第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题
一、平方根
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即x 2
=a ，x 叫做a 的平方根。 ２. 平方根的性质与表示
⑴表示：正数a 的平方根用±a a 叫做正平方根，也称为算术平方根，
-a 叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：±a （根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作0=0 ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a 2
=a ==⎧⎨a
a ≥0 a 0）
⎩
-a a
)
2
=a （a ≥⑷a 的双重非负性：a ≥0且a ≥0 （应用较广） 例：x -4+4-x =y 得知x =4, y =0
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应
地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ 4=____４开平方
后，得____
⎧⎪
42
⎪
93３. 计算a 的方法⎪
⎨77
⎪⎪⎪⎩精确到某位小数
*若a >b >0，则a >b 二、立方根和开立方
１．立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作a
２. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. ３. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
a )3
=a
a 3=a -a =-a （a 取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是０本身。 三、推广： n 次方根
１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个。 ±a ０的偶次方根为０。=0 负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
1
例1．已知实数a 、b 、c 满足，
(c -1) 2
2
=0,,求a+b+c的值.
例2. 若y =x -1+-x -1，求x ，y 的值。
例3. 若2a -1和-3b 互为相反数，求a
b
的值。
跟踪练习： 1．y =2-x +x -2+x 2+5，求y x 的平方根和算术平方根。
3. 若x +1+|y -2|=0，求x+y的值。
实战演练：一、填空
1．如果x 2
=16，那么x =_____；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
±
1625=_____-4
=_____3．
，81，4=____，
-6
=_____； 169=______33
=_____4．287，8，--64=_____；
5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米； 6．-5的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；
-2
109．0. 0144=_______;
27=
_________;
2∙+=__________，
⎛2
2⎫ -3⎪=⎝3⎪⎭________，
5-2
+2)
=_____；_ _
3-1
110．比较大小：-5______-， -3. 14 _______π，
2______ 2； 12．若9x 2=4，则x =______，若(x -1) 3=64，则x =______； 14．如果x -4+(y +6) 2
=0，那么
x +y = ；
15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则a +b +3
cd =______；
21．
(-5) 2
的平方根是
二、 选择题
1．与数轴上的点一一对应的是（ ）
A. 实数 B. 正数 C. 有理数 D. 整数 2．下列说法正确的是（ ）．
A ．（-5）是(-5)2的算术平方根 B．16的平方根是±4 C ．2是-4的算术平方根 D．64的立方根是±4
3．如果x -1有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．
A ．0 B．1 C．2 D．3
4．若 x -1+y +2+(z -3)2=0 则x+2y+z= （ ）
2
A ．6 B．2 C．8 D．0 思考：
（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
是一个无理数，那么
－1在哪两个整数之间？
1π135
5一组数, 3. 14, , -27, -, 22, -343, 这几个数中，无理数
32246
（2
）大家都知道
的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 一个自然数的算术平方根是x ，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是(3)的整数部分为a, 小数部分为b ，则a= （ ） A. x 2
+1 B. x +1 C. x +1 D. x 2+1 8. 若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（ ） A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
四、实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：
① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 3. 实数大小比较的方法 一、平方法： 比较3
2
和的大小
二、移动因式法： 比较2和2的大小
三、求差法： 比较-1
2
和1的大小 练习：
一、比较下列各组数的大小：
① -
2和- ② 和34
5
3
④ -和－2.45 ⑤ -23
与1
3
练习：平方根
1. 36的平方根是 ；的算术平方根是 ；
2. 平方数是它本身的数是 （ ） ；平方数是它的相反数的数是 ( ) ；3. 当x=__________ 时，x 2+1有意义； 4. 下列各式中，正确的是（ ）
(A)(-2) 2
=-2 (B) (-) 2=9 (C) -9=-3 (D) ±=±3
6. 若a
2
1112a
等于（ ） A、2 B、-2 C、±2 D、0
9. 计算
⑴ 49
144⋅1449
⑵4 ⑶-3116+4
10. 若1＜x ＜3
练习：立方根
1. 当x= _________时，x +2有意义；
2. 若x 4=16，则x=_________；若3n =81，则n= ________。
3. 若x =-2，则x= __________； 若64=-x ，则x =__________；
4. 若n 为正整数，则2n 1等于（ ）
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2n+1 5. 求χ的值：(2x -1) 3=-8
3
3
6. （1）-337
8
+8
-1
（2）-0. 973⨯(-10) 2
-2+3
（3）--343+0. 25∙3(-6) 3
4
第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题
一、平方根
1. 平方根的含义
如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
即x 2
=a ，x 叫做a 的平方根。 ２. 平方根的性质与表示
⑴表示：正数a 的平方根用±a a 叫做正平方根，也称为算术平方根，
-a 叫做a 的负平方根。
⑵一个正数有两个平方根：±a （根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作0=0 ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算
开平方：求一个数a 的平方根的运算。
a 2
=a ==⎧⎨a
a ≥0 a 0）
⎩
-a a
)
2
=a （a ≥⑷a 的双重非负性：a ≥0且a ≥0 （应用较广） 例：x -4+4-x =y 得知x =4, y =0
⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应
地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ 4=____４开平方
后，得____
⎧⎪
42
⎪
93３. 计算a 的方法⎪
⎨77
⎪⎪⎪⎩精确到某位小数
*若a >b >0，则a >b 二、立方根和开立方
１．立方根的定义
如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作a
２. 立方根的性质
任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. ３. 开立方与立方
开立方：求一个数的立方根的运算。
a )3
=a
a 3=a -a =-a （a 取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是０本身。 三、推广： n 次方根
１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。
当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个。 ±a ０的偶次方根为０。=0 负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
1
例1．已知实数a 、b 、c 满足，
(c -1) 2
2
=0,,求a+b+c的值.
