三元一次方程组
一、三元一次方程组之特殊型 类型一：有表达式，用代入法型. 例1：
①⎧x +y +z =12
⎪
解方程组⎨x +2y +5z =22②
⎪x =4y ③⎩
分析：方程③是关于x 的表达式，因此确定“消x ”的目标。
类型二：缺某元，消某元型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z, 因此利用①、②消z, 也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
类型三：轮换方程组，求和作差型.
分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相①⎧2x +y +z =15
等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相⎪
例2：解方程组⎨x +2y +z =16②
等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮⎪x +y +2z =17③⎩换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出 此类方程组的解。
⎧x +y =20, ⎪
典型例题举例：解方程组⎨y +z =19,
⎪x +z =21. ⎩
⎧x :y :z =1:2:7⎩2x -y +3z =21
①
② ③
分析：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，把比例式化成关系式求解
类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 例3：解方程组⎨
①②
⎧x +y +z =111①⎪
典型例题举例：解方程组⎨y :x =3:2②
⎪y :z =5:4③⎩
二、三元一次方程组之一般型
⎧3x -y +z =4, ⎪
例4：解方程组⎨x +y +z =6,
⎪2x +3y -z =12. ⎩
①② ③
分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：
（一） 消元的选择
1. 选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2. 选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
⎧3x -y +=4⎪
解方程组：⎨x +y +=6
⎪2x +3y -=12⎩
典型例题举例
①∨②
∆
③∨∆
⎧2x +4 y +3z =9, ⎪⎪
解方程组⎨3x -2 y +5z =11,
⎪
y ⎪ +7z =13. ⎩5x -6
①∨②∨③
∆ ∆
分析：通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消y 。以方程②作为桥梁使用，达到消
元求解的目的。
三、三元一次方程组的相关变式题型
x -2y +z 2x +y +3z 3x +2y -4z
==-=19103例5、解方程组
x +y +z
例6、已知2x +3y -4z =0，3x +4y +5z =0，求x -y +z 的值。
、
⎧x +y =3a (1) ⎪
⎨y +z =5a (2) ⎪z +x =4a (3)
[例7] 已知方程组⎩的解使代数式x -2y +3z 的值等于-10，求a 的值。
⎧x =2⎧ax +by =2
⎨⎨
y =4，乙由于看错了c ，求出的cx +2y =10[例8] 甲、乙两同学解方程组⎩，已知甲的正确解答是⎩⎧x =3
⎨
y =6. 5，则求a , b , c 的值。 解是⎩
四、三元一次方程组的实际应用
例一:甲地到乙地全程是3.3km ，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km ，平路每小时行4km ，下坡每小时行5km ，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少? 练习
2
1．已知代数式ax ＋bx ＋c ，当x ＝－1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为_______.
x －3y ＋2z ＝0 ，则x ∶y ∶z ＝___________. 2 3x －3y －4z ＝0 2
3．已知∣x －8y ∣＋2（4y －1）＋3∣8z －3x ∣＝0，求x ＋y ＋z 的值.
4、解下列方程组： ⎧y =z -x ⎪
（1）⎨2x -3y +2z =5
⎪x +2y +z =13⎩
⎧x +2y +3z =15⎪
（2）⎨x -y +7z =20
⎪x +3y +2z =14⎩
⎧x +y -z =0.5⎪
（3）⎨x -3y +2z =0
⎧3x -2y =1⎪
（4）⎨2y +3z =2
⎪⎩
3x +2y -z =2
⎧x +y -z =（5）⎪
3⎨y +z -x =5
⎪⎩
z +x -y =7
1. 解下列方程组：
⎧（1）⎪
2x +5y -3z =3⎨5x -4y =2y +3z
⎪⎩3
2=7
⎪⎩
x +5z =3⎧
⎪x :y =1:5（6）⎪
3⎨y :z =5:6
⎪⎪x +z =27⎩
（2）⎧⎨
x +y =y +z =z +u =u +v =1004⎩x +y +z +u +v =2010
x -y +2z =3
2x +y -3z =112x -3y +z |+(x +2y -z )2=0x +y +z =11
+y +z =12
1ax +by =-16cx +20y =-224
=8=-10
，一个学生解题时，把c 看错了，因
此得到解为
x =12y =-13
，求a 、b 、c 的值。
2、一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
3. 甲、乙、丙三数的和是41，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为3:2。求这
三个数。
4. 小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？
三元一次方程组
一、三元一次方程组之特殊型 类型一：有表达式，用代入法型. 例1：
①⎧x +y +z =12
⎪
解方程组⎨x +2y +5z =22②
⎪x =4y ③⎩
分析：方程③是关于x 的表达式，因此确定“消x ”的目标。
类型二：缺某元，消某元型. 针对上例进而分析，方程组中的方程③里缺z, 因此利用①、②消z, 也能达到消元构成二元一次方程组的目的。
类型三：轮换方程组，求和作差型.
