整式在实际中的应用
梁山县梁山镇一中 孙恩玺
1、 王老师在一次团体操队列造型设计中，先让全体队员派成一个方阵（即行与列的人数一样多的队型），人数正好够用。然后再进行各种队型变化，其中的一个造型需分5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人，你说这可能吗？为什么？
解析：因为全体人员可排成一个方阵，故总人数是一个完全平方数，设每行m人，
则总人数为m2人，根据变化队形时按5人分组，可考虑m为5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4中的某种情形，这里n为自然数，从而全体人数m2可能是：
⑴ (5n)2 =5·(5n)2
⑵ (5n+1)2 =25n2 +10n +1=5(5n2 +2n)+1
⑶ (5n+2)2 =25n2 +20n +4=5(5n2 +4n)+4
⑷ (5n+3)2 =25n2 +30n +9=5(5n2 +6n+1)+4
⑸ (5n+4)2 =25n2 +40n +16=5(5n2 +8n+3)+1
由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只能是1或4，不
可能多3人。
2、 某种产品的两种原料相继提价，因而厂家决定根据这两种原料提价的情况对产品进行提价，现有三种方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案丙：第一次提价提价((p+q)/2 )%，第二次提价((p+q)/2 )%
问三种方案哪种提的价格最多？
解析：因为这三种提价的方案都以原来的价格为基础，所以我们可以设原来的价格为
单位“1”然后分别求出三种提价方案后的最后价格，再进行比较就知道那种方案的提价做多了。所以我们可以这样解答：设原来的价格为“1”则按三种方案进行提价后的价格分别是：
甲：（1+p%）(1+q%) =1+(p+q)%+p%·q%
乙：(1+q%)（1+p%） =1+(p+q)%+p%·q%
丙：(1+(p+q)/2·% )2 =1+（p+q)%+(p+q)% ·(p+q)%÷4 ∵(p-q)2≥0
∴ p2+q2≥2pq
∴ p2+q2+2pq ≥4pq 即（p+q）2 ≥4pq
∴甲=乙 ＜丙 （p、q为不相等的正数） 所以三种方案中，丙的提价最多
3、 秋收季节到了，幸福村的人们都用篾席制成的粮囤来储藏粮食。假设粮囤的高度
一定，有的村民觉得用四根竿子将粮囤绷成底面为正方形的柱体储粮较多，而有的村
民认为把同样长的篾席绷成底面为长方形的柱体储粮比较多，请你为村民作出合理的
选择。并说明理由。
解析：要看那种合适，关键是看那种柱体装的粮食多，也就是求它们的体积。所
以，我们假设席长为4a。则底面为正方形的面积为a2,而底面为长方形，可设宽为（a-1）,
则长为（a+1）,则面积为（a-1）（a+1），即a2-1；a2-1＜a2。所以村民应该选择底面为
正方形的粮囤储粮。
4、 我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声
音快，科学家发现，光在空气中的传播速度大约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度大约只有300米/秒，你能进一步算出光的传播速度是声音的多少倍吗？
解析：我们只需用光的速度除以声音的速度就可以得到答案，即
3×108÷300=106
整式在实际中的应用
梁山县梁山镇一中 孙恩玺
1、 王老师在一次团体操队列造型设计中，先让全体队员派成一个方阵（即行与列的人数一样多的队型），人数正好够用。然后再进行各种队型变化，其中的一个造型需分5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人，你说这可能吗？为什么？
解析：因为全体人员可排成一个方阵，故总人数是一个完全平方数，设每行m人，
则总人数为m2人，根据变化队形时按5人分组，可考虑m为5n、5n+1、5n+2、5n+3、5n+4中的某种情形，这里n为自然数，从而全体人数m2可能是：
⑴ (5n)2 =5·(5n)2
⑵ (5n+1)2 =25n2 +10n +1=5(5n2 +2n)+1
⑶ (5n+2)2 =25n2 +20n +4=5(5n2 +4n)+4
⑷ (5n+3)2 =25n2 +30n +9=5(5n2 +6n+1)+4
⑸ (5n+4)2 =25n2 +40n +16=5(5n2 +8n+3)+1
由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只能是1或4，不
可能多3人。
2、 某种产品的两种原料相继提价，因而厂家决定根据这两种原料提价的情况对产品进行提价，现有三种方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案丙：第一次提价提价((p+q)/2 )%，第二次提价((p+q)/2 )%
问三种方案哪种提的价格最多？
解析：因为这三种提价的方案都以原来的价格为基础，所以我们可以设原来的价格为
单位“1”然后分别求出三种提价方案后的最后价格，再进行比较就知道那种方案的提价做多了。所以我们可以这样解答：设原来的价格为“1”则按三种方案进行提价后的价格分别是：
甲：（1+p%）(1+q%) =1+(p+q)%+p%·q%
乙：(1+q%)（1+p%） =1+(p+q)%+p%·q%
丙：(1+(p+q)/2·% )2 =1+（p+q)%+(p+q)% ·(p+q)%÷4 ∵(p-q)2≥0
∴ p2+q2≥2pq
∴ p2+q2+2pq ≥4pq 即（p+q）2 ≥4pq
∴甲=乙 ＜丙 （p、q为不相等的正数） 所以三种方案中，丙的提价最多
3、 秋收季节到了，幸福村的人们都用篾席制成的粮囤来储藏粮食。假设粮囤的高度
一定，有的村民觉得用四根竿子将粮囤绷成底面为正方形的柱体储粮较多，而有的村
民认为把同样长的篾席绷成底面为长方形的柱体储粮比较多，请你为村民作出合理的
选择。并说明理由。
解析：要看那种合适，关键是看那种柱体装的粮食多，也就是求它们的体积。所
以，我们假设席长为4a。则底面为正方形的面积为a2,而底面为长方形，可设宽为（a-1）,
则长为（a+1）,则面积为（a-1）（a+1），即a2-1；a2-1＜a2。所以村民应该选择底面为
正方形的粮囤储粮。
4、 我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声
音快，科学家发现，光在空气中的传播速度大约为3×108米/秒，而声音在空气中的传播速度大约只有300米/秒，你能进一步算出光的传播速度是声音的多少倍吗？
解析：我们只需用光的速度除以声音的速度就可以得到答案，即
3×108÷300=106