虚数的意义
作者： 阮一峰
日期： 2012年9月24日
有人在Stack Exchange问了一个问题：
" 我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。
中学老师说〃虚数就是-1的平方根。
可是〃什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
直到今天〃我也没有搞懂。谁能解释〃虚数到底是什么？
它有什么用？"
帖子的下面〃很多人给出了自己的解释〃还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟〃醍醐灌顶〃原来虚数这么简单〃一点也不奇怪和难懂！
下面〃我就用自己的语言〃讲述我所理解的虚数。
一、什么是虚数？
首先〃假设有一根数轴〃上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分〃可以绕原点旋转。显然〃逆时针旋转180度〃+1就会变成-1。 这相当于两次逆时针旋转90度。
因此〃我们可以得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去〃这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将" 逆时针旋转90度" 记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟〃它就是虚数的定义公式。
所以〃我们可以知道〃虚数 i 就是逆时针旋转90度〃i 不是一个数〃而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然 i 表示旋转量〃我们就可以用 i 〃表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴〃虚数轴看作纵轴〃就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数〃必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标〃比如( 1 , i )〃就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法〃表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如〃把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number）〃其中 1 称为实数部〃i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢〃下一节告诉你原因。
三、虚数的作用：加法
虚数的引入〃大大方便了涉及到旋转的计算。
比如〃物理学需要计算" 力的合成" 。假定一个力是 3 + i 〃另一个力是 1 + 3i 〃请问它们的合成力是多少？
根据" 平行四边形法则" 〃你马上得到〃合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变〃处理起来更方便。
比如〃一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向〃逆时针增加45度〃请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向〃只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以〃该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度〃就更简单了。因为90度的航向就是 i 〃所以新航向等于： ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度〃只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明〃实际上很简单。
任何复数 a + bi〃都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di〃可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘〃( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式〃得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式〃上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以〃
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证明了〃两个复数相乘〃就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。 （完）
虚数的意义
作者： 阮一峰
日期： 2012年9月24日
有人在Stack Exchange问了一个问题：
" 我一直觉得虚数（imaginary number）很难懂。
中学老师说〃虚数就是-1的平方根。
可是〃什么数的平方等于-1呢？计算器直接显示出错！
直到今天〃我也没有搞懂。谁能解释〃虚数到底是什么？
它有什么用？"
帖子的下面〃很多人给出了自己的解释〃还推荐了一篇非常棒的文章《虚数的图解》。我读后恍然大悟〃醍醐灌顶〃原来虚数这么简单〃一点也不奇怪和难懂！
下面〃我就用自己的语言〃讲述我所理解的虚数。
一、什么是虚数？
首先〃假设有一根数轴〃上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分〃可以绕原点旋转。显然〃逆时针旋转180度〃+1就会变成-1。 这相当于两次逆时针旋转90度。
因此〃我们可以得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去〃这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将" 逆时针旋转90度" 记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟〃它就是虚数的定义公式。
所以〃我们可以知道〃虚数 i 就是逆时针旋转90度〃i 不是一个数〃而是一个旋转量。
二、复数的定义
既然 i 表示旋转量〃我们就可以用 i 〃表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴〃虚数轴看作纵轴〃就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数〃必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标〃比如( 1 , i )〃就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法〃表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如〃把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number）〃其中 1 称为实数部〃i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢〃下一节告诉你原因。
三、虚数的作用：加法
虚数的引入〃大大方便了涉及到旋转的计算。
比如〃物理学需要计算" 力的合成" 。假定一个力是 3 + i 〃另一个力是 1 + 3i 〃请问它们的合成力是多少？
根据" 平行四边形法则" 〃你马上得到〃合成力就是 ( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
四、虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变〃处理起来更方便。
比如〃一条船的航向是 3 + 4i 。
如果该船的航向〃逆时针增加45度〃请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向〃只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以〃该船的新航向是 -1 + 7i 。
如果航向逆时针增加90度〃就更简单了。因为90度的航向就是 i 〃所以新航向等于： ( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
五、虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度〃只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明〃实际上很简单。
任何复数 a + bi〃都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di〃可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘〃( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式〃得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式〃上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以〃
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证明了〃两个复数相乘〃就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。 （完）