第27卷第2期
Vol. 27 No. 2
文章编号:1673-2103(2005) 02-0010-02
菏泽学院学报
Journal of H eze University
2005年4月Apr. 2005
基尔霍夫方程组行处理法
韩卫华, 赵国伟, 曾宪雯
(中国工程物理研究院工学院, 四川绵阳, 621900)
摘 要:称由基尔霍夫(Kirchhoff) 定律建立的线性代数方程组为基尔霍夫方程组. 针对基尔霍夫方程组的性质特点, 利用线性代数方程组正交化行处理法, 给出了求解基尔霍夫方程组的一种新的数值方法并分析了此方法的应用前景.
关键词:基尔霍夫方程组; 正交化行处理法; 数值计算
中图分类号:O 241. 6 文献标识码:A 基尔霍夫定律在电学以及电学为基础的众多领域(如电工学、电化学、无线电工学、遥控和自动控制学、电视学等) 中都十分重要, 在设计和求解复杂电路时常需求解基尔霍夫方程组. 给出求解基尔霍夫方程组(尤其是大型方程组) 的好的数值计算方法无疑有较大理论价值和应用价值.
记AX =b 为[A |b ].在将文[1~5]成果用于求解完全基尔霍夫方程组时, 其算法设计应遵循定理2.
定理2R R A
n @m
[1~5]
设有线性方程组[c |d ], c I . 当且仅当rank (c) =rank ([c |
i
, d I R
n @1
d ]) =m 时, 有(1) 存在同解方程组[A |b]且A I
m @m
1 预备知识
建立基尔霍夫方程组的方法有直接法(直接运用基尔霍夫定律) 和回路电流法及节点电位法等. 将电路图视作有n 1个节点(包括广义节点) 、m 条赋权边、n 2条基本回路的简单有向连通平面图, 本文约定用直接法对电路中每一节点和每一回路建立基尔霍夫方程组, 而将删除方程组中非独立方程的工作交由算法程序完成. 称遵循此约定建立成的基尔霍夫方程组为完全基尔霍夫方程组(请见算例).
用1#|#2表示矩阵的列分块划分. 定理1总结了完全基尔霍夫方程组的代数性质.
定理1 设有完全基尔霍夫方程组AX =b, 其中A I R (n 1+n 2) @m , b I R (n 1+n 2) @1, X I R m @1. 则有:(1) rank (A ) =rank ([A |b]) =m ; (2) AX =b 中存在(n 1+n 2) -m 个非独立方程.
从代数性质看, 完全基尔霍夫方程组是超定的唯解线性代数方程组, 其系数矩阵是稀疏的高矩阵. 结论的正确性由电学知识及线性代数知识可保证.
*
为正交规范行向量组; (2) 记[A |b]为(A , b i , i =
1, 2, , , r ,
则r =
m 且
i T b i (A ) =b.
X =
1[i [r
E
从[c |d]到[A |b]的同解变形使用改进的Gram -Schmidt 正交约化方法(M GS) . 文[1~5]等确定的求解[c |d ]的方法兼备直接法和迭代法二者的特点并且具有数值稳定性好和内在并行性强的优势, 适宜用作求解基尔霍夫方程组的串行数值方法和并行数值方法(SISD 、SIM D 、M IMD) .
2 行处理法数值解法
给出求解完全基尔霍夫方程组[A | b ]的串行(SISD) 行处理法, 分析其应用前景. 假定问题需求解m 个未知量X =(x 1, , , x i , , , x m ) T , 方程组已用手工方法生成或已用图论方法自动生成. 用自然语句和类PASCAL 语句描述算法.
定义1 设有基尔霍夫方程组[A | b ], A I
i
R n @m , b I R n @1. 记[A | b ]为(A , X ) =b i , i =1,
收稿日期:2004-09-08
基金项目:中国工程物理研究院科学技术基金资助课题(20020656) . 作者简介:韩卫华, (1970-) , 女, 讲师. 主要从事数学与计算数学研究工作.
2005年 韩卫华, 等:基尔霍夫方程组行处理法 第2期2, , , n. 称算法K MGS-R 为求解[A | b ]的正交化行处理法. K MGS-R :
(1) 赋初值 r =0.
