我的定义新运算讲义

定义新运算

教学目标

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如

△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨

一 定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.

如：2＋3＝5 2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二 定义新运算分类

1.直接运算型

2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合

例题精讲

模块一、直接运算型

【例 1】 若A*B表示A3BAB，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘

积。

由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312

【答案】312

【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）

÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

【答案】7

【巩固】 设a△baa2b，那么，5△6______，(5△2) △3_____.

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 5△6552613 5△25522,12△321216435 【答案】435

【巩固】 P、Q表示数，P*Q表示

PQ2372

，求3*(6*8)

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 3*(6*8)3*(

682

)3*7

5

【答案】5

【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,abab2,那么

4(68)(35).

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]4[13131]425425298 【答案】98

MN表示(MN)2,(20082010)2009____ 【巩固】

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式200820102*20092009*20092009200922009

【答案】2009

【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，二试 【解析】 19 【答案】19

【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△

2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，

可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006

【答案】2006

【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝

果14＝23，那么34等于________。

mab2ab

（m是一个确定的整数）。如

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，二试 【解析】 根据14=23，得到【答案】

【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：xy=

6xyx2y

m14214



m23223

，解出m=6。所以，34

634234



1112

。

1112

,求2△9。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市 ，迎春杯 【解析】 根据定义xy=【答案】5

【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：xy

21

121



1

2323

1xy

1

6xyx2y

于是有29

629229

5

25

25

x1yA

，已知

211A

1

，求19981999。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据题意得

211A

119981999





12

,

1

211A

1





16

,211A6,A1

，所以

20001998199819992000

19981999

3998

1

119981999

1998119991



119992000





【答案】

199819992000

1

1998000

1998000

【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:

([18][22])[7]= .

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为18232有(11)(21)6个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式(64)25.

【答案】5

【巩固】 x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么

++××>的值是.

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,

所以，原式=+>===11.

【答案】11

【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】42

【例 5】 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数



(0.6

15

中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：



(0.3

233499

)(0.625)(

116

2335

)

的结果是多少？

2.25)

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算



(0.6

15

【解析】1

3538241



1119312

(0.3)(2.25)

9963412

2334

)(0.625

23

)

2



531

【答案】

2

【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7

◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30

【答案】30

【巩固】 我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则

10△86△511○13+15△20=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛

【解析】 根据题目要求计算如下：

【答案】56

【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】218

【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G

10△86○511○13+15△20=861315=228=56

（6）=4，则G(36)+G(42)= 。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试 【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所

G（42）9817。 以有G（36）【答案】17

【巩固】 如果a&bab10,那么2&5 。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试

【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】2.5

【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为

[1**********]8，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，决赛 【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：[1**********]1 【答案】[1**********]1

【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=

羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届，华杯赛，复赛 【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△

狼总等于狼，所以 原式=狼

【答案】狼

【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗

规定：警察小偷警察，警察小偷小偷．

（猎人小兔）（山羊白菜） ． 那么：

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，学而思杯，4年级 【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜 【答案】白菜

模块二、反解未知数型

【例 10】 如果a△b表示(a2)b,例如3△4(32)44,那么,当a△5=30时, a= .

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 依题意,得(a2)530,解得a8. 【答案】8

【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为4※1=342110,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9. 【答案】9

【巩固】 如果a⊙b表示3a2b,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6. 【答案】6

【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，＝2ab－c＋d，已知＝7，求x的值。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3

－5＋x＝1＋x，又根据已知＝7，故1＋x＝7，x＝6。

【答案】6

【例 11】 定义新运算为ab

a1b

，⑴求2(34)的值；⑵若x41.35则x的值为多少？

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴因为34

⑵x4

x14

314

1，所以2(34)21

211

3

1.35，x141.355.4,x4.4，所以x的值为4.4.

【答案】⑴3 ⑵4.4

【巩固】 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示

自然数.如果(x3)23660，那么x等于几？

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个乘数．36606061，即：6023660，

则x360；60345，即3360,所以x3． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y23660，y2y(y1)36606061,所以y60，那么也就有x360，60345，即3360，所以x3． 【答案】3

【例 12】 定义ab为a与b之间（包含a、b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：

714=(7+9+11+13)4=10，1810=(18+16+14+12+10)5=14 ．在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 1999=(19+99)2=59，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是

80259101；如果填的是个偶数，那么这个数与80260100．因此所填的数可能是

60的平均数应该是80，所以只能是

100和101．

【答案】100和101

【巩固】 如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x））=5，则x可以是________（x小于50）

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学，入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的

方法.

