圆的定义及性质

① 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 ② 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所

形成的图形（运动观点）

圆心半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。 同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。

圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。

二、点与圆的位置关系

思考：圆周上的点与圆心有什么关系？

• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 点P与圆心的距离为d，则点在直线外dr；

点在直线上dr； 点在直线内dr。

注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。

三、过三点的圆

思考：确定一条直线的条件是什么？

类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？

讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？（线段的垂直平分线） 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 结论：不在同一直线上的三点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？

四、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心角：顶点在圆心的角。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 弧：优弧、劣弧；同弧、等弧

弦：直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。 弦心距：从圆心到弦的距离。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 思考：什么时候圆周角是直角？反过来呢？

直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？

半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。

如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧。 ．．．．．．

注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！！

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制）

若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a

说明：（1）见到直径要想到它所对的圆周角是直角

（2）见到弦常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。这样圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

（3）因为圆的半径相等，所以解与圆有关的题目的时候，常常会出现等腰三角形，从而有角相等。

例题分析

例1：判断下列命题的真假，并说明为什么？ ⑴ 平分弦的直径一定垂直于这条弦 （ ）

⑵ 在同一平面内，三点确定一个圆 （ ）

⑶ 如果弧相等，那么它所对应的圆心角也相等 （ ） ⑷ 同圆中两条等弧所对的弦一定相等 （ ）

例2：一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为( )

(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm

例3：如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=_______

例4、在⊙O中，CD为的直径，AB和EF为圆⊙O的两条弦，并且AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？

例5：如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。

B

O

例6、如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM

B

P

例7、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由。

例8、如图，O是△ABC内的一点，∠BOC = 128，⊙O截△ABC三边所得的三条弦相等 求：∠A的大小。

A

O

课堂练习 一、选择题

1、在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm，以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（ ）

(A)C在⊙A 上 (B)C在⊙A 外 (C)C在⊙A 内 (D)C在⊙A 位置不能确定。 2、边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） （A）

B

C

2 （B） （C）23 （D） 33

3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（ ）

（A） 锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形 二、填空题

1、AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________ 2、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的________ 3、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______

4、圆的半径为2cm，圆内一条弦长为23 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为

，这条的弦心距为

5、如图，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

（第5题） （第 6 题）

（第7题） 6、如图，CDAB于E，若B60，则A7、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。 三、解答题

1、在⊙O中，已知M是弦AB上的一点，AM=4，BM=6，OM=5，求⊙O的半径。

2、如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。

3、如图6，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB。

4

、已知，如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交

5、如图，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

（第5题） （第 6 题）

（第7题）

6、如图，CDAB于E，若B60，则A7、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。

三、解答题

1、在⊙O中，已知M是弦AB上的一点，AM=4，BM=6，OM=5，求⊙O的半径。

2、如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。

3、如图6，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB。

4

、已知，如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交

于点A、Ｂ和C、D。

求证：AB=CD

5、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、

BD的长。

B

课后作业

一、选择题

1、已知⊙O的半径为4㎝，A为线段OP的中点，当OP=6㎝时，点A与⊙O的位置关系是（ ）

A、A在⊙O内 B、A在⊙O上 C、A在⊙O外 D、不能确定

2、在同圆中，弦长为a,b的两弦所对的劣弧长分别为c,d，如果cd ，那么（ ）

A、ab B、ab C、ab D、ab

3、在⊙O 中，AB，AC是互相垂直的两条弦，AB=8㎝，CD=6㎝，则⊙O的半径OA的长为（ ）

A、4㎝ B、5㎝ C、6㎝ D、8㎝

4、如果一个三角形的外心是它一边的中点，则这个三角形是（ ）

（A） 锐角三角形； （B）直角三角形； （C）钝角三角形； （D）不能确定。

5、如图45-1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60的角共有（ ）个.

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

二、填空题

1、点P与⊙O上的各点连结线段中，最长的是8cm，最短是2cm，则⊙O的半径是______

2、如图，在⊙O中，∠B=10º，∠C=25º，则∠A=__________

AB B

（第2题） （第3题） （第4题）

3、如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD= °

4、如图，同心圆中，大圆弦AB交小圆于点C、D。如果AC=CD=1㎝，那么AB=

三、解答题

1、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，OD =2cm，求BC的长。

B

2、如图，OB，OC的⊙O上一点，且∠B=20，∠C=30，求∠A的度数。 A00

BC

3、已知如图在⊙O中，AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：∠ODE=∠OED

CD的长。

5、在⊙O中，AB是弦，延长AB到C，使BC=OA，CO的延长线交圆O于D。 求证：∠ACD=

4、已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求0

B1∠AOD 3

① 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心，定长是圆的半径。 ② 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所

形成的图形（运动观点）

圆心半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置。 同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。

