用四个边长为1的正方形组成的四连方有如图的七种

3901

用四個邊長為1的正方形組成的「四連方」有如圖的七種：

用這些四連方拼成一塊7  4的矩形最多可以用這七種連方中的幾種？ 【解答】

(1) 將7  4的矩形塗成黑白相間如圖：

其中黑格與白格各有14個

再將七種「四連方」也塗成黑白相間，除了下者為3黑1白或1黑3白以外，其餘必定為1黑1白

若要放入七種「四連方」，則必為15黑13白或13黑15白， 但7  4的矩形為14黑14白 故不可能

(2) 又下列例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7  4的矩形

故最多可以用六種「四連方」拼成一塊7  4的矩形

【評析】

本題共計十位同學參與徵答，其中得到7分的有敦化國中時丕勳、中和國小夏誌陽、光華國中楊涵傑、敦化國中許倫愷、江翠國中賴紹文、精誠國中王建詒等六位。

本題同學除了要證明不可能放入七種「四連方」拼成一塊7  4的矩形以外，還要再舉出一個例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7  4的矩形，如此才算完整。

3902

如右圖：AD是∠A的平分線，I在AD上， 且∠BIC＝90o＋

1

∠BAC。求證： 2

I是△ ABC的內心。

【評析】

C

幾何證明的逆定理常用的方法是反證法，利用另一個假設成立然後證明其矛盾，或者證明其重合，此題發絕大部分的學生用此法來證明。但也有利用做輔助線直接來證明，這也是非常漂亮的證法，我們將此兩種漂亮的證法皆提供給大家參考，以下是參加同學的得分

參考解答：

方法一：如下圖，設M為ΔABC的內心，因未知M在I 的上方或下方，分別

將M於上方及下方設M2與M1分開來討論： 當 M 在 I 的上方

∠BM2C=∠BAC+∠ABM2+∠ACM2

1

2

1

∵M2 為ΔABC的內心，故 ∠BM2C=900+∠BAC (矛盾)

2

同理當 M 在 I 的下方

∠BM1C=∠BAC+∠ABM1+∠ACM1

1

>∠BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=900+∠BAC

2

1

∵M1 為ΔABC的內心，故 ∠BM1C=900+∠BAC (矛盾)

2

所以 I為ΔABC的內心

（北市師大附中王思貽同學、北市士林國中姜駿宇同學提供）

A

方法二：

1

1. 作∠B，∠C 外角的平分線交於J，J為ΔABC 的傍心 ，∠BJC=900-∠BAC

2

2. 作ΔABC 的外接圓交AD直線於P點，連接BP，CP ∵∠BAP=∠CAP，∴IB

11

3. ∠BIC+∠BJC=900+∠BAC+900-∠BAC=1800

22

∴ B、I、C、J 四點共圓 ，作此圓

4. ∠BCJ=∠PCJ+∠BCP=∠PCJ+

11

∠BAC，∠JCQ=∠PJC+∠BAC 22

∵∠BCJ=∠JCQ ∴∠PCJ=∠PJC ∴PCPJ ∴ PCPJBP P 是 B、I、C、J 四點共圓的圓心 ∠ICJ=∠ICB+∠DCJ=900

5. ∠ICJ=∠ICB+∠BCJ=900 ，又 ∵∠ACI+∠JCQ=900 ∠BCJ=∠JCQ ， ∴ ∠ICB=∠ACI ∴ IC 是 ∠C 的內角平分線

6. 同理可證 IB 是 ∠B 的內角平分線，∴ I 是ΔABC 的內心

（北縣中和國小夏誌陽同學提供）

3903

以90個單位立方體與一個邊長為a，一個邊長為c的立方體，構成一個邊長為c的立方體

其中a,b,c都是正整數，試求出a,b,c。

解：根據題意：可以列式子c3＝a3＋b3＋90。易知，c > a ＋ b，所以， 90＝c3－a3－b3 ≧3ab(a＋b) ab(a＋b)≦30 不妨假設a≦b  a的可能值為: 1.2.3.5.6.10,15,30。但是，5及5以上的值明顯地不可能。經驗算易得 a＝2，b＝3，c＝5或a＝1，b＝5，c＝6，加上a,b的對稱情形共四種。

