第一篇：利息理论
第一章：利息的基本概念
a '(t ) ⎧
⎪δ=a (t ) ⎪t
δt d r ⎪∫0
1、有关利息力:⎨a (t ) =e
⎪n
⎪∫0A (n ) δt dt =A (n ) −A (0) ⎪⎩
(p )
i (m ) m d 2、(1+=1+i =v −1=(1−d ) −1=(1−) −p =e δ
m p
i ⎧
单利率下的利息力： δ=t ⎪⎪1+it 3、⎨
⎪但贴现下的利息力：δ=d
t
⎪⎩1−id
⎧严格单利法（英国法）
⎪
4、投资期的确定⎨常规单利法（欧洲大陆法）
⎪银行家规则（欧洲货币法）⎩
−
5、等时间法：t =
第二章年金
∑
n
s k t k s k
k =1
n
∑
k =1
.. .. ⎧a +i） a n =a n −1+1⎪n =a n 1、⎨.. ..
⎪s n =s +i） s n =s −1⎩n n +1
m ⎧v a =a −a n m +n m ⎪2、⎨.. .. ..
m ⎪v a n =a m +n −a m ⎩
3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同
（2）各付款所依据的利率不同
5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金⎧a ⎧⎪⎪现值:s
⎪⎪k
1
期末付年金：....... 永续年金现值⎨⎪s n is k
⎪终值⎪
⎪s k ⎪⎪⎩
⎨
a ⎧⎪现值⎪⎪a 1⎪⎪期初付年金：........ 永续年金现值⎨
⎪ia k
⎪终值:s ⎪⎪a k ⎪⎩⎩
（2）付款频率高于计息频率的年金
n ⎧⎧1−v (m )
现值:=(m ) ⎪⎪1⎪i ⎪期末付年金：....... ⎨(m ) n
i ⎪(1+i ) −1(m ) ⎪=⎪(m ) n ⎪i ⎪⎩
⎨n .. (m ) ⎧1−v ⎪a =(m ) ⎪⎪1⎪d
........ ⎪期初付年金：⎨(m ) (m ) n .. d ⎪⎪终值:s =(1+i ) −1
n (m ) ⎪⎪i ⎩⎩
（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）
⎧−
a n =⎪⎪⎨−⎪s =n ⎪⎩
∫∫
n 0
1−v t
v d t =
δ(1+i ) n −t
n
n 0
(1+i ) n −1
d t =
δ
6、基本年金变化
（1）各年付款额为等差数列
3
⎧a −n v n
(现值) ⎪V 0=p a +Q
i ⎪
..
⎪
a −n a −n v n ⎪
=⎪(Ia ) =a +i i
⎪
a −n v n n −a ⎪
=⎨(D a ) n =n a n −
i i ⎪
⋅⋅
⎪n
⎪期末付虹式年金：V 0=(Ia ) n +v (D a ) n -1=a n ⋅a n
⋅⋅⎪n
⎪期末付平顶虹式年金:V 0=(Ia ) +v (D a ) =a ⋅a ⎪⎪⎩
（2）各年付款额为等比数列
1+k n ⎧i
n ⎪V 0=不存在⎨i =k :V 0=
i −k 1+i ⎪
⎪⎩i >k :V 0存在
7、更一般变化的年金：
（1）在(Ia ) n 的基础上，付款频率小于计息频率的形式
a n n
−v n
a k
V 0=
i s k （2）在(Ia ) n 的基础上，付款频率大于计息频率的形式
⎧n
a −nv ⎪每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia ) (m ) =n n ⎪i (m ) ⎪
⎨
..
⎪n
a −nv n ⎪每个计息期内的m次付款额保持不变(I （m）a ) (m ) =n ⎪⎩i (m )
（3）连续变化年金：
1：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为t,其现值为○
(I a ) n =
−−
a −nv n
δ
2：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为f (t ) ,其现值为○
V (0) =
∫
n 0
f (t ) v t d t
第三章收益率
1、收益率（内部收益率）由V (0)=
∑
n
v t R t =0可求出
t =0
2、收益率的唯一性：
（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是
一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，
总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。
3、再投资收益率：
（1）情形一：在时刻0投资1单位，t时刻的积累值:1+is n
（2）情形二：在标准金中, t 时刻的积累值：
n +i (Is ) n −1=n +i ⋅
s n −n j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量B：期末基金的本息和I：投资期内基金所得收入C t ：t时刻的现金流（0≤t ≤1）C：在此期间的现金流之和C =∑C t ，
t
（1）i ≈（2）i ≈
I
A +C t (1−t )
t
2I
（现金流在0-1期间内均匀分布）
A +B −I
I
（3）i ≈（其中k =∑t ⋅(C t /C ) ）
kA +(1−k ) B −(1−k ) I t
注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率
5、时间加权收益率
i =(1+i 1) (1+i 2) ⋯(i +i m ) −1
6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益
投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：
y y y
⎧⎪C (1+i 1)(1+i 2) ⋯(1+i k )...... k ≤m ⎨（m为投资年法的年数，y y y y +m +1y +k
).....(1+i )..... k >m ⎪⎩C (1+i 1)(1+i 2) ⋯(1+i m )(1+i
即若投资时间未满m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资
组合法计算收益率。在y 年投资第t 年收益率记为i t y ）7、股息贴现模型
（1）每期末支付股息D t ，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：p =
∑
∞
n =1
D n
(1+r ) n
D 1r −g
（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1
第四章债务偿还
1、分期偿还表（标准年金，贷款额a n ，年利率i，每期末还款额为
1）
第k 期偿还款中的利息部分记为I k ；本金部分为p k
I k =1−v
n −k +1
p k =v
n −k +1
2、连续偿还的分期偿还表
−
⎧p
⎪B t =a t 时刻的余额⎨−−
r t ⎪B t =a (1+i ) −S ⎩−
⎧I =δB t ⎪
t 时刻偿还的本金利息⎨−
−
⎪⎩p t =1−I =1−δB
t
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息k 次（偿还频率小于计息频率）
（2）若每计息期偿还嗲款m 次（偿还频率大于计息频率
4、偿债基金表
第五章
1、债券价格
债券及其定价理论
p :债券的价格 N:债券的面值 C ：债券的赎回值
r:票利率 Nr ：票息额 g :修正票息率g =Nr/C(N=C时，g=r)i :收益率 n :票息到期支付次数 K=Cvn
G :基础金额G=Nr/i t 1：所得税率
（1）所得税后的债券价格：
⎧基本公式：p =N r (1−t 1) a n +C v n ⎪
溢价、折价公式：p −c =[N r (1−t 1) −C i ]a n ⎪⎪
⎨基础金额公式：p =G (1-t 1) +[C -G (1-t 1) ]v n ⎪
⎪M a k e h a m 公式：p =K +g (1−t 1) (C −K ) ⎪i ⎩
（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：
(1−t 2) K +(1−t 1)(g /i )(C −K )
p =p −t 2(c −p ) v ←⎯→p =
1−t 2K /C
'
'
n '
（3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp ）
Nr Nr Nr +C
tp =+⋯w 1+w n −1+w
(1+i ) (1+i ) (1+i )
2、溢价与折价
本金调整：溢价摊销或折价积累期次票息利息收入本金调整0g 12
⋮
账面值
1+p =1+(g −i ) n 1+(g −i ) a n −11+(g −i ) a n −2⋮
1+(g −i ) a n −t ⋮
1+(g −i ) a 1g g
⋮
i [1+(g −i ) a n ]i [1+(g −i ) a n −1]⋮
i [1+(g −i ) a n −t +1]⋮
i [1+(g −i ) a 2]
(g −i ) v n (g −i ) v n −1⋮
(g −i ) v n −t +1⋮
(g −i ) v 2(g −i ) v 1(g −i ) n =p
