放缩法证明不等式
一、放缩法原理
为了证明不等式A ≤B ，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定
A ≤C , C ≤B 同时成立，那么A ≤B 显然正确。所谓“放”即把A 放大到C, 再把C 放大到
B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A, 则称为“缩”，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。 二、常见的放缩法技巧
１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：
b b +m ≤(m ≥0, a >b ) . a a +m
3、添（减）项放缩
4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
1112n +1
n (n +1) n n (n -1) 2
1111
22
(2n -3)(2n -1) (2n -1)(2n +1) (2n -1) (2n -1) 11
(2n +1) 22n (2n +2)
三、例题讲解
例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证
39
例2：设a 、b 、c ≥0，且a +b +c =3，求证a 2+b 2+c 2+abc ≥
22
a b c
≥3 ++
b +c -a c +a -b a +b -c
例3：已知a n =2-1(n ∈N ). 求证：
4x 1+4x
n *
a n 1a 1a 2
-
例４：函数f （x ）=
，求证：f （1）+f （2）+„+f （n ）>n +
12n +1
1
-(n ∈N *) . 2
例5：已知a n =n ，求证：∑
n
k=1a k
k
＜3．
例6： 已知数列{a n }，，a 1=
3na n -13
，a n =（1）求数列{a n }的通(n ≥2, n ∈N *)．
2a n -1+n -12
项公式；（2）对一切正整数n ，不等式a 1⋅a 2⋅a 3 a n 值。
例7：已知数列{a n }，a 1=1, a n =n ⋅⎢1+
2
⎡⎣111⎤++ +，(n ≥2, n ∈N *) 2232(n -1) 2⎥⎦
a n +1n 2111
=(n ∈N *)(1+)(1+) (1+)
a n +1(n +1) a 1a 2a n
例8：（1）已知a n =5n -
41对任何正整数m ，n 都成立. （2）证明：对于任意正整数R ，有(1+
1n 1n +1
)
例9： 在xoy 平面上有一系列点P 对每个自然数n ，1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), , P n (x n , y n ), ，点P n 位于函数y =x (x >0) 的图象上. 以点P n 为圆心的⊙P n 与x 轴都相切，且⊙P n 与⊙
2
P n +1又彼此外切，若x 1=1，且x n +1
(1)求证：数列⎨
⎧1⎫
⎬是等差数列； x ⎩n ⎭
S 1+S 2+ +S n ，求证：T n
(2)设⊙P n 的面积为S n ，T n =
例10：已知数列{a n }、{b n }、{x n }
3. 2
满a 1=b 1=2, a n +1=b n +1+4b n , b n +1=a n +b n , x n =
a n
,(n ∈N +) . b n
（1）填空当n ≥2时，x n 1（填“＞、； ＝、＜”不必说明理由）（2）试用x n 表示x n +1(n ∈N*) ；
（3）求证：x n +1与x
n
. 并说明x n +1与x
n 中哪一个更接近于
（4
）求证：
∑x
k =1
n
k
针对性练习
1、求证：
11117+++ +
n (n +1) (n +1) 2
3、已知函数f (x ) =
(1)设a n =x n -
x +2
数列{x n }满足x n +1=f (x n )(n =1, 2, ) ，且x 1=1. , x ∈(0, +∞) ，
x +1
2，证明：a n +1
(2)设(1)中的数列{a n }的前n 项和为S n ，证明S n
2. 2
n
11
4、已知数列{a n }满足a n +1=a ,0
322k =1
2
n
5、设a 、b 、c 是三角形的边长，求证 [(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2]
6、设0≤a ≤b ≤c ≤1，求证：
a b c
+++(1-a )(1-b )(1-c ) ≤1
b +c +1c +a +1a +b +1
13
a b c (b -c ) 2+(c -a ) 2+(a -b ) 2≥ b +c c +a a +b
7. 数列a 0, a 1, a n 满足a 0=
1121, a k +1=a k +a k (k =0,1, , n ) ，1-
a n +1+a n +1-1=a n (n ∈N *)．a n ≥0，a 1=0，8. （2008浙江高考）：已知数列{a n }，
2
2
记：S n =a 1+a 2+ +a n ，T n =
111
． ++ +
1+a 1(1+a 1)(1+a 2) (1+a 1)(1+a 2) (1+a n )
求证：当n ∈N ∙时，（Ⅰ）a n n -2； （Ⅲ）T n
