复旦大学计算机科学技术学院
2010-2011第二学期《线性代数》期终考试试卷
B 卷 共 6页
课程代码：COMP120004.02-03 考试形式：闭卷 2011年 9月
（本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效）
专业
学号
姓名
成绩
（装订线内不要答题）
一、 ｎ阶行列式计算： （共20分，每小题10分）
+x 1⋅⋅⋅111+x ⋅⋅⋅1
（1） A n =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1111+x
第 1 页
+x 1
1
（2）A n =
11+x 21⋅⋅⋅11
111+x 3⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
111⋅⋅⋅1
111
⋅⋅⋅11+x n
1⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅1+x n -1
其中x i ≠0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, n 。
二、假设A 为n 阶方阵，D =diag {λ1, λ2, λ3, ⋅⋅⋅, λn }是n 阶对角阵，其中λ1, λ2, λ3⋅⋅⋅, λn 两两不相等，且AD =DA ，证明:A必为对角阵。 (10分)
第 2 页
三、 设ε1, ε2, ε3是复数域上三维线性空间V 的一组基，T 是V 的一个线性变换，它在这组基下的
⎛56-3⎫
⎪
矩阵为A = -101⎪，即T (ε1, ε2, ε3) =(ε1, ε2, ε3) A 。求：T 的所有的特征值与特征向
⎝12-1⎪⎭
量。 (12分)
（ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
第 3 页
四、讨论参数α, β的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。
⎧αx 1⎪⎨x 1⎪x ⎩1
+
x 2
+++
x 3x 3x 3
=4
=3 （18分） =4
+βx 2+2βx 2
第 4 页
（
装 订 线 内 不 要 答 题 ）
五、设A , B 分别为实数域上m 阶、n 阶方阵，试证明：
1． 如果A , B 都相似于对角矩阵，则
⎛A 0⎫
⎝0B ⎪也相似于一个对角矩阵。
⎭
2． 设⎛ A 0⎫⎝0B ⎪相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵S ，使得
⎭
S -1⎛ A 0⎫
⎝0B ⎪⎭
S =diag (λ1, λ2, , λn ) 。
对S 进行分块，令S =⎛ S 1⎫
⎝S ⎪，其中⎭
S 1是m ⨯(m +n ) 阶矩阵，S 2是n ⨯(m +n ) 阶矩阵。试
2证明：S 1的每一列都是A 的特征向量，S 2的每一列是B 的特征向量，并且
rank (S 1) =m , rank (S 2) =n 。
3．⎛ A 0⎫⎪相似于一个对角矩阵当且仅当A , B 都相似于对角阵。(共20分)
⎝0B ⎭
第 5 页
六、设R 为实数集，R 为实数域R 上全体n 维向量的集合。设本题中的向量均在R 中。证明（共20分）：
（1）设向量组α1, α2,
n n
, αs 可以由向量组β1, β2, , βt 线性表示，且s >t ，则向量组
α1, α2, , αs 是线性相关的。 （10分）
（2）设向量组γ1, γ2,
, γs 可由向量组δ1, δ2, , δt 线性表示，即存在实数域R 上的t ⨯s 的矩阵
, δt 是线性无关向量组，则向量组
A ，使得(γ1, γ2, , γs ) =(δ1, δ2, δ, t ) ∙A ，并设δ1, δ2,
γ1, γ2, , γs 的秩等于矩阵A 的秩。 （10分）
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2010-2011第二学期《线性代数》期终考试试卷
B 卷 共 6页
课程代码：COMP120004.02-03 考试形式：闭卷 2011年 9月
（本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效）
专业
学号
姓名
成绩
（装订线内不要答题）
一、 ｎ阶行列式计算： （共20分，每小题10分）
+x 1⋅⋅⋅111+x ⋅⋅⋅1
（1） A n =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1111+x
第 1 页
+x 1
1
（2）A n =
11+x 21⋅⋅⋅11
111+x 3⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
111⋅⋅⋅1
111
⋅⋅⋅11+x n
1⋅⋅⋅11
⋅⋅⋅1+x n -1
其中x i ≠0, i =1, 2, ⋅⋅⋅, n 。
二、假设A 为n 阶方阵，D =diag {λ1, λ2, λ3, ⋅⋅⋅, λn }是n 阶对角阵，其中λ1, λ2, λ3⋅⋅⋅, λn 两两不相等，且AD =DA ，证明:A必为对角阵。 (10分)
第 2 页
三、 设ε1, ε2, ε3是复数域上三维线性空间V 的一组基，T 是V 的一个线性变换，它在这组基下的
⎛56-3⎫
⎪
矩阵为A = -101⎪，即T (ε1, ε2, ε3) =(ε1, ε2, ε3) A 。求：T 的所有的特征值与特征向
⎝12-1⎪⎭
量。 (12分)
（ 装 订 线 内 不 要 答 题 ）
第 3 页
四、讨论参数α, β的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。
⎧αx 1⎪⎨x 1⎪x ⎩1
+
x 2
+++
x 3x 3x 3
=4
=3 （18分） =4
+βx 2+2βx 2
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（
装 订 线 内 不 要 答 题 ）
五、设A , B 分别为实数域上m 阶、n 阶方阵，试证明：
1． 如果A , B 都相似于对角矩阵，则
⎛A 0⎫
⎝0B ⎪也相似于一个对角矩阵。
⎭
2． 设⎛ A 0⎫⎝0B ⎪相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵S ，使得
⎭
S -1⎛ A 0⎫
⎝0B ⎪⎭
S =diag (λ1, λ2, , λn ) 。
对S 进行分块，令S =⎛ S 1⎫
⎝S ⎪，其中⎭
S 1是m ⨯(m +n ) 阶矩阵，S 2是n ⨯(m +n ) 阶矩阵。试
2证明：S 1的每一列都是A 的特征向量，S 2的每一列是B 的特征向量，并且
rank (S 1) =m , rank (S 2) =n 。
3．⎛ A 0⎫⎪相似于一个对角矩阵当且仅当A , B 都相似于对角阵。(共20分)
⎝0B ⎭
第 5 页
六、设R 为实数集，R 为实数域R 上全体n 维向量的集合。设本题中的向量均在R 中。证明（共20分）：
（1）设向量组α1, α2,
n n
, αs 可以由向量组β1, β2, , βt 线性表示，且s >t ，则向量组
α1, α2, , αs 是线性相关的。 （10分）
（2）设向量组γ1, γ2,
, γs 可由向量组δ1, δ2, , δt 线性表示，即存在实数域R 上的t ⨯s 的矩阵
, δt 是线性无关向量组，则向量组
A ，使得(γ1, γ2, , γs ) =(δ1, δ2, δ, t ) ∙A ，并设δ1, δ2,
γ1, γ2, , γs 的秩等于矩阵A 的秩。 （10分）
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