t
⋮
g
⋮
n-1g
n g 合计ng
i [1+(g −i ) a 1]
1
ng-p
3、票息支付周期内债券的估价
f B 债券的平价：t +k
扣除应计票息后的买价称为市价：B t +k
m
公式：B
f
t +k m f B =B =B +Nr k 或t +k t +k -Nr k
m
t +k
⎧
⎪B t f +k =B t (1+i ) k ⎪
(1+i ) k −1⎪
（1）理论法：⎨Nr k =Nr
i ⎪
k
⎪m (1+i ) −1k B =B (1+i ) −Nr ⎪t +k t ⎩i
⎧B t f +k =B t (1+ki ) ⎪
（2）实务法：⎨Nr k =kNr
⎪m
⎩B t +k =B t (1+ki ) −kNr
⎧B t f +k =B t (1+i ) k ⎪
（3）混合法：⎨Nr k =kNr
⎪m k B =B (1+i ) −kNr ⎩t +k t
4、收益率的确定由p =C +C (g −i ) a n
g −
k =
P −C
可导出C
k k
g −
n +1i ≈i ≈或(=1/2)12n 1+k 1+k
2n 2
⎧i
4、可赎回债券计算收益率时：⎨
⎩i >g (折价发行) : 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
系列债券的价格∑p t =
t =1
m
∑
t =1
m
m
g m
K t +(∑C t −∑K t )
i t =1t =1
g =Nr /C
其中：∑K t :所有现金流现值之和
t =1
m
C t ：所有现金流之和∑t =1
m
第二篇利率期限结构
第六章：利率期限结构理论
(1+y i +j ) i +j
1、远期利率：(1+f i , j ) =
(1+y i )
2、Macaulay 久期与修正久期：
N
⎧
⎪久期D mac =∑t i ×w ti
i =1⎨
⎪修正久期D =D /(1+y ) ⎩mod mac
其中w ti =
F :第i 次现金流的现值在现金流总和中所占的比例ti
p (1+y )
w ti =1∑i
=1
N
11
3、M a c a u l a y 凸度与修正凸度：∂D m o d ⎧
凸度C =m a c ⎪∂y ⎪⎨
1⎪修正凸度C
m o d =⎪p ⎩
∑
N
i =1
t i (1+t i ) C t i
(1+y ) t i +2
p −p ⎧
有效久期：D =E ⎪2p 0∆⎪4、⎨
⎪有效凸度：C=p ++p -−2p 0
E 2⎪p (∆) 0⎩
其中p 0、p +、p -表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少∆时对应的价格
第七章随机利率模型
r s ds ) 1、t 时刻银行账户的价值βt =e ∫0
(
t t
r s ds ) ∫0
2、随机折现因子D （t ,T）=e
(−
3、连续复利收益率
B （t ,T）:T时刻到期的零息债券1单位面值在t 时刻的价格R （t ,T）：连续复利收益率
R （t ,T）(T −t ) ⎧e （B t ,T）=1⎪⎨-R （t ,T）(T −t ) B （t ,T）=e ⎪⎩
4、远期单利F l (t,T,S)与远期复利F e (t,T,S),t时刻期限为[T,S]1B (t , T ) ⎧F (t,T,S)=(−1) l ⎪S −T B (t , S ) ⎪⎨
⎪F e (t,T,S)=1ln B (t , T ) ⎪S −T B (t , S ) ⎩
5、远期瞬时利率f (t , T )=−
∂ln B (t , T )
∂T
T
⎧-∫f (t , u )du
B t ,T）=e t
⎪零息债券价格：（⎨1T ⎪连续复利收益率:（R t ,T）=f (t , u )du ∫t T −t ⎩
12
6、Ho-Lee 模型的应用
短期利率满足：r t +1=r t +a (t ) ∆t +随机变量ε在u 出现时取+1，在d 出现时取-1
7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程
⎧dr t =u (t , r t ) dt +σ(t , r t ) dW t ⎪
⎛∂B ∂B ⎞⎨1∂2B 2∂B dB =+u (t , r ) +σ(t , r ) dt +σ(t , r t ) dW t ⎜t t ⎟2⎪2∂r ∂t ⎝∂t ∂t ⎠⎩
其中u (t , r t ) :漂移项 σ(t , r t ) ：波动项 W t ：标准布朗运动B=B（t ,T）=B(t,T,,rt )
8、利率风险市场价格(λt )
用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合Π然后选择适当的头寸Φ使得Π的风险为零Π=B(t , T 1, r t ) +ΦB (t , T 2, r t )
⎫
m (t , T ) −r t ⎪
∂B (t , T 1, r t ) ∂B (t , T 2, r t ) ⎬⇒λt =
v (t , T ) +Φ=0⎪
∂r ∂r ⎭
1⎛∂B ∂B 1∂2B 2⎞
其中m (t , T ) =⎜+u (t , r t ) +σ(t , r t ) ⎟
B ⎝∂t ∂t 2∂r 2⎠1∂B
σ(t , r t ) B ∂t
9、Vasicek 模型及其下的债券定价
v (t , T ) =
模型：dr t =α(u-r t ) dt +σdW t ⋯⋯α、u 、σ为正的常数模型的解为：r t =r 0e −αt +u (1−e −αt ) +σ∫0e −α(t −u ) dW u 零息债券的价格：
B (t , T ) =e a (τ) −b (τ) r t
1−e −αt
其中：τ=T−t , b (τ) =
α
λσσ2λσσ2σ2−2ατ
a (τ) =b (τ)(u −−) −(u −−τ+(1−e ) 3
αα2α2α24α
9、CIR模型及其下的债券定价
模型：dr t =α(u-r t ) dt +σt ⋯⋯α、u 、σ为正的常数该模型下风险的市场价格为：λ(t , r t ) =
t
第三篇金融衍生工具定价理论
第八章金融衍生工具介绍
⎧F=S0e rt ⎪
1、远期的定价⎨F =S 0e (r −q ) t ........... q ：连续复利率
⎪F =(S −I ) e rt ....... I ：离散红利
0⎩2、t 时刻持有远期合约的价值：（0≤t ≤T ）
⎧f t =(F t −F 0) e −r (T −t )
⎪−r (T −t )
⎧-(S 0−I ) e rt ⎨⎪中间收入I ：f t =F t e
⎪如果有中间收入⎨−r (T −t ) (r −q ) t
提供红利q :f =F e -S e ⎪⎩t t 0⎩
3、远期利率平价公式
i 、i *:本币和外币的利率（假定借款利率=贷款利率）S t :外币的以本币标价的即期汇率（S t 本币/外币）
外币远期的价格为F (t , T ) F (t , T ) 1+iT ⇒=(一般不超过一年故采用单利)
S t 1+i *T F (t , T ) 1+iT >(持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）
S t 1+i *T
4、远期利率协议（1）结算时金额：∆=N
|S-F|×T
1+S ×T
其中：S：目标利率；F：远期价格，T：远期期限（2）远期价格F =f t , t +T
满足：(1+rt t )(1+f t , t +T T ) =[1+r t +T (t +T )]5、期货合约的盈亏：∆=nN0|Z t +1−Z t |
期货合约保证金账户盈亏代数和为：N 0|S t −Z 0|无论盈亏都只需交N 0Z 0
6、利率期货
（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月）
1若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如○
94.79→94.80或94.78），则一份合约的买方或卖方将支付25远。对于本金100万而言，一个季度每个基点的价值为：
100 ×0.01%×
1
=25( ) 4
1+rT 1
r 2T 2−rT 112远期利率f 满 (1+rT ○)(1+0.25f ) =(1+r T ) ⇒f =4×1122
3套期保值原理(N：被保资产金额D：保质期限S 存款利率变动○
的基点n：合约的份数）
n =
N D ××S 90
(2)长期利率期货1国债期货：○
点数价值：价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额2转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债○
券的价格。如：若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%，剩余期限为2年，则付息日的转换因子为：
CF =[
333100+3
+++]/100
(1+4%)(1+4%)2(1+4%)3(1+4%)4
（3）交割债券的选择（最廉价交割债券）
卖方在债券的现货市场上可以以P+A价格买到债券（P：债券净价，A：应计利息）；在期货交割时卖方将收到买方现金CF ×Z +A （Z：债券期货的价格），同时支付债券。显然A 不影响卖方的成本，卖方的净交割成本为：P −CF ×Z
（4）国债的定价类似于：F =(S 0−I ) e rt .
