实
践讲堂
高中数学中应用分类讨论思想解题的探讨
邱仁斌
（广州市美术中学，广东广州５１００００）
式。
摘要：分类讨论是一种重要的数学思想方法。其最集中的运用体现在高中数学解题中的参数问题上。参数广泛地存在于中学教学的各类问题中，是近几年来高考重点考查的热点问题之一。本文从分类讨论思想的本质出发，以具体例子进行分析。将舍有分类思想的一类数学问题化难为易、化繁为简。
关键词：分类讨论；研究对象：化繁为简
分类讨论是一种霞要的数学思想方法．是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法。其贯穿在整个高中数学学习的全过程。分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分莺要．而且在解决数学问题过程中有着重要的作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生的思维能力、解决问题的能力有很大的帮助。
分类讨论的思想在数学解题过程巾被广泛的应用．而分类讨论思想在解题－ｆｌ最直接的体现是在解决带有参数的题目中。参数广泛地存在于中学数学的各类问题中．也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准．含参数的同题可分为两种类型：一种类型的问题是根据参数在允许值范嗣内的不同取值（或取值范围）。去探求命题可能出现的结果．然后归纳出命题的结论：另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范罔或参数应满足的条件。这两类参数『ｎＪ题是基于两个不同的角度出发的。从条件到结论和从结论反推条件．只能得到参数成立的条件。解决这一类型的参数问题．通常要用“分类讨论”的方法．即根据问题的条件和所涉及到的概念．运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类．然后逐类分别加以讨论．探求出各自的结果．最后归纳出命题的结论．达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。
一、合理的分类
把一个集合Ａ分成若干个非空真子集Ａ。（扛ｌ，２，３。……，ｎ）（凡≥２，凡Ｅ，ｖ）。使集合Ａ中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即
ｑ）ＡｌＵＡ２ＵＡ３Ｕ……ＵＡ一；
若Ｏ＜ａ＜１．则原不等式等介于
卜妃
性．从而影响甬数的最值．因此要对对称轴的位置进行讨论。
２，根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准
数学中的某些公式、定理、性质在不间条件下有不同的结论．在运用时要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。
４—２ｍ＋２＝一２ｍ＋６
解：烨２。撒让（算一芋）２－手＋２ｊ
①当孕＜２时，ＩｌＰ
ｍ＜４，函数在【２，３１．．Ｅ为ｉｌｌ／函数，最小值为
②当２≤芋≤３时，Ｉ！ｐ４≤ｍ≤６时，ｙｍ＝＠一手）ｋ等二＿＋２＝
一丁ｍ２杉．
③当＿ｍ＞３时，即ｍ＞６时，ｙ．ｍ＝３２－３ｍ＋２＝一３ｍ＋ｌ１综上所述，即ｍ＜４时，ｙＪ，＿产４－２ｍ＋２＝一２ｍ＋６
４≤ｍ≤６时，五－产（并一手）２－等二＿＋２＝一等二＋２
ｍ＞６时，ｙｍ庐３２＿３ｍ＋２＝一３ｍ＋１１
本题中，二次函数的对称轴省＝Ｔｍ的位置影响函数的单调
例２解关于茗的不等式：ｌｏｇ．（１－上）＞ｌ。
解对数不等式时．需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数ａ的取值不同而不同，故需对口进行分类讨论。
解：若ａ＞ｌ，则原不等式等价于ｌ－上＞佰？一ａ＜ｏ
卜
如ｊ１如＜
＿。ｈ
Ｊ
综上所述，当ｎ＞ｌ时，原不等式的解集为｛菇１０一ａ＜ｏ｝１－ａ
Ｉ
（酗。ＮＡ产中（ｉＪ∈Ｎ，且ｉ巧）。
则称对集合Ａ进行了一次科学的分类。
科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件
当Ｏ＜ａ＜ｉ时，原不等式的解集为｛省Ｉｌａ＜Ｔｌ＿｝
又如．等比数列前几项和公式是分别给出的：
