第三讲函数的连续性与间断点

第三讲 函数的连续性与间断点

一． 目的要求

1． 理解连续性的定义；明确连续性的三个要素；

2． 了解间断点的定义；会判断间断点的类型；

3． 知道初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性

求函数的极限；

4． 掌握闭区间上连续函数的性质；

二．例题讲解

（一）试研究下列函数的连续性，并指出其间断点为何种类型的间断点。

1．yx；

2．1cos2xysinx；

3．ycotx；

x4．ysin； x

5．fxlim11xx； n2n

x6．fxsin

x21e1x

x；

； 7．ln1x2ln2x2nsinxsin1fxn1x2n

（二．）利用函数的连续性求极限。

1．求； x0limcosxln1xx

2．求limln1lnx； x

x13．求limx3xx2sin2x；

4．求limarcsinxx2xx；

5．

x,x1（三．）讨论fx的连续性。 cosx,x12

exb（四．）确定常数a,b，使得函数fx有无穷间断点x0，可去间断点xax1x1。

x2n1ax2bx（五．）确定常数a,b，使得函数fxlim在,连续； 2nnx1

（六．）解决下列问题。

1．设fx在0,1上连续，且f0f1，证明：必有一点0,1，使得

1ff； 2

2．设fx在a,b内连续，且x1,x2,,xn为a,b内任意n个点，证明存在a,b，

1n

使得ffxi； ni1

3．证明方程1230有两个实根，并判定这两个根的范围； x1x2x3

4．设fx在a,b上连续，ax1x2b，证明：至少存在a,b，使得k1fx1k2fx2k1k2f，其中k10,k20；

（七．）

sinxx0x,

x0,问（1）a,b为何值时limfx存在；1．设fxa,（2）a,b为何x01xb,x0x

值时fx在x0处连续。

x112．k为何值时，函数fxx,0x1在x1处连续。 xke,x1

第三讲 函数的连续性与间断点

一． 目的要求

1． 理解连续性的定义；明确连续性的三个要素；

2． 了解间断点的定义；会判断间断点的类型；

3． 知道初等函数连续性的结论；会利用初等函数连续性

求函数的极限；

4． 掌握闭区间上连续函数的性质；

二．例题讲解

（一）试研究下列函数的连续性，并指出其间断点为何种类型的间断点。

1．yx；

2．1cos2xysinx；

3．ycotx；

x4．ysin； x

5．fxlim11xx； n2n

x6．fxsin

x21e1x

x；

； 7．ln1x2ln2x2nsinxsin1fxn1x2n

（二．）利用函数的连续性求极限。

1．求； x0limcosxln1xx

2．求limln1lnx； x

x13．求limx3xx2sin2x；

4．求limarcsinxx2xx；

5．

x,x1（三．）讨论fx的连续性。 cosx,x12

exb（四．）确定常数a,b，使得函数fx有无穷间断点x0，可去间断点xax1x1。

x2n1ax2bx（五．）确定常数a,b，使得函数fxlim在,连续； 2nnx1

（六．）解决下列问题。

1．设fx在0,1上连续，且f0f1，证明：必有一点0,1，使得

1ff； 2

2．设fx在a,b内连续，且x1,x2,,xn为a,b内任意n个点，证明存在a,b，

1n

使得ffxi； ni1

3．证明方程1230有两个实根，并判定这两个根的范围； x1x2x3

4．设fx在a,b上连续，ax1x2b，证明：至少存在a,b，使得k1fx1k2fx2k1k2f，其中k10,k20；

（七．）

sinxx0x,

x0,问（1）a,b为何值时limfx存在；1．设fxa,（2）a,b为何x01xb,x0x

值时fx在x0处连续。

x112．k为何值时，函数fxx,0x1在x1处连续。 xke,x1