第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y

等 于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，

这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所 代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8，与16.

第二步求：（21#x）8与（21#x）16.对于（21#x）8可分别解得，把21作被除数时：x13， 把21作除数时为：x29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.

对于（21#x）16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37．

【例 13】 已知x、y满足x[y]2009，{y}y20.09；其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x 的

小数部分，即{x}x[x]，那么x 。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第3题 【解析】 根据题意，[y]是整数，所以x2009[y]也是整数，那么{x}x[x]0，由此可得

y20.09{x}20.09020.09，所以[y]20，x2009[y]2009201989。

【答案】1989

【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+

A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为 ．（8级）

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛 【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3

类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来

共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。

1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解； 2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.

所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解； 5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；

6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种；

7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种； 8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；

9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。

所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种

【答案】11,20,27,36,45

模块三、观察规律型

【例 15】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333

计算 （3※2）×5。

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，

依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075

【答案】3075

【巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246,

1※4=1+11+111+1111=1234.

7※5=

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415. 【答案】86415

【例 16】 有一个数学运算符号，使下列算式成立：

3351，1972，求573? 248，531，

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过对248，5313，3511，9725这几个算

式的观察，找到规律：

，因此

【答案】17

【巩固】 规定a△ba(a2)(a1)b, 计算：（2△1）（11△10）______. 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求

的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义．

a△ba(a2)(a1)b就变成了a△ba(a2)(a1)(a1)a2．所以2△122，3△

232，……，3△2112，则原式22＋32＋42＋…＋112这里需要补充一个公式：12223242n2

111223

6

n(n1)(2n1)

6

1505．

．

【答案】505

【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为Sn，为偶数的那些数字的和记为En，例如

S134134，E1344．

S1S2S(100) ；E(1)E(2)E100＝

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，第5届，走美杯，5年级，决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。

数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。 所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501； 所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。

【答案】400

模块四、综合型题目

【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2，

58

34

△

14

1，根据这几个算式找规律，如果

△x=1，那么x= .

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛 【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2, 所以

18

58

△x=

1

x21，即 x

885

【答案】

【例 19】 如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即

⑴abba；⑵(ab)ca(bc)。

现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足： (a,b)*(c,d)(acbd,acbd)。

例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13) 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)

(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律

[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)

所以“*”不满足结合律

【答案】 “*”满足交换律

“*”不满足结合律

【例 20】 用

a表示

a的小数部分，

a

表示不超过a的最大整数。例如：记

f(x)

x22x1

0.30.3,0.30;4.50.5,4.54

11

f,f;f1,f1的值。 33

，请计算

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，二试 【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1

【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连

的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A表示：2+3， B表示2+3×2－1。图C中表示的

式子的运算结果是________ 。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2 【答案】2

64222222表示成f646;24333333表示成g2435. 【例 22】

试求下列的值: (1)f128

(2)f(16)g() (3)f()g(27)6;

(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:f(xy)f(x)f(y).

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)f(128)f277;

(2)f(16)f244g34g(81);

(3)因为6g(27)6g33633f23f(8),所以f(8)g(27)6;

(4)略

【答案】(1)7 (2)81 (3)8

(4) 令x2m,y2n,则f(x)m,f(y)n.

mn

2 f(xy)f2

f2

m

n

mnf()x

f()y.

【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=axbycxy,其中的a,b,c表示已知数,等式

右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x※y=axbycxy及x※m=x(m≠0),得 a0bmc0, 所以bm=0,又m≠0,m0

故b=0.因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得

a2c32a6c4

解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4. 【答案】4

【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然

数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后， l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.

(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值， 通过（2*3）△4=64求出 k的值. 因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

m2m1m3

， 2（舍去）

n2n1n

3

①当m=1，n=2时：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k

有36k=64，解出k1，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k1这组值应舍去。

9

9

7

7

所以m=l，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.

【答案】10

【例 24】 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算： aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知x1075，求x为多少？⑶如果（x3）2121，

那么x等于几？

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴11001234(11001)5050

⑵x10x(x1)(x2)(x3)(x101)10x4575,解得x3

⑶方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．1216061，即：602121，

则x360；60192021，即19360,所以x19． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2y(y1)121,1216061

所以y60，那么也就有x360，60192021，即19360，所以x19．

【答案】19

【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8

级） (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 (1)1991☉2000=9;

由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.