例题：假设某国债期货党的CTD 债券的票息率为12%；CF=1.4.假定在270天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以过了60天，利息力为r=0.1;债券报价为120；可按如下方法计算期货的价格Z：解：（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每100元面值的利息）
120+
60
×6=121.978182
−132
0.1365
（2）计算期货的现金价格：
(121.978-6×e 125.095−6×
) ×e
2700.1365
=125.095
（3）计算以CTD 债券为基础资产的期货价格：
148
=120.242183
（4）利用转换因子CF 计算国债期货的价格：
Z =
120.242
=85.8871.4
（5）国债期货套期保值原理
基点价值bpv ：收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。如：面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%，若当前市场利率为10%，则该债券的bpv 为：
3
[***********]0000
bpv =(∑+) −(+∑t 3t 3
(1+10%)(1+10.01%)t =1(1+10%)t =1(1+10.01%)
3
7、看涨看跌期权平价公式
c t +Ke −r (T −t ) =p t +S t
其中c t ：t时刻的看涨期权的价格
看涨期权的执行价格K
p t ：t时刻的看跌期权的价格S t ：t时刻的基础资产价格
8、期权价值的影响因素
（1）基础资产价格S t ：对看涨期权S t 越大，价格越高
对看跌期权S t 越大，价格越低
（2）执行价格K 对看涨期权K 越大，价格越高
对看跌期权K 越大，价格越低
（3）到期期限T：对美式而言，T越长，价格越高
对欧式而言，不一定
（4）无风险率r：r越高，价格越高
（5）基础资产价格波动率σs ：σs 越大，期权价格越高。9、期权价格的界
−r (T −t )
⎧≤c t ≤S t ⎪ 涨 权:St −Ke
（1）欧式期权：⎨−r (T −t )
-S t ≤p t ≤Ke −r (T −t ) ⎪⎩ 权:Ke
−r (T −t )
⎧≤c t ≤S t ⎪ 涨 权:St −Ke
（2）美式期权：⎨
⎪⎩ 权:K -
S t ≤p t ≤K
10、
11
、
第九章金融衍生工具定价理论
1、单期二叉树期权定价模型
设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价格上升至S u ，或者股票价格下降至S d ，而上升或下降的概率呈二次分布状。在这里下标号u 和d 表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1，d
[例8-1]设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为
$110。在U=1.3和d=0.9情况下，期权价值？解
：
资产目前成本与未来价值
$130×δ-$20=$90×δ(风险中性假定）δ=0.5
股票上涨：VT=$130×0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90x0.5=$45
根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为10%，而且按连续复利进行贴现，那么：V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.11
18
19
2、N期模型的通用公式
c =e
−rT
n ! j n −j j n −j
[(1−q ) m ax (su d −k , 0)]∑j !(n −j ) ! j =o
n ! j n −j j n −j [(1−q ) m ax (k −su d , 0)]∑j !(n −j ) ! j =o
n
n
p =e
−rT
e r −d
q =
u −d
3、Black-Scholes
模型
f (t , S t ) =S t Φ(d 1) −K e d 1
−r (T −t )
Φ(d
2
)
S t 1l o g +(r +σ2) (T −t )
=
d
2
=d 1−σ
20
4、希腊字母及其意义：（1）、∆=
∂f
⋯f 为衍生品德价格∂S t
意义：∆度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此∆是对基础资产价格敏感性的度量。（基础资产本身的∆=1）可以通过资产组合达到∆中立状态，即∆=0.
∂2f α∆Γ==2（2）∂S t ∂S t
意义：Γ度量了基础资产价格的变化对∆影响，即度量了衍生品价格与基础资产价格之间的凹凸性。若某个时刻基础资产处于∆=0，当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权∆可能不为0. 如果Γ
∂f ∂
σ
s
对于欧式看涨期权：ν=S t φ(d 1ν度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格影响。
∂f
（4）ρ=
∂r 对于欧式看涨期权：ρ=τKe Φ(d 2)
ρ度量了无风险利率的变化对衍生品价格的影响。（5）θ=
∂f ∂
t
−r τ
对于欧式看涨期权：价格的影响。
θ=−rKe
−r τ
Φ(d 2) −S t φ(d 1)
θ是衍生品时间价值变化的度量参数，它度量了时间的推移对衍生品
12
df =△ds +Γds +υd σs +ρdr +θdt 总结五个希腊字母：
2
第四篇投资组合理论
第十章投资组合理论1、度量风险的方法：变异系数=
σW E W
收益率的方差和标准差σR 2=p [r 1−E (R )]2+(1−p )[r 2−E (r )]2
2、风险溢价一般解释：当前投资超出无风险投资收益的超额收益3、财富效用函数（满足：U ' (w ) >0; U '' ≤0）常见的几种形式：线性效应函数U (w ) =w
二次效应函数U (w )=-(α−w )2, (w ≤α)
指数效应函数U (w ) =−αe −αw ,(α>0) 对数效应函数U (w ) =log(α+w ), (w >−α) 幂函数效应函数U (w ) =w c , (w >0, 0
4、Jensen不等式：如果U (w ) 是一个凹函数，ξ是一个具有有限均值的随机变量，则下式成立：
E (U (w +ξ) ≤[U (w ) +E (ξ)]
当E (ξ) =0，则E (U (w +ξ) ≤U (w ) 5、投资效用函数
最常用的投资效用函数：U (u R +σR ) =u R −0.5A σR 2
u R σR 分别为期望收益与收益率的标准差，A>0：风险厌恶系数6、风险厌恶的度量：
⎧E (U (w +ξ)
⎨E (U (w +ξ) =U (w ) ⎪E (U (w +ξ) >U (w ) ⎩
U '' (w )
绝对风险厌恶系数：A w =−'
U (w ) wU '' (w )
相对风险厌恶系数：R w =−'
U (w )
7、两风险资产组合
E (R P ) =wE (R A ) +(1−w ) E (R B )
σR 2=(w σA ) 2+[(1−w ) σB ]2+2w (1−w ) σA σB ρAB
8、一个风险资产A 无风险资产投资组合收益率R P =(1−w ) r f +wR A
投资组合期望收益率：E (R p ) =(1−w ) r f +w ×E (R A ) 投资组合标准差：σP =w σA
9、风险报酬率（Sharpe比率）
λ=
E (R A ) −r f
σA
σp σM
=
10、最优资产组合的求解投资在市场组合M 上的比列：w =
E (R M ) −r f
2A σM
考虑两个风险资产A、B
则该风险组合的预期收益和方差分别为：
E (R p ) =w A E (R A ) +(1−w ) E (R B )
σ2P =w 2A σ2A +(1−w ) 2σ2B +2w A (1−w B )cov A B
E (R p ) −r f
此时风险报酬率：λmax =max
w A σp
而w A =
[E (R A ) −r f ]σ2B −[E (R B ) −r f ]covA B
[E (R A ) −r f ]σ2B +[E (R B ) −r f ]σ2A −[E (R A ) −r f +E(R B ) −r f ]covAB
第十一章CAPM 和ＡＰＴ１、风险市场价格：
E (R M ) −r f
2σM
E (R i ) =r f +βi [E (R p ) −r f ]
２、期望－贝塔关系：
βi =
cov(R i , R M ) σ2M
３、对任意风险资产组合Ｐ
E (R p ) =r f +βp [E (R p ) −r f ]
βp =w 1β1+w 2β2+⋯w N βN =∑w i βi
i =1N
４、
其斜率为市场组合的风险溢价E (R p ) −r f
４、ＣＡＰＭ的另一种常用形式：
R i =r f +βi (R M −r f ) +εi ( ) σi 2=βi 2σ2M +σε2i ( )
５、资产估值：
23
E (p 1+D ) ⎧
E(R)=−1i ⎪P 0⎪⎨
⎪p =E (p 1+D ) 0⎪1+E (R i ) ⎩
６、ＣＡＰＭ在业绩评估中的应用
（１）：Ｊｅｎｓｅｎ指数：J p =r p −{r f +βp [E (R A ) −r f ]}（越大越好）（２）Ｔｒｅｙｎｏｒ指数：T p =
−−−
r p −r f βp
（越大越好）
（３）Ｓｈａｒｐｅ指数：S p =
r p −r f σp
（越高越好）
７、套利定价模型（ＡＰＴ）（１）单因素模型：R i =αi +βi F +εi
资产组合收益率：R p =∑w i αi +∑w i βi R M +∑w i εi
i =1
i =1
i =1
n
n
n
σ2P =βp 2σM 2+σ2(εp ) βp =∑w i βi
i =1n
σ(εp ) =∑(w i σ2(εi )) 2
2
n
i =1
（２）双因素模型：R i =αi +βi 1F 1+βi 2F 2+εi
E (R i ) =αi +βi 1E (F 1) +βi 2E (F 2)
σi 2=β2i 1σ2F 1+β2i 2σ2F2+2βi 2βi 2cov(F 1, F 2) +σ2(εi )
８、套利组合：
⎧w 1+w 2+⋯+w n =0............ 组
⎪
⎨w 1β1j +⋯w n βn j =0............. 组 没 统风险⎪
⎩w 1E (R 1) +⋯w n E (R n ) >0... 组
习题部分
资产组合理论：
1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。