ｆｎａＩ（ｇ＝１）
②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，尽可
能减少分类。
二、确定分类的标准
由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、不等式定义、二次函数定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等。
１．根据数学概念来确定分类标准
ｆｏ（口＞ｏ）
踮Ｉ哔笋（ｑ＃１）
所以在解这类问题时。如果ｑ是可以变化的量，就要以ｑ为标准进行分类讨论。
例３求和Ｓ，＝。＋Ⅱ２＋…相忙——。
解：当ａ＝Ｏ时，Ｓｎ－－Ｏ；
当口≠Ｏ时。此题为等比数列求和，
例如：绝对值的定义是：ＩⅡＩ＿｛Ｏ（ａ＝Ｏ）
ＬⅡ（畎ｏ）
①若口≠ｌ时，则由求和公式，ｓ产巫｝盟。
②若ａ＝ｌ时，鼯凡。
３
所以在解含有绝对值的不等式１１０９上茹Ｉ＋１１０９上（３－－ｘ）Ｉ≥ｌ
３
综合可得ｓ。：ｆ丛占竽（口≠１）
【凡．
（萨１）
由于等比数列定义本身有条件限制．等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念。分为
时。就必须根据确定ｌｏｇ．茗，ｌｏｇ。（３－ｘ）ｉＥ负交界的髫值ｌ和２
丁
ｆ
将定义域（０，３）分成三个区间进行讨论。即分Ｏ＜ｘ＜ｌ，ｌ≤省心，２≤ｘ＜３三种情形来分类讨论。
１１
８面丽
例ｌ求二次函数ｙ＝ｘ２－ｍｘ＋２在【２，３１上的最小值‰的表达万方数据
ｒ１●呵攀谱Ｌ—＿蠡轰。撬
“■■■■■—■—霸鼯矗豳女蠢≈｛．＾急
实
所以，实数ｎ的取值范围是Ⅱ＞｝。
三、分类讨论的方法和步骤
践讲堂
和；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。
３．由参数的变化引起的分类讨论
某些含参数的问题．由于参数的取值不同会导致所得结果不同．或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。含参数问题。必须考虑参数的不同取值对问题的不同影响．并根据问题的需要对参数进行讨论，以解决问题。
例４问ａ为何值时，不等式（ａ２－３ａ＋２）ｘ２＋（ａ—１）ｘ＋２＞Ｏ的解是一切实数．
解：（１）若矿－３ａ＋２－－－０，解得ａ＝ｌ或ａ＝２
庐ｌ时，原不等式为２＞０恒成立，所以ａ＝ｌ适合题意。
点。
（１）确定是否需要分类讨论以及需要讨论的对象和它的取值范围：
（２）确定分类标准，科学合理分类；（３）逐类进行讨论得出各类结果；（４）归纳各类结论。例６设ｘ－－－Ｏ是函
ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａｘ＋ｂ）ｅ。（菇∈Ｒ）的一个极值
ａ＝２时，原不等式为茹＋２＞Ｏ，它的解不是一切实数．所以仁
２不适合题意。
（２）若ａ２—３ａ＋２＃０，必须有ａ２—３ａ＋２＞０且（口一１）２—４（矿一３口＋
２）ｘ２＜０
（Ｉ）求ｎ与ｂ的关系式（用口表示ｂ），并求八茗）的单调区间；
（Ⅱ）设ａ＞Ｏ，ｇ＠）一（孑柑１）ｅ棚，问是否存在§。。考２∈卜２，２】，
使得瞰喜。）．ｇ（毛）Ｉ≤１成立？若存在。求口的取值范围；若不存
在。说明理由。
解：（Ｉ矿’（鼻）＝［石２＋（ｏ＋２）茗＋口＋６］ｅ。
解得口＜一阜，或一ｌ＜ａ＜ｌ，或ａ＞２，
由ｆ’（０）－－４）．得６＝吨
．‘，（ｘ）＝（ｘ２＋ａ藩－ａ）ｅ５
ｆ’（石）爿（菇２＋（口＋２）茗】Ｂ。铽＠忱＋２）ｅ。，令ｆ’（茹）＝ｏ，得茹ｌ＝０。勉＝—俨２
由于ｘ－－Ｋ）是．厂（重）的极值点，故ｚＩ≠石２，即口≠一２
所以口的范围为口Ｅ（一∞，一旱）ｕ（一１，１）ｕ（２，＋∞）。
由（１）（２）可知ｎ∈（一∞，一菩Ｌ）Ｕ（一ｌ，ｌ】０（２，＋∞）。
题日中给出的不等式属于概念形式．丽非具体到一元几次
当畎一２时，ｘｌ＜ｘ２，故以ｘ）的单调增区间是（一∞，０】和卜驴２，＋
不等式，故解题过程中需针对ａ２—３ａ＋２＝０．扛３ａ＋２≠Ｏ两种情况
进行讨论，确定不等式为一元一次或一元二次．再进行解答。
例５设函数ｆｉｘ）＝础２２ｘ＋２．对于满足１＜ｘ＜４的一切戈值都有．厂（膏）＞ｏ，求实数ａ的取值范围。
