[平面向量的坐标运算]教案及说明

人教全版日制普高级通学教中科书（必修）一册第（下）

题：课面向平的坐标运量（教算案）

面向平的量坐标算运一（）（教 案

教学目）标 ：识与知技能 （：1 理）解面向平的坐量概念标；（2 ）掌 握面平量向坐的运算.标 程过方与： （1）法过对坐通标面内平点向和量类比的，养学生类培比推的理能 力 ；（2）通平面向过量标坐表示坐和运算法标的则推导养培生学纳、归想猜 、演绎能的； 力3（通过）用数代方处理几法何题，提问学生高用数形合的结思想法方解决问 的题力.能情 感态度与价、值观:（1 ）学让生探在索体验中究的艰辛和成探功的乐趣 ，养培生学锲不舍的求而精神索和合作交流团队的神，精高学提生的数素养学；（2）使 学生认识数学算运对于建构学系统、刻画数学对数象的要性重，进 而解数理学本质；的 3）（学生体让会特从殊到般，从一一般特殊到认识规的. 律学教重和点教学点难 ：学教重点平面：向量坐标运算；的教学 点：难平向面量坐标意义的 教.学法： 方引“发现法”导、 “探学究习及”合“学作”习的模式 .教手学： 段用利媒体多动演示及实物画示展台增平加直观性 提，课堂教高效学.率教 过程设计学： 一、设问题情创境，入课题引

第 .1 页 共 6页

同

们学，我们知道向，量概念是从物的理中象抽来的出，们人最对向初的 研量究从是几何的的角度来行的进，但随是着题的问断深入不我们，发现用形图来研究向 有一量些便之不处 那，，有么没有种更简洁的一方式以可来示向表量？ 呢我著国数学名华家庚罗生先说：过“数形，少直观无；形无数，入难。”微图形 关系往往与些某量关数系密切系在联起，数一形与是相互依赖，所的我们以 到了用想来数表向示量 .路一思：一个用数能表否向示量？请学（回答生）（ 能不，因向为量既大有小，又方有）向思 路：二用个数能两否表示向？量（引学导生考） 思在面直角平标系内坐一，点个和一有对实数对之序有一间一应的对关系，那 么，量是否向也找到与能之对应实的呢数 让我们？来探先讨样一这问题：

个      探一：如究图 i ， j, 为互相直垂单位的向，请量 i 用 j,表 示中的图量向 a b,, c, .

yd4

3 2

b



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1 －－5－4 3－－2

1

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x

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4请学

生手完动并成答：回

  据向量根法的加何几意，我们义只要 把a 解在 分i, 的j向上，就可得方到

：     a i 3 3 j同，可得理 b  i2

 j c  3 i 3j



  d 4 i 2 j



 们我用 i, j来表 a 示

的这形种式否是唯一根？是什据么（？问学生提

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由复此平习面向量基定本：如果理 1 ee2， 是一同面内平的个不共两线向量

 ，  么那对于这平面内一的任向一量a 有，只有一且实对 数1，2 ，使 a1=e  12e2，

中其的e1 ，e 2称 平面为一的基底组. 强调：基底唯不一，只不要共，线就作可基底，而一为基旦选底定，任一 量在基向方底的向解形分就是唯一式.的

二、解理概念加，深识.认

  根据面向量平基定本理我，知道们，在定选底的情基况下所，给a, b ,c d ,. 四

个向 在基量方底的向分解形是唯式一，也就的是说这，个向量几基底用 i、 j

来表的示形式是一唯的每，个量对向应这对实数的对们就将我其之称向为量坐的标 . 推广到面内平的任意向，量们怎我来定样向义量坐标的？引（学生思导，考请学 尝生试给出定）义

如图 ， 在直坐标角内，系 们分我取别 x与轴、 y 方轴向同相的两单个位量向i 、

 j 为作基 任作一底向量个 a 由，面向平量本定基理，知有只且一对有实数x 、 y ，

新王

奎屯敞新疆

得

使 1 a i  xyj„„„„○

 我 们 (把 , xy) 做叫量向 a 的（直角）坐，标作记

 a 2 ( x,y) „„„○

 „ 中其x 叫做 在a x轴上坐的标 ， 叫做y a 在 轴y的上

2

叫式做量向坐的表标 示坐标○

，新敞

奎王

屯

新

疆

 在义定中，注要意a  x i yj ( x y)

