分式的加减
一、教案
教学目标
1、知识与技能：理解并掌握同分母分式、异分母分式的加减法法则，并能熟练应用法则 进行计算；分式加减法则的学习要到达自动化的程度。
2、过程与方法：通过分数加减与分式加减的对比，异分母分式加减转化为同分母分式的加 减，学生进一步学习“类比”和“化归”的数学思想。
3、情感与态度：通过在教师的引导，学生的主动探究的学习过程中，培养学生的学习兴趣， 培养学生独立思考的能力。
教学重点与难点
重点：熟练运用分式的加减法法则进行计算。
难点：异分母分式化为同分母分式
教学方法
讲授法、探究式教学方法、讲练结合法。
教学过程
1、情境创设，导入新课
问题：小明家到邮局的路程是1km ，从邮局到学校的路程是2km 。小明骑车从家出发先 到邮局寄信后到学校，已知小明骑车的速度是3v 千米/小时，则小明从家到学 校共用了多长时间？哪段路用的时间长？多用了多长时间？
解：第一问可通过两种方法求解：
法（1）因为时间=路程，总路程3千米，速度为3v 千米/小时， 速度
31= 3v v
12 法（2）小明从家到邮局用了h ，从邮局到学校用了h ，则小明从家到学3v 3v
12+）h ， 校一共用了（3v 3v
21-）h 。 第二问：从邮局到学校这段路用的时间更长，多用了（3v 3v 时间为：
问题：如何计算1221+，-？ 3v 3v 3v 3v
1221+，-这种运算3v 3v 3v 3v 教学分析：（1）通过对一个实际的问题的解决引出今天学习的主题——分式的加减法。在问题的解决过程中，使学生产生认知冲突。
是以前没有学习过的，并且由此联想到分数的加减运算，激活了原有认识结
构中的相关知识，为新知识的生长提供了固着点。
（2）本课题的学习，首先是学习同分母分式的加减法，再拓展到异分母的分 式
相加减，这个过程符合学生由简到难的认知学习方式。
（3）情境问题中的第一问，采用了两种方法求解，目的是为了在下面的学习
中来解释：同分母分数相加减的运算法则，对于同分母分式相加减也成立。因为，两种方法所求的是同一个时间量，故
2、启发思考，对比学习
问题：计算下面两道题目： 1231+== 3v 3v 3v v 4242+= -=_______ 5555
减。同分母的分数的加减法则，同样也使用于同分母分式的加减法。 分析：利用同分母分数相加减法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加
问题：计算：1221+= -= 3v 3v 3v 3v
同分母分式加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分析：在上述的情节问题中，我们通过两种方法求得小明从家到学校共用的时间分别为： 3112=，+。 3v v 3v 3v
1231 即：+== 3v 3v 3v v
教学分析：同分母的分数加减与同分母的分式加减，两个法则的学习属于“并列学习”， 通过例题验证了法则在分式的加减运算中也是成立的。
通过“对比”进行“并列学习”。这样的对比，有利于学生辨析两种运算的异同，从而形成完善的认知结构。其次，分数的加减运算为分式的加减运算的学习提供了有利的直观支持，这个直观支持，帮助学生顺利的学习抽象的分式加减运算。体现了“具体与抽象”相结合的教学思想。
3、讲练结合，巩固提高
以下三个题目的求解，首先是让学生自主求解，然后师生共同评价。
例1、 5x +3y 2x - x 2-y 2x 2-y 2
35x +3y -2x 3x +3y 3(x +y ) ===2222x -y x -y (x -y )(x +y ) (x -y ) 解：原式=
教学分析：此道例题的求解过程中，学生可能会如下的解题过程：
原式=5x +3y -2x 3x +3y =2x 2-y 2x -y 2
5x +3y -2x 3x +3y 3(x +y ) ==2222x -y x -y (x -y )(x +y ) 原式=
上述解题过程，在法则的运用上没有出错，问题是学生没有对最后的结果进行化简，着主 要是因为，法则中并没有强调最后结果要化成最简分式，所以学生往往会忽略对最后结果 的化简。因此教师在讲解过程中一定要强调把结果化简成最简分式。此道题属于常规型题 目，学生运用原则便能顺利的求得结果。
例2、
解：原式==a 3a -2 -b +1b +14a -(3a -2) 4a -3a +2a +2 ==b +1b +1b +1
4a -3a -27a -2 =b +1b +1 教学分析：此道例题的求解过程中，学生会出现以下的错解： 原式=
这一错误的产生主要是因为，部分同学不能把多项式的分子作为一个整体加上括号后 再参加运算。
例1和例2属于常规型的题目，习题的难度不大，都是直接运用法则。通过这两个例题的求解，一方面，进一步巩固新知，另一方面，可以检查并纠正学生在以往学习上的一些错误的认识和不足。完善学生对新知识的认知。
例3、x y ⋅2+2y 2x y 3x +1- ⋅x 4y 4x
解：原式=3y x +113x +11+3-x -13-x xy +-=+-== 4x 4x 4x 2y 4xy 4x 4x 4x 4x
