电子损失能谱
（许继辉 徐磊 姜代旬）
入射电子与样品发生非弹性相互作用，电子损失一定能量，如果我们对出射电子按照损失的能量进行统计计数，就可以得到电子能量损失谱（Electron ，Energy ，Loss ，Spectoscopy ，，EELS ）。电子能量损失谱技术经过了六十多年的发展期。
价损失是在高能电子散射中的一个主要非弹性散射过程，它决定了大部分入射电子能量损失。晶体材料的价带是许多电子态的集合，并且，这些状态决定了许多固体材料的物理性质。价损失能谱对材料的固态结构是敏感的，并且它可用于区别两个相。价损失具有非固定散射特性，甚至当电子相距试样几个纳米距离时会发生，因此，价损失能谱只能用于表征价带的集合固态激发特性，而非单个原子性质。
图1是价谱与价带中的电子态密度之间的对应关系，这里在零损失峰和第一峰之间的间隙对于绝缘体是导带与价带之间的间隔。
图1，(a)价电子向导带的跃迁；(b)观察到的
EELS ，谱与价带中电子态密度(DOS)的关系
由于价电子态密度很高，所以连续介电函数ε(ω,q) 通常用于表征价带中的电子特性，这取决于等离子体激元振荡的频率ω和扰动波矢量，q 13，。价带激发中的介电响应函数的引入，与将一个非弹性散射过程的量子力学描述转换为一个经典电动力学处理是等同的，并且这种方法在实践中显示了巨大成功。介电函数表征了介质对由外部源产生的电场(如快速运动电子) 的极化响应。由于带间跃迁的激发和等离子体激元振荡，造成电子能量损。电子能量损失谱的分析提供了关于固体激发模式的直接信息。
EELS 谱中通常能反映出原子内层激发，由于这是一个原子束缚的电子被激发，使它从内壳层进入价带，并伴随着入射电子能量损失和动能转变的过程。这是一种局部的非弹性散射过程，仅当入射电子在晶体中扩散时才发生，由于内层能级是原子的独特的特性，电离边的强度可有效地用于分析试样的化学性，同时，
受约束电子电离的可能性强烈地依赖于价带的态密度，并且在近边能量观察到的精细结构反映了材料的固态结构，因此，EELS 不仅能用于定量地确定试样的化学组分，特别是由于荧光性没有减弱信号强度的轻元素，而且也可用于探测试样的电子结构。
图2入射电子与固体中的电子及核的朴素作用示意图
ˆ快电子扰动的电子多粒子系统。电子的坐图2给出了一种经历速度为v=vz
标定义为以 O 点为参考点。我们为了简化略去自旋指数而仅考虑自旋独立相互作用。晶体电子的本征状态和本征能量分别由|n〉 和 ωn 表示。假设|n〉态是标准正交的和完整的，而且指数n 代表所有可观察到的系统的量子态。平面波基本集当作入射电子： exp(2πiK ·r) 。表征快电子和晶体电子之间相互作用的 Hamiltonian H’为
（1）
r J 和R k 分别是第J 个晶体电子和第k 个电荷Z k e 核和位置。多电子系统从它的基态|0〉跃迁到|n〉态的激发，伴随着由波矢K 0和K 给定特性的动能本征态之间快电子的跃迁，此时，可用标准第一级扰动理论求得截面。利用第一 Bron 近似方法，对于跃迁的微分截面为
（2）
这里Θ是立体角，q=K0-K 是电子波矢量的变化。由统一性得
（3） 令，则将式（2）可变形得
（4）
广义振子强度定义为
（5）
这里的△E 即电子能量损失。
能量，
重新写为
是 Rydberg 是Bohr 半径。方程(4)可以
（6）
能量损失谱是能量损失△E 的连续函数。定义微分的一般振荡器强度f n (q) = df (q)/d△E 。与散射有关的角度和能量由二重微分截面定义：
（7）
在任何非弹性散射过程之中都包含有动量转移和能量损失这两个基本量。对于电子－晶体系统，能量转换定律和动量转换定律必须同时满足。因此，在电子动量转换与能量损失之间应当存在一种关系。为简化，允许不发生衍射并且入射电子以θ角非弹性散射作为与晶体非弹性相互作用的结果。能量的转换关系为