圆既是轴对称图形（经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形（圆心是对称中心）。

二、点与圆的位置关系

思考：圆周上的点与圆心有什么关系？

• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？ 点P与圆心的距离为d，则点在直线外dr；

点在直线上dr； 点在直线内dr。

注意：这里是等价关系，即由左边可以推出右边，由右边也可以推出左边。

三、过三点的圆

思考：确定一条直线的条件是什么？

类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？

讨论：经过一个点，能作出多少个圆？ 经过两个点，如何作圆，能作多少个？（线段的垂直平分线） 经过三个点，如何作圆，能作多少个？ 结论：不在同一直线上的三点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？ 问题2：三角形的外心一定 在三角形内吗？

四、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系

圆心角：顶点在圆心的角。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。 弧：优弧、劣弧；同弧、等弧

弦：直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。 弦心距：从圆心到弦的距离。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 思考：什么时候圆周角是直角？反过来呢？

直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？

半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。

如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧。 ．．．．．．

注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！！

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制）

若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a

说明：（1）见到直径要想到它所对的圆周角是直角

（2）见到弦常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。这样圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

（3）因为圆的半径相等，所以解与圆有关的题目的时候，常常会出现等腰三角形，从而有角相等。

例题分析

例1：判断下列命题的真假，并说明为什么？ ⑴ 平分弦的直径一定垂直于这条弦 （ ）

⑵ 在同一平面内，三点确定一个圆 （ ）

⑶ 如果弧相等，那么它所对应的圆心角也相等 （ ） ⑷ 同圆中两条等弧所对的弦一定相等 （ ）

例2：一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为( )

(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm

例3：如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=_______

例4、在⊙O中，CD为的直径，AB和EF为圆⊙O的两条弦，并且AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？

例5：如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。

B

O

例6、如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM

B

P

例7、如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由。

例8、如图，O是△ABC内的一点，∠BOC = 128，⊙O截△ABC三边所得的三条弦相等 求：∠A的大小。

A

O

课堂练习 一、选择题

1、在⊿ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm，以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（ ）

(A)C在⊙A 上 (B)C在⊙A 外 (C)C在⊙A 内 (D)C在⊙A 位置不能确定。 2、边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（ ） （A）

B

C

2 （B） （C）23 （D） 33

3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（ ）

（A） 锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形 二、填空题

1、AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________ 2、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的________ 3、P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______

4、圆的半径为2cm，圆内一条弦长为23 cm，则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为

，这条的弦心距为

5、如图，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

（第5题） （第 6 题）

（第7题） 6、如图，CDAB于E，若B60，则A7、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。 三、解答题

1、在⊙O中，已知M是弦AB上的一点，AM=4，BM=6，OM=5，求⊙O的半径。

2、如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。

3、如图6，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB。

4

、已知，如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交

5、如图，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）

（第5题） （第 6 题）

（第7题）

6、如图，CDAB于E，若B60，则A7、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。

三、解答题

1、在⊙O中，已知M是弦AB上的一点，AM=4，BM=6，OM=5，求⊙O的半径。

2、如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O的半径的长。

3、如图6，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB。

4

、已知，如图所示，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交

于点A、Ｂ和C、D。

求证：AB=CD

5、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、

BD的长。

B

课后作业

一、选择题

1、已知⊙O的半径为4㎝，A为线段OP的中点，当OP=6㎝时，点A与⊙O的位置关系是（ ）

A、A在⊙O内 B、A在⊙O上 C、A在⊙O外 D、不能确定

2、在同圆中，弦长为a,b的两弦所对的劣弧长分别为c,d，如果cd ，那么（ ）

A、ab B、ab C、ab D、ab

3、在⊙O 中，AB，AC是互相垂直的两条弦，AB=8㎝，CD=6㎝，则⊙O的半径OA的长为（ ）

A、4㎝ B、5㎝ C、6㎝ D、8㎝

4、如果一个三角形的外心是它一边的中点，则这个三角形是（ ）

（A） 锐角三角形； （B）直角三角形； （C）钝角三角形； （D）不能确定。

5、如图45-1，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60的角共有（ ）个.

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

二、填空题

1、点P与⊙O上的各点连结线段中，最长的是8cm，最短是2cm，则⊙O的半径是______

2、如图，在⊙O中，∠B=10º，∠C=25º，则∠A=__________

AB B

（第2题） （第3题） （第4题）

3、如图，在⊙O中，AB为直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，则∠ABD= °

4、如图，同心圆中，大圆弦AB交小圆于点C、D。如果AC=CD=1㎝，那么AB=

三、解答题

1、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，OD =2cm，求BC的长。

B

2、如图，OB，OC的⊙O上一点，且∠B=20，∠C=30，求∠A的度数。 A00

BC

3、已知如图在⊙O中，AB=AC，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：∠ODE=∠OED

CD的长。

5、在⊙O中，AB是弦，延长AB到C，使BC=OA，CO的延长线交圆O于D。 求证：∠ACD=

4、已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求0

B1∠AOD 3