（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？
（2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？
答案：（1）股票A 的期望收益E(RA ) =0.4×15%+0.6×10%=12%;股票A
的标准差
σA ==0.0245。
股票B 的期望收益E(RB ) =0.5×35%+0.5×(−5%)=15%;股票B
的标准差
σB ==0.2
因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。
（2）该投资组合的期望收益
E （R P ）=0.5×E(RA ) +0.5×E(RB ) =0.5×12%+0.5×15%=13.5%,
标准
差
σP ===0.1007
2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：期望收益10%标准差20%
B ：期望收益5%标准差10%计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？
（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？
答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。组合的方差
σP 2=x 2σA 2+(1−x) 2σB 2+2x(1−x) ρσA σB =0.22x 2+0.12(1−x) 2+0.1⋅0.2⋅0.1x(1−x)
是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。对X 求导，并使其等于0，得：
0.096x =0.018，解得：X=0.1875,1-X=0.8125
所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。
（2）最新方差组合的期望收益
E (R P )=xE(R A ) +(1−x)E(R B ) =0.1875×10%+0.8125×5%=
5.9375%
标准差
σP ===0.0912
CAPM ：
3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM ：
（1）画图说明期望收益和β之间的关系（2）市场的风险溢价是多少？
（3）如果一个投资项目的β为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？
（4）如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的β是多少？答案：（1）
（2（3）E （R ）=4%+（12%-4%）*1.5=16%
（4）该项目必要回报率E （R ）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。（5）11.2%=4%+（12%-4%）*β，解得：β=0.9。
4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。根据CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？答案：（1）该资产组合的预期收益率E （R ）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为E(R)=6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价20
5、考虑一个单因素APT 模型，股票A 和股票B 的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B 的β为1.0。如果不存在套利机会，股票A 的β应该是多少？
答案：根据APT ，对于股票B ：18%=6%+1.0F，解得：F=12%对于股票A ：15%=6%+βF=6%+12%β，解得：β=0.75。
6、考虑一个多因素APT 模型，股票A 的期望收益率是17.6%，关于因素1的β是1.45，关于因素2的β是0.86。因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？答案：根据APT ，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%因此，因素2的风险溢价是9.26%。7、考虑一个多因素APT 模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2，无风险利率是6%，
两个充分分散化了的组合的信息如下：
对应因素1对应因素2
组合期望收益
的β的β
A 1.02.019%B 2.00.012%
如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？
答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT ，有：
对于组合A ：19%=6%+1.0R1+2.0R2对于组合B ：12%=6%+2.0R1
联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%
因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：
R A =0.1+0.9M +εA R B =0.05+1.1M +εB σM =0.2σ(εA ) =0.3
σ(εB ) =0.1
（1）分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。
（2）用股票
A 和B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4
和
0.6，求该组合的非系统性标准差。答案：（1）股票A 的标准差
σA =
==0.3499
股票A 的标准差σB ===0.2417股票A 和股票B 的协方差
σAB =COV (R A , R B ) =COV (0.1+0.9M +εA , 0.05+M +εB ) =COV M M ) =0.99σM 2=0.99⋅0.22=0.0396
（2）组合的收益率
R P =0.4R A +0.6R B =0.4(0.1+0.9M +εA ) +0.6(0.05+M +
εB )
组合的非系统性标准差
σε===0.1342
9、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：
R it =E (R it ) +βi 1F 1t +βi 2F 2t ，其中：R it 表示第i 种证券在时间t 的收
益，F 1t 和F 2t 表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于0。此外，资本市场上有2种证券，每种证券的特征如下：证券E（Rit)βi1βi2110%10.5210%1.50.75
（1）建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场
因素F 1t 无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数β2。（2）设有一个无风险资产的期望收益等于5%，β1=0，β2=0，是
否存在套利机会？
答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X ，那么证券2的投资比例
R pt =XR 1t +(1−X ) R 2t
为1-X 。
=X [E (R 1t ) +β11F 1t +β12F 2t ]+(1−X )[E (R 2t ) +β21F 1t +β22F 2t ]
因为其收益与市场因素F 1t 无关，所以组合关于F 1t 的贝塔应该为0，即：
X β11+(1−X ) β21=0X +(1−X )1.5=0
解得：X=3，1-X=-2，所以E (R pt ) =3(10%)−2(10%)=10%
βp 2=X β12+(1−X ) β22=3(0.5)−2(0.75)=0
所以其收益与市场因素F 1t 和F 2t 都无关。
（2）因为（1）中投资组合收益与市场因素F 1t 和F 2t 都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。
第一篇：利息理论
第一章：利息的基本概念
a '(t ) ⎧
⎪δ=a (t ) ⎪t
δt d r ⎪∫0
1、有关利息力:⎨a (t ) =e
⎪n
⎪∫0A (n ) δt dt =A (n ) −A (0) ⎪⎩
(p )
i (m ) m d 2、(1+=1+i =v −1=(1−d ) −1=(1−) −p =e δ
m p
i ⎧
单利率下的利息力： δ=t ⎪⎪1+it 3、⎨
⎪但贴现下的利息力：δ=d
t
⎪⎩1−id
⎧严格单利法（英国法）
⎪
4、投资期的确定⎨常规单利法（欧洲大陆法）
⎪银行家规则（欧洲货币法）⎩
−
5、等时间法：t =
第二章年金
∑
n
s k t k s k
k =1
n
∑
k =1
.. .. ⎧a +i） a n =a n −1+1⎪n =a n 1、⎨.. ..
⎪s n =s +i） s n =s −1⎩n n +1
m ⎧v a =a −a n m +n m ⎪2、⎨.. .. ..
m ⎪v a n =a m +n −a m ⎩
3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同
（2）各付款所依据的利率不同
5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金⎧a ⎧⎪⎪现值:s
⎪⎪k
1
期末付年金：....... 永续年金现值⎨⎪s n is k
⎪终值⎪
⎪s k ⎪⎪⎩
⎨
a ⎧⎪现值⎪⎪a 1⎪⎪期初付年金：........ 永续年金现值⎨
⎪ia k
⎪终值:s ⎪⎪a k ⎪⎩⎩
（2）付款频率高于计息频率的年金
n ⎧⎧1−v (m )
现值:=(m ) ⎪⎪1⎪i ⎪期末付年金：....... ⎨(m ) n
i ⎪(1+i ) −1(m ) ⎪=⎪(m ) n ⎪i ⎪⎩
⎨n .. (m ) ⎧1−v ⎪a =(m ) ⎪⎪1⎪d
........ ⎪期初付年金：⎨(m ) (m ) n .. d ⎪⎪终值:s =(1+i ) −1
n (m ) ⎪⎪i ⎩⎩
（3）连续年金（注意：与永续年金的区别）
⎧−
a n =⎪⎪⎨−⎪s =n ⎪⎩
∫∫
n 0
1−v t
v d t =
δ(1+i ) n −t
n
n 0
(1+i ) n −1
d t =
δ
6、基本年金变化
（1）各年付款额为等差数列
3
⎧a −n v n
(现值) ⎪V 0=p a +Q
i ⎪
..
