更上一层楼
基础·巩固
1. 用数学归纳法证明3n ≥n3(n≥3,n∈N ) 第一步应验证（ ）
A..n=1 B..n=2 C..n=3 D..n=4
思路分析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.
答案：C
2. 用数学归纳法证明1+111++ +n 1)时，第一步即证明不等式232-1
__________成立.
思路分析：因为n ＞1，所以第一步n=2.
答案：1+11+
11112k +1)(1+))(1+) …(1+k )>(k>1)，则当n=k+1时，左3572-123. 用数学归纳法证明(1+
端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________.
思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+
(1+1) ，最后一个是k 2+11
2k +1-1) ，共有2k -2k-1=2k-1项.
答案：(1+111)(1+) …(1+) 2k-1 2k +1-12k +12k +3
a n +b n a +b n ≥() （A. ，B. 是非负实数，n ∈N ）时，假设n=k命题成4. 用数学归纳法证明22
立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________.
思路分析：要想办法出现a k+1+bk+1，两边同乘以
答案：两边同乘以a +b a +b k+1，右边也出现了要求证的() . 22a +b 2
5. 用数学归纳法证明11111，假设n=k时，不等式成立之后，++ +>-2232(n +1) 22n +2
证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________.
思路分析：把n=k时的不等式中的k 换成k+1即可. 答案：111111++ +>- 2232(k +1) 2(k +2) 22k +3
11113++ +> n +1n +22n 24. 综合·应用 6. 若n 为大于1的自然数，求证：
思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用.
解：(Ⅰ) 当n=2时，11713+=>. 2+12+21224
11113++ +>. k +1k +22k 24
1111111++ ++++-则当n=k+1时， k +2k +32k 2k +12k +2k +1k +1
131111311>++-=+-. 242k +12k +k +1242k +12k +2(Ⅱ) 假设当n=k时成立，即
n (n +1) (n +1) 2
思路分析：用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.
解：记a n =∙2+2∙3+ +n (n +1) ，
1⨯2(1+1) 2
（Ⅰ）当n=1时，a 1=∙2=2>1=, 而a 1=2
1⨯2(1+1) 2
∴当n=1时，不等式
k (k +1) (k +1) 2
当n=k+1时， k (k +1) (k +1) 2
+(k +1)(k +2)
k (k +1) k (k +1) k (k +1) =(k +1)(k +2) >+(k +1) 2=+(k+1) 222
k (k +1)(k +2) =(k+1)(+1)=, 22而
(k +1) 2(k +1) 2(k +1)(k +2) k 2+4k +4(k +2) 2
+(k +1)(k +2)
(k +1)(k +2) (k +2) 2
即n=k+1时不等式正确；
根据(Ⅰ)(Ⅱ) 知对n ∈N *，不等式正确.
8. 已知数列{B.n }是等差数列，B. 1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.
(1)求数列{B.n }的通项公式B. n ;
(2)设数列{A.n }的通项A. n =logA. (1+1)(其中A. ＞0且A.≠1)，记S n 是数列{A.n }的前n 项和. b n
试比较S n 与1log A. B. n+1的大小，并证明你的结论. 3
(1)解：设数列{bn }的公差为d, 由题意得
⎧b 1=1, ⎧b 1=1, ⎪∴b n =3n-2. ⇒⎨⎨10(10-1) d =3. 10b 1+d =145, ⎩⎪2⎩
(2)证明：由b n =3n-2知
S n =loga (1+1)+loga (1+
而1a log b n+1=loga 31111)+…+loga (1+)=loga ［(1+1)(1+) …+) ］, 43n -243n -2111比较S n 与log a b n+1的大小比较(1+1)(1+) …(1+) 3n +1, 于是，343n -2与3n +1的大小.
取n=1，有(1+1)=8>4=∙1+1；
1）>>7=⨯2+1. 4
11推测：(1+1)(1+) …(1+0＞3n +1① 43n -2取n=2，有(1+1)(1+
(Ⅰ) 当n=1时，已验证①式成立.
(Ⅱ) 假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+11) …+)>3k +1. 43k -2
则当n=k+1时，(1+1)(1+1111) …(1+) ［1+］>3k +1(1+) 43k -23k +13(k +1) -2
=3k +23k +23k +1. ∵(3k +1) 3-(3k +4) 3 3k +13k +1
(3k +2) 3-(3k +4)(3k +1) 29k +4=>0, +22(3k +1) (3k +1)
∴k +1(3k+2)>3k +4=(k +1) +1. 3k +1
111) …(1+)(1+)>(k +1) +1，即当n=k+1时，①式成立. 由43k -23k -1
11log a b n+1, 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n+1. 33
1A. n (4-A.n ),n ∈N . 证明：2从而(1+1)(1+(Ⅰ)(Ⅱ) 知，①式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞回顾·展望 9. 已知数列{A.n }的各项都是正数，且满足：A. 0=1,A.n+1=
A. n
思路分析：对第一问用数学归纳法证明比较简洁，但是用数学归纳法证明时，在由n=k到
n=k+1时的推证过程中，也有作差比较和利用单调性两种方法. 证明：［方法一］用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当n=1时，a n =1,a1=13a 0(4-a0)=，∴a 0
(Ⅱ) 假设n=k时有a k-1
11a k-1(4-ak-1)-a k (4-ak ) 22
11=2(ak-1-a k )-(ak-1-a k )(ak-1+ak )=(ak-1-a k )(4-ak-1-a k ). 22则n=k+1时,a k -a k+1=
而a k-1-a k 0,∴a k -a k -1
又a k+1=1a k (4-ak )=12［4-(ak -2) 2］
∴n=k+1时命题正确.
