数学一
1--20 DCAAC ACABA DDADD DBDDB 21.
π
3
22.4 23.
1
24.33 25.(2,3) 4
26.(1)(-∞,-2) (2,+∞)(2)偶函数
27.证明: (1) 因为三棱柱ABC-A1BC11为直三棱柱, 所以C1C⊥平面ABC, 所以C1C⊥AC.
又因为AC=3, BC=4, AB=5, 所以 AC+BC=AB, 所以 AC⊥BC. 又 CC1⋂BC=C, 所以 AC⊥平面CC1B1B, 所以 AC⊥BC1.
(2) 令BC1与CB1的交点为E, 连结DE. 因为D是AB的中点, E为BC1的中点,
所以 DE∥AC1.
又 因为AC1⊄平面CDB1, DE⊂平面CDB1, 所以AC1∥平面CDB1.
28.（本题是定值、最值问题，考查直线与圆、向量、不等式的有关知识） (1)设P(t,0)，由x+(y-1)=2 (1)
2
2
222
可知圆心C(0,1)，以PC为直径的圆方程为：
x2+y2-tx-y=0 (2)
(1)-(2)可得直线
AB的方程为：-tx+y+1=该直线过定点(0,-1)
⎛|CA|⎫（2）设∠APB=2θ，⋅=||cos2θ= ⎪cos2θ
⎝tanθ⎭
2
2
10
2cos2θ2cos2θ(1-2sin2θ)（21－sin2θ）(1-2sin2θ)=＝＝ 222
tanθsinθsinθ1（21－3sin2θ＋2sin4θ)
（2+2sin2θ-3
）＝＝ ≥（23）22
sinθsinθ
当且仅当
122
=
2sinθsinθ=时，即. sinθ=
sin2θ 数学二
1--20 DBBAC DCBCB CABBC BADAC
21.±6 22.-2 23.2 24.5 25.7 26.解： 因为θ∈(,π),sinθ=
4
,
53所以cosθ==-．
5
又因为sin(θ+)=sinθ⋅cos
π2
π3ππ1+cosθ⋅sin=cosθ+θ，
3322
所以sin(θ+)=
π
31444-． ⨯+（-）=
252510
27.(1)0.3 (2)0.1
28.(本题考查函数与方程、不等式等知识)
⎧9
⎪3a+b+9=0⎧3a+b+1=0⎧a=-1x2
解(1)由题设⎨,f(x)= ⇒⎨⇒⎨
162-x⎪+8=0⎩4a+b+2=0⎩b=2⎩4a+b
(k+1)x-k⇒(x-1)(x-k)>0
(2)f(x)
2-xx-2
当02,不等式的解集为(1,2) (k,+∞)
11
数学三
1--20 CCBCB CBBBB CCCDB AADCB
8
23.22 24.2 25.3 3
26.（1）an=25-2n （2）n=12时，Sn最大为144.
21.-2 22.
27.解：（1）x2+(y+2)2=25.故圆心的坐标是(0,-2)，半径r=5.
（2
）弦心距d=
=
==
故直线l被圆C
所截得的弦长为
= 28.（本题考查函数的单调性、均值不等式） 解：（1）定义域为：[0,+∞)
（2）对于任意的x1,x2∈(0,1)，当∆x=x2-x1>0时
∆y=f(x2)-f(x1)= =
x2-x13-x1x2-x1-x2
x1+3x2+3)()
⎧⎪0
0
⎪⎩0
00，所以f(x)在(0,1)上单调递增
（3）设t=
x+1,∴t≥1
tt111
==≤=22
4t-1+3t-2t+4t+-22⨯2-22t
11
0
22f(x)=g(t)=
数学四
1--20 CAAAC CBCBD CABDB ABBDA
21.(4,16) 22.3 23.50 24.-18 25.8 26.解：（1）x=1,y=4，
12
（2）设A组抽取的人记为a，B组抽取的人记为b,c,d。
从中选2人，可能的结果为a,b;a,c;a,d;b,c;b,d;c,d. 共6种。
其中这2人都来自B组的结果为b,c;b,d;c,d.共3种。由古典概型公式知: 这2人都来自兴趣小组B的概率为P=
1
. 2
27解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意得方程组
⎧a1+d=9
，解得a1=5,d=4.所以{an}的通项公式为an=4n+1. ⎨
a+4d=21⎩1
（Ⅱ）由an=4n+1得bn=24n+1，所以{bn}是首项b1=25，公比为q=24的等比数列.