, 定实际义上出给了求量坐标的方法：写出向向量在交正底 i基 ,j 方的分向

解式形就，到得了量向坐标；反过来，知道了一的向量个坐的标就，相于知当道了  它在i 、 方向j分的解形式.第 3 页共

6页

   结定合义，导指生学出求向量 i、 j 、 0 ，PO 的坐.标（媒多体演） 示    在坐系中标察，观向 量, j i OP及的坐 标其与终坐点有何标关系这？几个向

量坐在标系的中置有什位共同么？什么样的点量向其坐标就终点坐是？通过 这标的样题问导让学生引到得结：起点在原点的论向其坐标量是其就点终的坐. 类比点的标坐标，出：提向量平移后具体位置发生改变了其，坐标否是发会生  变化？结向量合标的定坐，将平义前移后的量分向分别解在底 i基,j 的 方向上， 得所四形是边全等，因的，此这两个向的坐量标相同.可也样这解，理过通画动 示，演出指平移前：的向后是相等量向量，过通移平，可使它们以起点的移平 到标原点处坐则，其终点必然重，合时此它们的，标坐都应着对这终个点坐的标 由此，到得：相等量的坐标向同，相标坐相同向的是量相向量等

. 三自主、探，索推法则. 导前所学的向面量加的法、法、减数与实向量积的几这运算种结果是向量的，因此，引入向量 ，这些运算的后果也结用坐能表标示

，

   探究二： 1)(知 已a ( x1 , y )1 b,  x2( ,2 )y 求 ,a b a  b,的标坐.  (2)知a已 ( x, y)和 数 , 求实 a 的坐.标

学请生四人以组为小位， 自己讨单论导推再，推将方法及导得所论结班上在进行交 流最，后，教再师归纳整理来，由得此出面平量向坐标的算运则法 ：1）两（向量和个与的差坐标分等别于两个向量相这应标的和与坐差：

 ab ( 1 x x2, y1 y2 ) （其 a中 ( 1x y1,), b  (x ,2 y2 )）





（2

）数与向实量的积坐标等的用这于个数乘原来实向的量相坐应： 标若a  ( x, y )，则  a (x , y)； 



      练习1 .已知 a 2(1,), b (3,4) ,求 a b,a b3,a 4b 的坐.标

探三究通：过面的学前习我们，知道，起点原点在的向的量标就坐其是终点 标，那么坐对，于起不点原点的在量向又，该如来确定其坐标？何若已知起点 坐其和标点终坐标，如何求此出向量的坐？标 先来看

个一体的例具子：出图求的向中量 a的 标，并观察坐坐其与标其点起

1坐、标点坐标之间终何关系？有

y

5 43

第 页共46 B (4页,5)

  BA (2,3

) 

a

引导学生从特殊到一（般归纳，想）猜 生不学发难：其坐标等现于向的终点坐标减去起量点坐.再将 标,B A的标 推广到一坐般 (的x ,1 y1 ,) (x ,2 y2) ，可得相结应。论教师指：这只出是们我具体的从例 中子得的到想，猜要 说其正明性， 必须确进严密行的证推 。导学生指行证进， 明    关 键说 ：明已 知A ,B 两 点的坐标 相 当知 于 了道向量 O A, BO的 标， 坐而



     AB O B OA ，从转而化坐标的为运算

由此.得，一到重要个的结：论个向一的坐标等量表于示此量向有向的线段的 点终坐标减去始的的点标.坐练 习 .2



 ()1知A(已2,3) B  ,(35,) ,BA求的 标坐.



 2）（知已B A( ,1 2,)A 2(,1,)求 B的标. 坐  （）3已知A B( 1, 2) ,B2,(),1 A求的坐 标

.、四巩固用，加深理应解. 1例 已知平、四行边 形ABD C三个的点 A、B、顶 C坐的分别为（-2标1） ， （-1，3、 ）、（ ，3）4， 顶求点D 的 坐. 标解：设顶 D点 坐标的为 (,x )y



   B  A(, 2)，1 D C (3 x ,4  ) y   由AB DC, 得  3 x  1x  2 4   2y y 点D的2坐为（2，）标 2.