由(Ⅰ)(Ⅱ) 知，对一切n ∈N 时有a n
［方法二］用数学归纳法证明.
(Ⅰ) 当n=1时，a 0=1,a1=13a 0(4-a0)=, ∴0
(Ⅱ) 假设n=k时有a k-1
令f(x)=1x(4-x)，f(x)在［0，2］上单调递增， 2
所以由假设有f(ak-1)也即当n=k+1时a k
所以对一切n ∈N , 有a k
10.(2005辽宁高考) 已知函数f(x)=x +3(x≠-1). 设数列{A.n }满足A. 1=1,A.n+1=f(A.n ) ，数列{B.n }x +1
满足B. n =|A.n -|,Sn =B.1+B.2+…+B.n (n∈N *).
(-1) n
（1）用数学归纳法证明:B.n ≤; 2n -1
（2）证明:Sn
2≥1.因为a 1=1，所以a n ≥1(n∈N *) x +1证明：(1)当x≥0时,f(x)=1+
(-1) n
下面用数学归纳法证明不等式b n ≤. 2n -1
（Ⅰ）当n=1时，b 1=-1，不等式成立，
(3-1) k
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即b k ≤. 2k -1
(-1) |a k =3|3-1(3-1) k +1
那么b k+1=|ak+1-|=. ≤b n ≤1+a k 22k 所以，当n=k+1时，不等式也成立.
根据（Ⅰ）和（Ⅱ），可知不等式对任意n ∈N *都成立.
(-1) n
（2）由（Ⅰ）知，b n ≤. 所以 n -12
(-1) 2(3-1) 2
S n =b1+b2+…+bn ≤(3-1)+ + +n -122
-1n ) 12
故对任意n ∈N *,S n
23. 3
更上一层楼
基础·巩固
1. 用数学归纳法证明3n ≥n3(n≥3,n∈N ) 第一步应验证（ ）
A..n=1 B..n=2 C..n=3 D..n=4
思路分析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.
答案：C
2. 用数学归纳法证明1+111++ +n 1)时，第一步即证明不等式232-1
__________成立.
思路分析：因为n ＞1，所以第一步n=2.
答案：1+11+
11112k +1)(1+))(1+) …(1+k )>(k>1)，则当n=k+1时，左3572-123. 用数学归纳法证明(1+
端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________.
思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+
(1+1) ，最后一个是k 2+11
2k +1-1) ，共有2k -2k-1=2k-1项.
答案：(1+111)(1+) …(1+) 2k-1 2k +1-12k +12k +3
a n +b n a +b n ≥() （A. ，B. 是非负实数，n ∈N ）时，假设n=k命题成4. 用数学归纳法证明22
立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________.
思路分析：要想办法出现a k+1+bk+1，两边同乘以
答案：两边同乘以a +b a +b k+1，右边也出现了要求证的() . 22a +b 2
5. 用数学归纳法证明11111，假设n=k时，不等式成立之后，++ +>-2232(n +1) 22n +2
证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________.
思路分析：把n=k时的不等式中的k 换成k+1即可. 答案：111111++ +>- 2232(k +1) 2(k +2) 22k +3
11113++ +> n +1n +22n 24. 综合·应用 6. 若n 为大于1的自然数，求证：
思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用.
解：(Ⅰ) 当n=2时，11713+=>. 2+12+21224
11113++ +>. k +1k +22k 24
1111111++ ++++-则当n=k+1时， k +2k +32k 2k +12k +2k +1k +1
131111311>++-=+-. 242k +12k +k +1242k +12k +2(Ⅱ) 假设当n=k时成立，即
n (n +1) (n +1) 2
思路分析：用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.
解：记a n =∙2+2∙3+ +n (n +1) ，
1⨯2(1+1) 2
（Ⅰ）当n=1时，a 1=∙2=2>1=, 而a 1=2
1⨯2(1+1) 2
∴当n=1时，不等式
k (k +1) (k +1) 2
当n=k+1时， k (k +1) (k +1) 2
+(k +1)(k +2)
k (k +1) k (k +1) k (k +1) =(k +1)(k +2) >+(k +1) 2=+(k+1) 222
k (k +1)(k +2) =(k+1)(+1)=, 22而
(k +1) 2(k +1) 2(k +1)(k +2) k 2+4k +4(k +2) 2
+(k +1)(k +2)
(k +1)(k +2) (k +2) 2
即n=k+1时不等式正确；
根据(Ⅰ)(Ⅱ) 知对n ∈N *，不等式正确.
