数学校本课程开发方案
目标：以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成果，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。
内容：让学生体会数学可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，培养学生良好的思维习惯，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。
开发人员：李明良 梁晓辉 李文文 宋洪军孙蕾 曾宪秀 王永秀
参加人员：高一一班学生
实施时间：星期三第四节
实施方式：教室
管理与评价：课程评价可分为课程本身评价、教师授课评价和学生学习评价。
课程本身评价主要指对《课程纲要》的评价，包括课程目标是否与学校教育目标相符，课程是否有利于学生的发展等。教师授课评价主要是对教师教学过程的评价。学生学习评价主要对学生在学习过程中，知识与技能等方面取得的成绩做出评价。评价方法有观察、调查、测验、学习成果展示等。
课程实施计划
目标：探索中巩固所学到的数学知识，培养学生善于观察，善于联想，善于将问题转化培养学生热爱数学，热爱生活，将数学知识应用于生活实际的能力 探索讲授内容：第一章：变通性思维的培养，第二章：反思性思维的培养
第三章：严密性思维的培养，第四章：开阔性思维的培养，第五章：数学解题思维过程
时间安排： 每周三第四节
诸城繁华中学校本课程
课程名称：数学思维的培养
开发人： 李明良 李文文 梁晓辉
曾宪秀 孙蕾 王永秀 宋洪军
学科： 数学
第一章 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
（2）善于联想
（3）善于将问题进行转化
（1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知a , b , c , d 都是实数，求证a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
证明 不妨设A (a , b ), B (c , d ) 如图1－2－1所示，
则AB =(a -c ) +(b -d ) .
OA =a 2+b 2, OB =c 2+d 2, 22 在∆OAB 中，由三角形三边之间的关系知：
+OB ≥AB 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。
因此，a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
例2 已知3x 2+2y 2=6x ，试求x 2+y 2的最大值。
解 由 3x 2+2y 2=6x 得
3y 2=-x 2+3x . 2 3 y 2≥0, ∴-x 2+3x ≥0, ∴0≤x ≤2. 2
又x 2+y 2=x 2-3219x +3x =-(x -3) 2+, 222
19∴当x =2时，x 2+y 2有最大值，最大值为-(2-3) 2+=4. 22
思路分析 要求x 2+y 2的最大值，由已知条件很快将x 2+y 2变为一元二次函数
19f (x ) =-(x -3) 2+, 然后求极值点的x 值，联系到y 2≥0，这一条件，既快又准地求出最大22
值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
例3 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c =0(a >0), 满足关系
f (2+x ) =f (2-x ) ，试比较f (0. 5) 与f (π) 的大小。
思路分析 由已知条件f (2+x ) =f (2-x ) 可知，在与x =2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线x =2对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由f (2+x ) =f (2-x ) ，
知f (x ) 是以直线x =2为对称轴，开口向上的抛物线
它与x =2距离越近的点，函数值越小。 2-0. 5>2-π∴f (0. 5) >f (π) （2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
⎧x +y =2例如，解方程组⎨. xy =-3⎩
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 t 2-2t -3=0的两个根，
⎧x =-1⎧x =3所以⎨或⎨. 可见，联想可使问题变得简单。 y =3y =-1⎩⎩
例4 在∆ABC 中，若∠C 为钝角，则tgA ⋅tgB 的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在∆ABC 中确定三角函数tgA ⋅
tgB 的值。因此，联想到三角函数正切的
两角和公式tg (A +B ) =tgA +tgB 可得下面解法。 1-tgA ⋅tgB
解 ∠C 为钝角，∴tgC
且A 、B 均为锐角，
tgA +tgB
tgA >0, tgB >0, ∴1-tgA ⋅tgB >0. 即tgA ⋅tgB
故应选择（B ）
例5 若(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 证明：2y =x +z .
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当x -y ≠0时，等式 (z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0
可看作是关于t 的一元二次方程(x -y ) t 2+(z -x ) t +(y -z ) =0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： y -z =1即 2y =x +z x -y
若x -y =0，由已知条件易得 z -x =0, 即x =y =z , 显然也有2y =x +z .
例6 已知a 、b 、c 均为正实数, 满足关系式a 2+b 2=c 2, 又n 为不小于3的自然数，求证:a n +b n
思路分析 由条件a 2+b 2=c 2联想到勾股定理, a 、b 、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C . 则C 是直角，A 为锐角，于是 a b sin A =, cos A =, 且0
当n ≥3时，有sin n A
于是有sin n A +cos n A
a b 即 () n +() n
从而就有 a n +b n
（3）问题转化的训练
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1111例如，已知++=, (abc ≠0, a +b +c ≠0) , a b c a +b +c
求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：(a +b )(b +c )(c +a ) =0 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
1 转化成容易解决的明显题目 ○
111++=1, 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。 a b c
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
111证明 ++=1, ∴bc +ac +ab =abc . a b c 例11 已知a +b +c =
于是 (a -1)(b -1)(c -1) =abc -(ab +ac +bc -1) +(a +b +c ) =0.
∴ a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，即a 、b 、c 中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
p p 例12 直线L 的方程为x =-，其中p >0；椭圆E 的中心为O '(2+, 0) ，焦点在X 轴22
p 上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为A (, 0) ，问p 在什么范围内取值时，椭圆上2
有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y 2=2px （1）
是，又从已知条件可得椭圆E 的方程为
[x -(2+
4p 2)]+y 2=1 （2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p 的取值范围。将
（2）代入（1）得： p 2
+2p =0. （3） x +(7p -4) x +42
确定p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组： ⎧p 2
2+2p ) >0⎪(7p -4) -4(4⎪2⎪p ⎨+2p >0
⎪4
⎪⎪⎩7p -4
在p >0的条件下，得0
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。 2 逆向思维的训练 ○
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数f (x ) =2x 2+mx +n ，求证f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于1. 思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即f (1) 、f (2) 、f (3) 都小于1。 ⎧f (1)
⎪⎪-1
①＋③得 -11
○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数z 的模为2，求z -i 的最大值。
解法一（代数法）设z =x +yi (x 、y ∈R ) ，
则x 2+y 2＝4. z -i =x 2+(y -1) 2=-2y .
y ≤2, ∴当y =-2z -i max =3.
解法二（三角法）设z =2(cosθ+i sin θ),
则 z -i =4cos 2θ＋（2sin θ-1) 2=-4sin θ.
∴当sin θ=-1z -i max =3.
解法三（几何法）
z =2, ∴点z 是圆x 2+y 2=4上的点， z -i 表示z 与i 所对应的点之间的距离。如图1－2－3 所示，可知当z =-2i 时，
z -i max =解法四（运用模的性质）
z -i ≤z +-i =2+1=3
而当z =-2i 时，z -i =3. ∴z -i max =3.
解法五（运用模的性质）
z -i =(z -i ) (z -i ) =z +(z -) i +1 2图1－2－3
=5+2I (z ), (I (z ) 表z 的虚部）.
