b2bn时等号成立

2

西不等式中令aiai,biaibi即得. 2.3.4变式四

22

aibi

i1

n

1

2

aibii1i1

12

nn

12

aR

i

12



，在,biR,当且仅当ai与bi成比例时等号成立

柯西不等式中令aiai,bibi即得. 2.3.5变式五

n

ana1a222， a,bR,时等号成立aibiaibiiib1b2bni1i1i1n

n1

2

12

将柯西不等式两边开平方根即得. 2.4柯西不等式的推广[4]

由柯西不等式易导出闵可夫斯基不等式. 推广1：设x1,x2,,xn;y1,y2,,ynR，则有：

x1y12x2y22xnyn2

x1x2xny1y2yn

222222

其中等号当且仅当x1,x2,,xn与y1,y2,yn对应成比例时成立. 柯西不等式另一个很好的推广，即著名的赫尔德（Holder）不等式. 推广2：设ai0,bi0i1,2,,n,p0,q0,

n

n

1p

n

1q

11

1，则 pq

pqpq

abaaiiii，当且仅当aibi时等号成立. i1i1i1注：当pq2时，该不等式即上述变式五.

推广3：设ai,bi为正数i1,2,,n，k为整数，且k2，则

1nk1nk1n

aibiaibi. ni1ni1ni1

注：当k2时，上式即柯西不等式.

bik

推广4：设ai,biRi1,2,,n,kz,则aii1i1ai

n

n

n2knai当且仅当 ，i1

k

k

a1a2an;b1b2bn时等号成立. 注：当k2时，上式即变式二. 2.5柯西不等式的积分形式[5]

柯西（Cauchy）不等式的积分形式称为施瓦兹（Schwarz）不等式.

bb

定理：若fx、gx在a,b上可积，则fxgxdxf

aa

[1]

2

2

xdxag2xdx.

b

若fx、gx在a,b上连续，其中等号当且仅当存在常数,使得fxgx

. 时成立，,不同时为零

3柯西不等式的应用

柯西不等式是著名的不等式，它在数学上的应用十分广泛.应用柯西不等式解题的关键是将原问题变形使之适合于柯西不等式的形式，下面就举例说明柯西不等式的推论、变式及基本形式在解题中的巧妙应用. 3.1应用柯西不等式的推论

3.1.1应用推论一

例1 非零实数a1,a2,,an满足a1a2an1，求证：

y

ana1a2

有最

1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1

小值并求之.（1982年西德国际奥林匹克数学竞赛题目） 解：a1a2an1



1a1a2a3ana12

1

1a2a3an1a2a3an2a1

同理可得：

1a1a2a3ana22

1

1a1a3an1a1a3an2a2



an1a1a2a3an1an2

1

1a1a2a3an11a1a2a3an12an将上面n个等式相加得：

ana1a2

n

1a2a3an1a1a3an1a1a2a3an1



222



2a12a22an

n

n

21

即yn （其中i1,2,,n） 2

i12aii12ai

又2ai2nai2n1

i1

i1

nn

而由推论一可得：

2ai

i1

i1

nn

yn1

n2 n2 即2n122ai

y

n1

，等号当且仅当a1a2an时成立，所以y有最小值2n1n

n. 2n1

3.1.2应用推论二

例2 (1988年四川高中联赛试题)已知：x1,x2,,xnR,满足

x1x2xnaa0，且x1x2xn

2

2

2

a2n2,nN，求证：n1

0xi

2a

i1,2,,n n

证明： x1x2xna

axnx1x2xn-1

由推论二得，axn

2

2

n1

a222

xnn1xnn1xn1n

i1i1n1

2

axna2n1xn

2

0xn

2a

n

由x1,x2,,xn的对称性，有0xi

3.1.3应用推论三

2a

i1,2,,n. n

a2b2c2

例3 已知正数a,b,c满足abc1，求证：abc

3

3

3

3

证明：由于正数a,b,c满足abc1，故由推论三可得：

111

a2b2c23a2b2c2

333

111

3abc

333abc

3

3



1

⑴ 3

2

2

而a3b3c3aa2bb2cc2，故由推论三可得： a3b3c3aabbcc

2

a2b2c2

2

a

b2c2

a

2

2

b2c2 ⑵



由⑴⑵得： a3b3c3 故原不等式得证. 3.1.4应用推论四

12

ab2c2 3



a2b2c2

abc,其中a,b,c为ABC的三边。例4 求证：

bcacababc

证明：设xbca,ycab,zabc,

a,b,c为ABC的三边

x0,y0,z0且xyzabc, 即

xyz

1

abcabcabc

a2b2c2

 bcacababc

a2b2c2 xyz



222a1bc



xyzabcabcabcabc

则由推论四得： 上式 

1

abc2abc

abc

故原不等式得证. 3.2应用柯西不等式的变式 3.2.1应用变式一

abc3 例5设a,b,cR,bccaab2

证明：由变式一可得，

abcabc



bccaababcbcacab2

a2b2c22abbcca 

2abbcca





故原不等式成立.

3.2.2应用变式二

abbcca2abbcca

2abbcca3 2

例6 设a1,a2,,an是正数，且aipp为常数，试证明：

i1

n

an1ana1a2p



a1a2a2a3an1ana1an2

an1ana1a2



证明：由变式二得, a1a2a2a3an1ana1an

2

a1a2an1an 

a1a2a2a3an1ana1an2

2

2

2

2222

p2



2p

p 2

故原不等式得证.