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6（

，1 ）2=(

3 , x4 y

)

例

、已知平2面三上点的坐分别为 A(2,标1), B (1, )3 ,C(3,4) 求，点 D的 坐 标这四使构点成平行边四形四的个顶.（引导点生学考，多媒体思示） 演析：分固未定四边四形个顶的点序顺因此，点 ， 的D位置 3 有. 个五、堂小结课（先.学请生纳归再由，师完善）教1.平面向量 的坐的概念标； 2.个重几结论： (1要)相等的向坐量相同；标标坐相的同量是向相向等量； 2)起(在点点的原向量的标等于坐其点的坐终. 标（） 3个一向的坐标量等于表示向量此的有向段的终点线的坐减标去点的始坐.标 即 ：若A(x1 , y1 ),B( 2x, y 2, )则B A ( x 2x 1 ,y2 y ) 3.1面平量的坐向标算运:  a 若 (1x y1 ),, b ( 2 , yx2), 则 1()a  b( x  1x2, y1 y 2 ,

)

  (2a )b  x1 ( 2x y1 ,y2 )

,六布置作业.

、

() 3 a( x1 , 1y

)必做（）课本题P11 4 ..2.43 选（做题） 们把平面我内两条相交但不垂的直轴数成的坐标系构（条两数轴原 的点合且重位长单度相）称为同坐标系.斜面平上任意一点P 的斜坐定义为：若 标      OP e1  xye2（其 e中1 、 2e 分别为斜坐系的 x 轴标、y轴正方向上 的位单量向，x y、∈R）， 点则 P的 坐斜标（x为 y）.在,平斜面坐标 系xo 中，若 yoyx 60  ，已点知 M的斜坐 为标(1, 2 ，则) 点 到M点 原 的O离距 为.

（使

生进一学加步对强量坐向标表示的理， 把解对数学识的探知由究内延课到 课外）

第 伸 页6 6共页

（教案说

）明

平

面量的坐向运算标（一 ）教案（明说

）、教学内容分一及目析设标定 向.量“形是”“数与”结的合体 ，有代具形式数几何形式和双的重份身，是中 数学知学识的一个重交要点汇常与，三、角数列、数函、析解何、立几体几何等内 交叉容透，渗然自地交在一汇起同时，；量向具丰有的物理富背景，物理中应在用 很泛广，此因向量，是中学学学数习一中个重要内容。的 课本内时容向量的是标坐示表及量向的标坐算，运之前教的内学容向为 的量概念向及量加法的、减 法及数与实向的量积运的，集算在对向量中几何特征 的的研上，而究本节之后课主，研要究量的代数运向，因此算，节课本具有承前启 的后作用 正，是于由向量坐标概念引入及的向量坐运标法则的导算，出使得向对 的量究研“由形”向 “转数”成为了可能 。本内节容是让学体生数学化的一个很会的好程过 ，有它助于学体会数学思 维的方生和式法方，培 学养进生数行的学思考数学和的说理所，它以学生在的习 学也具有上重的作要。用基 于以分上析，本课的教节学目标定为：设

知识技能： 与（1 ）理平面向量解的坐概念， 标（2）掌握平面 向的量标坐运。算过 与程法方：（1）通过 对坐平面标点和内量的向类比，培养学类生比推的理能 力；（2） 通平面向过量标表坐示和坐运标法则算推导的培学生归纳、养想猜、演绎 能力；的

第7 页 共 页

6（

）3通过代数用法方处几理问何题提高，学用数生形合结的思方想解法 决题的能问力 情。感态度与、值价: 观（）1让生在学索中探体验究的探辛艰和成的乐趣，功 养学培生而锲舍的求索精不神和作合流交的团队神，精高提学的生数素学养；（ ）2学使生认数识运算对学建构数于学系、统画数刻对学的重要象性进 而，理数解的学本； 质3（）学生让会体特从殊一般到，从一到特殊的认识规般。

