第04讲第二章数列极限定义证明

第一章函数与极限§1.1 函数 §1.2 极限§1.2 极限 一、数列的极限 二、函数的极限 …一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义数列的几何意义.数列是整标函数数列的单调性. 数列的有界性.xn  f ( n) ( n   ).3、数列的极限{ xn } n  , xn  a (cons .) 称a为数列{ xn }的极限.nlim xn  ax n  a ( n   ).a 收敛数列 lim xn   发散数列 n  a n { 2 } 无穷发散振荡发散 {sin n} ( 1)n1  lim  1  1    n n  xn  1 ( n   ).当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于 某一确定的数值 a 如何用数学语言描述?刻化两个数的接近程度: 绝对值1 ( 1) n1 n 1 1  xn  1  1   1  ( 1) n n n( 1)n1 xn  1  n1 1 1 1 , 给定   ,由  , 只要 n  100 时, 有 x n  1  100 100 n 1001 给定   , 只要 n  1000时, 有 x n  1  1 , 1000 10001 1 , 给定   , 只要 n  10000 时 , 有 x n  1  10000 10000引入符号 N 和  来刻化引入符号 N 和  来刻化无限增大和无限接近!( 1)n1 xn  1  n 1 任意给定   0, 只要 n  N    时, 有 x n  1  成立 .  则只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。n N 确保xn  1  当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值 a ? 如果是, 如何用数学语言描述?3、数列的极限定义 如果对于任意给定的正数  (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n  N 时的一切 x n , 不等式 x n  a   都成立,那么就称常数 a 是{xn} 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为lim x n  a ,n 或 x n  a ( n   ).不等式 x n  a  刻划了 x n与a的无限接近 ;N与任意给定的正数  有关 .  N定义 : lim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .几何解释:a2aax 2 x1 x N  1x N  2 x3x当n  N时, 所有的点 x n 都落在 (a   , a   )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限lim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .( 1)n1 我们可以用定义来证明数列以a为极限。 xn  1  nn  ( 1) n1  1. 练习1 证明 lim n  n证n  ( 1) n1 1 1  ∵ xn  1  n n1 要 x n  1   , 只要  , 取N  [1], n  n  ( 1) n1 则当n  N时, 就有 1   n    0,n  ( 1) n1 即 lim  1. n  nP22例题1( 1)n1 证明 lim  0. n n1 证明 lim  0. n nn 证明 lim  1. n n  1数列极限按定义的验证步骤：1  >0oo(给 )2 由不等式 xn  a   , 找N .3 确 定 a是  xn 的 极 限o练习2 证明 limnn2 n  122 1.2 n  1∵ xn  1 n2 n  11  n  122  2 2  n  1 ( n  1) n  12n  12n  22  ,    0, 要 x n  1  , 只要 n1 2 取N  [  1], 当n  N时 , 有n2 n  121  成立，故命题得证.练习3 证明 lim 证 ∵ xn  1n2  n  6 n 52 1.n n2  n  6 n2  51 n1 n2  5n n n22  n    0, 要 x n  1   ,2 只要   , n2 2 n n6 取N  [ ], 当n  N时 , 就有 1   2  n 5注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小).练习4 证明 lim1n n  12 0.1 n  120 1 ( n  1)2 ,n11 11  ,  2 n 1  ,  nn1 n 例2证明 lim C  C .n（P22LT2）  0,xn  C  C  C  0   , n  N , 都有 C  C   成立例3证明 lim q n  0 q  1. （P22nLT3）证明 (1) q  0 . (2) 0lg  N  [ ], lg q0    q , n 要 xn  0  q   , lg q  lg  ,n n lg q  lg  lg  n lg q例4 证:证明 limn na  1, 其中 a  0.n  0, 要使na 1 . a  1, 0  a  1,ln a 即: n  , ln(1   )a  1  ,a  1 ,若a  1,a 1 ,nln a ], 取 N1  [ ln(1   )若0  a  1, 1  a   ,nna  1 ,ln a 即: n  , ln(1   )ln a ], 取 N2  [ ln(1   )就有 a  1  ,nlim n a  1.n （P23LT4）例4证明 limn na  1, 其中 a  0.n证：   0,要使na  1  ,na 1 . 0  a  1, a  1,若a  1, 只要 a  1   ,ln a ], 取 N1  [ ln(1   )nln a , a  1  , 即 : n  ln(1   )a  1   0    a 1n若0  a  1, 只要 1  a   ,ln a ], 取 N2  [ ln(1   )ln a , a  1  , 即 : n  ln(1   )a  1   0    1 a就有 a  1  ,nlim n a  1.n 例4证明 limn na  1, 其中 a  0.n证： 任给0   , 要使na  1  ,na 1 . 