初三几何大题练习一
1. 点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点.
3. 已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、5. 已知正方形ABCD ，边长为3，对角线AC ，BD 交点O , 直角MPN 绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段AB , AD 交于点M ，N （不与点B ，A ，D 重合）． 设（1）如图1，以BD 、BE 为边分别作正△BMD 和正△BEN ，连结MF 、FN 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF ＝60°，连接CF ． MN ．
（1）如图1，当点D 在边BC 上时， 求证：△FMN 是等边三角形.
求证：∠ADB ＝∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC ＝∠ACB+∠DAC 是否成（2）如图2，以BD 、BE 为边分别作正方形BPMD 和正方形BQNE ，连结
立；
MF 、NF 、MN ，求∠MFN 的度数是_______________．（直接写出结论，（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC 不必说明理由）
＝∠ACB+∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数（3）以BD 、BE 为边分别作正n 边形，设两个正n 边形与点D 、E 相邻的
量关系，并写出证明过程；
顶点分别是M 、N （点M 、N 与点B 是不同的点），连结MF 、NF 、MN （3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 得到△FMN ，则∠MFN 的度数是_________________（直接写出结论，的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 结果用含n 的代数式表示，不必说明理由）. 之间存在的等量关系．
2 . 情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线剪开，得到△ABC 和△A /C /
D. 如图
14-1所示，将△A /C /
D 的顶点A /
与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，
4. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条
对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形使点D 、B 在同一条直线上，如图14-2所示。 就是和谐四边形．
（1）如图15，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD 平分∠ABC．求证：BD 是梯形ABCD 的和谐线；
/
观察图14-2可知：
与BC 相等的线段是 ，∠CAC = 0
问题探究：如图14-3，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABME 和正方形ACNF, 过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q. 探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论。
图16 图17
（2）如图16、17中，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC ，点A 、B 、C 均在格点上，请在给出的两个网格图上各找一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线， 并画出相应的和谐四边形；
拓展延伸：如图14-4，在△ABC 中，AG ⊥
BC
于点
G ，，分别以AB 、AC （3）四边形ABCD 中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC 是四边形ABCD 的和谐为一边，向外作正方形ABME 和正方形ACNF, 射线GA 交EF 于点H ，. 线，求∠BCD的度数． 若AB=mAE, AC=mAF,探究HE 与HF 之间的数量关系，并证明你的结论。
DN =x ，四边形AMPN 的面积为y ．在下面情况下，y 随x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积y 的值；若变化，请求出y 与x 的关系式． （1）如图1，点P 与点O 重合；
（2）如图2，点P 在正方形的对角线AC 上，且AP =2PC ； （3）如图3，点P 在正方形的对角线BD 上，且DP =2PB ． N
D
A
N
D
A
A
N
D
M
M
P P
B
B
C
M C
图1
B
C
图3
图2
6. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH⊥MN于点H ．
（1）如图①，当∠MAN绕点A 旋转到BM=DN时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A 旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）
7. 在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，做EM ⊥AE 交CM 于点
M.
11.. 如图1，奖三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正9. 图1，点P 是线段AB 的中点，分别以AP 和BP 为边在线段AB 的同侧作
方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的等边三角形APC 和等边三角形BPD ，连接CD ，得到四边形ABDC .
延长线于点G ． （1）在图1中顺次连接边AC 、AB 、BD 、CD 的中点E 、F 、G 、H ，则四边
形EFGH 的形状是 ； （1）求证：EF ＝EG ； （2）如图2，若点P 是线段AB 上任一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC
使PC =PA ，PD =PB ， ∠APC =∠BPD ，连接CD ，得四边形ABDC ，则（1上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证中结论还成立吗？说明理由；
明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点P 是线段AB 外一点，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，．．
使PC =PA ，PD =PB ，且∠APC =∠BPD =90°，请你先补全图，再判（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，．．．．3．断四边形EFGH 的形状，并说明理由．
且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB ＝a, BC ＝b ，求
(1)如图1，当AB=BC时，试判断AE 与EM 的数量关系并证明； (2)如图1，当AB=nBC时，试判断AE 与EM 的数量关系并证明； (3)如图1，当AB=Nbc,BE=mEC时，试判断AE 与EM 的数量关系并证明。
8. （1）操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
10. 已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点
EF
EG
的值．
图1 图2
12. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BC ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，AF=CE．求证：AD=BC．
G ．
（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证
DE AD
； =
CF CD
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
（2）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
①探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE ＝∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
②探究二：如图③，DE 、BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE ：EC ＝1：2，∠BAE ＝∠EDF ，CF ∥AB 。若AB ＝5，CF ＝1，求DF 的长度。
DE AD
成立？并证明你的结论； =
CF CD
（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出
DE
的值． CF
初三几何大题练习一
1. 点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点.