8. 已知数列{B.n }是等差数列，B. 1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.
(1)求数列{B.n }的通项公式B. n ;
(2)设数列{A.n }的通项A. n =logA. (1+1)(其中A. ＞0且A.≠1)，记S n 是数列{A.n }的前n 项和. b n
试比较S n 与1log A. B. n+1的大小，并证明你的结论. 3
(1)解：设数列{bn }的公差为d, 由题意得
⎧b 1=1, ⎧b 1=1, ⎪∴b n =3n-2. ⇒⎨⎨10(10-1) d =3. 10b 1+d =145, ⎩⎪2⎩
(2)证明：由b n =3n-2知
S n =loga (1+1)+loga (1+
而1a log b n+1=loga 31111)+…+loga (1+)=loga ［(1+1)(1+) …+) ］, 43n -243n -2111比较S n 与log a b n+1的大小比较(1+1)(1+) …(1+) 3n +1, 于是，343n -2与3n +1的大小.
取n=1，有(1+1)=8>4=∙1+1；
1）>>7=⨯2+1. 4
11推测：(1+1)(1+) …(1+0＞3n +1① 43n -2取n=2，有(1+1)(1+
(Ⅰ) 当n=1时，已验证①式成立.
(Ⅱ) 假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+11) …+)>3k +1. 43k -2
则当n=k+1时，(1+1)(1+1111) …(1+) ［1+］>3k +1(1+) 43k -23k +13(k +1) -2
=3k +23k +23k +1. ∵(3k +1) 3-(3k +4) 3 3k +13k +1
(3k +2) 3-(3k +4)(3k +1) 29k +4=>0, +22(3k +1) (3k +1)
∴k +1(3k+2)>3k +4=(k +1) +1. 3k +1
111) …(1+)(1+)>(k +1) +1，即当n=k+1时，①式成立. 由43k -23k -1
11log a b n+1, 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n+1. 33
1A. n (4-A.n ),n ∈N . 证明：2从而(1+1)(1+(Ⅰ)(Ⅱ) 知，①式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞回顾·展望 9. 已知数列{A.n }的各项都是正数，且满足：A. 0=1,A.n+1=
A. n
思路分析：对第一问用数学归纳法证明比较简洁，但是用数学归纳法证明时，在由n=k到
n=k+1时的推证过程中，也有作差比较和利用单调性两种方法. 证明：［方法一］用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当n=1时，a n =1,a1=13a 0(4-a0)=，∴a 0
(Ⅱ) 假设n=k时有a k-1
11a k-1(4-ak-1)-a k (4-ak ) 22
11=2(ak-1-a k )-(ak-1-a k )(ak-1+ak )=(ak-1-a k )(4-ak-1-a k ). 22则n=k+1时,a k -a k+1=
而a k-1-a k 0,∴a k -a k -1
又a k+1=1a k (4-ak )=12［4-(ak -2) 2］
∴n=k+1时命题正确.
由(Ⅰ)(Ⅱ) 知，对一切n ∈N 时有a n
［方法二］用数学归纳法证明.
(Ⅰ) 当n=1时，a 0=1,a1=13a 0(4-a0)=, ∴0
(Ⅱ) 假设n=k时有a k-1
令f(x)=1x(4-x)，f(x)在［0，2］上单调递增， 2
所以由假设有f(ak-1)也即当n=k+1时a k
所以对一切n ∈N , 有a k
10.(2005辽宁高考) 已知函数f(x)=x +3(x≠-1). 设数列{A.n }满足A. 1=1,A.n+1=f(A.n ) ，数列{B.n }x +1
满足B. n =|A.n -|,Sn =B.1+B.2+…+B.n (n∈N *).
(-1) n
（1）用数学归纳法证明:B.n ≤; 2n -1
（2）证明:Sn
2≥1.因为a 1=1，所以a n ≥1(n∈N *) x +1证明：(1)当x≥0时,f(x)=1+
(-1) n
下面用数学归纳法证明不等式b n ≤. 2n -1
（Ⅰ）当n=1时，b 1=-1，不等式成立，
(3-1) k
（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即b k ≤. 2k -1
(-1) |a k =3|3-1(3-1) k +1
那么b k+1=|ak+1-|=. ≤b n ≤1+a k 22k 所以，当n=k+1时，不等式也成立.
根据（Ⅰ）和（Ⅱ），可知不等式对任意n ∈N *都成立.
(-1) n
（2）由（Ⅰ）知，b n ≤. 所以 n -12
(-1) 2(3-1) 2
S n =b1+b2+…+bn ≤(3-1)+ + +n -122
-1n ) 12
故对任意n ∈N *,S n
23. 3