0  a  1, a  1,ln a , 若a  1, 只要 a  1   , a  1   , 即 : n  ln(1   ) 0    a 1 ln a ], 取 N1  [ ln(1   ) 若0  a  1, 只要 1  n a   , n a  1   , 即 : n  ln a , ln(1   ) 0    1 a ln a ], 取 N2  [ ln(1   )就有na  1  , lim n a  1.n 另证例4.证明 lim n a  1. 其中a  0为常数.n证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, 令 n a  1   n (  n  0), 从而1 2 2 n n a  (1   n )n  1  C n  n  Cn  n  ...  C n n> 1+ nn a 1 得 n  . nna  1  n,(2) 设 a > 1, …  >0,n令 n a  1   n (  n  0),a1  , na  1  na 1 a 1 要使 a  1   , 只须   , 即n  即可. n na  1 取N   ,则 当 n  N时 ,有    na 1  .故limn na 1( 其 中 a  1).1 (3) 设 0  > 0, N, 当n>N时, 有 n a即另证例4.n1 1  . ana 1na .na  1   n a   . (因 0 nlimn a  1.(0  a  1).综合（1、2、3）得limn na  1.( a  0).(2) 设 a > 1, … 还可以 用有理化的方法.n n 1 n 2lim n a  1. a  0.nb  1  (b  1)(bnb ...  b  1)a  1  n a  1.( n a  1)[( n a )n1  ( n a )n 2  ...  1] ( n a )n1  ( n a )n 2  ...  1(分母都用1代).a 1  n以下同上面的“另证例4”中的第(2)步.令 n a  1   n (  n  0),  >0,na  1  na1  , na 1 a 1 要使 a  1   , 只须   , 即n  即可. n na  1 取N   ,则 当 n  N时 ,有    na 1  .故limn na 1( 其 中 a  1).  N定义 : lim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .求解过程中关键是找到N (ε)（确实存在）。 如何找到这样的N ？ 求解不等式 xn  a   则当n>N时， xn  anlim xn  alim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .1)  的绝对任意性和相对固定性。2）N ( ) 的相应性（和不唯一性）。3）xn  a 的多样性。4）n是大于N的所有自然数。5） a 是 数 列  x n 的 极 限 ， 是 __ 量 ， N , n， x n 是 __ 量 。6）几何意义。 7）数列极限的等价定义：  0若在U(a , )之外数列  xn  至多只有有限项，则称数列  xn  收敛于极限a .lim xn  a    0, N  0, 使 n  N 时, 恒有 xn  a   .n 1 证明 lim  .0. n nn 证明 lim  1. n n  1证明 lim C  C .n证明 lim q n  0. q  1.nlimn na1 , 其 中 a  0.练习5 设x n  0, 且 lim x n  a  0, 求证 lim x n  a .n  n 证  a  0,lim xn  a , ∵ n  N 使得当n  N 时恒有 xn  a  a ,从而有 xn  a  xn  a xn  a  axn  a aa 当n  N 时恒有xn xn  a xn xn  a aa a故数列{ xn }，对任意 小的正数ε找到了 N limn xn  a .一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限4、  N 定义证明数列极限为aP66 XT1.2 2.(1, 3, 4) 3.一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限nlim xn  a   0, N  0, 使n  N 时, 恒有 xn  a   .4、  N 定义证明数列极限为a5、 收敛数列的性质5、收敛数列的性质定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一. 反证: 设 x 收敛, 但极限不唯一, n 即, xn a, 且xn  b, (n), ab.ab , 设a > b, 取   21, 当n>N1时,nab | xn  a | , 2lim xn  a   0, N  0, 使n  N时, 恒有 xn  a   .nlim xn  a   0, N  0, 使n  N时, 恒有 xn  a   .由 lim xn  aab , 1, 当n>N1时, | xn  a | , n 2 lim xn  b N , 当 n >N 时, | x  b | a  b n 2 2 n 2取N=max{N1, N2}, 则当n>N时, 上两式同时成立. 有 a  b | a  b | | a  xn  xn  b |  | a  xn |  | xn  b |ab ab    ab 2 2x y  x  y .矛盾, 故极限唯一.5、 收敛数列的性质 (P24) (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性x y  x  y .定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 证:a–1 lim xn  a . 设n (a a+1 M)x对 =1, N,当n>N 时, 有|xna||xn| = |xn-a+a|  |xna|+|a| 定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 不收敛！