含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题．需要先对开口方向进行讨论．再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
∞），单调减区间是【０，廿２】；
当口＞一２时，戈。Ⅺ：，故．厂（并）的单调增区间是（一∞，－口一２】和【０，＋∞），单调减区间是【－俨２，０】；。
（ＩＩ）当ａ＞Ｏ时，—俨２＜一２／（戈）在卜２，０】上单调递减，在【０。２】
上单调递增，因此，０）在卜２，２１上的值域为叭０），ｍａｘ｛，（－２）｝，
以２）】－【川，（４＋口）ｅ２】
懈：当－ａ＞Ｏ时以省）铷（算一上）２＋２一上
递减，所以傅域是［一（孙１）ｅ４－（抽１）］
所以，ｎ只须满足｛竺肛叶１）≤ｌ【一叶Ｉ矿。叶ｌ，每ｌ
解得Ｏ＜ａ≤２
而ｇ（菇）一（ａ２－ａ＋１）ｅ－＊２＝一【（口一下１）２＋÷ｋ越在【－２，２】上单调
因为在【一２，２１３＝。‰（并）－ｇＩ。＠）＝一叶（扛Ｄ十１）＝（ａ－１）２≥Ｏ
．．．肾－
ｋｌ’节“２≥ｏ
蹦１“
或降“．
’
ｋ｝）＝２一｝＞０
成立
女ｆ上≥４
抓４）＝１６ａ－８＋２≥０
即当口Ｅ（ｏ，２】时，存在毛、＆∈【一２，２】使得搬专。）＿献＆）Ｉ≤１
分类讨论的思想是一种重要的解题策略．对于培养学生思
．・．上≥ｌ或导＜口＜１或中即痧｝；
维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有很大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论．如果能结合利用数形结合的思想、函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论。从而达到迅速、准确解题的目的。
ａ＜ＯＩｔ寸，黜鬈蒜。翮ｏ；
当脚时次茗）＝一２ｘ＋２以１）＝０以４）＝－６，．・．不合题意
万方数据
ＸＵＥＺＨＯＵＫＡＮ
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实
践讲堂
高中数学中应用分类讨论思想解题的探讨
邱仁斌
（广州市美术中学，广东广州５１００００）
式。
摘要：分类讨论是一种重要的数学思想方法。其最集中的运用体现在高中数学解题中的参数问题上。参数广泛地存在于中学教学的各类问题中，是近几年来高考重点考查的热点问题之一。本文从分类讨论思想的本质出发，以具体例子进行分析。将舍有分类思想的一类数学问题化难为易、化繁为简。
关键词：分类讨论；研究对象：化繁为简
分类讨论是一种霞要的数学思想方法．是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法。其贯穿在整个高中数学学习的全过程。分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分莺要．而且在解决数学问题过程中有着重要的作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生的思维能力、解决问题的能力有很大的帮助。
分类讨论的思想在数学解题过程巾被广泛的应用．而分类讨论思想在解题－ｆｌ最直接的体现是在解决带有参数的题目中。参数广泛地存在于中学数学的各类问题中．也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准．含参数的同题可分为两种类型：一种类型的问题是根据参数在允许值范嗣内的不同取值（或取值范围）。去探求命题可能出现的结果．然后归纳出命题的结论：另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范罔或参数应满足的条件。这两类参数『ｎＪ题是基于两个不同的角度出发的。从条件到结论和从结论反推条件．只能得到参数成立的条件。解决这一类型的参数问题．通常要用“分类讨论”的方法．即根据问题的条件和所涉及到的概念．运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类．然后逐类分别加以讨论．探求出各自的结果．最后归纳出命题的结论．达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。