(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.

1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x

(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.

用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.

方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.

当y=7时,分两种情况解19☉x=7.

1) x

2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x

当y=14时,分两种情况解19☉x=14.

1) x

2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x

总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解, x=12,26,33,45.

【答案】(1)9；3；1 (2) x=3,9,13. (3) x=12,26,33,45.

【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※ba

bb

a.

(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).

(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 (1)按照定义有2※3

13413

[1**********]52332136,3※434432512.于是(2※3)※42522524136※[***********]14=.2※(3※4)=2※. 60012

a3

a32

a(2)由已知得a① 3

a2若a≥6,则≥2,从而33

745

312与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检1201600查知,只有a=3符合要求. 【答案】(1) (2※3)※4；2※(3※4).

(2) a=3

【巩固】 定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,

因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.

(2)略

(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为

6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见 6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.

由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x.

所以x15.

【答案】(1)81；10

(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小

公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.

如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,

整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.

(3)x15

【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3234；7⊙278：3⊙534567，……

按此规则，如果n⊙868，那么，n ____.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，

⊙后面的数表示加数的个数，于是n(n1)n即(2)n(，

n5 (n3)n(4) .6

【答案】n5

【例 26】 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和

书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：

某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：

①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；

②207÷11＝18……9；

③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。

依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试

【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；

19611179；

1192。

所以该书号的核检码是2.

【答案】2

【例 27】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1

中的路线对应下面的算式：121221216.请在图2中用粗线画出对应于算式：

21222111的路线．

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯

【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要

减去2，向右前进一格要加上2.

【答案】

定义新运算

教学目标

定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如

△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。

知识点拨

一 定义新运算

基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。

基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.

如：2＋3＝5 2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.

二 定义新运算分类

1.直接运算型

2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合

例题精讲

模块一、直接运算型

【例 1】 若A*B表示A3BAB，求5*7的值。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘

积。

由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312

【答案】312

【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）

÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7

【答案】7

【巩固】 设a△baa2b，那么，5△6______，(5△2) △3_____.

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 5△6552613 5△25522,12△321216435 【答案】435

【巩固】 P、Q表示数，P*Q表示

PQ2372

，求3*(6*8)

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 3*(6*8)3*(

682

)3*7

5

【答案】5

【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,abab2,那么

4(68)(35).

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]4[13131]425425298 【答案】98

MN表示(MN)2,(20082010)2009____ 【巩固】

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式200820102*20092009*20092009200922009

【答案】2009

【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，二试 【解析】 19 【答案】19

【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△

2＝5，2△3＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8，

可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006

【答案】2006

【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号的含义是：ab＝

果14＝23，那么34等于________。

mab2ab

（m是一个确定的整数）。如

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，希望杯，第五届，六年级，二试 【解析】 根据14=23，得到【答案】

【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：xy=

6xyx2y

m14214



m23223

，解出m=6。所以，34

634234



1112

。

1112

,求2△9。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市 ，迎春杯 【解析】 根据定义xy=【答案】5

【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：xy

21

121



1

2323

1xy

1

6xyx2y

于是有29

629229

5

25

25

x1yA

，已知

211A

1

，求19981999。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 根据题意得

211A

119981999





12

,

1

211A

1





16

,211A6,A1

，所以

20001998199819992000

19981999

3998

1

119981999

1998119991



119992000





【答案】

199819992000

1

1998000

1998000

【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:

([18][22])[7]= .

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为18232有(11)(21)6个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.

原式(64)25.

【答案】5

【巩固】 x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么

++××>的值是.

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,

所以，原式=+>===11.

【答案】11

【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】42

【例 5】 我们规定：符号表示选择两数中较大数的运算，例如：53=35=5，符号△表示选择两数



(0.6

15

中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：



(0.3

233499

)(0.625)(

116

2335

)

的结果是多少？

2.25)

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算



(0.6

15

【解析】1

3538241



1119312

(0.3)(2.25)

9963412

2334

)(0.625

23

)

2



531

【答案】

2

【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7

◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。

[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30

【答案】30

【巩固】 我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则

10△86△511○13+15△20=【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，决赛

【解析】 根据题目要求计算如下：

【答案】56

【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试 【解析】 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【答案】218

【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G

10△86○511○13+15△20=861315=228=56

（6）=4，则G(36)+G(42)= 。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试 【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所