又 I (z ) ≤2, ∴z -i max =9, ∴z -i max =3. 2
第二章 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
x 例1 已知f (x ) =ax +，若-3≤f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围。 b
错误解法 由条件得
⎧-3≤a +b ≤0⎪ ⎨ ②×2－b 3≤2a +≤6⎪2⎩
①得6≤a ≤15 ③
8b 2≤≤- ④则 333
10b 431043, 即≤f (3) ≤. ③+④得 ≤3a +≤33333
x 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f (x ) =ax +，b
其值是同时受a 和b 制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有 ①×2－②得 -
⎧f (1) =a +b ⎪⎨b f (2) =2a +⎪2⎩
12解得：a =[2f (2) -f (1)],b =[2f (1) -f (2)], 33
b 165∴f (3) =3a +=f (2) -f (1). 399
1637把f (1) 和f (2) 的范围代入得 ≤f (3) ≤. 33
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2 证明勾股定理：已知在∆ABC 中，∠C =90︒，求证c 2=a 2+b 2.
错误证法 在Rt ∆ABC 中，sin A =
a b ∴() 2+() 2=1，即c 2=a 2+b 2. c c a b , cos A =, 而sin 2A +cos 2A =1， c c
错误分析 在现行的中学体系中，sin 2A +cos 2A =1这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1，求a n .
错误解法 a n =S n -S n -1=(2n +1) -(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1.
错误分析 显然，当n =1时，a 1=S 1=3≠21-1=1，错误原因，没有注意公式a n =S n -S n -1成立的条件是n ≥2(n ∈N ). 因此在运用a n =S n -S n -1时，必须检验n =1时的情形。即：
⎧S 1(n =1) a n =⎨
⎩S n (n ≥2, n ∈N )
例4 实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=错误解法 将圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线 y 2=
1
x 有两个公共点。 2
1
x 联立，消去y ， 2
1
得 x 2-(2a -) x +a 2-1=0(x ≥0). ①
2
⎧∆=0⎪1⎪
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎨2a ->0
2⎪2⎪⎩a -1>0.
17
. 8
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a =0时，圆与抛物线有两个公共点。 要使圆与抛物
线有两个交点的充
等正根。
当得 解之，得a =
⎧∆>0
解之，得-1
⎩a -1
思考题：实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=
1
x ， 2
171
或-1
（1） 有一个公共点；
（2） 有三个公共点； （3） 有四个公共点； （4） 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强
思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。
例5 解方程x 2-2x +3=cos x .
考察方程两端相应的函数y =(x -1) 2+2, y =cos x ，它们的图象无交点。 所以此方程无解。
例6 设α、β是方程x 2-2kx +k +6=0的两个实根，则(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是（ ）
49
(A ) -; (B ) 8; (C ) 18; (D ) 不存在
4
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k , αβ=k +6,
∴
(α-1) 2+(β-1) 2=α2-2α+1+β2-2β+1
=(α+β) 2-2αβ-2(α+β) +2 349
=4(k -) 2-.
44
49
，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的4
体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
有的学生一看到-
原方程有两个实根α、β，
∴∆=4k 2-4(k +6) ≥0, ∴k ≤-2或k ≥3.
当k ≥3时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是8；当k ≤-2时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。
第三章 数学思维的严密性
一、概述
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：
概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定
基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很
1
容易导致判断错误。例如，“函数y =() -x 是一个减函数”就是一个错误判断。
3
推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
1
例如，解不等式x >.
x
1
∴x 2>1, 解 x >, x
1
∴x >1, 或 x 推导x 2>1时，没有讨论x 的正、
x
负，理由不充分，所以出错。
二、思维训练实例
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”
例1、 不等式 log (x 2+2) (3x 2-2x -4) >log (x 2+2) (x 2-3x +2).
错误解法 x 2+2>1,
∴3x 2-2x -4>x 2-3x +2,
∴2x 2+x -6>0, ∴x >
3
或x
3），说明解2
法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。
错误分析 当x =2时，真数x 2-3x +2=0且x =2在所求的范围内（因 2>
正确解法 x 2+2>1
⎧1+1-x >或x 033⎪⎪2⎪
∴⎨x -3x +2>0 ∴⎨x >2或x
⎪⎪3x 2-2x -4>x 2-3x +23
⎩⎪x >或x
⎪2⎩
∴x >2或x
例2、 求过点(0, 1) 的直线，使它与抛物线y 2=2x 仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1，则它与抛物线的交点为
⎧y =kx +1
，消去y 得：(kx +1) 2-2x =0. ⎨2
⎩y =2x
整理得 k 2x 2+(2k -2) x +1=0. 直线与抛物线仅有一个交点，
∴∆=0, 解得k =
11
. ∴所求直线为y =x +1. 22
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y =kx +1时，没有考虑k =0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k ≠0, 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点(0, 1) ，所以x =0, 即y 轴，它正好与抛物线y 2=2x 相切。
当所求直线斜率为零时，直线为y =1, 平行x 轴，它正好与抛物线y 2=2x 只有一个交点。 设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1(k ≠0) 则
⎧y =kx +1122
k =. ∴所求直线为， 令解得∆=0, k x +(2k -2) x +1=0. ∴⎨2
2⎩y =2x
1
x +1. 2
综上，满足条件的直线为：
1
y =1, x =0, y =x +1.
2 y =
(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。
例3、 实数m ，使方程x 2+(m +4i ) x +1+2mi =0至少有一个实根。
错误解法 方程至少有一个实根，
∴∆=(m +4i ) 2-4(1+2mi ) =m 2-20≥0. ∴m ≥2, 或m ≤-2.
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设a 是方程的实数根，则
a 2+(m +4i ) a +1+2mi =0, ∴a +ma +1+(4a +2m ) i =0. 由于a 、m 都是实数，
∴
⎧a 2+ma +1=0
⎨
4a +2m =0⎩
2
解得 m =±2.
②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道：
如果A 成立，那么B 成立，即A ⇒B ，则称A 是B 的充分条件。 如果B 成立，那么A 成立，即B ⇒A ，则称A 是B 的必要条件。 如果A ⇔B ，则称A 是B 的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式x -1≥x -3. 错误解法 要使原不等式成立，只需
⎧x -1≥0⎪
, 解得3≤x ≤5. ⎨x -3≥0
⎪x -1≥(x -3) 2⎩
⎧A ≥0
⎧A ≥0⎪
错误分析 不等式A ≥B 成立的充分必要条件是：⎨B ≥0或 ⎨
⎩B ≤0⎪A ≥B 2
⎩
⎧x -1≥0
⎧x -1≥0⎪
原不等式的解法只考虑了一种情况⎨x -3≥0，而忽视了另一种情况⎨，所
x -3
⎩
考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。
正确解法 要使原不等式成立，则
⎧x -1≥0
⎧x -1≥0⎪
或 x -3≥0⎨⎨
⎪x -1≥(x -3) 2⎩x -3
∴3≤x ≤5，或1≤x ≤3.
∴ 原不等式的解集为 {x |1≤x ≤5}
例6（轨迹问题）求与y 轴相切于右侧，并与
⊙C :x 2+y 2-6x =0也相切的圆的圆心 的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示， 已知⊙C 的方程为(x -3) 2+y 2=9.
1
设点P (x , y )(x >0) 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与y 轴相切于M 点， 与⊙C 相切于N 点。根据已知条件得
|CP |=|PM |+3，即(x -3) 2+y 2=x +3.
化简得 y 2=12x (x >0).