E 0 －△E = E （8）
22 以E= K /2m0代入式（8），电子波数的量对于能量损失的变化则可写为
K 2=K02－2m 0∆E 2m 0∆E 或 (K＋K )(K + K) ＝－ （9） 0022
这种关系与散射角无关。
动量的转换矢量三角形如图3所示，它要满足
K 0－K = q （10）
由余弦定理可得
2q 2 = K0 + K2－2K 0K cosθ （11）
最小的动量转换发生在θ＝0 处，因此 q min = K0－K 。对于小能量损失则有
q min = K0－K ≈m 0∆E ＝K 0θE (12) 2 K 0
这里θE =∆E/2E0是一个特别能量损失∆E 的非弹性散射特征角。通常，式(11)可以写成
q 2=(K0－K) 2+2K0K(1－cos θ)=( qmin ) 2+4K0Ksin 2(θ/2) (13)
对小角度散射，
22q 2≈K 0(θ2+θE ) (14)
在平行于束的方向上动能的转换大约为q s ≈K 0θE = qmin ，它与电子散射角无关； 动能的转换在垂直于入射方向即衍射平面上，为q b = K0θ。微分电离截面为
（15）
由于df (q)/dE几乎与电子散射角无关，这样，如果不存在衍射，可用Lorentz 函
2数1/(θ2+θE ) 描述非弹性散射电子的角度分布。
图3 非弹性电子散射中动量转换和电子能量损失矢量图
一般用于定量的EELS 微区分析中的截面是式(15)的积分形式：
d 2σⅠ (16) σⅠ(β，∆)=⎰d ∆E ⎰d φ⎰d ϑsin ϑd Θd ∆E 0∆E o ∆E +∆2πβ
这里β是EELS 谱仪的采集半角，∆是积分的能量宽度。
参考文献：
[1]孙岳魁，各向异性材料中的电子损失能量理论及其应用，清华大学硕士学位论文
[2]徐晓光，储能材料电子结构及性能的第一原理研究，吉林大学博士学位论文
电子损失能谱
（许继辉 徐磊 姜代旬）
入射电子与样品发生非弹性相互作用，电子损失一定能量，如果我们对出射电子按照损失的能量进行统计计数，就可以得到电子能量损失谱（Electron ，Energy ，Loss ，Spectoscopy ，，EELS ）。电子能量损失谱技术经过了六十多年的发展期。
价损失是在高能电子散射中的一个主要非弹性散射过程，它决定了大部分入射电子能量损失。晶体材料的价带是许多电子态的集合，并且，这些状态决定了许多固体材料的物理性质。价损失能谱对材料的固态结构是敏感的，并且它可用于区别两个相。价损失具有非固定散射特性，甚至当电子相距试样几个纳米距离时会发生，因此，价损失能谱只能用于表征价带的集合固态激发特性，而非单个原子性质。
图1是价谱与价带中的电子态密度之间的对应关系，这里在零损失峰和第一峰之间的间隙对于绝缘体是导带与价带之间的间隔。
图1，(a)价电子向导带的跃迁；(b)观察到的
EELS ，谱与价带中电子态密度(DOS)的关系
由于价电子态密度很高，所以连续介电函数ε(ω,q) 通常用于表征价带中的电子特性，这取决于等离子体激元振荡的频率ω和扰动波矢量，q 13，。价带激发中的介电响应函数的引入，与将一个非弹性散射过程的量子力学描述转换为一个经典电动力学处理是等同的，并且这种方法在实践中显示了巨大成功。介电函数表征了介质对由外部源产生的电场(如快速运动电子) 的极化响应。由于带间跃迁的激发和等离子体激元振荡，造成电子能量损。电子能量损失谱的分析提供了关于固体激发模式的直接信息。
EELS 谱中通常能反映出原子内层激发，由于这是一个原子束缚的电子被激发，使它从内壳层进入价带，并伴随着入射电子能量损失和动能转变的过程。这是一种局部的非弹性散射过程，仅当入射电子在晶体中扩散时才发生，由于内层能级是原子的独特的特性，电离边的强度可有效地用于分析试样的化学性，同时，