于是得{bn}的前n项和Sn=
2⨯(2-1)
=4
2-1
54n
32⨯(24n-1)15
=
324n
2-1). (15
28.（本题考查函数、不等式、数列等有关知识）
（1）∀x1,x2∈R,∆x=x2-x1>0，∆y=f(x2)-f(x1)=2
(
x2
-2x1+(x2-x1)
)
x2>x1⇒2x2>2x1，2x2-2x1>0,x2-x1>0,∴∆y>0，函数f(x)在R上递增
a+bab
f(a)+f(b)a+b⎫⎛a+b⎫2+a+2+b⎛2⎪ -f - 2+ （2）比较法：⎪= 222⎪⎝2⎭⎝⎭
2a+2b
=-2
2
所以
a+b2
>2a⋅2b-2a+b=2a+b-2a+b=0 ⎛a+b⎫f ⎪ ⎝2⎭
xA+xC
， 2
f(a)+f(b)>
2
（3）因为xA,xB,xC成等差数列，所以xB=设AC的中点为D(xD,yD)，则xD=
xA+xC
，所以xB=xD 2
不妨设xA
与过C平行于y轴的直线交于Q，
⎛xA+xC⎫f(xA)+f(xC)yA+yC
==yD (**) ⎪
2⎝⎭
因为B点在∆AQC的内部，
所以∠ABC>∠AQC=900，
数学五
1--20 DCDDC ACDBB DCABC BDCDD 21.2 22.-4 23.-
11
,- 24.2 25.(-3,0) 42
26解：（1）根据题意知，当x=5时，f(x)=12x+28=12⨯5+28=88,所以该公司5月份获得的利润为88万元.
（2）因为f(x)=12x+28(1≤x≤6,x∈N*)，单调递增，当x=6时，f(6)=100；
f(x)=200-14x(6
份的月利润最大，最大值为102万. 27解：（1）
A,B,C成等差数列
∴2B=A+C, A+B+C=π ∴B=
π
3
（2） a=sinA+cosA=2sin(A+
π
6
)且A∈(0,
2ππ
) ∴A=是a有最大值2，即a=2. 此时33
∆ABC为等边三角形，即b=c=2
28.（本题考查数列与不等式的有关知识）
解：（1）由a2=S3，a1=1得(1+d)=3+3d⇒d-d-2=0∴d=2或-1
2
22
d>0 ∴d=2. ∴an=2n-1,n∈N*
（2）由（1）得bn=
211 =-
(2n-1)(2n+1)2n-12n+1
1112n
-]=1-= 2n-12n+12n+12n+1
所以Tn=(1-)+(-)+...+[
由已知得：λ⋅因
1
31135
2n
2n2n+1
>0，所以λ
令f(n)=[n+8⋅(-1)]⋅
n
2n+1
，则λ
14
2n+14171725
当n为偶数时，f(n)=(n+8)⋅2n=n+n+2≥4+2=
2
当且仅当n=
4n，即n=2时，f(n)2525
min=2，所以λ
； 当n为奇数时，f(n)=(n-8)⋅
2n+12n=n-415
n-2
可知f(n)随n的增大而增大，所以f(n)21min=f(1)=-2，所以λ
2
. 综上所诉，λ的取值范围是(-∞,-21
2
) （其他解法请酌情给分）
数学六
1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C 15.D 16.A 17.C 18.A 19.B 20.C 21.
12 22.32
23.3 24.2 25.cosπ9 26.（1）由3˃2，得f(3)=2×3=6. …………1分
由-2
所以f(f(-2))=f(4)=2⨯4=8.…………4分
（2）当a
当a≥2时，2a=16，得a=8.所以，a=-4或a=8.…………8分 27.证明：因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面， 所以BB1⊥底面ABC.
因为AC⊂底面ABC，所以BB1⊥AC. …………3分
因为AB为底面圆的直径.所以∠ACB=90º.所以BC⊥AC.…………6分
又因为BB1∩BC=B，BB1⊂平面BB1C，BC⊂平面BB1C，所以AC⊥平面BB1C…………8分 28.（1）数列{an}不是等差数列.…………1分 当n=1时，a1=S1=1.
当n≥2时，an2-n
⎡(n-1)2-(n-1)⎤n-1n=Sn-Sn-1=2k+1-⎢⎣2k+1⎥=. ⎦
k⎧1,n=1,所以a⎪
n=⎨n-1⎪⎩k
,n≥2.…………3分
15
14.D 13.A
当n≥2时，an+1-an=列.……………………4分
nn-1111-=.又a2-a1=-1≠,所以数列{an}不是等差数kkkkk
kk=k，当n≥2时，Tn=++……+（2）由题意可得T1==k+++……
1⨯22⨯3anan+1a1a2a1a2a2a3
2
111111k+=k+k2（1-+-+…+-）=k+k2（1-）.……………………6分 223n-1nn(n-1)⨯n
1111
22
要使Tn
1
）
方法一：整理（*）式，得(k2+k-2)n-k2
解得﹣2≤k≤1，k≠0.所以存在实数k使得Tn
11
）
恒成立.…………8分 以下同方法一.
16
数学一
1--20 DCAAC ACABA DDADD DBDDB 21.