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y =0(x >0且x ≠3) 也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y 2=12x (x >0) 和
y =0(x >0且x ≠3) 。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列{a n }的全n 项和为S n . 若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q . 错误解法 S 3+S 6=2S 9,
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9) ∴+=2⋅
1-q 1-q 1-q
整理得
q 3(2q 6-q 3-1）＝0.
由q ≠0得方程2q 6-q 3-1=0. ∴(2q 3+1)(q 3-1) =0, ∴
4q =-或q =1
2
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)
错误分析 在错解中，由 +=2⋅
1-q 1-q 1-q
整理得q 3(2q 6-q 3-1）＝0. 时，应有a 1≠0和q ≠1. 在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q =1的情况，再在q ≠1的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若q =1，则有S 3=3a 1, S 6=6a 1, S 9=9a 1. 但a 1≠0，即得S 3+S 6≠2S 9, 与题设矛盾，故q ≠1. 又依题意 S 3+S 6=2S 9,
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)
可得 +=2⋅
1-q 1-q 1-q 整理得
q 3(2q 6-q 3-1）＝0. 即(2q 3+1)(q 3-1) =0,
因为q ≠1，所以q 3-1≠0, 所以2q 3+1=0.
所以 q =-
4. 2
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角
α-y 轴－β等于60︒. 已知β内的曲线C '的方程是y 2=2p x '(p >0) ，求曲线C '在α内的射影
的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线C '是抛物线，
p
在β内的焦点坐标是F '(, 0), p >0.
2
因为二面角α-y 轴－β等于60︒， 且x '轴⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，所以∠xo x '=60︒.
设焦点F '在α内的射影是F (x , y ) ，那么，F 位于x 轴上， 从而y =0, ∠F 'OF =60︒, ∠F 'FO =90︒,
p 1p p
⋅=. 所以点F (, 0) 是所求射影的焦点。依题意，射影是一2244
条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以OF =O F '⋅cos 60︒=
所以曲线C '在α内的射影的曲线方程是y 2=px .
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 是射影(曲线）的焦点，
其次，未经证明默认C '在α内的射影（曲线）是一条抛物线。
正确解法 在β内，设点M (x ', y ') 是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点M 作MN ⊥α，垂足为N ， 过N 作NH ⊥y 轴，垂足为H . 连接MH ， 则MH ⊥y 轴。所以∠MHN 是二面角
α-y 轴－β的平面角，依题意，∠MHN =60︒.
1
x '. 2
又知HM //x '轴（或M 与O 重合），
在Rt ∆MNH 中, HN =HM ⋅cos 60︒=
图3－2
HN //x 轴（或H 与O 重合），设N (x , y ) ，
1⎧
⎪x =x '
则 ⎨2
⎪⎩y =y '
⎧x '=2x
∴⎨'y =y . ⎩
因为点M (x ', y ') 在曲线y 2=2p x '(p >0) 上，所以y 2=2p (2x ).
即所求射影的方程为 y 2=4px (p >0).
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以
已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9
设椭圆的中心是坐标原点，长
图3－2－2
轴x 在轴上，离心率e =程。
3，已知点P (0, ) 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方
22
x 2y 2
错误解法 依题意可设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)
a b c 2a 2-b 2b 23
=1-2=， 则 e =2=
4a a 2a
2
b 21
所以 2=，即 a =2b .
4a
设椭圆上的点(x , y ) 到点P 的距离为d ，
3
则 d 2=x 2+(y -) 2
2
y 29
=a (1-2) +y 2-3y +
4 b
1
=-3(y +) 2+4b 2+3.
2
2
1
所以当y =-时，d 2有最大值，从而d 也有最大值。
2
所以 4b 2+3=(7) 2，由此解得：b 2=1, a 2=4.
x 2
+y 2=1. 于是所求椭圆的方程为4
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。事实上，由于点(x , y ) 在椭圆上，所以有-b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论。即：
若b
1
，则当y =-b 时，d 2（从而d ）有最大值。 2
3311
于是(7) 2=(b +) 2, 从而解得b =7->, 与b
2222
所以必有b ≥
11
，此时当y =-时，d 2（从而d ）有最大值， 22
2
x 2
+y 2=1. 所以4b +3=(7) ，解得b =1, a =4. 于是所求椭圆的方程为4
2
22
例10 求y =28+的最小值 sin 2x cos 2x
错解y =28288 +≥2⋅⋅=sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x |sin x cos x |
16≥16,. ∴y min =16. |sin 2x | =
正确解法 取正常数k ，易得
y =(2822+k sin x ) +(+k cos x ) -k 22sin x cos x
≥2⋅2k +2⋅k -k =6⋅2k -k .
其中“≥”取“＝”的充要条件是
281222=k sin x 且=k cos x ，即tg x =且k =18. 222sin x cos x
1因此，当tg 2x =时，y =6⋅2k -k =18, 2
第四章 数学思维的开拓性
一、概述
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在：
(1) 一题的多种解法
(2) 一题的多种解释
如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变x 换为：log a a , , sin 2x +cos 2x , (loga b ) ⋅(logb a ), sec 2x -tg 2x ，等等。 x
1． 思维训练实例
例1 已知a 2+b 2=1, x 2+y 2=1. 求证：ax +by ≤1.
分析1 用比较法。本题只要证1-(ax +by ) ≥0. 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
1证法1 1-(ax +by ) =(1+1) -(ax +by ) 2
1=(a 2+b 2+x 2+y 2) -(ax +by ) 2
1=[(a 2-2ax +x 2) +(b 2-2by +y 2)]2 1=[(a -x ) 2+(b -y ) 2]≥0, 2
所以 ax +by ≤1.
分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。 ．．．．
证法2 要证 ax +by ≤1.
只需证 1-(ax +by ) ≥0,
即 2-2(ax +by ) ≥0,
因为 a +b =1, x +y =1.
所以只需证 (a +b +x +y ) -2(ax +by ) ≥0,
即 (a -x ) 2+(b -y ) 2≥0.
因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。
分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）
a 2+x 2b 2+y 2a 2+x 2b 2+y 2
, by ≤. ∴ax +by ≤+=1. 证法3 ax ≤2222图4－2－1 22222222即 ax +by ≤1.
分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
证法4 a 2+b 2=1, x 2+y 2=1, ∴可设
∴a =sin α, b =cos α. x =sin β, y =cos β
∴ax +by =sin αsin β+cos αcos β=cos(α-β) ≤1,
分析5 数形结合法：由于条件x 2+y 2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax +by =ax +by
a +b 22. 联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法5 （如图4-2-1）因为直线l :ax +by =0经过
圆x 2+y 2=1的圆心O ，所以圆上任意一点M (x , y )
到直线ax +by =0的距离都小于或等于圆半径1，
即 d =|ax +by |
a +b 22=|ax +by |≤1⇒ax +by ≤1.
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。
例2 如果(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 求证：x 、y 、z 成等差数列。
分析1 要证x 、y 、z ，必须有x -y =y -z 成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。
证法1 (z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0,
∴z 2-2xz +x 2-4xy +4xz +4y 2-4yz =0,
(x +z ) 2-2⨯2y (x +z ) +(2y ) 2=0,
∴(x +z -2y ) =0, x +z -2y =0, 2
故 x -y =y -z ，即 x 、y 、z 成等差数列。
分析2 由于已知条件具有x -y , y -z , z -x 轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。
证法2 设x -y =a , y -z =b , 则x -z =a +b .