G（42）9817。 以有G（36）【答案】17

【巩固】 如果a&bab10,那么2&5 。

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2004年，第2届，希望杯，4年级，1试

【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】2.5

【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为

[1**********]8，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，六年级，决赛 【解析】 偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：[1**********]1 【答案】[1**********]1

【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=

羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼)

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届，华杯赛，复赛 【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△

狼总等于狼，所以 原式=狼

【答案】狼

【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗

规定：警察小偷警察，警察小偷小偷．

（猎人小兔）（山羊白菜） ． 那么：

【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，学而思杯，4年级 【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜 【答案】白菜

模块二、反解未知数型

【例 10】 如果a△b表示(a2)b,例如3△4(32)44,那么,当a△5=30时, a= .

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 依题意,得(a2)530,解得a8. 【答案】8

【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为4※1=342110,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9. 【答案】9

【巩固】 如果a⊙b表示3a2b,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6. 【答案】6

【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，＝2ab－c＋d，已知＝7，求x的值。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3

－5＋x＝1＋x，又根据已知＝7，故1＋x＝7，x＝6。

【答案】6

【例 11】 定义新运算为ab

a1b

，⑴求2(34)的值；⑵若x41.35则x的值为多少？

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴因为34

⑵x4

x14

314

1，所以2(34)21

211

3

1.35，x141.355.4,x4.4，所以x的值为4.4.

【答案】⑴3 ⑵4.4

【巩固】 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算：aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示

自然数.如果(x3)23660，那么x等于几？

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个乘数．36606061，即：6023660，

则x360；60345，即3360,所以x3． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y23660，y2y(y1)36606061,所以y60，那么也就有x360，60345，即3360，所以x3． 【答案】3

【例 12】 定义ab为a与b之间（包含a、b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：

714=(7+9+11+13)4=10，1810=(18+16+14+12+10)5=14 ．在算术(1999)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 1999=(19+99)2=59，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是

80259101；如果填的是个偶数，那么这个数与80260100．因此所填的数可能是

60的平均数应该是80，所以只能是

100和101．

【答案】100和101

【巩固】 如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.如（21#（21#x））=5，则x可以是________（x小于50）

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学，入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的

方法.

第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y

等 于（21-5）16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，

这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所 代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8，与16.

第二步求：（21#x）8与（21#x）16.对于（21#x）8可分别解得，把21作被除数时：x13， 把21作除数时为：x29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.

对于（21#x）16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37．

【例 13】 已知x、y满足x[y]2009，{y}y20.09；其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x 的

小数部分，即{x}x[x]，那么x 。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年，学而思杯，6年级，第3题 【解析】 根据题意，[y]是整数，所以x2009[y]也是整数，那么{x}x[x]0，由此可得

y20.09{x}20.09020.09，所以[y]20，x2009[y]2009201989。

【答案】1989

【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+

A△3）＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为 ．（8级）

【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛 【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3

类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来

共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。

1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解； 2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.

所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解； 5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；

6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种；

7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种； 8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；

9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。

所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种

【答案】11,20,27,36,45

模块三、观察规律型

【例 15】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333

计算 （3※2）×5。

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，

依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075

【答案】3075

【巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246,

1※4=1+11+111+1111=1234.

7※5=

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415. 【答案】86415

【例 16】 有一个数学运算符号，使下列算式成立：

3351，1972，求573? 248，531，

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过对248，5313，3511，9725这几个算

式的观察，找到规律：

，因此

【答案】17

【巩固】 规定a△ba(a2)(a1)b, 计算：（2△1）（11△10）______. 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求

的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义．

a△ba(a2)(a1)b就变成了a△ba(a2)(a1)(a1)a2．所以2△122，3△

232，……，3△2112，则原式22＋32＋42＋…＋112这里需要补充一个公式：12223242n2

111223

6

n(n1)(2n1)

6

1505．

．

【答案】505

【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为Sn，为偶数的那些数字的和记为En，例如

S134134，E1344．

S1S2S(100) ；E(1)E(2)E100＝

【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，第5届，走美杯，5年级，决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。

数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。 所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501； 所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。

【答案】400

模块四、综合型题目

【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2，

58

34

△

14

1，根据这几个算式找规律，如果

△x=1，那么x= .

