与分式方程根有关的问题分类举例
姜官扬
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）
2x +42a 2
=使关于x 的方程a -产生增根的a 的值是（ ） x -22-x 2
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关
解：去分母并整理，得：
(a 2-2x -4=0)
因为原方程的增根为x =2，把x =2代入，得a 2=4
所以a =±2
故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程2x m +1x +1产生增根，则m 的值是（ ） -2=x +1x +x x
A. －1或－2 B. －1或2
C. 1或2 D. 1或－2
解：去分母并整理，得：
x 2-2x -2-m =0
又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入式，得：
m =2或m =1
故应选C 。
例3. （2001年重庆市）
若关于x 的方程ax +1-1=0有增根，则a 的值为__________。 x -1
解：原方程可化为：(a -1)x +2=0
又原方程的增根是x =1，把x =1代入，得：
a =-1
故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）
关于x 的方程x k 会产生增根，求k 的值。 =2+x -3x -3
解：原方程可化为：x =2(x -3)+k
又原方程的增根为x =3，把x =3代入，得：
k=3
例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：(k -1)x 1k -5+=2只有增根x =1。 x x -1x x +1x -1
解：原方程可化为：
(x +1)+(k -5)(x -1)=(k -1)x 2
把x =1代入，得k=3
所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6. （2002年荆门市）
当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x k -2x 只有一个实数根。 =2x -1x -x
解：原方程可化为：x +2x -k =02
要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：
（1）当方程有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由∆=4+4k =0得k=－1。当k=－1时，方程的根为x 1=x 2=-1，符合题意。
（2）方程有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由∆=4+4k >0，得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入得k=0，或k=3，均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。
例7. （2002年孝感市）
当m 为何值时，关于x 的方程
解：原方程可化为： 2x -m 1无实根？ -2=1+x x -x x -1
x 2-x +2-m =0
要原方程无实根，有下面两种情况：
（1）方程无实数根，由∆=(-1)-4(2-m )
（2）方程的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入得m =2。
综上所述：当m
7或当m=2时，所给方程无实数解。 4
例8. （2003年南昌市）
已知关于x 的方程1m -=m 有实数根，求m 的取值范围。 x x -1
2解：原方程化为：mx -x +1=0
要原方程有实数根，只要方程有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
（1）当m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。
（2）当m ≠0时，由∆=1-4m ≥0，得m ≤1。 4
又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程不成立；当x =1，m =0。 综上所述：当m ≤1且m ≠0时，所给方程有实数根。 4
评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围
x -1x +22x 2+ax -=例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：无增根？ x -2x +1x -2x +1解：原方程可化为：
2x 2+ax -3=0
又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入得：
5a =-或a =-1 2
又由∆=a +24>0知，a 可以取任何实数。
2
所以，当a ≠-5且a ≠-1时，解所给方程无增根。 2
评注：解答此类问题的基本思路是：
（1）将已知方程化为整式方程；
（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围
例9. 已知关于x 的方程x +a =-1的根大于0，求a 的取值范围。 x -2
解：原方程可化为：2x =2-a 所以x =1-a 2
由题意，得：
1-a a >0且1-≠2 22
所以a
例10. 已知关于x 的方程x +k =2的根小于0，求k 的取值范围。 x -2
解：原方程可化为：x +k =2x -4
所以x =k +4
由题意，得：k +4
所以k
评注：解答此类题的基本思路是：
（1）求出已知方程的根；
（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
说明：注意例9与例10的区别，例9有1-a ≠2，而例10无k +4≠2这一不等式？请2
读者思考。
与分式方程根有关的问题分类举例
姜官扬
与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）
2x +42a 2
=使关于x 的方程a -产生增根的a 的值是（ ） x -22-x 2
A. 2 B. －2 C. ±2 D. 与a 无关