一、合理的分类
把一个集合Ａ分成若干个非空真子集Ａ。（扛ｌ，２，３。……，ｎ）（凡≥２，凡Ｅ，ｖ）。使集合Ａ中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即
ｑ）ＡｌＵＡ２ＵＡ３Ｕ……ＵＡ一；
若Ｏ＜ａ＜１．则原不等式等介于
卜妃
性．从而影响甬数的最值．因此要对对称轴的位置进行讨论。
２，根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准
数学中的某些公式、定理、性质在不间条件下有不同的结论．在运用时要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。
４—２ｍ＋２＝一２ｍ＋６
解：烨２。撒让（算一芋）２－手＋２ｊ
①当孕＜２时，ＩｌＰ
ｍ＜４，函数在【２，３１．．Ｅ为ｉｌｌ／函数，最小值为
②当２≤芋≤３时，Ｉ！ｐ４≤ｍ≤６时，ｙｍ＝＠一手）ｋ等二＿＋２＝
一丁ｍ２杉．
③当＿ｍ＞３时，即ｍ＞６时，ｙ．ｍ＝３２－３ｍ＋２＝一３ｍ＋ｌ１综上所述，即ｍ＜４时，ｙＪ，＿产４－２ｍ＋２＝一２ｍ＋６
４≤ｍ≤６时，五－产（并一手）２－等二＿＋２＝一等二＋２
ｍ＞６时，ｙｍ庐３２＿３ｍ＋２＝一３ｍ＋１１
本题中，二次函数的对称轴省＝Ｔｍ的位置影响函数的单调
例２解关于茗的不等式：ｌｏｇ．（１－上）＞ｌ。
解对数不等式时．需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数ａ的取值不同而不同，故需对口进行分类讨论。
解：若ａ＞ｌ，则原不等式等价于ｌ－上＞佰？一ａ＜ｏ
卜
如ｊ１如＜
＿。ｈ
Ｊ
综上所述，当ｎ＞ｌ时，原不等式的解集为｛菇１０一ａ＜ｏ｝１－ａ
Ｉ
（酗。ＮＡ产中（ｉＪ∈Ｎ，且ｉ巧）。
则称对集合Ａ进行了一次科学的分类。
科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件
当Ｏ＜ａ＜ｉ时，原不等式的解集为｛省Ｉｌａ＜Ｔｌ＿｝
又如．等比数列前几项和公式是分别给出的：
ｆｎａＩ（ｇ＝１）
②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，尽可
能减少分类。
二、确定分类的标准
由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、不等式定义、二次函数定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条直线所成的角等等。
１．根据数学概念来确定分类标准
ｆｏ（口＞ｏ）
踮Ｉ哔笋（ｑ＃１）
所以在解这类问题时。如果ｑ是可以变化的量，就要以ｑ为标准进行分类讨论。
例３求和Ｓ，＝。＋Ⅱ２＋…相忙——。
解：当ａ＝Ｏ时，Ｓｎ－－Ｏ；
当口≠Ｏ时。此题为等比数列求和，
例如：绝对值的定义是：ＩⅡＩ＿｛Ｏ（ａ＝Ｏ）
ＬⅡ（畎ｏ）
①若口≠ｌ时，则由求和公式，ｓ产巫｝盟。
②若ａ＝ｌ时，鼯凡。
３
所以在解含有绝对值的不等式１１０９上茹Ｉ＋１１０９上（３－－ｘ）Ｉ≥ｌ
３
综合可得ｓ。：ｆ丛占竽（口≠１）
【凡．
（萨１）
由于等比数列定义本身有条件限制．等比数列求和公式是分类给出的。因此，应用等比数列求和公式时也需要讨论，这里进行了两层分类：第一层分类的依据是等比数列的概念。分为
时。就必须根据确定ｌｏｇ．茗，ｌｏｇ。（３－ｘ）ｉＥ负交界的髫值ｌ和２
丁
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将定义域（０，３）分成三个区间进行讨论。即分Ｏ＜ｘ＜ｌ，ｌ≤省心，２≤ｘ＜３三种情形来分类讨论。
１１
８面丽
例ｌ求二次函数ｙ＝ｘ２－ｍｘ＋２在【２，３１上的最小值‰的表达万方数据
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“■■■■■—■—霸鼯矗豳女蠢≈｛．＾急
实
所以，实数ｎ的取值范围是Ⅱ＞｝。
三、分类讨论的方法和步骤
践讲堂
和；第二层分类依据是等比数列求和公式的应用条件。
３．由参数的变化引起的分类讨论