(2) MGS 方法同解变形.
i+1
) 对i =0, 1, , , n -1作11b A =A ; 2b c =l i+1
b i+1; 3b 对l =1, 2, , , r 作1K l =A , A ) ; A =A -l K l A ; c =c -K l b l 2; 4b |A |=+A +22; 5b 若|A |X
(1) 建立该电路的完全基尔霍夫方程组 AX =b ;
(2) 用K MGS-R 算法求解X.
求解过程示意如下:
(1) 由平面图论知识:该电路图中有A 、B 、C 、D 共4个3度节点; 在不考虑边的方向性时, 有ABDA 、BCDB 、ADCA 、ABCA 共4条长度为3的基本回路以及ABCDA 、ABDCA 、ADBCA 共3条长度为4的基本回路. 对4个节点和4条长度为3的回路(因节点最大数为3) , 用已知数据建立完全基尔霍夫方程组[A |b]如下:
A B C D A BDA BCDB A DCA A BCA
-1-11001001
001-1010
0-1100101
001-1010
0-101100
10-100000
0000030, 则1r =r +1; A =|A ||
122.
r
1
) ;
b r =c |A
) 若r
(3) 求解同解方程组[A |b] (r =m ). X =
1[i [m
E
i T
b i (A ) ; return (X ) ;
记求解过程为([A |b], m , X ) =
K MGS-R ([A | b ], n , m ) .
(1)
用文[1~5]成果及定理1~2可得下列结论. 定理3 对过程(1) , 有:(1) A x = b ; (2) K MGS-R 算法的实数乘、除运算量为O (n m ) , 实数开方运算量为O (m ) ; (3) K MGS-R 算法有较好的数
值稳定性; (4) K MGS-R 算法有较好的内在并行性. 对于大型基尔霍夫方程组和线性代数方程组新兴的消息传递M IM D 并行算法(20世纪90年代至今) , K MGS-R 算法的内在并行性应尤为重视. 用文13, 4, 52成果容易将K MGS-R 算法改写成较为理想的加速比和并行效率的消息传递M IMD 并行算法(另文讨论).
2
-1-1
(2) 行处理法MGS 同解变形结果如下:
-1/2/01/1/1/
-1/-3/1/03/1/
-3/1/
02/000-3/
01/1/
000006/-1/
-1/-1/-1/1/-2/
0-1/002/-1/1/3 算例
表1 单臂惠斯登电桥电路
权 值
有向边
电流(A )
AB AD BC BD DC CA
I 1I 2I 3I 4I 5I
电阻(8) R 1R 2R 3R 4R 5r
电压(V )
V 1V 2V 3V 4V 5E
X =3) T .
1[i [m
E
i T b i (A ) =(3/2, 3/2, 3/2, 3/2, 0,
程序实现时, 可动态建立方程组并同时施行行处理法M GS 同解变形, 在rank (A ) 等于待求未知数个数时即停止添加新方程.
由基尔霍夫定律及线性代数方程组知识可知:对有m 条有向边且每一节点度数不小于3的电路图, 集合X G R G {E }(X 为各边上电流值的集合, R 为各边上电阻值的集合, E 为电源电动势或电路总电压) 中共2m +1个元素. 在已知X G R G {E }中任m +1个元素而求其余m 个未知量时, K MGS -算法对求解其对应的基尔霍夫方程组均适用.
致谢:作者衷心感谢杨本立老师的悉心指导.
(下转第72页)
R
对表1所示单臂惠斯登电桥电路, 已知R =(R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, r ) T =(1, 1, 1, 1, 1, 0) T 及E =3, 令X =(I 1, I 2, I 3, I 4, I 5, I ) T .
2005年
m+1
菏泽学院学报 第2期
c
2(z +2) 2(-1) #由此得:
m
z =-1/2=
渗透可产生若干个令人拍案叫好的结果, 这也给我们学习数学指出了一个可以参考的蹊径.
#=27#2P . 23
参考文献:
[1] 严镇军. 复变函数[M ].合肥:中国科学技术大学出版
社. 2001.
[2] 余家荣. 复变函数[M ].北京:高等教育出版社, 2000. [3] 薛以锋, 李红英, 翟发辉. 复变函数与积分变换[M ].武
汉:华中理工大学出版社. 2001.
[4] 谭欣欣, 张莉. 复变函数全程学习指导与解题能力训练
[M]. 大连:大连理工大学出版社. 2002.
[5] 孙清华, 孙昊. 复变函数内容、方法与技巧[M]. 武汉:华
中科技出版社. 2003.