解題評註：

本題解題的關鍵和大多的數論問題相同，就是設法找出滿足這個等式中未知數的範圍。同學們大致也能抓住這個重點，當中的差別僅僅在於敘述的繁簡不同。基本上同學的寫法都相當的不錯，這點是相當值得嘉許的。被扣分的兩位同學最主要的原因是沒有考慮到

a3＋b3

本題有十位同學回答，滿分者有8位，另二人一位6分，一位7分芳名分列於下：

7分：

彰化 精誠國中 王建詒 台北 敦化國中 許倫愷 台北 敦化國中 時丕勳

台北 士林國中 姜俊宇 台北 薇閣中學 林志昶 新竹 光華國中 楊涵傑

台北 永和國中 陳璿宇 台北 中和國小 夏至洋 6分：台北 中正國中 薛竣壬 5分：台北 金華國中 蔣卓穎 3904

斯諾克是一種撞球遊戲,遊戲的簡要規則如下

1. 正常情況:一次最多只有一球進袋,沒有違規情事發生(以下規則皆在正常情況下)

2. 遊戲的開始,在球台上規定的位置擺上15顆紅球與6顆色球(分別是黃,綠,棕,藍,橙,及黑色球各一顆);並在規定的區域擺一顆白球(也稱母球) 3. 遊戲由兩人進行

4. 每人每次出桿撞擊白球,使白球撞擊紅球或色球進袋(稱將紅球或色球打進袋),可連續出桿至無球進袋時,換對手出桿

5. 在球台上有紅球時,每打一顆(任一)色球前皆需先打進一顆紅球; 紅球進袋不需拿出來;而色球進袋需要拿出來再放至在球台上規定的位置,直至球台上最後一顆紅球

6. 打進最後一顆紅球後,仍可選擇任一顆色球將其打進;並隨即將該色球拿出來放至在球台上規定的位置;此後需按照黃,綠,棕,藍,橙,黑的順序將色球打進,此時打進的色球不需拿出來

7. 每打進一顆紅球可得1分,打進黃球一次可得2分, 打進綠球一次可得3分, 打進棕球一次可得4分, 打進藍球一次可得5分, 打進橙球一次可得6分, 打進黑球一次可得7分

8. 一人的最高分為147分(一顆紅球,一顆黑球, 一顆紅球,一顆黑球…直到最後一顆紅球打進,再打進黑球共有120分再依序打完所有色球共有27分,加起來共147分)

在某一場正常情況的斯諾克中, 楊聰發現他的得分還不能確定是否贏得這場遊戲,接著他打進了一顆球,又看了一下球台剩餘的球; 發現此時他已經確定贏得這場遊戲(不論對手之後再怎麼得分,分數都無法超越楊聰),這時楊聰的計分板上註記著X分

試問 X的最大值與最小值是多少？

解答 若要得最大值,雙方皆要衝高分,雙方最大總得分為147分

當對手打進八次(紅球加黑球) ; 楊聰打進七次(紅球加黑球)再打進一顆黃球 對手再打進一顆綠球 ; 楊聰再依序打進棕球,藍球,橙球

此時對手得分67分;而楊聰得分73分.球台只剩一顆色球(黑球), 尚不能確定是否贏得這場遊戲,接著楊聰將黑球打進,得80分, 此時他已經確定贏得這場遊戲, 故X的最大值是80分.

若要得最小值,雙方皆要低分, 雙方最小總得分為42分(雙方打進紅球後,皆無打進色球,15分再加上依序須打進的色球27分共42分)

當雙方打進紅球後,皆無打進色球,如此交替出桿將紅球打完, 對手共進了二顆紅球,楊聰進了十三顆紅球.

