理论力学小论文

2013理论力学小论文

重心及其求法

201X级车辆工程2班 XXX 指导老师：张伟

摘要：

在工程中，物体重心的位置具有重要意义。汽车、轮船、飞机的重心位置，对其行驶或飞行的稳定性有直接的影响;高速运转部件的重心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。

一、 重心的概念

在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心，不一定在物体上，其求法也是多样的。

二、 物体重心坐标公式

2.1平行力系的中心

平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作用位置有关，而与各平行力的方向无关。

12

rC

Fr

F

iii

2.2 重心坐标的一般公式

将物体分成许多微小部分n份,各微小部分所受到的地球引力（重力）以

FG1FG2FGn表示,各微小部分作用点坐标为(x1y1z1)(x2y2z2)(xnynzn)

FG

则物体的重量为

FGin

1

n



FGi

重心的坐标用（xC，yC，zC）表示，根据空间力系的合力矩定理，对x轴取矩，则

Mx(FG)FG1y1FG2y2FGnynFGiyiMx(FG)FGycFGyc

因

FcycFGiyiyc

Gi

i

F

Gi

yi

则

FG



Fy

F

Gi

同理

xc

FGi

FG

Gi

xi



FGixi FGi

i

zc

F

zi

FG



FzF

GiGi

物体连同坐标轴转90度，而使坐标面oxz成为水平面，由重心的概念知，此物体重心的位置不变，再对x轴应用合力矩定理求Zc。

体积为V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力为FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式

2.3、均质物体重心（形心）坐标公式

对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为则有

V1V2Vn，整个物体的体积为V

FG1V1

FC2VFGnVn

ii

FGFGiVxc

得

Vx

V

iii

i

Vx

V

i

i

yc

VyV

ii

ii



VyV

iii

zc

Vz

VVz

V

由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心，上式也是物体形心的坐标公式。

③对于均质物体来说，形心与重心重合。

2.4 均质薄壳重心（形心）坐标公式

由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，则

V1A1tV2AtVnAnt

VAt

i

i

xc

故形心公式为:

VixiV

ii



Aitxi

Ait

i

ii



AixiAi

ii

yc

Vy

VAty

AtAy

A

三、 物体重心与形心的位置求法

3.1积分法

若将平面图形分割成无穷多个微分面积dA，在极限情况下，上式写成：

法在图形上找到对称因素来确定物体的形心。如任意三角形ΔA B D（图1a）没有对称性，但可将任意三角形分割成无数平行于A B边的直线，每一条直线的重心在其长度中点上（对称点），将这些中点联起来形成一条重心迹线D E；用同方法，再将任意三角形分割成无数平行于A D边的直线，

得重心迹线B F（图1b），按对称律，任意三角形ΔA B D的重心必在D E与B F的交点O上（图1a）。

3.2.3图解法求均质组合物体的形心 对于较复杂的组合形体， 可将其分割成几个简单的形体， 这些简单形体的形心一般已知或易求，由于组合图形的形心是各部分图形的形心连线的交点， 因此可用图解法求组合图形的形心，该法简便实用。 3.3应用举例

3.3.1梯形形心的确定（ 图2）

1）将梯形按图b 的方式分割成两三角形组成（ 图a 红线示） ；

2）作图b 两三角形的对角线， 分别得形心点A、B， 将点A、B 相联， 得连线A B（图a 红线）；

3）将梯形按图c 的方式分割成两三角形， 用以上相同作图法得连 线C D （ 图a 绿线） ；

4）线段A B 与线段C D 的交点O 即为梯形的形心（ 图d 示） 。

3.3.2 角钢形截面形心的确定（ 图3）

1）将图a 按图b 的方式分割成两块矩形， 作两矩形的对角线， 确

2）定形心点A 和B， 得联线A B； 2） 再将图a 按图c 的方式分割成两块矩 形， 用以上相同作图法得联线C D ； 3）线段A B和C D的交点即为角钢的形心O ，过形心O 的x ，y称为角钢的形心轴（ 图a） 。 3.3.3 T 形截面的形心的确定（ 图4）