π
3
22.4 23.
1
24.33 25.(2,3) 4
26.(1)(-∞,-2) (2,+∞)(2)偶函数
27.证明: (1) 因为三棱柱ABC-A1BC11为直三棱柱, 所以C1C⊥平面ABC, 所以C1C⊥AC.
又因为AC=3, BC=4, AB=5, 所以 AC+BC=AB, 所以 AC⊥BC. 又 CC1⋂BC=C, 所以 AC⊥平面CC1B1B, 所以 AC⊥BC1.
(2) 令BC1与CB1的交点为E, 连结DE. 因为D是AB的中点, E为BC1的中点,
所以 DE∥AC1.
又 因为AC1⊄平面CDB1, DE⊂平面CDB1, 所以AC1∥平面CDB1.
28.（本题是定值、最值问题，考查直线与圆、向量、不等式的有关知识） (1)设P(t,0)，由x+(y-1)=2 (1)
2
2
222
可知圆心C(0,1)，以PC为直径的圆方程为：
x2+y2-tx-y=0 (2)
(1)-(2)可得直线
AB的方程为：-tx+y+1=该直线过定点(0,-1)
⎛|CA|⎫（2）设∠APB=2θ，⋅=||cos2θ= ⎪cos2θ
⎝tanθ⎭
2
2
10
2cos2θ2cos2θ(1-2sin2θ)（21－sin2θ）(1-2sin2θ)=＝＝ 222
tanθsinθsinθ1（21－3sin2θ＋2sin4θ)
（2+2sin2θ-3
）＝＝ ≥（23）22
sinθsinθ
当且仅当
122
=
2sinθsinθ=时，即. sinθ=
sin2θ 数学二
1--20 DBBAC DCBCB CABBC BADAC
21.±6 22.-2 23.2 24.5 25.7 26.解： 因为θ∈(,π),sinθ=
4
,
53所以cosθ==-．
5
又因为sin(θ+)=sinθ⋅cos
π2
π3ππ1+cosθ⋅sin=cosθ+θ，
3322
所以sin(θ+)=
π
31444-． ⨯+（-）=
252510
27.(1)0.3 (2)0.1
28.(本题考查函数与方程、不等式等知识)
⎧9
⎪3a+b+9=0⎧3a+b+1=0⎧a=-1x2
解(1)由题设⎨,f(x)= ⇒⎨⇒⎨
162-x⎪+8=0⎩4a+b+2=0⎩b=2⎩4a+b
(k+1)x-k⇒(x-1)(x-k)>0
(2)f(x)
2-xx-2
当02,不等式的解集为(1,2) (k,+∞)
11
数学三
1--20 CCBCB CBBBB CCCDB AADCB
8
23.22 24.2 25.3 3
26.（1）an=25-2n （2）n=12时，Sn最大为144.
21.-2 22.
27.解：（1）x2+(y+2)2=25.故圆心的坐标是(0,-2)，半径r=5.
（2
）弦心距d=
=
==
故直线l被圆C
所截得的弦长为
= 28.（本题考查函数的单调性、均值不等式） 解：（1）定义域为：[0,+∞)
（2）对于任意的x1,x2∈(0,1)，当∆x=x2-x1>0时
∆y=f(x2)-f(x1)= =
x2-x13-x1x2-x1-x2
x1+3x2+3)()
⎧⎪0
0
⎪⎩0
00，所以f(x)在(0,1)上单调递增
（3）设t=
x+1,∴t≥1
tt111
==≤=22
4t-1+3t-2t+4t+-22⨯2-22t
11
0
22f(x)=g(t)=
数学四
1--20 CAAAC CBCBD CABDB ABBDA
21.(4,16) 22.3 23.50 24.-18 25.8 26.解：（1）x=1,y=4，
12
（2）设A组抽取的人记为a，B组抽取的人记为b,c,d。
从中选2人，可能的结果为a,b;a,c;a,d;b,c;b,d;c,d. 共6种。
其中这2人都来自B组的结果为b,c;b,d;c,d.共3种。由古典概型公式知: 这2人都来自兴趣小组B的概率为P=
1
. 2
27解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意得方程组
⎧a1+d=9
，解得a1=5,d=4.所以{an}的通项公式为an=4n+1. ⎨
a+4d=21⎩1
（Ⅱ）由an=4n+1得bn=24n+1，所以{bn}是首项b1=25，公比为q=24的等比数列.