二律教、诊断学析分 本节.既课概有的念教， 学又运有法算的推导则应和，知用识点多而且相繁 间互衔接的并紧不密依据，往的以经验学，往生只往注对法重则的用应，忽而视对 念概的理解 ，概念本对质理解的不到导致在位处理关相题时出现偏差问，使得也 学的生学数思维的展发受到限制。因此， 学教学数不仅解要决“学 么” 的问什，题 更让学应生明“白什么学为 ”。依数学据课程改革应关注知识发生和的发展过 的程念理，在学教中渗透数思学想和法，方因，在此向量坐标念的引概过入中，程 从我平向面量知体系的发识引展，入使 生明白学数来用表向示量是数本学身发 的必然，展为是对量向的研从究“形”“转”搭数桥梁建从而，激起发生学求知的欲。 在提出 “ 如用何数来示向表量 ”一这题问后 类比点的坐，，标引导 生学猜想：点 可用以一有对实数对序表示来向，也是量平面形图是，否能用也一对数实表来示？ 这问一的解决，题 是由教师不接直诉学告，而是通生过学自己探索得生到 答。

案 通过设置究探：学让生将所给向用量给定的底基i ,j 表 出示，结来平合向面 基本量定理引，导生学发现所，的给每一向量用基底 个, ji 表来示的式形是唯

都

一，的就也是说对，每于个向一，量都以用一对可数唯一实表，这就使示刚的 问才得到题解了决，从而引入标坐概念的 。学对向量坐标表示生的义意理解是本的课节的难点由，对于概理念解不， 使清不少学生到得高三还时常在常这一个样题问犯错上：向平量移后，将向量标坐也按 平公移式进行计来。算正这对向是坐标概念量理解不的到位造的，成此因

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类比坐 标系内同的点的坐不不标同，提：出移后平向的具体量位置发了变化生， 向的量坐会标不变会？生师共同析分 ：移平后前向量是的

相等向量，其方 相向，同  大小相等，按向照坐量标定义，将其的分解 在i ,j方 的形向式一致是，的因此 ，标坐相同接。着通过动演示画从另一个，度来角说明此题：平移问后前向量的 相是向等， 量过通平， 可以使移它的们点起平移到坐原标处， 点其则终点必然重合，此时 ，它的们标坐对都着这应终个点的标坐。通过同不的途，让径生学己自得出“平移 不变改向量的坐”标即相等“向坐标量同相”这一重要结，论在这一过 程中渗也透了对量向坐概标念质本理解。 三、的法教点特. 建主义构学理习认为：学习是论取知识获过程,的学是在习定一的境情下借, 他人的助帮助实现而的义意建过程。构 因“情此”境 “协作、、”“ 流交和”“意义构” 被认建是为构主建义学过习的程四要大。 素因，在本此节的课学中，教我采用了引“导发现法 ”、“ 究探习学”“及合 作习学的模”式充，分体现了生学主体地的，位师充当的是教合作者、引者导组 和者织角的，引导色生观察、学现、类发比和归纳，充发分掘生的学自能力，组主 织生学进探究式学行习，交流在作合获取知中识 教。中多学处设学置自生主究探的节，环：如量坐向概标念得的出向量，坐标 运算法则推的导及向坐量与标起点其终、坐点的关系的标导推。过自通主探，究使 生学亲历了识知发生发展的和程过，己发自现问、提题出问题、分析问、题 解问决题 ，通过师之间生交流的合以及作学之间的交同流作， 合使生获学取了识，知主 动完成知了的建构。识 据根学的生知认水，平在学中，我教遵循从殊特到般一的原，则如：平向 面量标坐的概念 ，究探量坐向标其与点、终起点标的关系这坐两个学环教的处理 上节我都采用，了特殊到从般一教学的方。 法作业采了分层布置的用式方， 做题是一个斜选坐标系平下面向量坐标表的 示问题 选做题，设置使学生的进一理解步了量向标坐本质，使他的们的数思维学得 了到更好发的，展 学生对数学使识的探知由课究延内伸到外课分。布层置业的作做法 ，承认学生展的不同发差，异足满了学个生性化发的需求，在教学展中应长期 持。坚第

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四教、效果分析学 .节本课容较多内， 课堂上的心重放在了对向坐量标念概理的解及平向量面 坐的标算运法则推的上导 通过，节本的课习学学生对，面向量坐标平示的本表质有了 深刻的认，识 平面对向量坐的运标算则法进行了步的初应用这，后续学对中 习研究面向平量的其它数代质奠定了基础。由于时间性关，系堂上课生对学于面平向量 坐的标运算及代用方数解决法几何题，只