⎪
a −n a −n v n ⎪
=⎪(Ia ) =a +i i
⎪
a −n v n n −a ⎪
=⎨(D a ) n =n a n −
i i ⎪
⋅⋅
⎪n
⎪期末付虹式年金：V 0=(Ia ) n +v (D a ) n -1=a n ⋅a n
⋅⋅⎪n
⎪期末付平顶虹式年金:V 0=(Ia ) +v (D a ) =a ⋅a ⎪⎪⎩
（2）各年付款额为等比数列
1+k n ⎧i
n ⎪V 0=不存在⎨i =k :V 0=
i −k 1+i ⎪
⎪⎩i >k :V 0存在
7、更一般变化的年金：
（1）在(Ia ) n 的基础上，付款频率小于计息频率的形式
a n n
−v n
a k
V 0=
i s k （2）在(Ia ) n 的基础上，付款频率大于计息频率的形式
⎧n
a −nv ⎪每个计息期内的m次付款额保持不变(Ia ) (m ) =n n ⎪i (m ) ⎪
⎨
..
⎪n
a −nv n ⎪每个计息期内的m次付款额保持不变(I （m）a ) (m ) =n ⎪⎩i (m )
（3）连续变化年金：
1：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为t,其现值为○
(I a ) n =
−−
a −nv n
δ
2：有n 个计息期，利率为i，在t 时刻付款率为f (t ) ,其现值为○
V (0) =
∫
n 0
f (t ) v t d t
第三章收益率
1、收益率（内部收益率）由V (0)=
∑
n
v t R t =0可求出
t =0
2、收益率的唯一性：
（1）若在0~n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是
一致的，t之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，
总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。
3、再投资收益率：
（1）情形一：在时刻0投资1单位，t时刻的积累值:1+is n
（2）情形二：在标准金中, t 时刻的积累值：
n +i (Is ) n −1=n +i ⋅
s n −n j
4、基金收益率：A：期初基金的资本量B：期末基金的本息和I：投资期内基金所得收入C t ：t时刻的现金流（0≤t ≤1）C：在此期间的现金流之和C =∑C t ，
t
（1）i ≈（2）i ≈
I
A +C t (1−t )
t
2I
（现金流在0-1期间内均匀分布）
A +B −I
I
（3）i ≈（其中k =∑t ⋅(C t /C ) ）
kA +(1−k ) B −(1−k ) I t
注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率
5、时间加权收益率
i =(1+i 1) (1+i 2) ⋯(i +i m ) −1
6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益
投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的利率，积累值为：
y y y
⎧⎪C (1+i 1)(1+i 2) ⋯(1+i k )...... k ≤m ⎨（m为投资年法的年数，y y y y +m +1y +k
).....(1+i )..... k >m ⎪⎩C (1+i 1)(1+i 2) ⋯(1+i m )(1+i
即若投资时间未满m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资
组合法计算收益率。在y 年投资第t 年收益率记为i t y ）7、股息贴现模型
（1）每期末支付股息D t ，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：p =
∑
∞
n =1
D n
(1+r ) n
D 1r −g
（2）每期末支付股息以公比（1+g）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1
第四章债务偿还
1、分期偿还表（标准年金，贷款额a n ，年利率i，每期末还款额为
1）
第k 期偿还款中的利息部分记为I k ；本金部分为p k
I k =1−v
n −k +1
p k =v
n −k +1
2、连续偿还的分期偿还表
−
⎧p
⎪B t =a t 时刻的余额⎨−−
r t ⎪B t =a (1+i ) −S ⎩−
⎧I =δB t ⎪
t 时刻偿还的本金利息⎨−
−
⎪⎩p t =1−I =1−δB
t
3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表
（1）若偿还期计息k 次（偿还频率小于计息频率）
（2）若每计息期偿还嗲款m 次（偿还频率大于计息频率
4、偿债基金表
第五章
1、债券价格
债券及其定价理论
p :债券的价格 N:债券的面值 C ：债券的赎回值
r:票利率 Nr ：票息额 g :修正票息率g =Nr/C(N=C时，g=r)i :收益率 n :票息到期支付次数 K=Cvn
G :基础金额G=Nr/i t 1：所得税率
（1）所得税后的债券价格：
⎧基本公式：p =N r (1−t 1) a n +C v n ⎪
溢价、折价公式：p −c =[N r (1−t 1) −C i ]a n ⎪⎪
⎨基础金额公式：p =G (1-t 1) +[C -G (1-t 1) ]v n ⎪
⎪M a k e h a m 公式：p =K +g (1−t 1) (C −K ) ⎪i ⎩
（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：
(1−t 2) K +(1−t 1)(g /i )(C −K )
p =p −t 2(c −p ) v ←⎯→p =
1−t 2K /C
'
'
n '
（3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp ）
Nr Nr Nr +C
tp =+⋯w 1+w n −1+w
(1+i ) (1+i ) (1+i )
2、溢价与折价
本金调整：溢价摊销或折价积累期次票息利息收入本金调整0g 12
⋮
账面值
1+p =1+(g −i ) n 1+(g −i ) a n −11+(g −i ) a n −2⋮
1+(g −i ) a n −t ⋮
1+(g −i ) a 1g g
⋮
i [1+(g −i ) a n ]i [1+(g −i ) a n −1]⋮
i [1+(g −i ) a n −t +1]⋮
i [1+(g −i ) a 2]
(g −i ) v n (g −i ) v n −1⋮
(g −i ) v n −t +1⋮
(g −i ) v 2(g −i ) v 1(g −i ) n =p
t
⋮
g
⋮
n-1g
n g 合计ng
i [1+(g −i ) a 1]
1
ng-p
3、票息支付周期内债券的估价
f B 债券的平价：t +k
扣除应计票息后的买价称为市价：B t +k
m
公式：B
f
t +k m f B =B =B +Nr k 或t +k t +k -Nr k
m
t +k
⎧
⎪B t f +k =B t (1+i ) k ⎪
(1+i ) k −1⎪
（1）理论法：⎨Nr k =Nr
i ⎪
k
⎪m (1+i ) −1k B =B (1+i ) −Nr ⎪t +k t ⎩i
⎧B t f +k =B t (1+ki ) ⎪
（2）实务法：⎨Nr k =kNr
⎪m
⎩B t +k =B t (1+ki ) −kNr
⎧B t f +k =B t (1+i ) k ⎪
（3）混合法：⎨Nr k =kNr
⎪m k B =B (1+i ) −kNr ⎩t +k t
4、收益率的确定由p =C +C (g −i ) a n
g −
k =
P −C
可导出C
k k
g −
n +1i ≈i ≈或(=1/2)12n 1+k 1+k
2n 2
⎧i
4、可赎回债券计算收益率时：⎨
⎩i >g (折价发行) : 赎回日尽可能晚
5、系列债券：