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛 【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2, 所以

18

58

△x=

1

x21，即 x

885

【答案】

【例 19】 如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即

⑴abba；⑵(ab)ca(bc)。

现在规定一种运算"*"，它对于整数 a、 b、c 、d 满足： (a,b)*(c,d)(acbd,acbd)。

例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13) 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)

(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律

[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69)

所以“*”不满足结合律

【答案】 “*”满足交换律

“*”不满足结合律

【例 20】 用

a表示

a的小数部分，

a

表示不超过a的最大整数。例如：记

f(x)

x22x1

0.30.3,0.30;4.50.5,4.54

11

f,f;f1,f1的值。 33

，请计算

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2004年，希望杯，第二届，四年级，二试 【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1

【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连

的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A表示：2+3， B表示2+3×2－1。图C中表示的

式子的运算结果是________ 。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2 【答案】2

64222222表示成f646;24333333表示成g2435. 【例 22】

试求下列的值: (1)f128

(2)f(16)g() (3)f()g(27)6;

(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:f(xy)f(x)f(y).

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)f(128)f277;

(2)f(16)f244g34g(81);

(3)因为6g(27)6g33633f23f(8),所以f(8)g(27)6;

(4)略

【答案】(1)7 (2)81 (3)8

(4) 令x2m,y2n,则f(x)m,f(y)n.

mn

2 f(xy)f2

f2

m

n

mnf()x

f()y.

【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=axbycxy,其中的a,b,c表示已知数,等式

右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x※y=axbycxy及x※m=x(m≠0),得 a0bmc0, 所以bm=0,又m≠0,m0

故b=0.因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得

a2c32a6c4

解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4. 【答案】4

【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然

数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.

分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后， l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.

(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值， 通过（2*3）△4=64求出 k的值. 因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：

m2m1m3

， 2（舍去）

n2n1n

3

①当m=1，n=2时：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k

有36k=64，解出k1，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k1这组值应舍去。

9

9

7

7

所以m=l，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.

【答案】10

【例 24】 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算： aba(a1)(a2)(ab1)，其中a、b表示自然数.⑴求1100的值；⑵已知x1075，求x为多少？⑶如果（x3）2121，

那么x等于几？

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴11001234(11001)5050

⑵x10x(x1)(x2)(x3)(x101)10x4575,解得x3

⑶方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．1216061，即：602121，

则x360；60192021，即19360,所以x19． 方法二：可以先将（x3）看作一个整体y，那么就是y2121，y2y(y1)121,1216061

所以y60，那么也就有x360，60192021，即19360，所以x19．

【答案】19

【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8

级） (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;

(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 (1)1991☉2000=9;

由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.

(2)我们不知道11和x哪个大(注意,x≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.

1) x11,这时11除x余2,这说明x是11的倍数加2,但x

(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.

用y表示19☉x,不管19作除数还是被除数,19☉x都比19小,所以y应小于19.

方程y☉19=5,说明y除19余5,所以y整除19-5=14,由于y≥6,所以y=7,14.

当y=7时,分两种情况解19☉x=7.

1) x

2) x>19,此时19除x余7, x是19的倍数加7,由于x

当y=14时,分两种情况解19☉x=14.

1) x

2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x

总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解, x=12,26,33,45.

【答案】(1)9；3；1 (2) x=3,9,13. (3) x=12,26,33,45.

【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※ba

bb

a.

(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).

(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 (1)按照定义有2※3

13413

[1**********]52332136,3※434432512.于是(2※3)※42522524136※[***********]14=.2※(3※4)=2※. 60012

a3

a32

a(2)由已知得a① 3

a2若a≥6,则≥2,从而33

745

312与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检1201600查知,只有a=3符合要求. 【答案】(1) (2※3)※4；2※(3※4).

(2) a=3

【巩固】 定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.

比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值. 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,

因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.

(2)略

(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为

6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见 6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.

由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x.

所以x15.

【答案】(1)81；10

(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小

公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.

如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知,

整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.

(3)x15

【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3234；7⊙278：3⊙534567，……

按此规则，如果n⊙868，那么，n ____.

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，

⊙后面的数表示加数的个数，于是n(n1)n即(2)n(，

n5 (n3)n(4) .6

【答案】n5

【例 26】 国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和

书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：

某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：

①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；

②207÷11＝18……9；

③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。

依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2006年，希望杯，第四届，六年级，二试

【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；

19611179；

1192。

所以该书号的核检码是2.

【答案】2

【例 27】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1

中的路线对应下面的算式：121221216.请在图2中用粗线画出对应于算式：

21222111的路线．

【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算

【关键词】2003年，希望杯

【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要

减去2，向右前进一格要加上2.

【答案】