于是得{bn}的前n项和Sn=
2⨯(2-1)
=4
2-1
54n
32⨯(24n-1)15
=
324n
2-1). (15
28.（本题考查函数、不等式、数列等有关知识）
（1）∀x1,x2∈R,∆x=x2-x1>0，∆y=f(x2)-f(x1)=2
(
x2
-2x1+(x2-x1)
)
x2>x1⇒2x2>2x1，2x2-2x1>0,x2-x1>0,∴∆y>0，函数f(x)在R上递增
a+bab
f(a)+f(b)a+b⎫⎛a+b⎫2+a+2+b⎛2⎪ -f - 2+ （2）比较法：⎪= 222⎪⎝2⎭⎝⎭
2a+2b
=-2
2
所以
a+b2
>2a⋅2b-2a+b=2a+b-2a+b=0 ⎛a+b⎫f ⎪ ⎝2⎭
xA+xC
， 2
f(a)+f(b)>
2
（3）因为xA,xB,xC成等差数列，所以xB=设AC的中点为D(xD,yD)，则xD=
xA+xC
，所以xB=xD 2
不妨设xA
与过C平行于y轴的直线交于Q，
⎛xA+xC⎫f(xA)+f(xC)yA+yC
==yD (**) ⎪
2⎝⎭
因为B点在∆AQC的内部，
所以∠ABC>∠AQC=900，
数学五
1--20 DCDDC ACDBB DCABC BDCDD 21.2 22.-4 23.-
11
,- 24.2 25.(-3,0) 42
26解：（1）根据题意知，当x=5时，f(x)=12x+28=12⨯5+28=88,所以该公司5月份获得的利润为88万元.
（2）因为f(x)=12x+28(1≤x≤6,x∈N*)，单调递增，当x=6时，f(6)=100；
f(x)=200-14x(6
份的月利润最大，最大值为102万. 27解：（1）
A,B,C成等差数列
∴2B=A+C, A+B+C=π ∴B=
π
3
（2） a=sinA+cosA=2sin(A+
π
6
)且A∈(0,
2ππ
) ∴A=是a有最大值2，即a=2. 此时33
∆ABC为等边三角形，即b=c=2
28.（本题考查数列与不等式的有关知识）
解：（1）由a2=S3，a1=1得(1+d)=3+3d⇒d-d-2=0∴d=2或-1
2
22
d>0 ∴d=2. ∴an=2n-1,n∈N*
（2）由（1）得bn=
211 =-
(2n-1)(2n+1)2n-12n+1
1112n
-]=1-= 2n-12n+12n+12n+1
所以Tn=(1-)+(-)+...+[
由已知得：λ⋅因
1
31135
2n
2n2n+1
>0，所以λ
令f(n)=[n+8⋅(-1)]⋅
n
2n+1
，则λ
14
2n+14171725
当n为偶数时，f(n)=(n+8)⋅2n=n+n+2≥4+2=
2
当且仅当n=
4n，即n=2时，f(n)2525
min=2，所以λ
； 当n为奇数时，f(n)=(n-8)⋅
2n+12n=n-415
n-2
可知f(n)随n的增大而增大，所以f(n)21min=f(1)=-2，所以λ
2
. 综上所诉，λ的取值范围是(-∞,-21
2
) （其他解法请酌情给分）
数学六
1.D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.B 10.C 11.A 12.C 15.D 16.A 17.C 18.A 19.B 20.C 21.
12 22.32
23.3 24.2 25.cosπ9 26.（1）由3˃2，得f(3)=2×3=6. …………1分
由-2
所以f(f(-2))=f(4)=2⨯4=8.…………4分
（2）当a
当a≥2时，2a=16，得a=8.所以，a=-4或a=8.…………8分 27.证明：因为四边形ABB1A1为圆柱的轴截面， 所以BB1⊥底面ABC.
因为AC⊂底面ABC，所以BB1⊥AC. …………3分
因为AB为底面圆的直径.所以∠ACB=90º.所以BC⊥AC.…………6分
又因为BB1∩BC=B，BB1⊂平面BB1C，BC⊂平面BB1C，所以AC⊥平面BB1C…………8分 28.（1）数列{an}不是等差数列.…………1分 当n=1时，a1=S1=1.
当n≥2时，an2-n
⎡(n-1)2-(n-1)⎤n-1n=Sn-Sn-1=2k+1-⎢⎣2k+1⎥=. ⎦
k⎧1,n=1,所以a⎪
n=⎨n-1⎪⎩k
,n≥2.…………3分
15
14.D 13.A
当n≥2时，an+1-an=列.……………………4分
nn-1111-=.又a2-a1=-1≠,所以数列{an}不是等差数kkkkk
kk=k，当n≥2时，Tn=++……+（2）由题意可得T1==k+++……
1⨯22⨯3anan+1a1a2a1a2a2a3
2
111111k+=k+k2（1-+-+…+-）=k+k2（1-）.……………………6分 223n-1nn(n-1)⨯n
1111
22
要使Tn
1
）
方法一：整理（*）式，得(k2+k-2)n-k2
解得﹣2≤k≤1，k≠0.所以存在实数k使得Tn
11
）
恒成立.…………8分 以下同方法一.
16