系列债券的价格∑p t =
t =1
m
∑
t =1
m
m
g m
K t +(∑C t −∑K t )
i t =1t =1
g =Nr /C
其中：∑K t :所有现金流现值之和
t =1
m
C t ：所有现金流之和∑t =1
m
第二篇利率期限结构
第六章：利率期限结构理论
(1+y i +j ) i +j
1、远期利率：(1+f i , j ) =
(1+y i )
2、Macaulay 久期与修正久期：
N
⎧
⎪久期D mac =∑t i ×w ti
i =1⎨
⎪修正久期D =D /(1+y ) ⎩mod mac
其中w ti =
F :第i 次现金流的现值在现金流总和中所占的比例ti
p (1+y )
w ti =1∑i
=1
N
11
3、M a c a u l a y 凸度与修正凸度：∂D m o d ⎧
凸度C =m a c ⎪∂y ⎪⎨
1⎪修正凸度C
m o d =⎪p ⎩
∑
N
i =1
t i (1+t i ) C t i
(1+y ) t i +2
p −p ⎧
有效久期：D =E ⎪2p 0∆⎪4、⎨
⎪有效凸度：C=p ++p -−2p 0
E 2⎪p (∆) 0⎩
其中p 0、p +、p -表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少∆时对应的价格
第七章随机利率模型
r s ds ) 1、t 时刻银行账户的价值βt =e ∫0
(
t t
r s ds ) ∫0
2、随机折现因子D （t ,T）=e
(−
3、连续复利收益率
B （t ,T）:T时刻到期的零息债券1单位面值在t 时刻的价格R （t ,T）：连续复利收益率
R （t ,T）(T −t ) ⎧e （B t ,T）=1⎪⎨-R （t ,T）(T −t ) B （t ,T）=e ⎪⎩
4、远期单利F l (t,T,S)与远期复利F e (t,T,S),t时刻期限为[T,S]1B (t , T ) ⎧F (t,T,S)=(−1) l ⎪S −T B (t , S ) ⎪⎨
⎪F e (t,T,S)=1ln B (t , T ) ⎪S −T B (t , S ) ⎩
5、远期瞬时利率f (t , T )=−
∂ln B (t , T )
∂T
T
⎧-∫f (t , u )du
B t ,T）=e t
⎪零息债券价格：（⎨1T ⎪连续复利收益率:（R t ,T）=f (t , u )du ∫t T −t ⎩
12
6、Ho-Lee 模型的应用
短期利率满足：r t +1=r t +a (t ) ∆t +随机变量ε在u 出现时取+1，在d 出现时取-1
7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程
⎧dr t =u (t , r t ) dt +σ(t , r t ) dW t ⎪
⎛∂B ∂B ⎞⎨1∂2B 2∂B dB =+u (t , r ) +σ(t , r ) dt +σ(t , r t ) dW t ⎜t t ⎟2⎪2∂r ∂t ⎝∂t ∂t ⎠⎩
其中u (t , r t ) :漂移项 σ(t , r t ) ：波动项 W t ：标准布朗运动B=B（t ,T）=B(t,T,,rt )
8、利率风险市场价格(λt )
用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合Π然后选择适当的头寸Φ使得Π的风险为零Π=B(t , T 1, r t ) +ΦB (t , T 2, r t )
⎫
m (t , T ) −r t ⎪
∂B (t , T 1, r t ) ∂B (t , T 2, r t ) ⎬⇒λt =
v (t , T ) +Φ=0⎪
∂r ∂r ⎭
1⎛∂B ∂B 1∂2B 2⎞
其中m (t , T ) =⎜+u (t , r t ) +σ(t , r t ) ⎟
B ⎝∂t ∂t 2∂r 2⎠1∂B
σ(t , r t ) B ∂t
9、Vasicek 模型及其下的债券定价
v (t , T ) =
模型：dr t =α(u-r t ) dt +σdW t ⋯⋯α、u 、σ为正的常数模型的解为：r t =r 0e −αt +u (1−e −αt ) +σ∫0e −α(t −u ) dW u 零息债券的价格：
B (t , T ) =e a (τ) −b (τ) r t
1−e −αt
其中：τ=T−t , b (τ) =
α
λσσ2λσσ2σ2−2ατ
a (τ) =b (τ)(u −−) −(u −−τ+(1−e ) 3
αα2α2α24α
9、CIR模型及其下的债券定价
模型：dr t =α(u-r t ) dt +σt ⋯⋯α、u 、σ为正的常数该模型下风险的市场价格为：λ(t , r t ) =
t
第三篇金融衍生工具定价理论
第八章金融衍生工具介绍
⎧F=S0e rt ⎪
1、远期的定价⎨F =S 0e (r −q ) t ........... q ：连续复利率
⎪F =(S −I ) e rt ....... I ：离散红利
0⎩2、t 时刻持有远期合约的价值：（0≤t ≤T ）
⎧f t =(F t −F 0) e −r (T −t )
⎪−r (T −t )
⎧-(S 0−I ) e rt ⎨⎪中间收入I ：f t =F t e
⎪如果有中间收入⎨−r (T −t ) (r −q ) t
提供红利q :f =F e -S e ⎪⎩t t 0⎩
3、远期利率平价公式
i 、i *:本币和外币的利率（假定借款利率=贷款利率）S t :外币的以本币标价的即期汇率（S t 本币/外币）
外币远期的价格为F (t , T ) F (t , T ) 1+iT ⇒=(一般不超过一年故采用单利)
S t 1+i *T F (t , T ) 1+iT >(持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）
S t 1+i *T
4、远期利率协议（1）结算时金额：∆=N
|S-F|×T
1+S ×T
其中：S：目标利率；F：远期价格，T：远期期限（2）远期价格F =f t , t +T
满足：(1+rt t )(1+f t , t +T T ) =[1+r t +T (t +T )]5、期货合约的盈亏：∆=nN0|Z t +1−Z t |
期货合约保证金账户盈亏代数和为：N 0|S t −Z 0|无论盈亏都只需交N 0Z 0
6、利率期货
（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月）
1若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如○
94.79→94.80或94.78），则一份合约的买方或卖方将支付25远。对于本金100万而言，一个季度每个基点的价值为：
100 ×0.01%×
1
=25( ) 4
1+rT 1
r 2T 2−rT 112远期利率f 满 (1+rT ○)(1+0.25f ) =(1+r T ) ⇒f =4×1122
3套期保值原理(N：被保资产金额D：保质期限S 存款利率变动○
的基点n：合约的份数）
n =
N D ××S 90
(2)长期利率期货1国债期货：○
点数价值：价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额2转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债○
券的价格。如：若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%，剩余期限为2年，则付息日的转换因子为：
CF =[
333100+3
+++]/100
(1+4%)(1+4%)2(1+4%)3(1+4%)4
（3）交割债券的选择（最廉价交割债券）
卖方在债券的现货市场上可以以P+A价格买到债券（P：债券净价，A：应计利息）；在期货交割时卖方将收到买方现金CF ×Z +A （Z：债券期货的价格），同时支付债券。显然A 不影响卖方的成本，卖方的净交割成本为：P −CF ×Z
（4）国债的定价类似于：F =(S 0−I ) e rt .