放缩法证明不等式
一、放缩法原理
为了证明不等式A ≤B ，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定
A ≤C , C ≤B 同时成立，那么A ≤B 显然正确。所谓“放”即把A 放大到C, 再把C 放大到
B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A, 则称为“缩”，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。 二、常见的放缩法技巧
１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：
b b +m ≤(m ≥0, a >b ) . a a +m
3、添（减）项放缩
4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
1112n +1
n (n +1) n n (n -1) 2
1111
22
(2n -3)(2n -1) (2n -1)(2n +1) (2n -1) (2n -1) 11
(2n +1) 22n (2n +2)
三、例题讲解
例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证
39
例2：设a 、b 、c ≥0，且a +b +c =3，求证a 2+b 2+c 2+abc ≥
22
a b c
≥3 ++
b +c -a c +a -b a +b -c
例3：已知a n =2-1(n ∈N ). 求证：
4x 1+4x
n *
a n 1a 1a 2
-
例４：函数f （x ）=
，求证：f （1）+f （2）+„+f （n ）>n +
12n +1
1
-(n ∈N *) . 2
例5：已知a n =n ，求证：∑
n
k=1a k
k
＜3．
例6： 已知数列{a n }，，a 1=
3na n -13
，a n =（1）求数列{a n }的通(n ≥2, n ∈N *)．
2a n -1+n -12
项公式；（2）对一切正整数n ，不等式a 1⋅a 2⋅a 3 a n 值。
例7：已知数列{a n }，a 1=1, a n =n ⋅⎢1+
2
⎡⎣111⎤++ +，(n ≥2, n ∈N *) 2232(n -1) 2⎥⎦
a n +1n 2111
=(n ∈N *)(1+)(1+) (1+)
a n +1(n +1) a 1a 2a n
例8：（1）已知a n =5n -
41对任何正整数m ，n 都成立. （2）证明：对于任意正整数R ，有(1+
1n 1n +1
)
例9： 在xoy 平面上有一系列点P 对每个自然数n ，1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2), , P n (x n , y n ), ，点P n 位于函数y =x (x >0) 的图象上. 以点P n 为圆心的⊙P n 与x 轴都相切，且⊙P n 与⊙
2
P n +1又彼此外切，若x 1=1，且x n +1
(1)求证：数列⎨
⎧1⎫
⎬是等差数列； x ⎩n ⎭
S 1+S 2+ +S n ，求证：T n
(2)设⊙P n 的面积为S n ，T n =
例10：已知数列{a n }、{b n }、{x n }
3. 2
满a 1=b 1=2, a n +1=b n +1+4b n , b n +1=a n +b n , x n =
a n
,(n ∈N +) . b n
（1）填空当n ≥2时，x n 1（填“＞、； ＝、＜”不必说明理由）（2）试用x n 表示x n +1(n ∈N*) ；
（3）求证：x n +1与x
n
. 并说明x n +1与x
n 中哪一个更接近于
（4
）求证：
∑x
k =1
n
k
针对性练习
1、求证：
11117+++ +
n (n +1) (n +1) 2
3、已知函数f (x ) =
(1)设a n =x n -
x +2
数列{x n }满足x n +1=f (x n )(n =1, 2, ) ，且x 1=1. , x ∈(0, +∞) ，
x +1
2，证明：a n +1
(2)设(1)中的数列{a n }的前n 项和为S n ，证明S n
2. 2
n
11
4、已知数列{a n }满足a n +1=a ,0
322k =1
2
n
5、设a 、b 、c 是三角形的边长，求证 [(a -b ) 2+(b -c ) 2+(c -a ) 2]
6、设0≤a ≤b ≤c ≤1，求证：
a b c
+++(1-a )(1-b )(1-c ) ≤1
b +c +1c +a +1a +b +1
13
a b c (b -c ) 2+(c -a ) 2+(a -b ) 2≥ b +c c +a a +b
7. 数列a 0, a 1, a n 满足a 0=
1121, a k +1=a k +a k (k =0,1, , n ) ，1-
a n +1+a n +1-1=a n (n ∈N *)．a n ≥0，a 1=0，8. （2008浙江高考）：已知数列{a n }，
2
2
记：S n =a 1+a 2+ +a n ，T n =
111
． ++ +
1+a 1(1+a 1)(1+a 2) (1+a 1)(1+a 2) (1+a n )
求证：当n ∈N ∙时，（Ⅰ）a n n -2； （Ⅲ）T n