某些含参数的问题．由于参数的取值不同会导致所得结果不同．或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。含参数问题。必须考虑参数的不同取值对问题的不同影响．并根据问题的需要对参数进行讨论，以解决问题。
例４问ａ为何值时，不等式（ａ２－３ａ＋２）ｘ２＋（ａ—１）ｘ＋２＞Ｏ的解是一切实数．
解：（１）若矿－３ａ＋２－－－０，解得ａ＝ｌ或ａ＝２
庐ｌ时，原不等式为２＞０恒成立，所以ａ＝ｌ适合题意。
点。
（１）确定是否需要分类讨论以及需要讨论的对象和它的取值范围：
（２）确定分类标准，科学合理分类；（３）逐类进行讨论得出各类结果；（４）归纳各类结论。例６设ｘ－－－Ｏ是函
ｆ（ｘ）＝（ｘ２＋ａｘ＋ｂ）ｅ。（菇∈Ｒ）的一个极值
ａ＝２时，原不等式为茹＋２＞Ｏ，它的解不是一切实数．所以仁
２不适合题意。
（２）若ａ２—３ａ＋２＃０，必须有ａ２—３ａ＋２＞０且（口一１）２—４（矿一３口＋
２）ｘ２＜０
（Ｉ）求ｎ与ｂ的关系式（用口表示ｂ），并求八茗）的单调区间；
（Ⅱ）设ａ＞Ｏ，ｇ＠）一（孑柑１）ｅ棚，问是否存在§。。考２∈卜２，２】，
使得瞰喜。）．ｇ（毛）Ｉ≤１成立？若存在。求口的取值范围；若不存
在。说明理由。
解：（Ｉ矿’（鼻）＝［石２＋（ｏ＋２）茗＋口＋６］ｅ。
解得口＜一阜，或一ｌ＜ａ＜ｌ，或ａ＞２，
由ｆ’（０）－－４）．得６＝吨
．‘，（ｘ）＝（ｘ２＋ａ藩－ａ）ｅ５
ｆ’（石）爿（菇２＋（口＋２）茗】Ｂ。铽＠忱＋２）ｅ。，令ｆ’（茹）＝ｏ，得茹ｌ＝０。勉＝—俨２
由于ｘ－－Ｋ）是．厂（重）的极值点，故ｚＩ≠石２，即口≠一２
所以口的范围为口Ｅ（一∞，一旱）ｕ（一１，１）ｕ（２，＋∞）。
由（１）（２）可知ｎ∈（一∞，一菩Ｌ）Ｕ（一ｌ，ｌ】０（２，＋∞）。
题日中给出的不等式属于概念形式．丽非具体到一元几次
当畎一２时，ｘｌ＜ｘ２，故以ｘ）的单调增区间是（一∞，０】和卜驴２，＋
不等式，故解题过程中需针对ａ２—３ａ＋２＝０．扛３ａ＋２≠Ｏ两种情况
进行讨论，确定不等式为一元一次或一元二次．再进行解答。
例５设函数ｆｉｘ）＝础２２ｘ＋２．对于满足１＜ｘ＜４的一切戈值都有．厂（膏）＞ｏ，求实数ａ的取值范围。
含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题．需要先对开口方向进行讨论．再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
∞），单调减区间是【０，廿２】；
当口＞一２时，戈。Ⅺ：，故．厂（并）的单调增区间是（一∞，－口一２】和【０，＋∞），单调减区间是【－俨２，０】；。
（ＩＩ）当ａ＞Ｏ时，—俨２＜一２／（戈）在卜２，０】上单调递减，在【０。２】
上单调递增，因此，０）在卜２，２１上的值域为叭０），ｍａｘ｛，（－２）｝，
以２）】－【川，（４＋口）ｅ２】
懈：当－ａ＞Ｏ时以省）铷（算一上）２＋２一上
递减，所以傅域是［一（孙１）ｅ４－（抽１）］
所以，ｎ只须满足｛竺肛叶１）≤ｌ【一叶Ｉ矿。叶ｌ，每ｌ
解得Ｏ＜ａ≤２
而ｇ（菇）一（ａ２－ａ＋１）ｅ－＊２＝一【（口一下１）２＋÷ｋ越在【－２，２】上单调
因为在【一２，２１３＝。‰（并）－ｇＩ。＠）＝一叶（扛Ｄ十１）＝（ａ－１）２≥Ｏ
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抓４）＝１６ａ－８＋２≥０
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分类讨论的思想是一种重要的解题策略．对于培养学生思
．・．上≥ｌ或导＜口＜１或中即痧｝；
维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有很大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论．如果能结合利用数形结合的思想、函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论。从而达到迅速、准确解题的目的。
ａ＜ＯＩｔ寸，黜鬈蒜。翮ｏ；
当脚时次茗）＝一２ｘ＋２以１）＝０以４）＝－６，．・．不合题意
万方数据
ＸＵＥＺＨＯＵＫＡＮ
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