Q
d H =. 27#2P 05+4cos H
本题技巧在于将所求积分作为实部, 再配上一个
P
虚部的积分, 组合成一个可以进行代换的积分, 进行计算.
实分析中定积分的计算, 与用复变的有关知识计算定积分是两个不同学科的内容. 通过上面几例, 可以看出他们之间既有区别, 又有联系, 解起题有繁有简. 但让我们感到高兴的是, 数学理论与方法的相互
O n the Relation between Residue and Definite
) ) ) The Application of Divergent Thinking in M athematical Analysis
W ANG Ru-i ping
(M athematics Department, Heze U niversity, Heze, Shandong 274015, China)
A bstract:In this paper, we introduce a way to c alculate the definite of trigonometric rational funtion with the theory of residue in complex analysis .
Key w ords:residue; residue theorem; complex analysis
(上接第11页)
参考文献:
[1] 杨本立, 李安志. 线性代数方程组的通用性迭代解法
[J].四川师范大学学报, 1998, 21(6) :615-619. [2] 曾宪雯, 郝军, 祁晓彬, 等. 线性代数方程组正交化行处
理法[J]. 四川师范大学学报, 1999, 22(3) :265-268.
[3] 杨本立. 齐次线性方程组基础解系迭代解法[J]. 四川大
学学报, 2003, 40(5) :838-844.
[4] 杨本立. 线性代数方程组大数法快速并行解法[J]. 四川
大学学报, 2003, 40(4) :626-631.
[5] 杨本立, 曾宪雯, 李安志. 带状方程组二叉树M IMD 算
法[J].西南师范大学学报, 2004, 29(1) :29-34.
Row Action Method for Kirchhoff Equations
HAN We -i hua, ZHAO Guo -wei, ZENG Xian -wen
(Institute of Technology , CAEP, Mianyang , Sichuan 621900, China)
A bstract:The Kirchhoff equations is the linear algebraic equations set up by the Kirchhoff theory. In view of the special
c haracter of the Kirchhoff equations, the author puts forward a new numerical computation algorithm by using the method of the row action method with orthogonalization for linear algebraic equations. In addition, the applied prospect of the new algorithm is discussed.
Key w ords:Kirchhoff equations; row action method w ith orthogonalization; numerical c omputation
第27卷第2期
Vol. 27 No. 2
文章编号:1673-2103(2005) 02-0010-02
菏泽学院学报
Journal of H eze University
2005年4月Apr. 2005
基尔霍夫方程组行处理法
韩卫华, 赵国伟, 曾宪雯
(中国工程物理研究院工学院, 四川绵阳, 621900)
摘 要:称由基尔霍夫(Kirchhoff) 定律建立的线性代数方程组为基尔霍夫方程组. 针对基尔霍夫方程组的性质特点, 利用线性代数方程组正交化行处理法, 给出了求解基尔霍夫方程组的一种新的数值方法并分析了此方法的应用前景.
关键词:基尔霍夫方程组; 正交化行处理法; 数值计算
中图分类号:O 241. 6 文献标识码:A 基尔霍夫定律在电学以及电学为基础的众多领域(如电工学、电化学、无线电工学、遥控和自动控制学、电视学等) 中都十分重要, 在设计和求解复杂电路时常需求解基尔霍夫方程组. 给出求解基尔霍夫方程组(尤其是大型方程组) 的好的数值计算方法无疑有较大理论价值和应用价值.
记AX =b 为[A |b ].在将文[1~5]成果用于求解完全基尔霍夫方程组时, 其算法设计应遵循定理2.
定理2R R A
n @m
[1~5]
设有线性方程组[c |d ], c I . 当且仅当rank (c) =rank ([c |
i
, d I R
n @1
d ]) =m 时, 有(1) 存在同解方程组[A |b]且A I
m @m
1 预备知识
建立基尔霍夫方程组的方法有直接法(直接运用基尔霍夫定律) 和回路电流法及节点电位法等. 将电路图视作有n 1个节点(包括广义节点) 、m 条赋权边、n 2条基本回路的简单有向连通平面图, 本文约定用直接法对电路中每一节点和每一回路建立基尔霍夫方程组, 而将删除方程组中非独立方程的工作交由算法程序完成. 称遵循此约定建立成的基尔霍夫方程组为完全基尔霍夫方程组(请见算例).
用1#|#2表示矩阵的列分块划分. 定理1总结了完全基尔霍夫方程组的代数性质.