受约束电子电离的可能性强烈地依赖于价带的态密度，并且在近边能量观察到的精细结构反映了材料的固态结构，因此，EELS 不仅能用于定量地确定试样的化学组分，特别是由于荧光性没有减弱信号强度的轻元素，而且也可用于探测试样的电子结构。
图2入射电子与固体中的电子及核的朴素作用示意图
ˆ快电子扰动的电子多粒子系统。电子的坐图2给出了一种经历速度为v=vz
标定义为以 O 点为参考点。我们为了简化略去自旋指数而仅考虑自旋独立相互作用。晶体电子的本征状态和本征能量分别由|n〉 和 ωn 表示。假设|n〉态是标准正交的和完整的，而且指数n 代表所有可观察到的系统的量子态。平面波基本集当作入射电子： exp(2πiK ·r) 。表征快电子和晶体电子之间相互作用的 Hamiltonian H’为
（1）
r J 和R k 分别是第J 个晶体电子和第k 个电荷Z k e 核和位置。多电子系统从它的基态|0〉跃迁到|n〉态的激发，伴随着由波矢K 0和K 给定特性的动能本征态之间快电子的跃迁，此时，可用标准第一级扰动理论求得截面。利用第一 Bron 近似方法，对于跃迁的微分截面为
（2）
这里Θ是立体角，q=K0-K 是电子波矢量的变化。由统一性得
（3） 令，则将式（2）可变形得
（4）
广义振子强度定义为
（5）
这里的△E 即电子能量损失。
能量，
重新写为
是 Rydberg 是Bohr 半径。方程(4)可以
（6）
能量损失谱是能量损失△E 的连续函数。定义微分的一般振荡器强度f n (q) = df (q)/d△E 。与散射有关的角度和能量由二重微分截面定义：
（7）
在任何非弹性散射过程之中都包含有动量转移和能量损失这两个基本量。对于电子－晶体系统，能量转换定律和动量转换定律必须同时满足。因此，在电子动量转换与能量损失之间应当存在一种关系。为简化，允许不发生衍射并且入射电子以θ角非弹性散射作为与晶体非弹性相互作用的结果。能量的转换关系为
E 0 －△E = E （8）
22 以E= K /2m0代入式（8），电子波数的量对于能量损失的变化则可写为
K 2=K02－2m 0∆E 2m 0∆E 或 (K＋K )(K + K) ＝－ （9） 0022
这种关系与散射角无关。
动量的转换矢量三角形如图3所示，它要满足
K 0－K = q （10）
由余弦定理可得
2q 2 = K0 + K2－2K 0K cosθ （11）
最小的动量转换发生在θ＝0 处，因此 q min = K0－K 。对于小能量损失则有
q min = K0－K ≈m 0∆E ＝K 0θE (12) 2 K 0
这里θE =∆E/2E0是一个特别能量损失∆E 的非弹性散射特征角。通常，式(11)可以写成
q 2=(K0－K) 2+2K0K(1－cos θ)=( qmin ) 2+4K0Ksin 2(θ/2) (13)
对小角度散射，
22q 2≈K 0(θ2+θE ) (14)
在平行于束的方向上动能的转换大约为q s ≈K 0θE = qmin ，它与电子散射角无关； 动能的转换在垂直于入射方向即衍射平面上，为q b = K0θ。微分电离截面为
（15）
由于df (q)/dE几乎与电子散射角无关，这样，如果不存在衍射，可用Lorentz 函
2数1/(θ2+θE ) 描述非弹性散射电子的角度分布。
图3 非弹性电子散射中动量转换和电子能量损失矢量图
一般用于定量的EELS 微区分析中的截面是式(15)的积分形式：
d 2σⅠ (16) σⅠ(β，∆)=⎰d ∆E ⎰d φ⎰d ϑsin ϑd Θd ∆E 0∆E o ∆E +∆2πβ
这里β是EELS 谱仪的采集半角，∆是积分的能量宽度。
参考文献：
[1]孙岳魁，各向异性材料中的电子损失能量理论及其应用，清华大学硕士学位论文
[2]徐晓光，储能材料电子结构及性能的第一原理研究，吉林大学博士学位论文