例题：假设某国债期货党的CTD 债券的票息率为12%；CF=1.4.假定在270天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以过了60天，利息力为r=0.1;债券报价为120；可按如下方法计算期货的价格Z：解：（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每100元面值的利息）
120+
60
×6=121.978182
−132
0.1365
（2）计算期货的现金价格：
(121.978-6×e 125.095−6×
) ×e
2700.1365
=125.095
（3）计算以CTD 债券为基础资产的期货价格：
148
=120.242183
（4）利用转换因子CF 计算国债期货的价格：
Z =
120.242
=85.8871.4
（5）国债期货套期保值原理
基点价值bpv ：收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。如：面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%，若当前市场利率为10%，则该债券的bpv 为：
3
[***********]0000
bpv =(∑+) −(+∑t 3t 3
(1+10%)(1+10.01%)t =1(1+10%)t =1(1+10.01%)
3
7、看涨看跌期权平价公式
c t +Ke −r (T −t ) =p t +S t
其中c t ：t时刻的看涨期权的价格
看涨期权的执行价格K
p t ：t时刻的看跌期权的价格S t ：t时刻的基础资产价格
8、期权价值的影响因素
（1）基础资产价格S t ：对看涨期权S t 越大，价格越高
对看跌期权S t 越大，价格越低
（2）执行价格K 对看涨期权K 越大，价格越高
对看跌期权K 越大，价格越低
（3）到期期限T：对美式而言，T越长，价格越高
对欧式而言，不一定
（4）无风险率r：r越高，价格越高
（5）基础资产价格波动率σs ：σs 越大，期权价格越高。9、期权价格的界
−r (T −t )
⎧≤c t ≤S t ⎪ 涨 权:St −Ke
（1）欧式期权：⎨−r (T −t )
-S t ≤p t ≤Ke −r (T −t ) ⎪⎩ 权:Ke
−r (T −t )
⎧≤c t ≤S t ⎪ 涨 权:St −Ke
（2）美式期权：⎨
⎪⎩ 权:K -
S t ≤p t ≤K
10、
11
、
第九章金融衍生工具定价理论
1、单期二叉树期权定价模型
设目前为0期，期权合约的基础资产（如股票）价格的现行市场价格为S，在下一期股票价格变动只存在两种可能的结果：或者股票价格上升至S u ，或者股票价格下降至S d ，而上升或下降的概率呈二次分布状。在这里下标号u 和d 表示变量数值上升或下降为原数值的倍数，即u>1，d
[例8-1]设股票的现价(S)为$100,3月看涨期权的执行价格(K)为
$110。在U=1.3和d=0.9情况下，期权价值？解
：
资产目前成本与未来价值
$130×δ-$20=$90×δ(风险中性假定）δ=0.5
股票上涨：VT=$130×0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90x0.5=$45
根据有效市场的假设，在不冒风险的情况下，人们在金融市场上只能赚得无风险利率。换言之，资产组合在当前的价值，是其在到期日的价值($45)按无风险利率进行贴现后的现值。假定无风险利率为10%，而且按连续复利进行贴现，那么：V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100x0.5-cC=50-43.89=$6.11
18
19
2、N期模型的通用公式
c =e
−rT
n ! j n −j j n −j
[(1−q ) m ax (su d −k , 0)]∑j !(n −j ) ! j =o
n ! j n −j j n −j [(1−q ) m ax (k −su d , 0)]∑j !(n −j ) ! j =o
n
n
p =e
−rT
e r −d
q =
u −d
3、Black-Scholes
模型
f (t , S t ) =S t Φ(d 1) −K e d 1
−r (T −t )
Φ(d
2
)
S t 1l o g +(r +σ2) (T −t )
=
d
2
=d 1−σ
20
4、希腊字母及其意义：（1）、∆=
∂f
⋯f 为衍生品德价格∂S t
意义：∆度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响，因此∆是对基础资产价格敏感性的度量。（基础资产本身的∆=1）可以通过资产组合达到∆中立状态，即∆=0.
∂2f α∆Γ==2（2）∂S t ∂S t
意义：Γ度量了基础资产价格的变化对∆影响，即度量了衍生品价格与基础资产价格之间的凹凸性。若某个时刻基础资产处于∆=0，当基础资产价格发生变化时资产组合新的加权∆可能不为0. 如果Γ
∂f ∂
σ
s
对于欧式看涨期权：ν=S t φ(d 1ν度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格影响。
∂f
（4）ρ=
∂r 对于欧式看涨期权：ρ=τKe Φ(d 2)
ρ度量了无风险利率的变化对衍生品价格的影响。（5）θ=
∂f ∂
t
−r τ
对于欧式看涨期权：价格的影响。
θ=−rKe
−r τ
Φ(d 2) −S t φ(d 1)
θ是衍生品时间价值变化的度量参数，它度量了时间的推移对衍生品
12
df =△ds +Γds +υd σs +ρdr +θdt 总结五个希腊字母：
2
第四篇投资组合理论
第十章投资组合理论1、度量风险的方法：变异系数=
σW E W
收益率的方差和标准差σR 2=p [r 1−E (R )]2+(1−p )[r 2−E (r )]2
2、风险溢价一般解释：当前投资超出无风险投资收益的超额收益3、财富效用函数（满足：U ' (w ) >0; U '' ≤0）常见的几种形式：线性效应函数U (w ) =w
二次效应函数U (w )=-(α−w )2, (w ≤α)
指数效应函数U (w ) =−αe −αw ,(α>0) 对数效应函数U (w ) =log(α+w ), (w >−α) 幂函数效应函数U (w ) =w c , (w >0, 0
4、Jensen不等式：如果U (w ) 是一个凹函数，ξ是一个具有有限均值的随机变量，则下式成立：
E (U (w +ξ) ≤[U (w ) +E (ξ)]
当E (ξ) =0，则E (U (w +ξ) ≤U (w ) 5、投资效用函数
最常用的投资效用函数：U (u R +σR ) =u R −0.5A σR 2
u R σR 分别为期望收益与收益率的标准差，A>0：风险厌恶系数6、风险厌恶的度量：
⎧E (U (w +ξ)
⎨E (U (w +ξ) =U (w ) ⎪E (U (w +ξ) >U (w ) ⎩
U '' (w )
绝对风险厌恶系数：A w =−'
U (w ) wU '' (w )
相对风险厌恶系数：R w =−'
U (w )
7、两风险资产组合
E (R P ) =wE (R A ) +(1−w ) E (R B )
σR 2=(w σA ) 2+[(1−w ) σB ]2+2w (1−w ) σA σB ρAB
8、一个风险资产A 无风险资产投资组合收益率R P =(1−w ) r f +wR A
投资组合期望收益率：E (R p ) =(1−w ) r f +w ×E (R A ) 投资组合标准差：σP =w σA
9、风险报酬率（Sharpe比率）
λ=
E (R A ) −r f
σA
σp σM
=
10、最优资产组合的求解投资在市场组合M 上的比列：w =
E (R M ) −r f
2A σM
考虑两个风险资产A、B
则该风险组合的预期收益和方差分别为：
E (R p ) =w A E (R A ) +(1−w ) E (R B )
σ2P =w 2A σ2A +(1−w ) 2σ2B +2w A (1−w B )cov A B
E (R p ) −r f
此时风险报酬率：λmax =max
w A σp
而w A =
[E (R A ) −r f ]σ2B −[E (R B ) −r f ]covA B
[E (R A ) −r f ]σ2B +[E (R B ) −r f ]σ2A −[E (R A ) −r f +E(R B ) −r f ]covAB
第十一章CAPM 和ＡＰＴ１、风险市场价格：
E (R M ) −r f
2σM
E (R i ) =r f +βi [E (R p ) −r f ]
２、期望－贝塔关系：
βi =
cov(R i , R M ) σ2M
３、对任意风险资产组合Ｐ
E (R p ) =r f +βp [E (R p ) −r f ]
βp =w 1β1+w 2β2+⋯w N βN =∑w i βi
i =1N
４、
其斜率为市场组合的风险溢价E (R p ) −r f
４、ＣＡＰＭ的另一种常用形式：
R i =r f +βi (R M −r f ) +εi ( ) σi 2=βi 2σ2M +σε2i ( )