例2. 若y =x -1+-x -1，求x ，y 的值。
例3. 若2a -1和-3b 互为相反数，求a
b
的值。
跟踪练习： 1．y =2-x +x -2+x 2+5，求y x 的平方根和算术平方根。
3. 若x +1+|y -2|=0，求x+y的值。
实战演练：一、填空
1．如果x 2
=16，那么x =_____；
2．144的平方根是______，64的立方根是_______；
±
1625=_____-4
=_____3．
，81，4=____，
-6
=_____； 169=______33
=_____4．287，8，--64=_____；
5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米； 6．-5的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；
-2
109．0. 0144=_______;
27=
_________;
2∙+=__________，
⎛2
2⎫ -3⎪=⎝3⎪⎭________，
5-2
+2)
=_____；_ _
3-1
110．比较大小：-5______-， -3. 14 _______π，
2______ 2； 12．若9x 2=4，则x =______，若(x -1) 3=64，则x =______； 14．如果x -4+(y +6) 2
=0，那么
x +y = ；
15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则a +b +3
cd =______；
21．
(-5) 2
的平方根是
二、 选择题
1．与数轴上的点一一对应的是（ ）
A. 实数 B. 正数 C. 有理数 D. 整数 2．下列说法正确的是（ ）．
A ．（-5）是(-5)2的算术平方根 B．16的平方根是±4 C ．2是-4的算术平方根 D．64的立方根是±4
3．如果x -1有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．
A ．0 B．1 C．2 D．3
4．若 x -1+y +2+(z -3)2=0 则x+2y+z= （ ）
2
A ．6 B．2 C．8 D．0 思考：
（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？
是一个无理数，那么
－1在哪两个整数之间？
1π135
5一组数, 3. 14, , -27, -, 22, -343, 这几个数中，无理数
32246
（2
）大家都知道
的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 一个自然数的算术平方根是x ，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是(3)的整数部分为a, 小数部分为b ，则a= （ ） A. x 2
+1 B. x +1 C. x +1 D. x 2+1 8. 若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（ ） A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 4
四、实 数
1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：
① 按属性分类： ② 按符号分类
2. 实数和数轴上的点的对应关系：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
(4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数；
④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。 3. 实数大小比较的方法 一、平方法： 比较3
2
和的大小
二、移动因式法： 比较2和2的大小
三、求差法： 比较-1
2
和1的大小 练习：
一、比较下列各组数的大小：
① -
2和- ② 和34
5
3
④ -和－2.45 ⑤ -23
与1
3
练习：平方根
1. 36的平方根是 ；的算术平方根是 ；
2. 平方数是它本身的数是 （ ） ；平方数是它的相反数的数是 ( ) ；3. 当x=__________ 时，x 2+1有意义； 4. 下列各式中，正确的是（ ）
(A)(-2) 2
=-2 (B) (-) 2=9 (C) -9=-3 (D) ±=±3
6. 若a
2
1112a
等于（ ） A、2 B、-2 C、±2 D、0
9. 计算
⑴ 49
144⋅1449
⑵4 ⑶-3116+4
10. 若1＜x ＜3
练习：立方根
1. 当x= _________时，x +2有意义；
2. 若x 4=16，则x=_________；若3n =81，则n= ________。
3. 若x =-2，则x= __________； 若64=-x ，则x =__________；
4. 若n 为正整数，则2n 1等于（ ）
A. -1 B. 1 C. ±1 D. 2n+1 5. 求χ的值：(2x -1) 3=-8
3
3
6. （1）-337
8
+8
-1
（2）-0. 973⨯(-10) 2
-2+3
（3）--343+0. 25∙3(-6) 3
4