于是，已知条件可化为：
(a +b ) 2-4ab =0⇒(a -b ) 2=0⇒a =b ⇒x -y =y -z .
所以x 、y 、z 成等差数列。
分析3 已知条件呈现二次方程判别式∆=b 2-4ac 的结构特点引人注目，提供了构造一
个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。
证法3 当x -y =0时，由已知条件知z -x =0, ∴x =y =z , 即x 、y 、z 成等差数列。 当x -y ≠0时，关于t 的一元二次方程：(x -y ) t 2+(z -x ) t +(y -z ) =0,
其判别式∆=(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 故方程有等根，显然t ＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，
由韦达定理知 t 1⋅t 2=y -z =1⇒x -y =y -z . 即 x 、y 、z 成等差数列。 x -y
简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。
例3 已知x +y =1，求x 2+y 2的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母x 、y ，但已知条件恰有x 、y 的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1 x +y =1, ∴y =1-x .
设z =x 2+y 2，则z =x 2+(1-x ) 2=2x 2-2x +1.
二次项系数为2>0, 故z 有最小值。
2-214⨯2⨯1－（－2）1=时，z 最小值＝＝. 当x =-∴ 2⨯224⨯22
1∴ x 2+y 2的最小值为. 2
分析2 已知的一次式x +y =1两边平方后与所求的二次式x 2+y 2有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 x +y =1, ∴(x +y ) 2=1, 即x 2+y 2=1-2xy .
2xy ≤x 2+y 2, ∴x 2+y 2≥1-(x 2+y 2).
111, 当且仅当x =y =时取等号。∴ x 2+y 2的最小值为. 222
分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。 即 x 2+y 2≥
解法3 设z =x 2+y 2.
1111 x +y =1, ∴z =x 2+y 2-x -y +1=(x -) 2+(y -) 2+≥. 2222
111∴ 当x =y =时，z 最小＝. 即x 2+y 2的最小值为. 222
分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，x +y =1表示直线l , x 2+y 2
表示原点到直线l 上的点P (x , y ) 的距离的平方。
显然其中以原点到直线l 的距离最短。 此时，d =|0+0-1|
2=22, 即(x 2+y 2) 最小＝. 22
1所以x 2+y 2的最小值为. 2
22注 如果设x +y =z , 则问题还可转化为直线x +y =1与圆x 2+y 2=z 有交点时，半径
z 的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。
例4 由圆x 2+y 2=9外一点P (5, 12) 引圆的割线交圆于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨
迹方程。
分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。
解法1 如图4－2－3，设弦AB 的中点M 的坐标为M (x , y ) ，连接OP 、OM ，
则OM ⊥AB ，在∆
OMP x 2+y 2+(x -5) 2+(y -12) 2=169.
整理，得 x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的
曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。
解法2 因为M 是AB 的中点，所以OM ⊥AB ，
5所以点M 的轨迹是以|OP |为直径的圆，圆心为(, 6) , 2图4－2
半径为|OP |13=, ∴该圆的方程为： 22
513(x -) 2+(y -6) 2=() 2 22
化简，得 x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M 可看作直线OM 与割线PM 的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。
解法3 设过P 点的割线的斜率为k , 则过P 点的割线方程为：y -12=k (x -5) .
1∴OM 的方程为 y =-x . 这两条直线的交点就是M 点的轨迹。 OM ⊥AB 且过原点，k
两方程相乘消去k , 化简，得：x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M 随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M 的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。
解法4 设过P 点的割线方程为：y -12=k (x -5)
它与圆x 2+y 2=9的两个交点为A 、B ，AB 的中点为M .
⎧y =k (x -5) +12解方程组 ⎨2 2⎩x +y =9,
利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M 点的轨迹方程为：
x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M 的坐标(x , y ) 与两交点
A 、B 构成4点共线的和谐关系，根A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 通过中点公式联系起来，又点P 、M 、
据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。
解法5 设M (x , y ), A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则x 1+x 2=2x , y 1+y 2=2y .
22 x 12+y 12=9, x 2+y 2=9.
两式相减，整理，得 (x 2-x 1)(x 2+x 1) -(y 2-y 1)(y 1+y 2) =0.
所以 y 2-y 1x +x 2x =-1=-, x 2-x 1y 1+y 2y
12-y 12-y x , ∴=-, 5-x 5-x y 即为AB 的斜率，而AB 对斜率又可表示为
化简并整理，得 x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P 且与二次曲线C 交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用k PM =k AB 可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。
第五章 数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1）研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为
这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪
些是所求的，即未知的。
（3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，
要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位臵，看看能否有重要发现。
（4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。
（5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还
缺少条件？
（6）认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。
（7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元
素，以利于解题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1）设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件
的解题方法。
（2）记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方
法去解题。
（3）解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径
是否合理，以便及时进行修正或调整。
（4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简
化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。
（5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（8）改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出
现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。
（9） 万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分
析其现成答案，从中找出解题的有益启示。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。 因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。 解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，
顺利解出原题。
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。
数学校本课程开发方案
目标：以贴近生活实际、加强数学应用为宗旨，针对数学这门课的特点，从生活中挖掘数学，提高学生应用数学知识解决有关问题的能力，培养学生的观察，分析能力，充分发挥学生的创造性，开发学生自身的潜能，并且加强对学生的动手操作能力的训练，鼓励学生能够展示自己的研究成果，培养学生的成功心态，使学生的心理得到健康的发展，使每位学生的能力得到充分体现。
内容：让学生体会数学可发生在我们的周围，我们的生活空间是无穷的数学世界，在课堂上多设情景，应用数学解决问题，培养学生良好的思维习惯，让他们充分发挥自己的创造性，感受到数学的乐趣，在愉快、轻松的学习过程中掌握数学知识，从而培养学生良好的学习习惯，观察事物的能力，形成正确的人生观、价值观。
开发人员：李明良 梁晓辉 李文文 宋洪军孙蕾 曾宪秀 王永秀
参加人员：高一一班学生
实施时间：星期三第四节
实施方式：教室
管理与评价：课程评价可分为课程本身评价、教师授课评价和学生学习评价。
课程本身评价主要指对《课程纲要》的评价，包括课程目标是否与学校教育目标相符，课程是否有利于学生的发展等。教师授课评价主要是对教师教学过程的评价。学生学习评价主要对学生在学习过程中，知识与技能等方面取得的成绩做出评价。评价方法有观察、调查、测验、学习成果展示等。
课程实施计划
目标：探索中巩固所学到的数学知识，培养学生善于观察，善于联想，善于将问题转化培养学生热爱数学，热爱生活，将数学知识应用于生活实际的能力 探索讲授内容：第一章：变通性思维的培养，第二章：反思性思维的培养
第三章：严密性思维的培养，第四章：开阔性思维的培养，第五章：数学解题思维过程
时间安排： 每周三第四节
诸城繁华中学校本课程
课程名称：数学思维的培养
开发人： 李明良 李文文 梁晓辉
曾宪秀 孙蕾 王永秀 宋洪军
学科： 数学
第一章 数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
（2）善于联想
（3）善于将问题进行转化
（1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例1 已知a , b , c , d 都是实数，求证a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，
证明 不妨设A (a , b ), B (c , d ) 如图1－2－1所示，
则AB =(a -c ) +(b -d ) .