定理1 设有完全基尔霍夫方程组AX =b, 其中A I R (n 1+n 2) @m , b I R (n 1+n 2) @1, X I R m @1. 则有:(1) rank (A ) =rank ([A |b]) =m ; (2) AX =b 中存在(n 1+n 2) -m 个非独立方程.
从代数性质看, 完全基尔霍夫方程组是超定的唯解线性代数方程组, 其系数矩阵是稀疏的高矩阵. 结论的正确性由电学知识及线性代数知识可保证.
*
为正交规范行向量组; (2) 记[A |b]为(A , b i , i =
1, 2, , , r ,
则r =
m 且
i T b i (A ) =b.
X =
1[i [r
E
从[c |d]到[A |b]的同解变形使用改进的Gram -Schmidt 正交约化方法(M GS) . 文[1~5]等确定的求解[c |d ]的方法兼备直接法和迭代法二者的特点并且具有数值稳定性好和内在并行性强的优势, 适宜用作求解基尔霍夫方程组的串行数值方法和并行数值方法(SISD 、SIM D 、M IMD) .
2 行处理法数值解法
给出求解完全基尔霍夫方程组[A | b ]的串行(SISD) 行处理法, 分析其应用前景. 假定问题需求解m 个未知量X =(x 1, , , x i , , , x m ) T , 方程组已用手工方法生成或已用图论方法自动生成. 用自然语句和类PASCAL 语句描述算法.
定义1 设有基尔霍夫方程组[A | b ], A I
i
R n @m , b I R n @1. 记[A | b ]为(A , X ) =b i , i =1,
收稿日期:2004-09-08
基金项目:中国工程物理研究院科学技术基金资助课题(20020656) . 作者简介:韩卫华, (1970-) , 女, 讲师. 主要从事数学与计算数学研究工作.
2005年 韩卫华, 等:基尔霍夫方程组行处理法 第2期2, , , n. 称算法K MGS-R 为求解[A | b ]的正交化行处理法. K MGS-R :
(1) 赋初值 r =0.
(2) MGS 方法同解变形.
i+1
) 对i =0, 1, , , n -1作11b A =A ; 2b c =l i+1
b i+1; 3b 对l =1, 2, , , r 作1K l =A , A ) ; A =A -l K l A ; c =c -K l b l 2; 4b |A |=+A +22; 5b 若|A |X
(1) 建立该电路的完全基尔霍夫方程组 AX =b ;
(2) 用K MGS-R 算法求解X.
求解过程示意如下:
(1) 由平面图论知识:该电路图中有A 、B 、C 、D 共4个3度节点; 在不考虑边的方向性时, 有ABDA 、BCDB 、ADCA 、ABCA 共4条长度为3的基本回路以及ABCDA 、ABDCA 、ADBCA 共3条长度为4的基本回路. 对4个节点和4条长度为3的回路(因节点最大数为3) , 用已知数据建立完全基尔霍夫方程组[A |b]如下:
A B C D A BDA BCDB A DCA A BCA
-1-11001001
001-1010
0-1100101
001-1010
0-101100
10-100000
0000030, 则1r =r +1; A =|A ||
122.
r
1
) ;
b r =c |A
) 若r
(3) 求解同解方程组[A |b] (r =m ). X =
1[i [m
E
i T
b i (A ) ; return (X ) ;
记求解过程为([A |b], m , X ) =
K MGS-R ([A | b ], n , m ) .
(1)
用文[1~5]成果及定理1~2可得下列结论. 定理3 对过程(1) , 有:(1) A x = b ; (2) K MGS-R 算法的实数乘、除运算量为O (n m ) , 实数开方运算量为O (m ) ; (3) K MGS-R 算法有较好的数
值稳定性; (4) K MGS-R 算法有较好的内在并行性. 对于大型基尔霍夫方程组和线性代数方程组新兴的消息传递M IM D 并行算法(20世纪90年代至今) , K MGS-R 算法的内在并行性应尤为重视. 用文13, 4, 52成果容易将K MGS-R 算法改写成较为理想的加速比和并行效率的消息传递M IMD 并行算法(另文讨论).
2
-1-1
(2) 行处理法MGS 同解变形结果如下:
-1/2/01/1/1/
-1/-3/1/03/1/
-3/1/
02/000-3/
01/1/
000006/-1/
-1/-1/-1/1/-2/
0-1/002/-1/1/3 算例
表1 单臂惠斯登电桥电路
权 值
有向边
电流(A )
AB AD BC BD DC CA
I 1I 2I 3I 4I 5I
电阻(8) R 1R 2R 3R 4R 5r
电压(V )
V 1V 2V 3V 4V 5E
X =3) T .