接著楊聰打進黃球,綠球共得18分, 尚不能確定是否贏得這場遊戲, 接著楊聰將棕球打進,得22分, 此時他已經確定贏得這場遊戲, 故X的最小值是22分.

評析 本題有六人作答,無人全對;惟中和國小夏誌陽同學雖寫了正確答案,但沒能把如何獲得此種情況的過程寫出來.

有同學的答案寫:楊聰一開始一連打進紅球加黑球九次共72分,再打進一顆紅球共73分, 尚不能確定是否贏得這場遊戲.其實此時球台剩下五顆紅球以及色球,

對手最多只能得67分,以此種情況而言,楊聰已經贏了.所以這樣寫是不對的. 本題需要去分析最高分及最低分的情況,並將這些情況組合出來.希望同學們下次好好加油!

3905大於(32)6的最小整數為何？

解答與評析

本題共計十三位同學參與徵答，其中得到7分的有師大附中國中部王思貽、敦化國中時丕勳、許倫愷、中和國小夏誌陽、光華國中楊涵傑、仁愛國中陳昭宇、士林國中江俊宇、金華國中蔣卓穎、永和國中陳璿宇、薇閣國中林志昶、江翠國中賴紹文等十一位。

這題主要目的是要同學由觀察的過程當中，找出規律來，並求出其和(或是用乘法公式硬展，也可得到結果)。而在觀察部分，同學要善用此種方式來處理。 先觀察

(32)6(3)66(3)5(2)15(3)4(2)220()3(2)3

15()2(2)420()(2)5(2)6

(32)6()66()5(2)15(3)4(2)220(3)3(2)3

15()2(2)420()(2)5(2)6 將二式相加

(32)6(32)62()630()4(2)230(3)2(2)42(2)6

5454036016970 又0(32)61,969(32)6970 所求=970

3901

用四個邊長為1的正方形組成的「四連方」有如圖的七種：

用這些四連方拼成一塊7  4的矩形最多可以用這七種連方中的幾種？ 【解答】

(1) 將7  4的矩形塗成黑白相間如圖：

其中黑格與白格各有14個

再將七種「四連方」也塗成黑白相間，除了下者為3黑1白或1黑3白以外，其餘必定為1黑1白

若要放入七種「四連方」，則必為15黑13白或13黑15白， 但7  4的矩形為14黑14白 故不可能

(2) 又下列例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7  4的矩形

故最多可以用六種「四連方」拼成一塊7  4的矩形

【評析】

本題共計十位同學參與徵答，其中得到7分的有敦化國中時丕勳、中和國小夏誌陽、光華國中楊涵傑、敦化國中許倫愷、江翠國中賴紹文、精誠國中王建詒等六位。

本題同學除了要證明不可能放入七種「四連方」拼成一塊7  4的矩形以外，還要再舉出一個例子說明可以放入六種「四連方」拼成一塊7  4的矩形，如此才算完整。

3902

如右圖：AD是∠A的平分線，I在AD上， 且∠BIC＝90o＋

1

∠BAC。求證： 2

I是△ ABC的內心。

【評析】

C

幾何證明的逆定理常用的方法是反證法，利用另一個假設成立然後證明其矛盾，或者證明其重合，此題發絕大部分的學生用此法來證明。但也有利用做輔助線直接來證明，這也是非常漂亮的證法，我們將此兩種漂亮的證法皆提供給大家參考，以下是參加同學的得分

參考解答：

方法一：如下圖，設M為ΔABC的內心，因未知M在I 的上方或下方，分別

將M於上方及下方設M2與M1分開來討論： 當 M 在 I 的上方

∠BM2C=∠BAC+∠ABM2+∠ACM2

1

2

1

∵M2 為ΔABC的內心，故 ∠BM2C=900+∠BAC (矛盾)