OA =a 2+b 2, OB =c 2+d 2, 22 在∆OAB 中，由三角形三边之间的关系知：
+OB ≥AB 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。
因此，a 2+b 2+c 2+d 2≥(a -c ) 2+(b -d ) 2.
例2 已知3x 2+2y 2=6x ，试求x 2+y 2的最大值。
解 由 3x 2+2y 2=6x 得
3y 2=-x 2+3x . 2 3 y 2≥0, ∴-x 2+3x ≥0, ∴0≤x ≤2. 2
又x 2+y 2=x 2-3219x +3x =-(x -3) 2+, 222
19∴当x =2时，x 2+y 2有最大值，最大值为-(2-3) 2+=4. 22
思路分析 要求x 2+y 2的最大值，由已知条件很快将x 2+y 2变为一元二次函数
19f (x ) =-(x -3) 2+, 然后求极值点的x 值，联系到y 2≥0，这一条件，既快又准地求出最大22
值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
例3 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c =0(a >0), 满足关系
f (2+x ) =f (2-x ) ，试比较f (0. 5) 与f (π) 的大小。
思路分析 由已知条件f (2+x ) =f (2-x ) 可知，在与x =2左右等距离的点的函数值相等，说明该函数的图像关于直线x =2对称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致
图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由f (2+x ) =f (2-x ) ，
知f (x ) 是以直线x =2为对称轴，开口向上的抛物线
它与x =2距离越近的点，函数值越小。 2-0. 5>2-π∴f (0. 5) >f (π) （2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
⎧x +y =2例如，解方程组⎨. xy =-3⎩
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 t 2-2t -3=0的两个根，
⎧x =-1⎧x =3所以⎨或⎨. 可见，联想可使问题变得简单。 y =3y =-1⎩⎩
例4 在∆ABC 中，若∠C 为钝角，则tgA ⋅tgB 的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在∆ABC 中确定三角函数tgA ⋅
tgB 的值。因此，联想到三角函数正切的
两角和公式tg (A +B ) =tgA +tgB 可得下面解法。 1-tgA ⋅tgB
解 ∠C 为钝角，∴tgC
且A 、B 均为锐角，
tgA +tgB
tgA >0, tgB >0, ∴1-tgA ⋅tgB >0. 即tgA ⋅tgB
故应选择（B ）
例5 若(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 证明：2y =x +z .
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当x -y ≠0时，等式 (z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0
可看作是关于t 的一元二次方程(x -y ) t 2+(z -x ) t +(y -z ) =0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1 ，根据韦达定理就有： y -z =1即 2y =x +z x -y
若x -y =0，由已知条件易得 z -x =0, 即x =y =z , 显然也有2y =x +z .
例6 已知a 、b 、c 均为正实数, 满足关系式a 2+b 2=c 2, 又n 为不小于3的自然数，求证:a n +b n
思路分析 由条件a 2+b 2=c 2联想到勾股定理, a 、b 、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C . 则C 是直角，A 为锐角，于是 a b sin A =, cos A =, 且0
当n ≥3时，有sin n A
于是有sin n A +cos n A
a b 即 () n +() n
从而就有 a n +b n
（3）问题转化的训练
数学家G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1111例如，已知++=, (abc ≠0, a +b +c ≠0) , a b c a +b +c
求证a 、b 、c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：(a +b )(b +c )(c +a ) =0 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。
综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。
1 转化成容易解决的明显题目 ○
111++=1, 求证a 、b 、c 中至少有一个等于1。 a b c
思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a 、b 、c 中至少有一个为1，也就是说a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，这样，问题就容易解决了。
111证明 ++=1, ∴bc +ac +ab =abc . a b c 例11 已知a +b +c =
于是 (a -1)(b -1)(c -1) =abc -(ab +ac +bc -1) +(a +b +c ) =0.
∴ a -1、b -1、c -1中至少有一个为零，即a 、b 、c 中至少有一个为1。
思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1，其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。
p p 例12 直线L 的方程为x =-，其中p >0；椭圆E 的中心为O '(2+, 0) ，焦点在X 轴22
p 上，长半轴为2，短半轴为1，它的一个顶点为A (, 0) ，问p 在什么范围内取值时，椭圆上2
有四个不同的点，它们中的每一点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离。
思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线
y 2=2px （1）
是，又从已知条件可得椭圆E 的方程为
[x -(2+
4p 2)]+y 2=1 （2）
因此，问题转化为当方程组（1）、（2）有四个不同的实数解时，求p 的取值范围。将
（2）代入（1）得： p 2
+2p =0. （3） x +(7p -4) x +42
确定p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组： ⎧p 2
2+2p ) >0⎪(7p -4) -4(4⎪2⎪p ⎨+2p >0
⎪4
⎪⎪⎩7p -4
在p >0的条件下，得0
本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。 2 逆向思维的训练 ○
逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。
例13 已知函数f (x ) =2x 2+mx +n ，求证f (1) 、f (2) 、f (3) 中至少有一个不小于1. 思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。
证明 （反证法）假设原命题不成立，即f (1) 、f (2) 、f (3) 都小于1。 ⎧f (1)
⎪⎪-1
①＋③得 -11
○3 一题多解训练
由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。
例14 已知复数z 的模为2，求z -i 的最大值。
解法一（代数法）设z =x +yi (x 、y ∈R ) ，
则x 2+y 2＝4. z -i =x 2+(y -1) 2=-2y .
y ≤2, ∴当y =-2z -i max =3.
解法二（三角法）设z =2(cosθ+i sin θ),
则 z -i =4cos 2θ＋（2sin θ-1) 2=-4sin θ.
∴当sin θ=-1z -i max =3.
解法三（几何法）
z =2, ∴点z 是圆x 2+y 2=4上的点， z -i 表示z 与i 所对应的点之间的距离。如图1－2－3 所示，可知当z =-2i 时，
z -i max =解法四（运用模的性质）
z -i ≤z +-i =2+1=3
而当z =-2i 时，z -i =3. ∴z -i max =3.
解法五（运用模的性质）
z -i =(z -i ) (z -i ) =z +(z -) i +1 2图1－2－3
=5+2I (z ), (I (z ) 表z 的虚部）.
又 I (z ) ≤2, ∴z -i max =9, ∴z -i max =3. 2
第二章 数学思维的反思性
一、概述
数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。
二、思维训练实例
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。
x 例1 已知f (x ) =ax +，若-3≤f (1) ≤0, 3≤f (2) ≤6, 求f (3) 的范围。 b
错误解法 由条件得
⎧-3≤a +b ≤0⎪ ⎨ ②×2－b 3≤2a +≤6⎪2⎩
①得6≤a ≤15 ③
8b 2≤≤- ④则 333
10b 431043, 即≤f (3) ≤. ③+④得 ≤3a +≤33333
x 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f (x ) =ax +，b
其值是同时受a 和b 制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
正确解法 由题意有 ①×2－②得 -
⎧f (1) =a +b ⎪⎨b f (2) =2a +⎪2⎩
12解得：a =[2f (2) -f (1)],b =[2f (1) -f (2)], 33
b 165∴f (3) =3a +=f (2) -f (1). 399
1637把f (1) 和f (2) 的范围代入得 ≤f (3) ≤. 33
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
例2 证明勾股定理：已知在∆ABC 中，∠C =90︒，求证c 2=a 2+b 2.