问是初的步用，在作应业中加应 巩强训练，固并接在下来的学中习进，一步验代体方数给我法带们来便的。捷

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人教全版日制普高级通学教中科书（必修）一册第（下）

题：课面向平的坐标运量（教算案）

面向平的量坐标算运一（）（教 案

教学目）标 ：识与知技能 （：1 理）解面向平的坐量概念标；（2 ）掌 握面平量向坐的运算.标 程过方与： （1）法过对坐通标面内平点向和量类比的，养学生类培比推的理能 力 ；（2）通平面向过量标坐表示坐和运算法标的则推导养培生学纳、归想猜 、演绎能的； 力3（通过）用数代方处理几法何题，提问学生高用数形合的结思想法方解决问 的题力.能情 感态度与价、值观:（1 ）学让生探在索体验中究的艰辛和成探功的乐趣 ，养培生学锲不舍的求而精神索和合作交流团队的神，精高学提生的数素养学；（2）使 学生认识数学算运对于建构学系统、刻画数学对数象的要性重，进 而解数理学本质；的 3）（学生体让会特从殊到般，从一一般特殊到认识规的. 律学教重和点教学点难 ：学教重点平面：向量坐标运算；的教学 点：难平向面量坐标意义的 教.学法： 方引“发现法”导、 “探学究习及”合“学作”习的模式 .教手学： 段用利媒体多动演示及实物画示展台增平加直观性 提，课堂教高效学.率教 过程设计学： 一、设问题情创境，入课题引

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同

们学，我们知道向，量概念是从物的理中象抽来的出，们人最对向初的 研量究从是几何的的角度来行的进，但随是着题的问断深入不我们，发现用形图来研究向 有一量些便之不处 那，，有么没有种更简洁的一方式以可来示向表量？ 呢我著国数学名华家庚罗生先说：过“数形，少直观无；形无数，入难。”微图形 关系往往与些某量关数系密切系在联起，数一形与是相互依赖，所的我们以 到了用想来数表向示量 .路一思：一个用数能表否向示量？请学（回答生）（ 能不，因向为量既大有小，又方有）向思 路：二用个数能两否表示向？量（引学导生考） 思在面直角平标系内坐一，点个和一有对实数对之序有一间一应的对关系，那 么，量是否向也找到与能之对应实的呢数 让我们？来探先讨样一这问题：

个      探一：如究图 i ， j, 为互相直垂单位的向，请量 i 用 j,表 示中的图量向 a b,, c, .

yd4

3 2

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1 －－5－4 3－－2

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1

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5

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4请学

生手完动并成答：回

  据向量根法的加何几意，我们义只要 把a 解在 分i, 的j向上，就可得方到

：     a i 3 3 j同，可得理 b  i2

 j c  3 i 3j



  d 4 i 2 j



 们我用 i, j来表 a 示

的这形种式否是唯一根？是什据么（？问学生提

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由复此平习面向量基定本：如果理 1 ee2， 是一同面内平的个不共两线向量

 ，  么那对于这平面内一的任向一量a 有，只有一且实对 数1，2 ，使 a1=e  12e2，

中其的e1 ，e 2称 平面为一的基底组. 强调：基底唯不一，只不要共，线就作可基底，而一为基旦选底定，任一 量在基向方底的向解形分就是唯一式.的

二、解理概念加，深识.认

  根据面向量平基定本理我，知道们，在定选底的情基况下所，给a, b ,c d ,. 四

个向 在基量方底的向分解形是唯式一，也就的是说这，个向量几基底用 i、 j

来表的示形式是一唯的每，个量对向应这对实数的对们就将我其之称向为量坐的标 . 推广到面内平的任意向，量们怎我来定样向义量坐标的？引（学生思导，考请学 尝生试给出定）义

如图 ， 在直坐标角内，系 们分我取别 x与轴、 y 方轴向同相的两单个位量向i 、

 j 为作基 任作一底向量个 a 由，面向平量本定基理，知有只且一对有实数x 、 y ，

新王

奎屯敞新疆

得

使 1 a i  xyj„„„„○

 我 们 (把 , xy) 做叫量向 a 的（直角）坐，标作记

 a 2 ( x,y) „„„○

 „ 中其x 叫做 在a x轴上坐的标 ， 叫做y a 在 轴y的上

2

叫式做量向坐的表标 示坐标○

，新敞

奎王

屯

新

疆

 在义定中，注要意a  x i yj ( x y)

