河北省重点高中高二数学期中测试题答案

2013—2014学年高二第一学期期中考试

数学试题(理科) 参考答案

二、填空题：(每题5分，共20分)

13、a >

14、

15. (1,3] 16. ab

三、解答题：（共70分）

17（本题满分10分）

解：甲命题为真时，x

+(2a -1) x +a 2≤0的解集为φ

则∆=(2a -1) 2-4a 2

1；1>14

乙命题为真时，则2a -即a >1

（1）甲，乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：

甲真乙假时：1

故甲，乙中有且只有一个是真命题时a 的取值范围是：14

（2）甲，乙至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a a >1

故甲，乙至少有一个是真命题时的取值范围是： a >1

18（本题满分12分）

解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1) ，(A 1，B 1，C 2) ，(A 1，B 2，C 1) ，(A 1，B 2，C 2) ，

(A 1，B 3，C 1) ，(A 1，B 3，C 2) ，(A 2，B 1，C 1) ，(A 2，B 1，C 2) ，(A 2，B 2，C 1) ，(A 2，B 2，C 2) ，

(A 2，B 3，C 1) ，(A 2，B 3，C 2) ，(A 3，B 1，C 1) ，(A 3，B 1，C 2) ，(A 3，B 2，C 1) ，(A 3，B 2，C 2) ，

(A 3，B 3，C 1) ，(A 3，B 3，C 2)}，共有18个基本事件．

由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1) ，(A 1，B 1，C 2) ， (A 1，B 2，C 1) ，(A 1，B 2，C 2) ，(A 1，B 3，C 1) ，(A 1，B 3，C 2)}，事件M 有6个

基本事件，因而P (M ) ＝61

18＝3.

(2)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1) ，(A 2，B 1，C 1) ，(A 3，B 1，C 1)}，

事件N 有3个基本事件，所以P (N ) ＝31

18＝6，由对立事件的概率公式得

P (N ) ＝1－P (N ) ＝1－15

19（本题满分12分）

解：（I ）由题意，可设所求椭圆的标准方程为x 2y 2

a 2+b

2=1(a >b >0) ，

其半焦距c =6，2a =|PF =2+22+2+22

1|+|PF 2|=6，∴a =35，b 2

=a 2-c 2=45-36=9，

故所求椭圆的标准方程为x 245+y 2

=1；

（II ）点P （5，2）、F 1（－6，0）、F 2（6，0）关于直线y ＝x 的对称点

分别为：P '(2, 5) 、F 1' （0，-6）、F 2' （0，6）

设所求双曲线的标准方程为

x 22a 2

y 1

b 2

=1(a 1>0, b 1>0) ，

由题意知半焦距c 1=6，2a 1=P ' F 1' |-|P ' F 2' |=2+22-2+22=4，∴a 1=2，b 21=c 221-a 1=36-20=16，

故所求双曲线的标准方程为y 2x 2

20-16

=1。

20. (本题满分12分)

解：（1）月收入在[3000, 3500)的频率为0.0003×500=0.15 （2）因为0.0002×500=0.1, 0.0004×500=0.2,

0.0005×500=0.25, 0.1+0.2+0.25=0.55>0.5,

所以，样本数据的中位数2000+

0. 5-0. 1-0. 2

0. 0005

=2400（元）

（3）居民月收入在[2500, 3000)的频率为0.0005×500=0.25，

所以10000人中月收入在[2500, 3000)的人数为0.25×10000=2500， ⎧y =k (x -1), 2222

再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500, 3000)的这段应抽取25人。

21 (本题满分12分) 、解：（1）因为每次投掷都落在最大的正方形内或与最大的正方形有公

共点所以圆心的最大限度为原正方形向外再扩张1个小圆

半

径的区域，且四角为四分之一圆弧，

此时总面积为：16×16＋4×16×1＋π×12=320＋π

完全落在最大的正方形内时，圆心的位置在14为边长的正方形内，

其面积为14×14=196；

故：硬币落下后完全在最大的正方形内的概率为：P =

196

320+π

；

（2）每个小正方形内与网格线没有公共点的部分是正中心的边长为2的正方

形的内部，一共有16个小正方形，总面积有：16×22=64；

故：硬币落下后与网格线没有公共点的概率为：P =64320+π

．

22（本题满分12分）

（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c . 依题意，得 c =1. 因为椭圆C 的离心率为12

，

所以a =2c =2，b 2=a 2-c 2

=3.

故椭圆C 的方程为 x 2y 2

=1. （Ⅱ）解：当MN ⊥x 轴时，显然y 0=0.

当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y =k (x -1) (k ≠0) .

由 ⎨⎩3x 2+4y 2

=12,

消去y 整理得 (3+4k ) x -8k x +4(k -3) =0. 设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) ，线段MN 的中点为Q (x 3, y 3) ，

则 x 8k 2x 1+x 24k 2-3k

1+x 2=3+4k 2. 所以 x 3=2=3+4k 2，y 3=k (x 3-1) =3+4k 2

. 线段MN 的垂直平分线方程为y +3k 14k 2

3+4k 2=-k (x -3+4k 2

) .

在上述方程中令x =0，得y k 0=3+4k

3. k

+4k 当k

0时，3k +4k ≤-k >

0时，3

k +4k ≥

所以≤y 0

0，或0

综上，y

0的取值范围是[.