错误证法 在Rt ∆ABC 中，sin A =
a b ∴() 2+() 2=1，即c 2=a 2+b 2. c c a b , cos A =, 而sin 2A +cos 2A =1， c c
错误分析 在现行的中学体系中，sin 2A +cos 2A =1这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有反思性的体现。
(2) 验算的训练
验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。
例3 已知数列{a n }的前n 项和S n =2n +1，求a n .
错误解法 a n =S n -S n -1=(2n +1) -(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1.
错误分析 显然，当n =1时，a 1=S 1=3≠21-1=1，错误原因，没有注意公式a n =S n -S n -1成立的条件是n ≥2(n ∈N ). 因此在运用a n =S n -S n -1时，必须检验n =1时的情形。即：
⎧S 1(n =1) a n =⎨
⎩S n (n ≥2, n ∈N )
例4 实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=错误解法 将圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线 y 2=
1
x 有两个公共点。 2
1
x 联立，消去y ， 2
1
得 x 2-(2a -) x +a 2-1=0(x ≥0). ①
2
⎧∆=0⎪1⎪
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得⎨2a ->0
2⎪2⎪⎩a -1>0.
17
. 8
错误分析 （如图2－2－1；2－2－2）显然，当a =0时，圆与抛物线有两个公共点。 要使圆与抛物
线有两个交点的充
等正根。
当得 解之，得a =
⎧∆>0
解之，得-1
⎩a -1
思考题：实数a 为何值时，圆x 2+y 2-2ax +a 2-1=0与抛物线y 2=
1
x ， 2
171
或-1
（1） 有一个公共点；
（2） 有三个公共点； （3） 有四个公共点； （4） 没有公共点。
养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强
思维的反思性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的反思性，从而培养创造性思维。
例5 解方程x 2-2x +3=cos x .
考察方程两端相应的函数y =(x -1) 2+2, y =cos x ，它们的图象无交点。 所以此方程无解。
例6 设α、β是方程x 2-2kx +k +6=0的两个实根，则(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是（ ）
49
(A ) -; (B ) 8; (C ) 18; (D ) 不存在
4
思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：α+β=2k , αβ=k +6,
∴
(α-1) 2+(β-1) 2=α2-2α+1+β2-2β+1
=(α+β) 2-2αβ-2(α+β) +2 349
=4(k -) 2-.
44
49
，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的4
体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
有的学生一看到-
原方程有两个实根α、β，
∴∆=4k 2-4(k +6) ≥0, ∴k ≤-2或k ≥3.
当k ≥3时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是8；当k ≤-2时，(α-1) 2+(β-1) 2的最小值是18；
这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。
第三章 数学思维的严密性
一、概述
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：
概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定
基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很
1
容易导致判断错误。例如，“函数y =() -x 是一个减函数”就是一个错误判断。
3
推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
1
例如，解不等式x >.
x
1
∴x 2>1, 解 x >, x
1
∴x >1, 或 x 推导x 2>1时，没有讨论x 的正、
x
负，理由不充分，所以出错。
二、思维训练实例
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”
例1、 不等式 log (x 2+2) (3x 2-2x -4) >log (x 2+2) (x 2-3x +2).
错误解法 x 2+2>1,
∴3x 2-2x -4>x 2-3x +2,
∴2x 2+x -6>0, ∴x >
3
或x
3），说明解2
法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。
错误分析 当x =2时，真数x 2-3x +2=0且x =2在所求的范围内（因 2>
正确解法 x 2+2>1
⎧1+1-x >或x 033⎪⎪2⎪
∴⎨x -3x +2>0 ∴⎨x >2或x
⎪⎪3x 2-2x -4>x 2-3x +23
⎩⎪x >或x
⎪2⎩
∴x >2或x
例2、 求过点(0, 1) 的直线，使它与抛物线y 2=2x 仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1，则它与抛物线的交点为
⎧y =kx +1
，消去y 得：(kx +1) 2-2x =0. ⎨2
⎩y =2x
整理得 k 2x 2+(2k -2) x +1=0. 直线与抛物线仅有一个交点，
∴∆=0, 解得k =
11
. ∴所求直线为y =x +1. 22
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y =kx +1时，没有考虑k =0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即k ≠0, 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点(0, 1) ，所以x =0, 即y 轴，它正好与抛物线y 2=2x 相切。
当所求直线斜率为零时，直线为y =1, 平行x 轴，它正好与抛物线y 2=2x 只有一个交点。 设所求的过点(0, 1) 的直线为y =kx +1(k ≠0) 则
⎧y =kx +1122
k =. ∴所求直线为， 令解得∆=0, k x +(2k -2) x +1=0. ∴⎨2
2⎩y =2x
1
x +1. 2
综上，满足条件的直线为：
1
y =1, x =0, y =x +1.
2 y =
(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。
例3、 实数m ，使方程x 2+(m +4i ) x +1+2mi =0至少有一个实根。
错误解法 方程至少有一个实根，
∴∆=(m +4i ) 2-4(1+2mi ) =m 2-20≥0. ∴m ≥2, 或m ≤-2.
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设a 是方程的实数根，则
a 2+(m +4i ) a +1+2mi =0, ∴a +ma +1+(4a +2m ) i =0. 由于a 、m 都是实数，
∴
⎧a 2+ma +1=0
⎨
4a +2m =0⎩
2
解得 m =±2.
②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道：
如果A 成立，那么B 成立，即A ⇒B ，则称A 是B 的充分条件。 如果B 成立，那么A 成立，即B ⇒A ，则称A 是B 的必要条件。 如果A ⇔B ，则称A 是B 的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式x -1≥x -3. 错误解法 要使原不等式成立，只需
⎧x -1≥0⎪
, 解得3≤x ≤5. ⎨x -3≥0
⎪x -1≥(x -3) 2⎩
⎧A ≥0
⎧A ≥0⎪
错误分析 不等式A ≥B 成立的充分必要条件是：⎨B ≥0或 ⎨
⎩B ≤0⎪A ≥B 2
⎩
⎧x -1≥0
⎧x -1≥0⎪
原不等式的解法只考虑了一种情况⎨x -3≥0，而忽视了另一种情况⎨，所
x -3
⎩
考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。
正确解法 要使原不等式成立，则
⎧x -1≥0
⎧x -1≥0⎪
或 x -3≥0⎨⎨
⎪x -1≥(x -3) 2⎩x -3
∴3≤x ≤5，或1≤x ≤3.
∴ 原不等式的解集为 {x |1≤x ≤5}
例6（轨迹问题）求与y 轴相切于右侧，并与
⊙C :x 2+y 2-6x =0也相切的圆的圆心 的轨迹方程。
错误解法 如图3－2－1所示， 已知⊙C 的方程为(x -3) 2+y 2=9.