, 定实际义上出给了求量坐标的方法：写出向向量在交正底 i基 ,j 方的分向

解式形就，到得了量向坐标；反过来，知道了一的向量个坐的标就，相于知当道了  它在i 、 方向j分的解形式.第 3 页共

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   结定合义，导指生学出求向量 i、 j 、 0 ，PO 的坐.标（媒多体演） 示    在坐系中标察，观向 量, j i OP及的坐 标其与终坐点有何标关系这？几个向

量坐在标系的中置有什位共同么？什么样的点量向其坐标就终点坐是？通过 这标的样题问导让学生引到得结：起点在原点的论向其坐标量是其就点终的坐. 类比点的标坐标，出：提向量平移后具体位置发生改变了其，坐标否是发会生  变化？结向量合标的定坐，将平义前移后的量分向分别解在底 i基,j 的 方向上， 得所四形是边全等，因的，此这两个向的坐量标相同.可也样这解，理过通画动 示，演出指平移前：的向后是相等量向量，过通移平，可使它们以起点的移平 到标原点处坐则，其终点必然重，合时此它们的，标坐都应着对这终个点坐的标 由此，到得：相等量的坐标向同，相标坐相同向的是量相向量等

. 三自主、探，索推法则. 导前所学的向面量加的法、法、减数与实向量积的几这运算种结果是向量的，因此，引入向量 ，这些运算的后果也结用坐能表标示

，

   探究二： 1)(知 已a ( x1 , y )1 b,  x2( ,2 )y 求 ,a b a  b,的标坐.  (2)知a已 ( x, y)和 数 , 求实 a 的坐.标

学请生四人以组为小位， 自己讨单论导推再，推将方法及导得所论结班上在进行交 流最，后，教再师归纳整理来，由得此出面平量向坐标的算运则法 ：1）两（向量和个与的差坐标分等别于两个向量相这应标的和与坐差：

 ab ( 1 x x2, y1 y2 ) （其 a中 ( 1x y1,), b  (x ,2 y2 )）





（2

）数与向实量的积坐标等的用这于个数乘原来实向的量相坐应： 标若a  ( x, y )，则  a (x , y)； 



      练习1 .已知 a 2(1,), b (3,4) ,求 a b,a b3,a 4b 的坐.标

探三究通：过面的学前习我们，知道，起点原点在的向的量标就坐其是终点 标，那么坐对，于起不点原点的在量向又，该如来确定其坐标？何若已知起点 坐其和标点终坐标，如何求此出向量的坐？标 先来看

个一体的例具子：出图求的向中量 a的 标，并观察坐坐其与标其点起

1坐、标点坐标之间终何关系？有

y

5 43

第 页共46 B (4页,5)

  BA (2,3

) 

a

引导学生从特殊到一（般归纳，想）猜 生不学发难：其坐标等现于向的终点坐标减去起量点坐.再将 标,B A的标 推广到一坐般 (的x ,1 y1 ,) (x ,2 y2) ，可得相结应。论教师指：这只出是们我具体的从例 中子得的到想，猜要 说其正明性， 必须确进严密行的证推 。导学生指行证进， 明    关 键说 ：明已 知A ,B 两 点的坐标 相 当知 于 了道向量 O A, BO的 标， 坐而



     AB O B OA ，从转而化坐标的为运算

由此.得，一到重要个的结：论个向一的坐标等量表于示此量向有向的线段的 点终坐标减去始的的点标.坐练 习 .2



 ()1知A(已2,3) B  ,(35,) ,BA求的 标坐.



 2）（知已B A( ,1 2,)A 2(,1,)求 B的标. 坐  （）3已知A B( 1, 2) ,B2,(),1 A求的坐 标

.、四巩固用，加深理应解. 1例 已知平、四行边 形ABD C三个的点 A、B、顶 C坐的分别为（-2标1） ， （-1，3、 ）、（ ，3）4， 顶求点D 的 坐. 标解：设顶 D点 坐标的为 (,x )y



   B  A(, 2)，1 D C (3 x ,4  ) y   由AB DC, 得  3 x  1x  2 4   2y y 点D的2坐为（2，）标 2.