3. 已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、5. 已知正方形ABCD ，边长为3，对角线AC ，BD 交点O , 直角MPN 绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段AB , AD 交于点M ，N （不与点B ，A ，D 重合）． 设（1）如图1，以BD 、BE 为边分别作正△BMD 和正△BEN ，连结MF 、FN 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF ＝60°，连接CF ． MN ．
（1）如图1，当点D 在边BC 上时， 求证：△FMN 是等边三角形.
求证：∠ADB ＝∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC ＝∠ACB+∠DAC 是否成（2）如图2，以BD 、BE 为边分别作正方形BPMD 和正方形BQNE ，连结
立；
MF 、NF 、MN ，求∠MFN 的度数是_______________．（直接写出结论，（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC 不必说明理由）
＝∠ACB+∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数（3）以BD 、BE 为边分别作正n 边形，设两个正n 边形与点D 、E 相邻的
量关系，并写出证明过程；
顶点分别是M 、N （点M 、N 与点B 是不同的点），连结MF 、NF 、MN （3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 得到△FMN ，则∠MFN 的度数是_________________（直接写出结论，的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 结果用含n 的代数式表示，不必说明理由）. 之间存在的等量关系．
2 . 情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线剪开，得到△ABC 和△A /C /
D. 如图
14-1所示，将△A /C /
D 的顶点A /
与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，
4. 若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条
对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形使点D 、B 在同一条直线上，如图14-2所示。 就是和谐四边形．
（1）如图15，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD 平分∠ABC．求证：BD 是梯形ABCD 的和谐线；
/
观察图14-2可知：
与BC 相等的线段是 ，∠CAC = 0
问题探究：如图14-3，在△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABME 和正方形ACNF, 过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q. 探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论。
图16 图17
（2）如图16、17中，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC ，点A 、B 、C 均在格点上，请在给出的两个网格图上各找一个点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线， 并画出相应的和谐四边形；
拓展延伸：如图14-4，在△ABC 中，AG ⊥
BC
于点
G ，，分别以AB 、AC （3）四边形ABCD 中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC 是四边形ABCD 的和谐为一边，向外作正方形ABME 和正方形ACNF, 射线GA 交EF 于点H ，. 线，求∠BCD的度数． 若AB=mAE, AC=mAF,探究HE 与HF 之间的数量关系，并证明你的结论。
DN =x ，四边形AMPN 的面积为y ．在下面情况下，y 随x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积y 的值；若变化，请求出y 与x 的关系式． （1）如图1，点P 与点O 重合；
（2）如图2，点P 在正方形的对角线AC 上，且AP =2PC ； （3）如图3，点P 在正方形的对角线BD 上，且DP =2PB ． N
D
A
N
D
A
A
N
D
M
M
P P
B
B
C
M C
图1
B
C
图3
图2
6. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH⊥MN于点H ．
（1）如图①，当∠MAN绕点A 旋转到BM=DN时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A 旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）
7. 在矩形ABCD 中，E 为BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，做EM ⊥AE 交CM 于点
M.
11.. 如图1，奖三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正9. 图1，点P 是线段AB 的中点，分别以AP 和BP 为边在线段AB 的同侧作
方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的等边三角形APC 和等边三角形BPD ，连接CD ，得到四边形ABDC .
延长线于点G ． （1）在图1中顺次连接边AC 、AB 、BD 、CD 的中点E 、F 、G 、H ，则四边
形EFGH 的形状是 ； （1）求证：EF ＝EG ； （2）如图2，若点P 是线段AB 上任一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD （2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC
使PC =PA ，PD =PB ， ∠APC =∠BPD ，连接CD ，得四边形ABDC ，则（1上，其他条件不变．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证中结论还成立吗？说明理由；
明；若不成立，请说明理由； （3）如图3，若点P 是线段AB 外一点，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，．．
使PC =PA ，PD =PB ，且∠APC =∠BPD =90°，请你先补全图，再判（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，．．．．3．断四边形EFGH 的形状，并说明理由．
且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB ＝a, BC ＝b ，求
(1)如图1，当AB=BC时，试判断AE 与EM 的数量关系并证明； (2)如图1，当AB=nBC时，试判断AE 与EM 的数量关系并证明； (3)如图1，当AB=Nbc,BE=mEC时，试判断AE 与EM 的数量关系并证明。
8. （1）操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
10. 已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点
EF
EG
的值．
图1 图2
12. 已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BC ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，AF=CE．求证：AD=BC．
G ．
（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证
DE AD
； =
CF CD
（2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得
（2）根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
①探究一：如图②，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE ＝∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的等量关系，并证明你的结论；
②探究二：如图③，DE 、BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且BE ：EC ＝1：2，∠BAE ＝∠EDF ，CF ∥AB 。若AB ＝5，CF ＝1，求DF 的长度。
DE AD
成立？并证明你的结论； =
CF CD
（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出
DE
的值． CF