1
设点P (x , y )(x >0) 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与y 轴相切于M 点， 与⊙C 相切于N 点。根据已知条件得
|CP |=|PM |+3，即(x -3) 2+y 2=x +3.
化简得 y 2=12x (x >0).
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以x 轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以y =0(x >0且x ≠3) 也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y 2=12x (x >0) 和
y =0(x >0且x ≠3) 。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。
③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列{a n }的全n 项和为S n . 若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q . 错误解法 S 3+S 6=2S 9,
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9) ∴+=2⋅
1-q 1-q 1-q
整理得
q 3(2q 6-q 3-1）＝0.
由q ≠0得方程2q 6-q 3-1=0. ∴(2q 3+1)(q 3-1) =0, ∴
4q =-或q =1
2
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)
错误分析 在错解中，由 +=2⋅
1-q 1-q 1-q
整理得q 3(2q 6-q 3-1）＝0. 时，应有a 1≠0和q ≠1. 在等比数列中，a 1≠0是显然的，但公比q 完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q =1的情况，再在q ≠1的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若q =1，则有S 3=3a 1, S 6=6a 1, S 9=9a 1. 但a 1≠0，即得S 3+S 6≠2S 9, 与题设矛盾，故q ≠1. 又依题意 S 3+S 6=2S 9,
a 1(1-q 3) a 1(1-q 6) a 1(1-q 9)
可得 +=2⋅
1-q 1-q 1-q 整理得
q 3(2q 6-q 3-1）＝0. 即(2q 3+1)(q 3-1) =0,
因为q ≠1，所以q 3-1≠0, 所以2q 3+1=0.
所以 q =-
4. 2
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具有公共y 轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角
α-y 轴－β等于60︒. 已知β内的曲线C '的方程是y 2=2p x '(p >0) ，求曲线C '在α内的射影
的曲线方程。
错误解法 依题意，可知曲线C '是抛物线，
p
在β内的焦点坐标是F '(, 0), p >0.
2
因为二面角α-y 轴－β等于60︒， 且x '轴⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，所以∠xo x '=60︒.
设焦点F '在α内的射影是F (x , y ) ，那么，F 位于x 轴上， 从而y =0, ∠F 'OF =60︒, ∠F 'FO =90︒,
p 1p p
⋅=. 所以点F (, 0) 是所求射影的焦点。依题意，射影是一2244
条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以OF =O F '⋅cos 60︒=
所以曲线C '在α内的射影的曲线方程是y 2=px .
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F 是射影(曲线）的焦点，
其次，未经证明默认C '在α内的射影（曲线）是一条抛物线。
正确解法 在β内，设点M (x ', y ') 是曲线上任意一点 （如图3－2－3）过点M 作MN ⊥α，垂足为N ， 过N 作NH ⊥y 轴，垂足为H . 连接MH ， 则MH ⊥y 轴。所以∠MHN 是二面角
α-y 轴－β的平面角，依题意，∠MHN =60︒.
1
x '. 2
又知HM //x '轴（或M 与O 重合），
在Rt ∆MNH 中, HN =HM ⋅cos 60︒=
图3－2
HN //x 轴（或H 与O 重合），设N (x , y ) ，
1⎧
⎪x =x '
则 ⎨2
⎪⎩y =y '
⎧x '=2x
∴⎨'y =y . ⎩
因为点M (x ', y ') 在曲线y 2=2p x '(p >0) 上，所以y 2=2p (2x ).
即所求射影的方程为 y 2=4px (p >0).
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以
已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9
设椭圆的中心是坐标原点，长
图3－2－2
轴x 在轴上，离心率e =程。
3，已知点P (0, ) 到这个椭圆上的最远距离是7，求这个椭圆的方
22
x 2y 2
错误解法 依题意可设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)
a b c 2a 2-b 2b 23
=1-2=， 则 e =2=
4a a 2a
2
b 21
所以 2=，即 a =2b .
4a
设椭圆上的点(x , y ) 到点P 的距离为d ，
3
则 d 2=x 2+(y -) 2
2
y 29
=a (1-2) +y 2-3y +
4 b
1
=-3(y +) 2+4b 2+3.
2
2
1
所以当y =-时，d 2有最大值，从而d 也有最大值。
2
所以 4b 2+3=(7) 2，由此解得：b 2=1, a 2=4.
x 2
+y 2=1. 于是所求椭圆的方程为4
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。事实上，由于点(x , y ) 在椭圆上，所以有-b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论。即：
若b
1
，则当y =-b 时，d 2（从而d ）有最大值。 2
3311
于是(7) 2=(b +) 2, 从而解得b =7->, 与b
2222
所以必有b ≥
11
，此时当y =-时，d 2（从而d ）有最大值， 22
2
x 2
+y 2=1. 所以4b +3=(7) ，解得b =1, a =4. 于是所求椭圆的方程为4
2
22
例10 求y =28+的最小值 sin 2x cos 2x
错解y =28288 +≥2⋅⋅=sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x |sin x cos x |
16≥16,. ∴y min =16. |sin 2x | =
正确解法 取正常数k ，易得
y =(2822+k sin x ) +(+k cos x ) -k 22sin x cos x
≥2⋅2k +2⋅k -k =6⋅2k -k .
其中“≥”取“＝”的充要条件是
281222=k sin x 且=k cos x ，即tg x =且k =18. 222sin x cos x
1因此，当tg 2x =时，y =6⋅2k -k =18, 2
第四章 数学思维的开拓性
一、概述
数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。
“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。
在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。
数学思维的开拓性主要体现在：
(1) 一题的多种解法
(2) 一题的多种解释
如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变x 换为：log a a , , sin 2x +cos 2x , (loga b ) ⋅(logb a ), sec 2x -tg 2x ，等等。 x
1． 思维训练实例
例1 已知a 2+b 2=1, x 2+y 2=1. 求证：ax +by ≤1.
分析1 用比较法。本题只要证1-(ax +by ) ≥0. 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
1证法1 1-(ax +by ) =(1+1) -(ax +by ) 2
1=(a 2+b 2+x 2+y 2) -(ax +by ) 2
1=[(a 2-2ax +x 2) +(b 2-2by +y 2)]2 1=[(a -x ) 2+(b -y ) 2]≥0, 2
所以 ax +by ≤1.
分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范。 ．．．．
证法2 要证 ax +by ≤1.
只需证 1-(ax +by ) ≥0,
即 2-2(ax +by ) ≥0,
因为 a +b =1, x +y =1.
所以只需证 (a +b +x +y ) -2(ax +by ) ≥0,
即 (a -x ) 2+(b -y ) 2≥0.
因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。
分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）
a 2+x 2b 2+y 2a 2+x 2b 2+y 2
, by ≤. ∴ax +by ≤+=1. 证法3 ax ≤2222图4－2－1 22222222即 ax +by ≤1.
分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。
证法4 a 2+b 2=1, x 2+y 2=1, ∴可设
∴a =sin α, b =cos α. x =sin β, y =cos β
∴ax +by =sin αsin β+cos αcos β=cos(α-β) ≤1,
分析5 数形结合法：由于条件x 2+y 2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax +by =ax +by
a +b 22. 联系到点到直线距离公式，可得下面证法。
证法5 （如图4-2-1）因为直线l :ax +by =0经过
圆x 2+y 2=1的圆心O ，所以圆上任意一点M (x , y )
到直线ax +by =0的距离都小于或等于圆半径1，
即 d =|ax +by |
a +b 22=|ax +by |≤1⇒ax +by ≤1.