3.2.3应用变式三

例7 已知x2y3z4u5v30,求Wx22y23z24u25v2的最小值。 解：由变式三得，Wx22y23z24u25v2

2

x2y3z4u5v 

12345

30260 15

当且仅当xyzuv即xyzuv2时等号成立，故W的最小值为60.

3.2.4应用变式四

例8 已知a,b,c,dR,且abcd1,求证：

 4a14b14c14d14280年列宁格勒数学竞赛题

证明：可利用变式四，

令a14a1,a24b1,a34c1,a44d1,b1b2b3b41 则原不等式左边

a1b1a2b2a3b3a4b4 a1a2a3a4b1b2b3b4

1

2

12

4abcd44 42

故原不等式成立. 3.2.5应用变式五 例9 如果x,y,z1,且

12

12

1x11

2,xyzx1y1z1 yz

（1998年伊朗数学奥林匹克试题） 证明：

111

2 xyz



111x1y1z1

3xyz321 xyz

不妨令 a1x,a2y,a3z,b1

x1

,b2xy1

,b3yz1

z

则由变式六得：xyz

2

2

x1y1z1



xyz

2

2

2

2

a1a2a3b1b2b3 a1b1a2b2a3b3 x1y1z1 即xyzx1y1z1 3．3应用柯西不等式

柯西不等式作为重要不等式，其价值是不可估量的.下面通过具体的例子介绍柯西不等式的基本形式在数学中的巧妙应用.

3.3.1在证明不等式中的应用 例10 设x,y,z是正数，证明：日本数学奥林匹克试题) 证明：由柯西不等式得

xy2

zxy11xy1

z

1yzzx

1xy2



1zxxy

1yz2



1xyyz

1zx2

1(2010年

即 zxzy1 所以

xyz2

xy1 z

1yzzx

1xy2



z

⑴

xyz

x

⑵

xyz

y

⑶

xyz

同理可得

1zxxy

1yz2

1xyyz





1zx2

将上面三个不等式⑴，⑵，⑶相加，得

1yzzx

1xy故原不等式得证. 3.3.2在证明等式中的应用

2



1zxxy

1yz2



1xyyz

1zx2

1



例11 若,0,且1-tansin1tancos2sec，求证：

4





4

.

证明：由柯西不等式得，

1tansin1tancos21tan21tan2sin2cos2

22

21tan2sec



则1tansin1tancos2sec 当1tancos1tansin即tan成立

1tan

tan时等号

1tan4

又，0，所以3.3.3在解数列题中的应用

4



4

，即



4

.

3an3

例12 （2008年陕西高考）已知数列an的首项a1,an1,n1,2,,证

52an1

n2

明：a1a2an

n1

证明：由an1

3an1112111

可得，，则11 an13an32an1an13an

n1

111

11ana13



1212

1n1n anan33

1112

n由柯西不等式得：a1a2an aan1a2

所以a1a2an

n2

111

a1a2an

n2

222

1121n333



n21n1n

3



n2 n1

故原不等式得证.

3.3.4在求参数范围中的应用

例13 已知对于满足等式x26y26的任意实数，对x,y恒有axy5，求实数a的范围.

解：由柯西不等式得，axy

2

1

ax6y

6

2

1

a2x26y2

6



11

6a21

axy6a21

若使对x,y恒有axy5，则必须满足axymax5，即6a215

2a2

3.3.5在解方程或方程组问题中的应用 例14 解方程4x322x 解：原方程可变形为22x

由柯西不等式可得

3

22x 2



231522x22x 2

2

223

2x2222x2



2



 

15

2x

其中等号成立的充要条件为

1

解得x

3

3

22x

21

原方程的解为x

3

x2y2z22

例15 在实数集内解方程

3x4y5z10解：由柯西不等式得

x

2

y2z2324253x4y5z

2

2



又x2y2z232425291625100102

2





3x4y5z2102

x2y2z2324253x4y5z

2

2



即柯西不等式中只有取等号时上式才成立，从而由柯西不等式中等号成立的条

12

件，得

xyz34，它与3x4y5z10联立得：x,y,z1. 34555

3.3.6在解函数问题中的应用 例16 求函数y

sinx3cosx

的值域.

sinx2cosx1

解：原式可化为ysinx2cosx1sinx3cosx

即 yy1sinx2y3cosx

利用柯西不等式及sin2xcos2x1可得:

222

y2y1sinx2y3cosxsin2xcos2xy12y3



即 y2y12y3

2

2

化简即得2y27y50

5

所以函数值域为,1,

2

3.3.7在几何中的应用

例17 ABC的三边长为a,b,c，其外接圆半径为R，求证：

a

2

1112

b2c2236R22

sinAsinBsinC



证明：由三角形中的正弦定理得：sinA

abc,sinB,sinC 2R2R2R

14R214R214R2

所以22,同理22,22

sinAasinBbsinCb

4R24R24R2

于是原不等式左边 =abca2b2c2





222



2R2R2R2

abc36R

abc 故原不等式得证.

[参考文献]

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2

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[15]孙平川.Cauchy 不等式的应用与推广.中学科技，1982（6）.

[16]陈亚萍.柯西不等式的证明与推广应用[J].宁德师专学报,1999,19(6):78. [17]唐燕贞.浅谈柯西不等式的应用[J].宁德师专学报（自然科学版）,2003,15(4).

谢 辞

本文在写作过程中得到了肖*老师的精心指导，在此表示衷心的感谢.

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