分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相①⎧2x +y +z =15
等；每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相⎪
例2：解方程组⎨x +2y +z =16②
等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮⎪x +y +2z =17③⎩换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出 此类方程组的解。
⎧x +y =20, ⎪
典型例题举例：解方程组⎨y +z =19,
⎪x +z =21. ⎩
⎧x :y :z =1:2:7⎩2x -y +3z =21
①
② ③
分析：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，把比例式化成关系式求解
类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型. 例3：解方程组⎨
①②
⎧x +y +z =111①⎪
典型例题举例：解方程组⎨y :x =3:2②
⎪y :z =5:4③⎩
二、三元一次方程组之一般型
⎧3x -y +z =4, ⎪
例4：解方程组⎨x +y +z =6,
⎪2x +3y -z =12. ⎩
①② ③
分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标——消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出：
（一） 消元的选择
1. 选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元； 2. 选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。 （二） 方程式的选择
采取用不同符号标明所用方程，体现出两次消元的过程选择。
⎧3x -y +=4⎪
解方程组：⎨x +y +=6
⎪2x +3y -=12⎩
典型例题举例
①∨②
∆
③∨∆
⎧2x +4 y +3z =9, ⎪⎪
解方程组⎨3x -2 y +5z =11,
⎪
y ⎪ +7z =13. ⎩5x -6
①∨②∨③
∆ ∆
分析：通过比较发现未知项y 的系数的最小公倍数最小，因此确定消y 。以方程②作为桥梁使用，达到消
元求解的目的。
三、三元一次方程组的相关变式题型
x -2y +z 2x +y +3z 3x +2y -4z
==-=19103例5、解方程组
x +y +z
例6、已知2x +3y -4z =0，3x +4y +5z =0，求x -y +z 的值。
、
⎧x +y =3a (1) ⎪
⎨y +z =5a (2) ⎪z +x =4a (3)
[例7] 已知方程组⎩的解使代数式x -2y +3z 的值等于-10，求a 的值。
⎧x =2⎧ax +by =2
⎨⎨
y =4，乙由于看错了c ，求出的cx +2y =10[例8] 甲、乙两同学解方程组⎩，已知甲的正确解答是⎩⎧x =3
⎨
y =6. 5，则求a , b , c 的值。 解是⎩
四、三元一次方程组的实际应用
例一:甲地到乙地全程是3.3km ，一段上坡，一段平路，一段下坡。上坡每小时行3km ，平路每小时行4km ，下坡每小时行5km ，那么，从甲地到乙地要51分钟，乙地到甲地要53.4分。求甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程各是多少? 练习
2
1．已知代数式ax ＋bx ＋c ，当x ＝－1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当x ＝2时，其值为25；则当x ＝3时，其值为_______.
x －3y ＋2z ＝0 ，则x ∶y ∶z ＝___________. 2 3x －3y －4z ＝0 2
3．已知∣x －8y ∣＋2（4y －1）＋3∣8z －3x ∣＝0，求x ＋y ＋z 的值.
4、解下列方程组： ⎧y =z -x ⎪
（1）⎨2x -3y +2z =5
⎪x +2y +z =13⎩
⎧x +2y +3z =15⎪
（2）⎨x -y +7z =20
⎪x +3y +2z =14⎩
⎧x +y -z =0.5⎪
（3）⎨x -3y +2z =0
⎧3x -2y =1⎪
（4）⎨2y +3z =2
⎪⎩
3x +2y -z =2
⎧x +y -z =（5）⎪
3⎨y +z -x =5
⎪⎩
z +x -y =7
1. 解下列方程组：
⎧（1）⎪
2x +5y -3z =3⎨5x -4y =2y +3z
⎪⎩3
2=7
⎪⎩
x +5z =3⎧
⎪x :y =1:5（6）⎪
3⎨y :z =5:6
⎪⎪x +z =27⎩
（2）⎧⎨
x +y =y +z =z +u =u +v =1004⎩x +y +z +u +v =2010
x -y +2z =3
2x +y -3z =112x -3y +z |+(x +2y -z )2=0x +y +z =11
+y +z =12
1ax +by =-16cx +20y =-224
=8=-10
，一个学生解题时，把c 看错了，因
此得到解为
x =12y =-13
，求a 、b 、c 的值。
2、一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？
3. 甲、乙、丙三数的和是41，甲数的2倍比丙数的3倍大3，甲、乙两数的比为3:2。求这
三个数。
4. 小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？