2

同理當 M 在 I 的下方

∠BM1C=∠BAC+∠ABM1+∠ACM1

1

>∠BAC+∠ABI+∠ACI=∠BIC=900+∠BAC

2

1

∵M1 為ΔABC的內心，故 ∠BM1C=900+∠BAC (矛盾)

2

所以 I為ΔABC的內心

（北市師大附中王思貽同學、北市士林國中姜駿宇同學提供）

A

方法二：

1

1. 作∠B，∠C 外角的平分線交於J，J為ΔABC 的傍心 ，∠BJC=900-∠BAC

2

2. 作ΔABC 的外接圓交AD直線於P點，連接BP，CP ∵∠BAP=∠CAP，∴IB

11

3. ∠BIC+∠BJC=900+∠BAC+900-∠BAC=1800

22

∴ B、I、C、J 四點共圓 ，作此圓

4. ∠BCJ=∠PCJ+∠BCP=∠PCJ+

11

∠BAC，∠JCQ=∠PJC+∠BAC 22

∵∠BCJ=∠JCQ ∴∠PCJ=∠PJC ∴PCPJ ∴ PCPJBP P 是 B、I、C、J 四點共圓的圓心 ∠ICJ=∠ICB+∠DCJ=900

5. ∠ICJ=∠ICB+∠BCJ=900 ，又 ∵∠ACI+∠JCQ=900 ∠BCJ=∠JCQ ， ∴ ∠ICB=∠ACI ∴ IC 是 ∠C 的內角平分線

6. 同理可證 IB 是 ∠B 的內角平分線，∴ I 是ΔABC 的內心

（北縣中和國小夏誌陽同學提供）

3903

以90個單位立方體與一個邊長為a，一個邊長為c的立方體，構成一個邊長為c的立方體

其中a,b,c都是正整數，試求出a,b,c。

解：根據題意：可以列式子c3＝a3＋b3＋90。易知，c > a ＋ b，所以， 90＝c3－a3－b3 ≧3ab(a＋b) ab(a＋b)≦30 不妨假設a≦b  a的可能值為: 1.2.3.5.6.10,15,30。但是，5及5以上的值明顯地不可能。經驗算易得 a＝2，b＝3，c＝5或a＝1，b＝5，c＝6，加上a,b的對稱情形共四種。

解題評註：

本題解題的關鍵和大多的數論問題相同，就是設法找出滿足這個等式中未知數的範圍。同學們大致也能抓住這個重點，當中的差別僅僅在於敘述的繁簡不同。基本上同學的寫法都相當的不錯，這點是相當值得嘉許的。被扣分的兩位同學最主要的原因是沒有考慮到

a3＋b3

本題有十位同學回答，滿分者有8位，另二人一位6分，一位7分芳名分列於下：

7分：

彰化 精誠國中 王建詒 台北 敦化國中 許倫愷 台北 敦化國中 時丕勳

台北 士林國中 姜俊宇 台北 薇閣中學 林志昶 新竹 光華國中 楊涵傑

台北 永和國中 陳璿宇 台北 中和國小 夏至洋 6分：台北 中正國中 薛竣壬 5分：台北 金華國中 蔣卓穎 3904

斯諾克是一種撞球遊戲,遊戲的簡要規則如下

1. 正常情況:一次最多只有一球進袋,沒有違規情事發生(以下規則皆在正常情況下)

2. 遊戲的開始,在球台上規定的位置擺上15顆紅球與6顆色球(分別是黃,綠,棕,藍,橙,及黑色球各一顆);並在規定的區域擺一顆白球(也稱母球) 3. 遊戲由兩人進行