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6（

，1 ）2=(

3 , x4 y

)

例

、已知平2面三上点的坐分别为 A(2,标1), B (1, )3 ,C(3,4) 求，点 D的 坐 标这四使构点成平行边四形四的个顶.（引导点生学考，多媒体思示） 演析：分固未定四边四形个顶的点序顺因此，点 ， 的D位置 3 有. 个五、堂小结课（先.学请生纳归再由，师完善）教1.平面向量 的坐的概念标； 2.个重几结论： (1要)相等的向坐量相同；标标坐相的同量是向相向等量； 2)起(在点点的原向量的标等于坐其点的坐终. 标（） 3个一向的坐标量等于表示向量此的有向段的终点线的坐减标去点的始坐.标 即 ：若A(x1 , y1 ),B( 2x, y 2, )则B A ( x 2x 1 ,y2 y ) 3.1面平量的坐向标算运:  a 若 (1x y1 ),, b ( 2 , yx2), 则 1()a  b( x  1x2, y1 y 2 ,

)

  (2a )b  x1 ( 2x y1 ,y2 )

,六布置作业.

、

() 3 a( x1 , 1y

)必做（）课本题P11 4 ..2.43 选（做题） 们把平面我内两条相交但不垂的直轴数成的坐标系构（条两数轴原 的点合且重位长单度相）称为同坐标系.斜面平上任意一点P 的斜坐定义为：若 标      OP e1  xye2（其 e中1 、 2e 分别为斜坐系的 x 轴标、y轴正方向上 的位单量向，x y、∈R）， 点则 P的 坐斜标（x为 y）.在,平斜面坐标 系xo 中，若 yoyx 60  ，已点知 M的斜坐 为标(1, 2 ，则) 点 到M点 原 的O离距 为.

（使

生进一学加步对强量坐向标表示的理， 把解对数学识的探知由究内延课到 课外）

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（教案说

）明

平

面量的坐向运算标（一 ）教案（明说

）、教学内容分一及目析设标定 向.量“形是”“数与”结的合体 ，有代具形式数几何形式和双的重份身，是中 数学知学识的一个重交要点汇常与，三、角数列、数函、析解何、立几体几何等内 交叉容透，渗然自地交在一汇起同时，；量向具丰有的物理富背景，物理中应在用 很泛广，此因向量，是中学学学数习一中个重要内容。的 课本内时容向量的是标坐示表及量向的标坐算，运之前教的内学容向为 的量概念向及量加法的、减 法及数与实向的量积运的，集算在对向量中几何特征 的的研上，而究本节之后课主，研要究量的代数运向，因此算，节课本具有承前启 的后作用 正，是于由向量坐标概念引入及的向量坐运标法则的导算，出使得向对 的量究研“由形”向 “转数”成为了可能 。本内节容是让学体生数学化的一个很会的好程过 ，有它助于学体会数学思 维的方生和式法方，培 学养进生数行的学思考数学和的说理所，它以学生在的习 学也具有上重的作要。用基 于以分上析，本课的教节学目标定为：设

知识技能： 与（1 ）理平面向量解的坐概念， 标（2）掌握平面 向的量标坐运。算过 与程法方：（1）通过 对坐平面标点和内量的向类比，培养学类生比推的理能 力；（2） 通平面向过量标表坐示和坐运标法则算推导的培学生归纳、养想猜、演绎 能力；的

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6（

）3通过代数用法方处几理问何题提高，学用数生形合结的思方想解法 决题的能问力 情。感态度与、值价: 观（）1让生在学索中探体验究的探辛艰和成的乐趣，功 养学培生而锲舍的求索精不神和作合流交的团队神，精高提学的生数素学养；（ ）2学使生认数识运算对学建构数于学系、统画数刻对学的重要象性进 而，理数解的学本； 质3（）学生让会体特从殊一般到，从一到特殊的认识规般。

