相似多边形的性质（二）
教学目标
（一）知识认知要求
1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.
2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力.
2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
1.学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.
2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. 教学重点
1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导.
2.用相似多边形的比例关系解决实际问题.
教学难点
相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）
通过观察和计算来回答下列问题.
1.两三角形是否相似.
2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. 因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形. 周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.
能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？
面积比与相似比的平方相等.
对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.
二、新课讲解
1.做一做
在图中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 .
（1）请你写出图中所有成比例的线段.
（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？
（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？与同伴交流.
（1）∵△ABC∽△A′B′C′
∴ = = = = =
= .
（2） .
∵ = = = .
∴
=
= .
（3）S△ABC= AB·CD.
S△A′B′C′= A′B′·C′D′.
∴ .
2.想一想
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？ 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k.
3.议一议 2
如图四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.
（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？
（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是 那么 各是多少？
（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
解：（1）∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2.相似比为k.
（2）△A1B1C1∽△A2B2C2、△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比都为k.
∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2
∴
∠D1A1B1=∠D2A2B2,∠B1=∠B2.
∠B1C1D1=∠B2C2D2,∠D1=∠D2.
在△A1B1C1与△A2B2C2中
∵ ∠B1=∠B2.
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
∴ =k.
同理可知，△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比为k.
（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,△A1C1D1∽△A2C2D2.
照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.
由此可知：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
4.做一做
图是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000.
（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度.
（2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.
解：（1）量出图上距离约为20 cm，则实际长度约为20千米.
（2）图上区域围成的面积约为23.7 cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米.
三.随堂练习
在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？
答案：相似，相似比是1∶10000.
周长比是1∶10000.
面积比是1∶10000.
四.课时小结
本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
五.课后作业 习题4.11
六、活动与探究
如图已知，M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比是多少？
过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题.
讨论结果：作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F.∵M为AB中点
∴S△AMD=S△DMB= S△ABD= S□ABCD
∵S△MBD=S△MBC（同底等高的两个三角形面积相等）.
∴S△MBD－S△MBE=S△MBC－S△MBE即S△DME=S△CBE
因此图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比是 . 2
第二课时作业设计
1．两个相似菱形，边长分别为4cm，7cm，那么它们对应边比是_______，•对应角相等吗？_________．
2．两个相似多边形对应边的比是2：3，那么对应对角线比是______．
3．在四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB：A•′B′=BC：B′C′=AD：A′D′（不为1），那么四边形ABCD和A′B′C′D′（ ）
A．一定不相似 B．相似 C．不一定相似 D．全等
4．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD•中点，•如果矩形
ABCD•∽矩形EFCB，那么它们的相似比是（ ）
A
1 B
．：2 C．2：1 D．1：2
5．在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（ ）
A．750cm B．75000cm C．3000cm D．300cm
答案:
1．
47 相等 2．2：3 3．B 4．A 5．B
相似多边形的性质（二）
教学目标
（一）知识认知要求
1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.
2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.
（二）能力训练要求
1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力.
2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.
（三）情感与价值观要求
1.学生通过交流、归纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.
2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. 教学重点
1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导.
2.用相似多边形的比例关系解决实际问题.
教学难点
相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）
通过观察和计算来回答下列问题.
1.两三角形是否相似.
2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. 因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形. 周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.
能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？
面积比与相似比的平方相等.
对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.
二、新课讲解
1.做一做
在图中，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 .
（1）请你写出图中所有成比例的线段.
（2）△ABC与△A′B′C′的周长比是多少？你是怎么做的？
（3）△ABC的面积如何表示？△A′B′C′的面积呢？△ABC与△A′B′C′的面积比是多少？与同伴交流.
（1）∵△ABC∽△A′B′C′
∴ = = = = =
= .
（2） .
∵ = = = .
∴
=
= .
（3）S△ABC= AB·CD.
S△A′B′C′= A′B′·C′D′.
∴ .
2.想一想
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别是多少？ 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么△ABC与△A′B′C′的周长比为k，面积比为k.
3.议一议 2
如图四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.
（1）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？
（2）连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？
（3）设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别是 那么 各是多少？
（4）四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？
解：（1）∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2.相似比为k.
（2）△A1B1C1∽△A2B2C2、△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比都为k.
∵四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2
∴
∠D1A1B1=∠D2A2B2,∠B1=∠B2.
∠B1C1D1=∠B2C2D2,∠D1=∠D2.
在△A1B1C1与△A2B2C2中
∵ ∠B1=∠B2.
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
∴ =k.
同理可知，△A1C1D1∽△A2C2D2，且相似比为k.
（3）∵△A1B1C1∽△A2B2C2,△A1C1D1∽△A2C2D2.
照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.
由此可知：
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
4.做一做
图是某城市地图的一部分，比例尺为1∶100000.
（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度.
（2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.
解：（1）量出图上距离约为20 cm，则实际长度约为20千米.
（2）图上区域围成的面积约为23.7 cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1∶100000的平方，则实际区域的面积约为23.7平方千米.
三.随堂练习
在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是1∶10000,图上矩形与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？
答案：相似，相似比是1∶10000.
周长比是1∶10000.
面积比是1∶10000.
四.课时小结
本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.
五.课后作业 习题4.11
六、活动与探究
如图已知，M是□ABCD的AB边的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积比是多少？
过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题.
讨论结果：作DN⊥AB于N，过E作GF⊥AB于F.∵M为AB中点
∴S△AMD=S△DMB= S△ABD= S□ABCD
∵S△MBD=S△MBC（同底等高的两个三角形面积相等）.
∴S△MBD－S△MBE=S△MBC－S△MBE即S△DME=S△CBE
因此图中阴影部分的面积与平行四边形的面积之比是 . 2
第二课时作业设计
1．两个相似菱形，边长分别为4cm，7cm，那么它们对应边比是_______，•对应角相等吗？_________．
2．两个相似多边形对应边的比是2：3，那么对应对角线比是______．
3．在四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，AB：A•′B′=BC：B′C′=AD：A′D′（不为1），那么四边形ABCD和A′B′C′D′（ ）
A．一定不相似 B．相似 C．不一定相似 D．全等
4．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD•中点，•如果矩形
ABCD•∽矩形EFCB，那么它们的相似比是（ ）
A
1 B
．：2 C．2：1 D．1：2
5．在一张比例尺为1：15000的平面图上，一块多边形地区的其中一边长为5cm，那么这块地区实际上和这一边相对应的长度应为（ ）
A．750cm B．75000cm C．3000cm D．300cm
答案:
1．
47 相等 2．2：3 3．B 4．A 5．B