1[i [m
E
i T b i (A ) =(3/2, 3/2, 3/2, 3/2, 0,
程序实现时, 可动态建立方程组并同时施行行处理法M GS 同解变形, 在rank (A ) 等于待求未知数个数时即停止添加新方程.
由基尔霍夫定律及线性代数方程组知识可知:对有m 条有向边且每一节点度数不小于3的电路图, 集合X G R G {E }(X 为各边上电流值的集合, R 为各边上电阻值的集合, E 为电源电动势或电路总电压) 中共2m +1个元素. 在已知X G R G {E }中任m +1个元素而求其余m 个未知量时, K MGS -算法对求解其对应的基尔霍夫方程组均适用.
致谢:作者衷心感谢杨本立老师的悉心指导.
(下转第72页)
R
对表1所示单臂惠斯登电桥电路, 已知R =(R 1, R 2, R 3, R 4, R 5, r ) T =(1, 1, 1, 1, 1, 0) T 及E =3, 令X =(I 1, I 2, I 3, I 4, I 5, I ) T .
2005年
m+1
菏泽学院学报 第2期
c
2(z +2) 2(-1) #由此得:
m
z =-1/2=
渗透可产生若干个令人拍案叫好的结果, 这也给我们学习数学指出了一个可以参考的蹊径.
#=27#2P . 23
参考文献:
[1] 严镇军. 复变函数[M ].合肥:中国科学技术大学出版
社. 2001.
[2] 余家荣. 复变函数[M ].北京:高等教育出版社, 2000. [3] 薛以锋, 李红英, 翟发辉. 复变函数与积分变换[M ].武
汉:华中理工大学出版社. 2001.
[4] 谭欣欣, 张莉. 复变函数全程学习指导与解题能力训练
[M]. 大连:大连理工大学出版社. 2002.
[5] 孙清华, 孙昊. 复变函数内容、方法与技巧[M]. 武汉:华
中科技出版社. 2003.
Q
d H =. 27#2P 05+4cos H
本题技巧在于将所求积分作为实部, 再配上一个
P
虚部的积分, 组合成一个可以进行代换的积分, 进行计算.
实分析中定积分的计算, 与用复变的有关知识计算定积分是两个不同学科的内容. 通过上面几例, 可以看出他们之间既有区别, 又有联系, 解起题有繁有简. 但让我们感到高兴的是, 数学理论与方法的相互
O n the Relation between Residue and Definite
) ) ) The Application of Divergent Thinking in M athematical Analysis
W ANG Ru-i ping
(M athematics Department, Heze U niversity, Heze, Shandong 274015, China)
A bstract:In this paper, we introduce a way to c alculate the definite of trigonometric rational funtion with the theory of residue in complex analysis .
Key w ords:residue; residue theorem; complex analysis
(上接第11页)
参考文献:
[1] 杨本立, 李安志. 线性代数方程组的通用性迭代解法
[J].四川师范大学学报, 1998, 21(6) :615-619. [2] 曾宪雯, 郝军, 祁晓彬, 等. 线性代数方程组正交化行处
理法[J]. 四川师范大学学报, 1999, 22(3) :265-268.
[3] 杨本立. 齐次线性方程组基础解系迭代解法[J]. 四川大
学学报, 2003, 40(5) :838-844.
[4] 杨本立. 线性代数方程组大数法快速并行解法[J]. 四川
大学学报, 2003, 40(4) :626-631.
[5] 杨本立, 曾宪雯, 李安志. 带状方程组二叉树M IMD 算
法[J].西南师范大学学报, 2004, 29(1) :29-34.
Row Action Method for Kirchhoff Equations
HAN We -i hua, ZHAO Guo -wei, ZENG Xian -wen
(Institute of Technology , CAEP, Mianyang , Sichuan 621900, China)
A bstract:The Kirchhoff equations is the linear algebraic equations set up by the Kirchhoff theory. In view of the special
c haracter of the Kirchhoff equations, the author puts forward a new numerical computation algorithm by using the method of the row action method with orthogonalization for linear algebraic equations. In addition, the applied prospect of the new algorithm is discussed.
Key w ords:Kirchhoff equations; row action method w ith orthogonalization; numerical c omputation