５、资产估值：
23
E (p 1+D ) ⎧
E(R)=−1i ⎪P 0⎪⎨
⎪p =E (p 1+D ) 0⎪1+E (R i ) ⎩
６、ＣＡＰＭ在业绩评估中的应用
（１）：Ｊｅｎｓｅｎ指数：J p =r p −{r f +βp [E (R A ) −r f ]}（越大越好）（２）Ｔｒｅｙｎｏｒ指数：T p =
−−−
r p −r f βp
（越大越好）
（３）Ｓｈａｒｐｅ指数：S p =
r p −r f σp
（越高越好）
７、套利定价模型（ＡＰＴ）（１）单因素模型：R i =αi +βi F +εi
资产组合收益率：R p =∑w i αi +∑w i βi R M +∑w i εi
i =1
i =1
i =1
n
n
n
σ2P =βp 2σM 2+σ2(εp ) βp =∑w i βi
i =1n
σ(εp ) =∑(w i σ2(εi )) 2
2
n
i =1
（２）双因素模型：R i =αi +βi 1F 1+βi 2F 2+εi
E (R i ) =αi +βi 1E (F 1) +βi 2E (F 2)
σi 2=β2i 1σ2F 1+β2i 2σ2F2+2βi 2βi 2cov(F 1, F 2) +σ2(εi )
８、套利组合：
⎧w 1+w 2+⋯+w n =0............ 组
⎪
⎨w 1β1j +⋯w n βn j =0............. 组 没 统风险⎪
⎩w 1E (R 1) +⋯w n E (R n ) >0... 组
习题部分
资产组合理论：
1、假如有A 和B 两种股票，它们的收益是相互独立的。股票A 的收益为15%的概率是40%，而收益为10%的概率是60%，股票B 的收益为35%的概率是50%，而收益为-5%的概率也是50%。
（1）这两种股票的期望收益和标准差分别是多少？它们的收益之间的协方差是多少？
（2）如果50%的资金投资于股票A ，而50%的资金投资于股票B ，问该投资组合的期望收益和标准差分别是多少？
答案：（1）股票A 的期望收益E(RA ) =0.4×15%+0.6×10%=12%;股票A
的标准差
σA ==0.0245。
股票B 的期望收益E(RB ) =0.5×35%+0.5×(−5%)=15%;股票B
的标准差
σB ==0.2
因为股票A 和股票B 的收益是相互独立的，所以它们收益之间的协方差为0。
（2）该投资组合的期望收益
E （R P ）=0.5×E(RA ) +0.5×E(RB ) =0.5×12%+0.5×15%=13.5%,
标准
差
σP ===0.1007
2、假设有两种基金：股票基金A ，债券基金B ，基金收益率之间相关系数为0.05，概率分布如下：A ：期望收益10%标准差20%
B ：期望收益5%标准差10%计算：（1）基金的最小方差组合中每种基金的投资比例各是多少？
（2）最小方差组合的期望收益和标准差是多少？
答案：（1）设组合中A 基金投资比例为X ，那么B 基金投资比例为1-X 。组合的方差
σP 2=x 2σA 2+(1−x) 2σB 2+2x(1−x) ρσA σB =0.22x 2+0.12(1−x) 2+0.1⋅0.2⋅0.1x(1−x)
是关于X 的一元二次方程，其最小的条件是关于X 的导数为0。对X 求导，并使其等于0，得：
0.096x =0.018，解得：X=0.1875,1-X=0.8125
所以最小方差组合中A 基金的投资比例为0.1875，B 基金的投资比例为0.8125。
（2）最新方差组合的期望收益
E (R P )=xE(R A ) +(1−x)E(R B ) =0.1875×10%+0.8125×5%=
5.9375%
标准差
σP ===0.0912
CAPM ：
3、假设国库券利率是4%，市场组合的期望收益率是12%，根据CAPM ：
（1）画图说明期望收益和β之间的关系（2）市场的风险溢价是多少？
（3）如果一个投资项目的β为1.5，那么该投资的必要回报率是多少？
（4）如果一个β为0.8的投资项目可以获得9.8%的期望收益率，那么是否应该投资该项目？（5）如果市场预期一只股票的期望收益率为11.2%，那么该股票的β是多少？答案：（1）
（2（3）E （R ）=4%+（12%-4%）*1.5=16%
（4）该项目必要回报率E （R ）=4%+（12%-4%）*0.8=10.4%，而只能获得9.8%的期望收益率，小于10.4%，所以不应该投资该项目。（5）11.2%=4%+（12%-4%）*β，解得：β=0.9。
4、假设无风险收益率为6%，市场组合的预期收益率为10%，某资产组合的β系数等于1.2。根据CAPM 计算：(1)该资产组合的预期收益率等于多少？(2)假设某股票现价为20元，其β=0.8，预期该股票1年后股价为23元，期间未分配任何现金股利。请问投资者应该看多还是应该看空该股票？答案：（1）该资产组合的预期收益率E （R ）=6%+（10%-6%）*1.2=10.8%(2)该股票的期望收益率为E(R)=6%+（10%-6%）*0.8=9.2%，按照期望收益率将一年后股价贴现到现在得到现在股票的价值:23/(1+9.2%)=21.06。而该股票的现价20
5、考虑一个单因素APT 模型，股票A 和股票B 的期望收益率分别为15%和18%，无风险利率是6%，股票B 的β为1.0。如果不存在套利机会，股票A 的β应该是多少？
答案：根据APT ，对于股票B ：18%=6%+1.0F，解得：F=12%对于股票A ：15%=6%+βF=6%+12%β，解得：β=0.75。
6、考虑一个多因素APT 模型，股票A 的期望收益率是17.6%，关于因素1的β是1.45，关于因素2的β是0.86。因素1的风险溢价是3.2%，无风险利率是5%，如果不存在套利机会，那么因素2的风险溢价是多少？答案：根据APT ，有：17.6%=5%+1.45*3.2%+0.86*F2，解得：F2=9.26%因此，因素2的风险溢价是9.26%。7、考虑一个多因素APT 模型，假设有两个独立的经济因素F1和F2，无风险利率是6%，
两个充分分散化了的组合的信息如下：
对应因素1对应因素2
组合期望收益
的β的β
A 1.02.019%B 2.00.012%
如果不存在套利机会，那么因素1和因素2的的风险溢价分别是多少？
答案：设因素1和因素2的风险溢价分别为R1和R2，根据APT ，有：
对于组合A ：19%=6%+1.0R1+2.0R2对于组合B ：12%=6%+2.0R1
联立以上两个等式，解得：R1=3%，R2=5%
因此，因素1和因素2的风险溢价分别为3%和5%。8、已知股票A 和股票B 分别满足下列单因素模型：
R A =0.1+0.9M +εA R B =0.05+1.1M +εB σM =0.2σ(εA ) =0.3
σ(εB ) =0.1
（1）分别求出两个股票的标准差及他们之间的协方差。
（2）用股票
A 和B 组成一个资产组合，两者所占比重分别为0.4
和
0.6，求该组合的非系统性标准差。答案：（1）股票A 的标准差
σA =
==0.3499
股票A 的标准差σB ===0.2417股票A 和股票B 的协方差
σAB =COV (R A , R B ) =COV (0.1+0.9M +εA , 0.05+M +εB ) =COV M M ) =0.99σM 2=0.99⋅0.22=0.0396
（2）组合的收益率
R P =0.4R A +0.6R B =0.4(0.1+0.9M +εA ) +0.6(0.05+M +
εB )
组合的非系统性标准差
σε===0.1342
9、假设每种证券的收益可以写成如下两因素模型：
R it =E (R it ) +βi 1F 1t +βi 2F 2t ，其中：R it 表示第i 种证券在时间t 的收
益，F 1t 和F 2t 表示市场因素，其数学期望等于0，协方差等于0。此外，资本市场上有2种证券，每种证券的特征如下：证券E（Rit)βi1βi2110%10.5210%1.50.75
（1）建立一个包括证券1和证券2的投资组合，但是其收益与市场
因素F 1t 无关。计算该投资组合的期望收益和贝塔系数β2。（2）设有一个无风险资产的期望收益等于5%，β1=0，β2=0，是
否存在套利机会？
答案：(1)设组合中证券1的投资比例为X ，那么证券2的投资比例
R pt =XR 1t +(1−X ) R 2t
为1-X 。
=X [E (R 1t ) +β11F 1t +β12F 2t ]+(1−X )[E (R 2t ) +β21F 1t +β22F 2t ]
因为其收益与市场因素F 1t 无关，所以组合关于F 1t 的贝塔应该为0，即：
X β11+(1−X ) β21=0X +(1−X )1.5=0
解得：X=3，1-X=-2，所以E (R pt ) =3(10%)−2(10%)=10%
βp 2=X β12+(1−X ) β22=3(0.5)−2(0.75)=0
所以其收益与市场因素F 1t 和F 2t 都无关。
（2）因为（1）中投资组合收益与市场因素F 1t 和F 2t 都无关，所以是无风险的投资组合，其收益为10%，高于无风险资产5%的期望收益，所以应该借入期望收益为5%的无风险资产，然后投资于（1）中10%的投资组合。