1） 将“ T” 形按图a 的方式将其分割成角钢形1） 与矩形2） 组成（ 如图红线） ； 2） 将 1）部分按图b 的方式分成两矩形， 作两矩形的对角线， 确定形心点A、B，

得联

线A B；

3） 将 1）部分按图c 的方式分成两块矩形， 用以上相同作图法得联线C D ； 4） 线段A B 和C D 的交点即为角钢的形心E （ 图d） ；

5） 作矩形2） 的对角线得形心点F， 将点E 和F 相联， 得联线EF（ 图d） ；

6） “ T” 形左右对称， 故有一铅直对称轴y， 铅直对称轴y 与FE联线相交点O ， 即为“ T” 形的形心。通过形心O 的x， y 称为“ T” 形的形心轴（ 图f） 。

四、总结

每个物体都是由许多构件组成，研究每个构件的重心，对我们了解构件的运动方式及其之间的相互联系有十分重要的意义。通过一系列行之有效的求解物体重心的方法，有助于我们精确、高效地寻找物体重心。同时我们也可以看到，对于求解物体重心有多种方法。几何解析法虽然能帮助我们精确找到物体重心，但是其数学运算繁杂。相比而言，图解法求物体重心直观易求，简便实用。在实际需要中，我们可以根据需要选择相应的方法。

参 考 文 献

[1]韩美娥,周炳文.工程力第一版[M].重庆:重庆大学出版,2007.

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学第四版[M]. 北京:哈尔滨工业大学出版社,1982. [3]胡仰馨.理论力学第一版[M].北京:高等教育出版社,1989

2013理论力学小论文

重心及其求法

201X级车辆工程2班 XXX 指导老师：张伟

摘要：

在工程中，物体重心的位置具有重要意义。汽车、轮船、飞机的重心位置，对其行驶或飞行的稳定性有直接的影响;高速运转部件的重心如果不在轴线上，将引起机械的剧烈震动，因此必须了解重心的概念和重心位置的求法。

一、 重心的概念

在地球表面附近的物体，它的每一部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体其尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地将物体上这部分力系看作是空间平行力系，这个平行力系的合力的大小即为物体的重量，合力的作用点即为物体的重心。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心，不一定在物体上，其求法也是多样的。

二、 物体重心坐标公式

2.1平行力系的中心

平行力系合力作用点的位置仅与各平行力系的大小和作用位置有关，而与各平行力的方向无关。

12

rC

Fr

F

iii

2.2 重心坐标的一般公式

将物体分成许多微小部分n份,各微小部分所受到的地球引力（重力）以

FG1FG2FGn表示,各微小部分作用点坐标为(x1y1z1)(x2y2z2)(xnynzn)

FG

则物体的重量为

FGin

1

n



FGi

重心的坐标用（xC，yC，zC）表示，根据空间力系的合力矩定理，对x轴取矩，则

Mx(FG)FG1y1FG2y2FGnynFGiyiMx(FG)FGycFGyc

因

FcycFGiyiyc

Gi

i

F

Gi

yi

则

FG



Fy

F

Gi

同理

xc

FGi

FG

Gi

xi



FGixi FGi

i

zc

F

zi

FG



FzF

GiGi

物体连同坐标轴转90度，而使坐标面oxz成为水平面，由重心的概念知，此物体重心的位置不变，再对x轴应用合力矩定理求Zc。

体积为V。假想把物体分割成许多微小体积ΔVi，每个微小体积所受的重力为ΔFGi=γΔVi，其作用点坐标为（xi，yi，zi）。整个物体所受的重力为FG=∑△FGi。应用合力矩定理可以推导出物体重心的近似公式

2.3、均质物体重心（形心）坐标公式

对于均质物体（常把同一材料制成的物体称为均质物体），其容重γ为常量（物体每单位体积的重量），各微小部分的体积为则有

V1V2Vn，整个物体的体积为V

FG1V1

FC2VFGnVn

ii

FGFGiVxc

得

Vx

V

iii

i

Vx

V

i

i

yc

VyV

ii

ii



VyV

iii

zc

Vz

VVz

V

由上可知：①均质物体重心完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。②由物体的几何形状及尺寸所决定的物体的几何中心，称为形心，上式也是物体形心的坐标公式。