二律教、诊断学析分 本节.既课概有的念教， 学又运有法算的推导则应和，知用识点多而且相繁 间互衔接的并紧不密依据，往的以经验学，往生只往注对法重则的用应，忽而视对 念概的理解 ，概念本对质理解的不到导致在位处理关相题时出现偏差问，使得也 学的生学数思维的展发受到限制。因此， 学教学数不仅解要决“学 么” 的问什，题 更让学应生明“白什么学为 ”。依数学据课程改革应关注知识发生和的发展过 的程念理，在学教中渗透数思学想和法，方因，在此向量坐标念的引概过入中，程 从我平向面量知体系的发识引展，入使 生明白学数来用表向示量是数本学身发 的必然，展为是对量向的研从究“形”“转”搭数桥梁建从而，激起发生学求知的欲。 在提出 “ 如用何数来示向表量 ”一这题问后 类比点的坐，，标引导 生学猜想：点 可用以一有对实数对序表示来向，也是量平面形图是，否能用也一对数实表来示？ 这问一的解决，题 是由教师不接直诉学告，而是通生过学自己探索得生到 答。

案 通过设置究探：学让生将所给向用量给定的底基i ,j 表 出示，结来平合向面 基本量定理引，导生学发现所，的给每一向量用基底 个, ji 表来示的式形是唯

都

一，的就也是说对，每于个向一，量都以用一对可数唯一实表，这就使示刚的 问才得到题解了决，从而引入标坐概念的 。学对向量坐标表示生的义意理解是本的课节的难点由，对于概理念解不， 使清不少学生到得高三还时常在常这一个样题问犯错上：向平量移后，将向量标坐也按 平公移式进行计来。算正这对向是坐标概念量理解不的到位造的，成此因

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类比坐 标系内同的点的坐不不标同，提：出移后平向的具体量位置发了变化生， 向的量坐会标不变会？生师共同析分 ：移平后前向量是的

相等向量，其方 相向，同  大小相等，按向照坐量标定义，将其的分解 在i ,j方 的形向式一致是，的因此 ，标坐相同接。着通过动演示画从另一个，度来角说明此题：平移问后前向量的 相是向等， 量过通平， 可以使移它的们点起平移到坐原标处， 点其则终点必然重合，此时 ，它的们标坐对都着这应终个点的标坐。通过同不的途，让径生学己自得出“平移 不变改向量的坐”标即相等“向坐标量同相”这一重要结，论在这一过 程中渗也透了对量向坐概标念质本理解。 三、的法教点特. 建主义构学理习认为：学习是论取知识获过程,的学是在习定一的境情下借, 他人的助帮助实现而的义意建过程。构 因“情此”境 “协作、、”“ 流交和”“意义构” 被认建是为构主建义学过习的程四要大。 素因，在本此节的课学中，教我采用了引“导发现法 ”、“ 究探习学”“及合 作习学的模”式充，分体现了生学主体地的，位师充当的是教合作者、引者导组 和者织角的，引导色生观察、学现、类发比和归纳，充发分掘生的学自能力，组主 织生学进探究式学行习，交流在作合获取知中识 教。中多学处设学置自生主究探的节，环：如量坐向概标念得的出向量，坐标 运算法则推的导及向坐量与标起点其终、坐点的关系的标导推。过自通主探，究使 生学亲历了识知发生发展的和程过，己发自现问、提题出问题、分析问、题 解问决题 ，通过师之间生交流的合以及作学之间的交同流作， 合使生获学取了识，知主 动完成知了的建构。识 据根学的生知认水，平在学中，我教遵循从殊特到般一的原，则如：平向 面量标坐的概念 ，究探量坐向标其与点、终起点标的关系这坐两个学环教的处理 上节我都采用，了特殊到从般一教学的方。 法作业采了分层布置的用式方， 做题是一个斜选坐标系平下面向量坐标表的 示问题 选做题，设置使学生的进一理解步了量向标坐本质，使他的们的数思维学得 了到更好发的，展 学生对数学使识的探知由课究延内伸到外课分。布层置业的作做法 ，承认学生展的不同发差，异足满了学个生性化发的需求，在教学展中应长期 持。坚第

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四教、效果分析学 .节本课容较多内， 课堂上的心重放在了对向坐量标念概理的解及平向量面 坐的标算运法则推的上导 通过，节本的课习学学生对，面向量坐标平示的本表质有了 深刻的认，识 平面对向量坐的运标算则法进行了步的初应用这，后续学对中 习研究面向平量的其它数代质奠定了基础。由于时间性关，系堂上课生对学于面平向量 坐的标运算及代用方数解决法几何题，只

问是初的步用，在作应业中加应 巩强训练，固并接在下来的学中习进，一步验代体方数给我法带们来便的。捷

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