有界数列收敛数列101x是发散的.@求证定理2.若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界.lim yn  0证明 lim xn yn  0 设数列 x n 有界，又 n n 证：由已知数列{xn}有界=> M>0 nN, |xn|≤M   0, N, n>N，|yn|故有x n yn  0  x n yn  M   M lim xn yn  0n5、 收敛数列的性质 (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性定理3.设 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,n n则正整数N , 当n  N 时, 有xn  yn .证： bnab 2ab 2axlim xn  a ,ab 对   0, 2ab , 正整数N 1 , 当n  N 1时, 有 | xn  a |    2ab | xn  a |  , 2即 从而ab  xn 2ab ab  xn  a  . 2 2… (1)因 lim yn  b .  正整数 N 2 , 当 n  N 2时 ,n ab 有 | yn  b |    . 2 ab 从而 yn  . … (2) 2 取 N = max{N1, N2}, 则当 n > N时, (1), (2)同时成立，即 xn > yn. bab 2ax定理3. 设 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,n n则正整数N , 当n  N 时, 有xn  yn .lim x n  a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 n (aN时, 有xn>0 (xna 证明 设a>0，由数列极限定义，对    0 2  正整数N>0, 当n>N时，有 a xn  a  2 a a 从而 xn  a    0 2 2定理3. 设 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,n n则正整数N , 当n  N 时, 有xn  yn .推论2. 设 lim xn  a , lim yn  b, 且若正整数N ,n n当 n  N 时 , 有 x n  yn ,则必有a  b.反证: 设 a N1时, 有xn N2 (  N)时, 有 xnxn  a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 lim n (aN时, 有xn>0 (xnxn  a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n 则 a0即 lim xn  0 ( lim xn  0)n nxn  a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n 则 a0 注: 即使xn>0, 也能推出a0, 即, lim xn  0n1 比如, xn   0, n1 lim  0 n n5、 收敛数列的性质 (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 有序性推论…

第一章函数与极限§1.1 函数 §1.2 极限§1.2 极限 一、数列的极限 二、函数的极限 …一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义数列的几何意义.数列是整标函数数列的单调性. 数列的有界性.xn  f ( n) ( n   ).3、数列的极限{ xn } n  , xn  a (cons .) 称a为数列{ xn }的极限.nlim xn  ax n  a ( n   ).a 收敛数列 lim xn   发散数列 n  a n { 2 } 无穷发散振荡发散 {sin n} ( 1)n1  lim  1  1    n n  xn  1 ( n   ).当 n 无限增大时, 数列 xn 无限接近于 某一确定的数值 a 如何用数学语言描述?刻化两个数的接近程度: 绝对值1 ( 1) n1 n 1 1  xn  1  1   1  ( 1) n n n( 1)n1 xn  1  n1 1 1 1 , 给定   ,由  , 只要 n  100 时, 有 x n  1  100 100 n 1001 给定   , 只要 n  1000时, 有 x n  1  1 , 1000 10001 1 , 给定   , 只要 n  10000 时 , 有 x n  1  10000 10000引入符号 N 和  来刻化引入符号 N 和  来刻化无限增大和无限接近!( 1)n1 xn  1  n 1 任意给定   0, 只要 n  N    时, 有 x n  1  成立 .  则只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。n N 确保xn  1  当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近 于某一确定的数值 a ? 如果是, 如何用数学语言描述?3、数列的极限定义 如果对于任意给定的正数  (不论它多么 小),总存在正数 N ,使得对于 n  N 时的一切 x n , 不等式 x n  a   都成立,那么就称常数 a 是{xn} 的极限,或者称数列 x n 收敛于 a ,记为lim x n  a ,n 或 x n  a ( n   ).不等式 x n  a  刻划了 x n与a的无限接近 ;N与任意给定的正数  有关 .  N定义 : lim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .几何解释:a2aax 2 x1 x N  1x N  2 x3x当n  N时, 所有的点 x n 都落在 (a   , a   )内, 只有有限个 (至多只有 N个 ) 落在其外.一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限lim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .( 1)n1 我们可以用定义来证明数列以a为极限。 xn  1  nn  ( 1) n1  1. 练习1 证明 lim n  n证n  ( 1) n1 1 1  ∵ xn  1  n n1 要 x n  1   , 只要  , 取N  [1], n  n  ( 1) n1 则当n  N时, 就有 1   n    0,n  ( 1) n1 即 lim  1. n  nP22例题1( 1)n1 证明 lim  0. n n1 证明 lim  0. n nn 证明 lim  1. n n  1数列极限按定义的验证步骤：1  >0oo(给 )2 由不等式 xn  a   , 找N .3 确 定 a是  xn 的 极 限o练习2 证明 limnn2 n  122 1.2 n  1∵ xn  1 n2 n  11  n  122  2 2  n  1 ( n  1) n  12n  12n  22  ,    0, 要 x n  1  , 只要 n1 2 取N  [  1], 当n  N时 , 有n2 n  121  成立，故命题得证.练习3 证明 lim 证 ∵ xn  1n2  n  6 n 52 1.n n2  n  6 n2  51 n1 n2  5n n n22  n    0, 要 x n  1   ,2 只要   , n2 2 n n6 取N  [ ], 当n  N时 , 就有 1   2  n 5注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由>0,找到使主要不等式成立的 N(并不在乎N是否最小).练习4 证明 lim1n n  12 0.1 n  120 1 ( n  1)2 ,n11 11  ,  2 n 1  ,  nn1 n 例2证明 lim C  C .n（P22LT2）  0,xn  C  C  C  0   , n  N , 都有 C  C   成立例3证明 lim q n  0 q  1. （P22nLT3）证明 (1) q  0 . (2) 0lg  N  [ ], lg q0    q , n 要 xn  0  q   , lg q  lg  ,n n lg q  lg  lg  n lg q例4 证:证明 limn na  1, 其中 a  0.n  0, 要使na 1 . a  1, 0  a  1,ln a 即: n  , ln(1   )a  1  ,a  1 ,若a  1,a 1 ,nln a ], 取 N1  [ ln(1   )若0  a  1, 1  a   ,nna  1 ,ln a 即: n  , ln(1   )ln a ], 取 N2  [ ln(1   )就有 a  1  ,nlim n a  1.n （P23LT4）例4证明 limn na  1, 其中 a  0.n证：   0,要使na  1  ,na 1 . 0  a  1, a  1,若a  1, 只要 a  1   ,ln a ], 取 N1  [ ln(1   )nln a , a  1  , 即 : n  ln(1   )a  1   0    a 1n若0  a  1, 只要 1  a   ,ln a ], 取 N2  [ ln(1   )ln a , a  1  , 即 : n  ln(1   )a  1   0    1 a就有 a  1  ,nlim n a  1.n 例4证明 limn na  1, 其中 a  0.n证： 任给0   , 要使na  1  ,na 1 . 0  a  1, a  1,ln a , 若a  1, 只要 a  1   , a  1   , 即 : n  ln(1   ) 0    a 1 ln a ], 取 N1  [ ln(1   ) 若0  a  1, 只要 1  n a   , n a  1   , 即 : n  ln a , ln(1   ) 0    1 a ln a ], 取 N2  [ ln(1   )就有na  1  , lim n a  1.n 另证例4.证明 lim n a  1. 其中a  0为常数.n证: (1) 设 a = 1, 结论显然成立. (2) 设 a > 1, 令 n a  1   n (  n  0), 从而1 2 2 n n a  (1   n )n  1  C n  n  Cn  n  ...  C n n> 1+ nn a 1 得 n  . nna  1  n,(2) 设 a > 1, …  >0,n令 n a  1   n (  n  0),a1  , na  1  na 1 a 1 要使 a  1   , 只须   , 即n  即可. n na  1 取N   ,则 当 n  N时 ,有    na 1  .故limn na 1( 其 中 a  1).1 (3) 设 0  > 0, N, 当n>N时, 有 n a即另证例4.n1 1  . ana 1na .na  1   n a   . (因 0 nlimn a  1.(0  a  1).综合（1、2、3）得limn na  1.( a  0).(2) 设 a > 1, … 还可以 用有理化的方法.n n 1 n 2lim n a  1. a  0.nb  1  (b  1)(bnb ...  b  1)a  1  n a  1.( n a  1)[( n a )n1  ( n a )n 2  ...  1] ( n a )n1  ( n a )n 2  ...  1(分母都用1代).a 1  n以下同上面的“另证例4”中的第(2)步.令 n a  1   n (  n  0),  >0,na  1  na1  , na 1 a 1 要使 a  1   , 只须   , 即n  即可. n na  1 取N   ,则 当 n  N时 ,有    na 1  .故limn na 1( 其 中 a  1).  N定义 : lim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .求解过程中关键是找到N (ε)（确实存在）。 如何找到这样的N ？ 求解不等式 xn  a   则当n>N时， xn  anlim xn  alim x n  a n  0, N  0, 使n  N时, 恒有 x n  a  .1)  的绝对任意性和相对固定性。