③对于均质物体来说，形心与重心重合。

2.4 均质薄壳重心（形心）坐标公式

由于薄壳的厚度远小于其它两个方向尺寸，可忽略厚度不计，则

V1A1tV2AtVnAnt

VAt

i

i

xc

故形心公式为:

VixiV

ii



Aitxi

Ait

i

ii



AixiAi

ii

yc

Vy

VAty

AtAy

A

三、 物体重心与形心的位置求法

3.1积分法

若将平面图形分割成无穷多个微分面积dA，在极限情况下，上式写成：

法在图形上找到对称因素来确定物体的形心。如任意三角形ΔA B D（图1a）没有对称性，但可将任意三角形分割成无数平行于A B边的直线，每一条直线的重心在其长度中点上（对称点），将这些中点联起来形成一条重心迹线D E；用同方法，再将任意三角形分割成无数平行于A D边的直线，

得重心迹线B F（图1b），按对称律，任意三角形ΔA B D的重心必在D E与B F的交点O上（图1a）。

3.2.3图解法求均质组合物体的形心 对于较复杂的组合形体， 可将其分割成几个简单的形体， 这些简单形体的形心一般已知或易求，由于组合图形的形心是各部分图形的形心连线的交点， 因此可用图解法求组合图形的形心，该法简便实用。 3.3应用举例

3.3.1梯形形心的确定（ 图2）

1）将梯形按图b 的方式分割成两三角形组成（ 图a 红线示） ；

2）作图b 两三角形的对角线， 分别得形心点A、B， 将点A、B 相联， 得连线A B（图a 红线）；

3）将梯形按图c 的方式分割成两三角形， 用以上相同作图法得连 线C D （ 图a 绿线） ；

4）线段A B 与线段C D 的交点O 即为梯形的形心（ 图d 示） 。

3.3.2 角钢形截面形心的确定（ 图3）

1）将图a 按图b 的方式分割成两块矩形， 作两矩形的对角线， 确

2）定形心点A 和B， 得联线A B； 2） 再将图a 按图c 的方式分割成两块矩 形， 用以上相同作图法得联线C D ； 3）线段A B和C D的交点即为角钢的形心O ，过形心O 的x ，y称为角钢的形心轴（ 图a） 。 3.3.3 T 形截面的形心的确定（ 图4）

1） 将“ T” 形按图a 的方式将其分割成角钢形1） 与矩形2） 组成（ 如图红线） ； 2） 将 1）部分按图b 的方式分成两矩形， 作两矩形的对角线， 确定形心点A、B，

得联

线A B；

3） 将 1）部分按图c 的方式分成两块矩形， 用以上相同作图法得联线C D ； 4） 线段A B 和C D 的交点即为角钢的形心E （ 图d） ；

5） 作矩形2） 的对角线得形心点F， 将点E 和F 相联， 得联线EF（ 图d） ；

6） “ T” 形左右对称， 故有一铅直对称轴y， 铅直对称轴y 与FE联线相交点O ， 即为“ T” 形的形心。通过形心O 的x， y 称为“ T” 形的形心轴（ 图f） 。

四、总结

每个物体都是由许多构件组成，研究每个构件的重心，对我们了解构件的运动方式及其之间的相互联系有十分重要的意义。通过一系列行之有效的求解物体重心的方法，有助于我们精确、高效地寻找物体重心。同时我们也可以看到，对于求解物体重心有多种方法。几何解析法虽然能帮助我们精确找到物体重心，但是其数学运算繁杂。相比而言，图解法求物体重心直观易求，简便实用。在实际需要中，我们可以根据需要选择相应的方法。

参 考 文 献

[1]韩美娥,周炳文.工程力第一版[M].重庆:重庆大学出版,2007.

[2]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学第四版[M]. 北京:哈尔滨工业大学出版社,1982. [3]胡仰馨.理论力学第一版[M].北京:高等教育出版社,1989