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。
例2 如果(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 求证：x 、y 、z 成等差数列。
分析1 要证x 、y 、z ，必须有x -y =y -z 成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。
证法1 (z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0,
∴z 2-2xz +x 2-4xy +4xz +4y 2-4yz =0,
(x +z ) 2-2⨯2y (x +z ) +(2y ) 2=0,
∴(x +z -2y ) =0, x +z -2y =0, 2
故 x -y =y -z ，即 x 、y 、z 成等差数列。
分析2 由于已知条件具有x -y , y -z , z -x 轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。
证法2 设x -y =a , y -z =b , 则x -z =a +b .
于是，已知条件可化为：
(a +b ) 2-4ab =0⇒(a -b ) 2=0⇒a =b ⇒x -y =y -z .
所以x 、y 、z 成等差数列。
分析3 已知条件呈现二次方程判别式∆=b 2-4ac 的结构特点引人注目，提供了构造一
个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。
证法3 当x -y =0时，由已知条件知z -x =0, ∴x =y =z , 即x 、y 、z 成等差数列。 当x -y ≠0时，关于t 的一元二次方程：(x -y ) t 2+(z -x ) t +(y -z ) =0,
其判别式∆=(z -x ) 2-4(x -y )(y -z ) =0, 故方程有等根，显然t ＝1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，
由韦达定理知 t 1⋅t 2=y -z =1⇒x -y =y -z . 即 x 、y 、z 成等差数列。 x -y
简评：证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值。证法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。
例3 已知x +y =1，求x 2+y 2的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母x 、y ，但已知条件恰有x 、y 的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1 x +y =1, ∴y =1-x .
设z =x 2+y 2，则z =x 2+(1-x ) 2=2x 2-2x +1.
二次项系数为2>0, 故z 有最小值。
2-214⨯2⨯1－（－2）1=时，z 最小值＝＝. 当x =-∴ 2⨯224⨯22
1∴ x 2+y 2的最小值为. 2
分析2 已知的一次式x +y =1两边平方后与所求的二次式x 2+y 2有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 x +y =1, ∴(x +y ) 2=1, 即x 2+y 2=1-2xy .
2xy ≤x 2+y 2, ∴x 2+y 2≥1-(x 2+y 2).
111, 当且仅当x =y =时取等号。∴ x 2+y 2的最小值为. 222
分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。 即 x 2+y 2≥
解法3 设z =x 2+y 2.
1111 x +y =1, ∴z =x 2+y 2-x -y +1=(x -) 2+(y -) 2+≥. 2222
111∴ 当x =y =时，z 最小＝. 即x 2+y 2的最小值为. 222
分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，x +y =1表示直线l , x 2+y 2
表示原点到直线l 上的点P (x , y ) 的距离的平方。
显然其中以原点到直线l 的距离最短。 此时，d =|0+0-1|
2=22, 即(x 2+y 2) 最小＝. 22
1所以x 2+y 2的最小值为. 2
22注 如果设x +y =z , 则问题还可转化为直线x +y =1与圆x 2+y 2=z 有交点时，半径
z 的最小值。
简评 几种解法都有特点和代表性。解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿。
例4 由圆x 2+y 2=9外一点P (5, 12) 引圆的割线交圆于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨
迹方程。
分析1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法。
解法1 如图4－2－3，设弦AB 的中点M 的坐标为M (x , y ) ，连接OP 、OM ，
则OM ⊥AB ，在∆
OMP x 2+y 2+(x -5) 2+(y -12) 2=169.
整理，得 x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的
曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。
解法2 因为M 是AB 的中点，所以OM ⊥AB ，
5所以点M 的轨迹是以|OP |为直径的圆，圆心为(, 6) , 2图4－2
半径为|OP |13=, ∴该圆的方程为： 22
513(x -) 2+(y -6) 2=() 2 22
化简，得 x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析3 （交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点M 可看作直线OM 与割线PM 的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。
解法3 设过P 点的割线的斜率为k , 则过P 点的割线方程为：y -12=k (x -5) .
1∴OM 的方程为 y =-x . 这两条直线的交点就是M 点的轨迹。 OM ⊥AB 且过原点，k
两方程相乘消去k , 化简，得：x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析4 （参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数。由于动点M 随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M 的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。
解法4 设过P 点的割线方程为：y -12=k (x -5)
它与圆x 2+y 2=9的两个交点为A 、B ，AB 的中点为M .
⎧y =k (x -5) +12解方程组 ⎨2 2⎩x +y =9,
利用韦达定理和中点坐标公式，可求得M 点的轨迹方程为：
x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
分析5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点M 的坐标(x , y ) 与两交点
A 、B 构成4点共线的和谐关系，根A (x 1, y 1) 、B (x 2, y 2) 通过中点公式联系起来，又点P 、M 、
据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。
解法5 设M (x , y ), A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), 则x 1+x 2=2x , y 1+y 2=2y .
22 x 12+y 12=9, x 2+y 2=9.
两式相减，整理，得 (x 2-x 1)(x 2+x 1) -(y 2-y 1)(y 1+y 2) =0.
所以 y 2-y 1x +x 2x =-1=-, x 2-x 1y 1+y 2y
12-y 12-y x , ∴=-, 5-x 5-x y 即为AB 的斜率，而AB 对斜率又可表示为
化简并整理，得 x 2+y 2-5x -12y =0. 其中-3≤x ≤3.
简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P 且与二次曲线C 交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹问题。具有普遍意义，值得重视。对于解法5通常利用k PM =k AB 可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多。
第五章 数学解题思维过程
数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。
在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：
第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。
第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。
第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。
第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。
所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。
第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。
第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。
第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。
通过以下探索途径来提高解题能力：
（1）研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为
这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。
（2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪
些是所求的，即未知的。
（3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，
要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位臵，看看能否有重要发现。
（4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。
（5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还
缺少条件？
（6）认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。
（7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元
素，以利于解题思路的展开。
以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：
（1）设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件
的解题方法。
（2）记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方
法去解题。
（3）解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径
是否合理，以便及时进行修正或调整。
（4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简
化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。
（5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。
（6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。
（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。
（8）改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出
现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。
（9） 万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分
析其现成答案，从中找出解题的有益启示。
数学解题的技巧
为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。
一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。
基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。
一、 熟悉化策略
所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。
常用的途径有：
（一）、充分联想回忆基本知识和题型：
按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
（二）、全方位、多角度分析题意：
对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
（三）恰当构造辅助元素：
数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
二、简单化策略
所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。 因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。 解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：
在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。
2、分类考察讨论：
在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。
3、简单化已知条件：
有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。
4、恰当分解结论：
有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。
三、直观化策略：
所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。
（一）、图表直观：
有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。
对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。
（二）、图形直观：
有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。
（三）、图象直观：
不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。
四、特殊化策略
所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。
五、一般化策略
所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，
顺利解出原题。
六、整体化策略
所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。
七、间接化策略
所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。