二次函数
一、知识点梳理
1. 定义：一般地，如果2. 二次函数
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数.
y =ax 2+bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
3. 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：
y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：
y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.
2
2
b ⎫4ac -b 2⎛2
求抛物线的顶点、对称轴的方法：y =ax +bx +c =a x +⎪+
2a 4a ⎝⎭
b b 4ac -b 2
（- ∴顶点是，对称轴是直线x =-.
2a 2a 4a
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式： 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线
方程ax
2
，
y =a (x -x 1)(x -x 2)
0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，
+bx +c =0的两个根，故
b c
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=
a a
4. 抛物线
y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小：
a >0，开口向上；a
①b
=0时，对称轴为y 轴；
b
>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； a b
③
（3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置. ①c =0，抛物线经过原点；
②
②c ③c （4）∆
>0, 与y 轴交于正半轴；
=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数
①∆ 0，有2个交点 ②∆=0, 有1个交点； ③∆
0，无交点
二、二次函数考点及典型例题 专题一：二次函数的图象与性质
本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等. 试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.
考点1. 二次函数图象的对称轴和顶点坐标
b b 4ac -b 2
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-，
2a 2a 4a
例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y =
）.
52
与二次函数y =-x +2x +c 的图像交于点A (-1，m ) ． x
（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
考点2. 抛物线与a 、b 、c 的关系
抛物线y=ax+bx+c中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2
b
的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 2a
的增大而增大；当a
例2 已知（ ）
A ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 例3. 二次函数次函数
B ．第一、二、四象限 D ．第一、三、四象限
y =ax 2+bx 的图象如图
1所示，则
y =ax -b 的图象一定过
y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =
a
x
与一
图1
y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
考点3. 二次函数的平移
抛物线y=a（x+m）+K（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax向右（或向左）平移|m|个单位得到，再向上（或向下）平移|k|个单位得到；
例4 二次函数y=ax+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x－2x+1, 求b 和c.
专题练习一 1. 对于抛物线y=-
2
2
2
2
11016x +x -，下列说法正确的是（ ） 333
2
A. 开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C. 开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2. 若抛物线y=x-2x+c与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是x=1 C. 当x=1时，y 的最大值为-4
D.
抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）
2
3. 将二次函数y=x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4. 小明从图2所示的二次函数③a -b +c
y =ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c 0；
>0；④2a -3b =0；⑤c -4b >0，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
墙
D
菜园
A
图1
C B
专题二：二次函数表达式的确定
本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式. 题型多以解答题为主.
考点1. 根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园
ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米
2
）与x （单位：
米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．
考点2. 根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1. 若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax+bx+c（a ≠0）；
2. 若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h ）+k（a ≠0）； 3. 若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1. 由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击. 为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价. 若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）
A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x ） C.y=a（1-x ） D.y=a（1-x ）
2. 如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x+bx+c与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan∠ACO=式是 ．
3. 对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.
4. 推理运算：二次函数的图象经过点（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． ．．
22
2
2
2
1
2
，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析
图2
A (0，-3) ，B (2，-3) ，C (-1，0) ．
专题三：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1. 根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax +bx+c=0就是二次函数y=ax+bx+c当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax+bx+c的自变量x 与函数值
2
2
2
y
的对应值，判断方程ax +bx+c=0（a ≠0,a,b,c, 为
2
常数）的一个解x 的范围是（ ）
Ａ．6
Ｂ．
Ｃ．6.18
2
Ｄ．6.19
2
考点2. 根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax +bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x +3x+m=0的解为________.
考点3. 抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax +bx+c=0没有实数根. 反之亦然.
例3 在平面直角坐标系中，抛物线A.3
B.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
图1
y =x 2-1与x 轴的交点的个数是（ ）
C.1 D.0
专项练习三
1. 抛物线y=kx-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________. 2. 已知二次函数
y =-x 2+2x +m 的部分图象如图
2所示，则关于
x 的一元二次方程
-x 2+2x +m =0的解为．
图2
3. 已知函数
y =ax 2+bx +c
的图象如图3所示，那么关于
x
的方程
ax 2+bx +c +2=0 的根的情况是（ ）
A. 无实数根
B. 有两个相等实数根
C. 有两个异号实数根 4. 二次函数
2
D. 有两个同号不等实数根
根据图象解答下列问题： y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图4所示，
2
（1）写出方程ax
+bx +c =0的两个根．
（2）写出不等式ax （3）写出
2
+bx +c >0的解集．
y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
2
（4）若方程ax
+bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
专题四：利用二次函数解决实际问题
本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.
解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.
例1 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施. 调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
专题训练四
1. 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．
（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
2. 某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满. 旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
x 图1
二次函数
一、知识点梳理
1. 定义：一般地，如果2. 二次函数
y =ax 2+bx +c (a , b , c 是常数，a ≠0) ，那么y 叫做x 的二次函数.
y =ax 2+bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
3. 用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：
y =ax 2+bx +c . 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：
y =a (x -h )+k . 已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式.
2
2
b ⎫4ac -b 2⎛2
求抛物线的顶点、对称轴的方法：y =ax +bx +c =a x +⎪+
2a 4a ⎝⎭
b b 4ac -b 2
（- ∴顶点是，对称轴是直线x =-.