4. 每人每次出桿撞擊白球,使白球撞擊紅球或色球進袋(稱將紅球或色球打進袋),可連續出桿至無球進袋時,換對手出桿

5. 在球台上有紅球時,每打一顆(任一)色球前皆需先打進一顆紅球; 紅球進袋不需拿出來;而色球進袋需要拿出來再放至在球台上規定的位置,直至球台上最後一顆紅球

6. 打進最後一顆紅球後,仍可選擇任一顆色球將其打進;並隨即將該色球拿出來放至在球台上規定的位置;此後需按照黃,綠,棕,藍,橙,黑的順序將色球打進,此時打進的色球不需拿出來

7. 每打進一顆紅球可得1分,打進黃球一次可得2分, 打進綠球一次可得3分, 打進棕球一次可得4分, 打進藍球一次可得5分, 打進橙球一次可得6分, 打進黑球一次可得7分

8. 一人的最高分為147分(一顆紅球,一顆黑球, 一顆紅球,一顆黑球…直到最後一顆紅球打進,再打進黑球共有120分再依序打完所有色球共有27分,加起來共147分)

在某一場正常情況的斯諾克中, 楊聰發現他的得分還不能確定是否贏得這場遊戲,接著他打進了一顆球,又看了一下球台剩餘的球; 發現此時他已經確定贏得這場遊戲(不論對手之後再怎麼得分,分數都無法超越楊聰),這時楊聰的計分板上註記著X分

試問 X的最大值與最小值是多少？

解答 若要得最大值,雙方皆要衝高分,雙方最大總得分為147分

當對手打進八次(紅球加黑球) ; 楊聰打進七次(紅球加黑球)再打進一顆黃球 對手再打進一顆綠球 ; 楊聰再依序打進棕球,藍球,橙球

此時對手得分67分;而楊聰得分73分.球台只剩一顆色球(黑球), 尚不能確定是否贏得這場遊戲,接著楊聰將黑球打進,得80分, 此時他已經確定贏得這場遊戲, 故X的最大值是80分.

若要得最小值,雙方皆要低分, 雙方最小總得分為42分(雙方打進紅球後,皆無打進色球,15分再加上依序須打進的色球27分共42分)

當雙方打進紅球後,皆無打進色球,如此交替出桿將紅球打完, 對手共進了二顆紅球,楊聰進了十三顆紅球.

接著楊聰打進黃球,綠球共得18分, 尚不能確定是否贏得這場遊戲, 接著楊聰將棕球打進,得22分, 此時他已經確定贏得這場遊戲, 故X的最小值是22分.

評析 本題有六人作答,無人全對;惟中和國小夏誌陽同學雖寫了正確答案,但沒能把如何獲得此種情況的過程寫出來.

有同學的答案寫:楊聰一開始一連打進紅球加黑球九次共72分,再打進一顆紅球共73分, 尚不能確定是否贏得這場遊戲.其實此時球台剩下五顆紅球以及色球,

對手最多只能得67分,以此種情況而言,楊聰已經贏了.所以這樣寫是不對的. 本題需要去分析最高分及最低分的情況,並將這些情況組合出來.希望同學們下次好好加油!

3905大於(32)6的最小整數為何？

解答與評析

本題共計十三位同學參與徵答，其中得到7分的有師大附中國中部王思貽、敦化國中時丕勳、許倫愷、中和國小夏誌陽、光華國中楊涵傑、仁愛國中陳昭宇、士林國中江俊宇、金華國中蔣卓穎、永和國中陳璿宇、薇閣國中林志昶、江翠國中賴紹文等十一位。

這題主要目的是要同學由觀察的過程當中，找出規律來，並求出其和(或是用乘法公式硬展，也可得到結果)。而在觀察部分，同學要善用此種方式來處理。 先觀察

(32)6(3)66(3)5(2)15(3)4(2)220()3(2)3

15()2(2)420()(2)5(2)6

(32)6()66()5(2)15(3)4(2)220(3)3(2)3

15()2(2)420()(2)5(2)6 將二式相加

(32)6(32)62()630()4(2)230(3)2(2)42(2)6

5454036016970 又0(32)61,969(32)6970 所求=970