2）N ( ) 的相应性（和不唯一性）。3）xn  a 的多样性。4）n是大于N的所有自然数。5） a 是 数 列  x n 的 极 限 ， 是 __ 量 ， N , n， x n 是 __ 量 。6）几何意义。 7）数列极限的等价定义：  0若在U(a , )之外数列  xn  至多只有有限项，则称数列  xn  收敛于极限a .lim xn  a    0, N  0, 使 n  N 时, 恒有 xn  a   .n 1 证明 lim  .0. n nn 证明 lim  1. n n  1证明 lim C  C .n证明 lim q n  0. q  1.nlimn na1 , 其 中 a  0.练习5 设x n  0, 且 lim x n  a  0, 求证 lim x n  a .n  n 证  a  0,lim xn  a , ∵ n  N 使得当n  N 时恒有 xn  a  a ,从而有 xn  a  xn  a xn  a  axn  a aa 当n  N 时恒有xn xn  a xn xn  a aa a故数列{ xn }，对任意 小的正数ε找到了 N limn xn  a .一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限4、  N 定义证明数列极限为aP66 XT1.2 2.(1, 3, 4) 3.一、数列的极限1、概念的引入 2、数列的定义 3、数列的极限nlim xn  a   0, N  0, 使n  N 时, 恒有 xn  a   .4、  N 定义证明数列极限为a5、 收敛数列的性质5、收敛数列的性质定理1. 若数列收敛, 则其极限唯一. 反证: 设 x 收敛, 但极限不唯一, n 即, xn a, 且xn  b, (n), ab.ab , 设a > b, 取   21, 当n>N1时,nab | xn  a | , 2lim xn  a   0, N  0, 使n  N时, 恒有 xn  a   .nlim xn  a   0, N  0, 使n  N时, 恒有 xn  a   .由 lim xn  aab , 1, 当n>N1时, | xn  a | , n 2 lim xn  b N , 当 n >N 时, | x  b | a  b n 2 2 n 2取N=max{N1, N2}, 则当n>N时, 上两式同时成立. 有 a  b | a  b | | a  xn  xn  b |  | a  xn |  | xn  b |ab ab    ab 2 2x y  x  y .矛盾, 故极限唯一.5、 收敛数列的性质 (P24) (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性x y  x  y .定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 证:a–1 lim xn  a . 设n (a a+1 M)x对 =1, N,当n>N 时, 有|xna||xn| = |xn-a+a|  |xna|+|a| 定理2. 若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界. 逆命题不成立, 如xn=(1)n有界, 不收敛！有界数列收敛数列101x是发散的.@求证定理2.若{ xn } 收敛, 则 { xn } 有界.lim yn  0证明 lim xn yn  0 设数列 x n 有界，又 n n 证：由已知数列{xn}有界=> M>0 nN, |xn|≤M   0, N, n>N，|yn|故有x n yn  0  x n yn  M   M lim xn yn  0n5、 收敛数列的性质 (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 保序性定理3.设 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,n n则正整数N , 当n  N 时, 有xn  yn .证： bnab 2ab 2axlim xn  a ,ab 对   0, 2ab , 正整数N 1 , 当n  N 1时, 有 | xn  a |    2ab | xn  a |  , 2即 从而ab  xn 2ab ab  xn  a  . 2 2… (1)因 lim yn  b .  正整数 N 2 , 当 n  N 2时 ,n ab 有 | yn  b |    . 2 ab 从而 yn  . … (2) 2 取 N = max{N1, N2}, 则当 n > N时, (1), (2)同时成立，即 xn > yn. bab 2ax定理3. 设 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,n n则正整数N , 当n  N 时, 有xn  yn .lim x n  a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 n (aN时, 有xn>0 (xna 证明 设a>0，由数列极限定义，对    0 2  正整数N>0, 当n>N时，有 a xn  a  2 a a 从而 xn  a    0 2 2定理3. 设 lim xn  a , lim yn  b, 且a  b,n n则正整数N , 当n  N 时, 有xn  yn .推论2. 设 lim xn  a , lim yn  b, 且若正整数N ,n n当 n  N 时 , 有 x n  yn ,则必有a  b.反证: 设 a N1时, 有xn N2 (  N)时, 有 xnxn  a , 而a>0 推论1. (保号性定理) 若 lim n (aN时, 有xn>0 (xnxn  a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n 则 a0即 lim xn  0 ( lim xn  0)n nxn  a , 若正整数N, 当n>N时, 有 xn0 推论3: lim n 则 a0 注: 即使xn>0, 也能推出a0, 即, lim xn  0n1 比如, xn   0, n1 lim  0 n n5、 收敛数列的性质 (1) 唯一性若数列{xn}收敛,则其极限值惟一.(2) 有界性收敛的数列必定有界.(3) 有序性推论…