解：去分母并整理，得：
(a 2-2x -4=0)
因为原方程的增根为x =2，把x =2代入，得a 2=4
所以a =±2
故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程2x m +1x +1产生增根，则m 的值是（ ） -2=x +1x +x x
A. －1或－2 B. －1或2
C. 1或2 D. 1或－2
解：去分母并整理，得：
x 2-2x -2-m =0
又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入式，得：
m =2或m =1
故应选C 。
例3. （2001年重庆市）
若关于x 的方程ax +1-1=0有增根，则a 的值为__________。 x -1
解：原方程可化为：(a -1)x +2=0
又原方程的增根是x =1，把x =1代入，得：
a =-1
故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）
关于x 的方程x k 会产生增根，求k 的值。 =2+x -3x -3
解：原方程可化为：x =2(x -3)+k
又原方程的增根为x =3，把x =3代入，得：
k=3
例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：(k -1)x 1k -5+=2只有增根x =1。 x x -1x x +1x -1
解：原方程可化为：
(x +1)+(k -5)(x -1)=(k -1)x 2
把x =1代入，得k=3
所以当k=3时，解已知方程只有增根x =1。
评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）由所给方程确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）；
（3）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。
2. 已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围
例6. （2002年荆门市）
当k 的值为_________（填出一个值即可）时，方程x k -2x 只有一个实数根。 =2x -1x -x
解：原方程可化为：x +2x -k =02
要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：
（1）当方程有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由∆=4+4k =0得k=－1。当k=－1时，方程的根为x 1=x 2=-1，符合题意。
（2）方程有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由∆=4+4k >0，得k>－1。又原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入得k=0，或k=3，均符合题意。
综上所述：可填“－1、0、3”中的任何一个即可。
例7. （2002年孝感市）
当m 为何值时，关于x 的方程
解：原方程可化为： 2x -m 1无实根？ -2=1+x x -x x -1
x 2-x +2-m =0
要原方程无实根，有下面两种情况：
（1）方程无实数根，由∆=(-1)-4(2-m )
（2）方程的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x =0或x =1，把x =0或x =1分别代入得m =2。
综上所述：当m
7或当m=2时，所给方程无实数解。 4
例8. （2003年南昌市）
已知关于x 的方程1m -=m 有实数根，求m 的取值范围。 x x -1
2解：原方程化为：mx -x +1=0
要原方程有实数根，只要方程有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。
（1）当m =0时，有x =1，显然x =1是原方程的增根，所以m =0应舍去。
（2）当m ≠0时，由∆=1-4m ≥0，得m ≤1。 4
又原方程的增根为x =0或x =1，当x =0时，方程不成立；当x =1，m =0。 综上所述：当m ≤1且m ≠0时，所给方程有实数根。 4
评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是：
（1）将所给方程化为整式方程；
（2）根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
3. 已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围
x -1x +22x 2+ax -=例9. 当a 取何值时，解关于x 的方程：无增根？ x -2x +1x -2x +1解：原方程可化为：
2x 2+ax -3=0
又原方程的增根为x =2或x =-1，把x =2或x =-1分别代入得：
5a =-或a =-1 2
又由∆=a +24>0知，a 可以取任何实数。
2
所以，当a ≠-5且a ≠-1时，解所给方程无增根。 2
评注：解答此类问题的基本思路是：
（1）将已知方程化为整式方程；
（2）由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取值范围；
（3）从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。
4. 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围
例9. 已知关于x 的方程x +a =-1的根大于0，求a 的取值范围。 x -2
解：原方程可化为：2x =2-a 所以x =1-a 2
由题意，得：
1-a a >0且1-≠2 22
所以a
例10. 已知关于x 的方程x +k =2的根小于0，求k 的取值范围。 x -2
解：原方程可化为：x +k =2x -4
所以x =k +4
由题意，得：k +4
所以k
评注：解答此类题的基本思路是：
（1）求出已知方程的根；
（2）由已知建立关于字母系数的不等式，求出字母系数的取值范围，注意排除使原方程有增根的字母系数的值。
说明：注意例9与例10的区别，例9有1-a ≠2，而例10无k +4≠2这一不等式？请2
读者思考。