2a 2a 4a
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式： 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线
方程ax
2
，
y =a (x -x 1)(x -x 2)
0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是y =ax 2+bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，
+bx +c =0的两个根，故
b c
x 1+x 2=-, x 1⋅x 2=
a a
4. 抛物线
y =ax 2+bx +c 中，a , b , c 的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小：
a >0，开口向上；a
①b
=0时，对称轴为y 轴；
b
>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； a b
③
（3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置. ①c =0，抛物线经过原点；
②
②c ③c （4）∆
>0, 与y 轴交于正半轴；
=b 2-4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数
①∆ 0，有2个交点 ②∆=0, 有1个交点； ③∆
0，无交点
二、二次函数考点及典型例题 专题一：二次函数的图象与性质
本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等. 试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.
考点1. 二次函数图象的对称轴和顶点坐标
b b 4ac -b 2
二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-，顶点坐标是（-，
2a 2a 4a
例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y =
）.
52
与二次函数y =-x +2x +c 的图像交于点A (-1，m ) ． x
（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
考点2. 抛物线与a 、b 、c 的关系
抛物线y=ax+bx+c中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2
b
的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 2a
的增大而增大；当a
例2 已知（ ）
A ．第一、二、三象限 C ．第二、三、四象限 例3. 二次函数次函数
B ．第一、二、四象限 D ．第一、三、四象限
y =ax 2+bx 的图象如图
1所示，则
y =ax -b 的图象一定过
y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则反比例函数y =
a
x
与一
图1
y =bx +c 在同一坐标系中的大致图象是（ ）.
考点3. 二次函数的平移
抛物线y=a（x+m）+K（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax向右（或向左）平移|m|个单位得到，再向上（或向下）平移|k|个单位得到；
例4 二次函数y=ax+bx+c的图象向左平移2个单位, 再向上平移3个单位, 得二次函数y=x－2x+1, 求b 和c.
专题练习一 1. 对于抛物线y=-
2
2
2
2
11016x +x -，下列说法正确的是（ ） 333
2
A. 开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C. 开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2. 若抛物线y=x-2x+c与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是x=1 C. 当x=1时，y 的最大值为-4
D.
抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）
2
3. 将二次函数y=x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4. 小明从图2所示的二次函数③a -b +c
y =ax 2+bx +c 的图象中，观察得出了下面五条信息：①c 0；
>0；④2a -3b =0；⑤c -4b >0，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）
墙
D
菜园
A
图1
C B
专题二：二次函数表达式的确定
本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式. 题型多以解答题为主.
考点1. 根据实际问题模型确定二次函数表达式
例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园
ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米
2
）与x （单位：
米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．
考点2. 根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式
1. 若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax+bx+c（a ≠0）；
2. 若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h ）+k（a ≠0）； 3. 若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.
例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.
专项练习二
1. 由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击. 为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价. 若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）
A.y=2a（x-1） B.y=2a（1-x ） C.y=a（1-x ） D.y=a（1-x ）
2. 如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x+bx+c与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan∠ACO=式是 ．
3. 对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.
4. 推理运算：二次函数的图象经过点（1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． ．．
22
2
2
2
1
2
，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析
图2
A (0，-3) ，B (2，-3) ，C (-1，0) ．
专题三：二次函数与一元二次方程的关系
本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.
考点1. 根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围
一元二次方程ax +bx+c=0就是二次函数y=ax+bx+c当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax+bx+c的自变量x 与函数值
2
2
2
y
的对应值，判断方程ax +bx+c=0（a ≠0,a,b,c, 为
2
常数）的一个解x 的范围是（ ）
Ａ．6
Ｂ．
Ｃ．6.18
2
Ｄ．6.19
2
考点2. 根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.
二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax +bx+c=0的根.
例2 已知二次函数y=-x+3x+m的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x +3x+m=0的解为________.
考点3. 抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况
当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax +bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax +bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax+bx+c的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax +bx+c=0没有实数根. 反之亦然.
例3 在平面直角坐标系中，抛物线A.3
B.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
图1
y =x 2-1与x 轴的交点的个数是（ ）
C.1 D.0
专项练习三
1. 抛物线y=kx-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________. 2. 已知二次函数
y =-x 2+2x +m 的部分图象如图
2所示，则关于
x 的一元二次方程
-x 2+2x +m =0的解为．
图2
3. 已知函数
y =ax 2+bx +c
的图象如图3所示，那么关于
x
的方程
ax 2+bx +c +2=0 的根的情况是（ ）
A. 无实数根
B. 有两个相等实数根
C. 有两个异号实数根 4. 二次函数
2
D. 有两个同号不等实数根
根据图象解答下列问题： y =ax +bx +c (a ≠0) 的图象如图4所示，
2
（1）写出方程ax
+bx +c =0的两个根．
（2）写出不等式ax （3）写出
2
+bx +c >0的解集．
y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．
2
（4）若方程ax
+bx +c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
专题四：利用二次函数解决实际问题
本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.
解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.
例1 某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施. 调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？
专题训练四
1. 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S （单位：平方米）随矩形一边长x （单位：米）的变化而变化．
（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？
2. 某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满. 旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
3. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．
x 图1