教学分析：第三个例题难度加大，此道题不能直接运用法则。必须先化简，化为同分母的分式，再进行运算。目的是让学生学习利用化归的数学思想解决问题。也是为接下来要学习的异分母分式的加减法做一个学习铺垫。那么在接下来的学习中学生可以很自然的联想到，异分母的分式的加减法，也可以通过化归，转化为同分母分式的加减运算。但是这道题目，不需要找公因式，也为下面的学习构造了一个认知冲突，因为在下面的学习中学生会发现通过化简是不能转化成同分母的分式的。问题进一步拓展，学习进一步加深。
总结：同分母分式相加减的计算过程中，应注意一下几点：
（1）分母不变，把分子相加减；
（2）分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
（3）最后的结果，应化为成最简分式或者整式。
4、延生与拓展
拓展问题：小明家到邮局的路程是1km ，从邮局到学校的路程是2km 。小明骑车从家出发先到邮局寄信后到学校，已知小明从家到邮局过程中骑车的速度是3v km/h，从邮局到学校过程中骑车的速度是5v km/h，则小明从家到学校共用了多长时间？
分析：小明从家到邮局用了
了（12h ，邮局到学校用了h ，所以小明从家到学校一共用3v 5v 12+）h 。 3v 5v
12+？ 3v 5v
12+华为同分母的分式？ 3v 5v 问题：现在又如何计算分析：这不是同分母的两个分式的加法，也不能通过例3的方法进行化简。 问题：进一步学习异分母的分式的加减法。如何把
联想：异分母的分数的加减法。
问题：计算下面两道题目： 1221+= -= 3553
分析：异分母的分数的加减法则：通过通分找到公分母，转化为同分母的分数。
教学分析：（1）上述拓展的情景问题，是对课题一开始的问题情境的延生，这体现了教学的连贯性和统一性。
（2）上述两道异分母分数的加减，是作为异分母分式加减学习的直观基础。 具体材料的引用通常是作为抽象学习的辅助，帮助学生顺利接收新信息。
异分母分式加减法的法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。
问题：计算12+ 3v 5v
解：3v , 5v 的公分母为：15v
通分：12538 +=+=3v 5v 15v 15v 15v
教学分析：异分母分式的加减运算，关键是找先出公分母，这是学生的一个难点。 学生可能会出现的问题：
（1）不会找公分母。
公分母和公因式反映了两种不同的思维，在学生的学习中容易混淆。与公倍数相比，公分母的学习更为抽象，困难更大。所以要循序渐进，从易到难。
（2）12123 （ 分子没有乘以相应的数字或者式子） +=+=3v 5v 15v 15v 15v
总结：找公分母的方法：
（1）数字部分找最小公倍数
5、讲练结合、巩固提高
例4、11 +226c d 3cd
解：原式=d 2c d +2c +=(6c 2d ) ⨯d (3cd 2) ⨯2c 6c 2d 2
教学分析：这个例题较之上一个例题，难度要大。通过这道例题的学习，进一步帮助学生总结找公分母的方法。
总结：找公分母的方法：
（1）数字部分找最小公倍数
（2）字母部分，对于同底的幂保留指数较大的那个幂。
例5、11 -2p +3q 2p -3q
2p -3q 2p +3q -(2p +3q )(2p -3q ) (2p +3q )(2p -3q )
2p -3q -(2p +3q ) (2p +3q )(2p -3q ) 解：原式= =
=-6q (2p +3q )(2p -3q )
教学分析：这道例题的公分母是两个单项式的乘积，与上一道题有所不同。主要目的是让学生清楚，公分母的形式具有多样性。其次，进一步让学生正确的把分子上的多项式看做一个整体代入运算。
例6、11 +a 2-b 2a -b
解：原式=1a +b 1+a +b +=(a +b )(a -b ) (a +b )(a -b ) (a +b )(a -b )
教学分析：学生在解题中会出现的问题：
不会找公因式，此题中不会找公因式的一个关键原因是部分学生对因式分解不熟悉。不会主动分解a -b ，这是正确找出公分母的一个障碍。所以，如果前面的相应的知识点，没有弄清楚，那么这个课题的学校就更困难。这里再次体现出，知识与知识之间并非孤立的存在，而是互相联系，互相影响。一个知识链上的某个环节点出了问题，会影响到整体的学习。
6、小结
问题：
（1）本节课同学们主要学习了那些内容？
（2）分式的加减运算应该注意那些问题？
（3）本节课同学们是否学到了哪些对于我们解决问题很有用的数学思想方法？
教学分析：小结是教学过程中的最后一个环节，也是一个重要环节，通过最后的小结可以帮助学生整理零散的思维，明确课题的关键要点。小结的形式是让学生自主回忆并且独立表达出来，这一教学手段有利于培养学生归纳总结的能力。
“渗透数学思想”是数学教学的原则之一。数学思想对学生学习数学至关重要，能够帮助学生从一个更高的层面去理解数学，了解数学的本质。因此，数学思想的突出是数学教学小结的一个重点。
7、作业
P16 第1题 、P23 复习巩固 第4题 22
分式的加减
一、教案
教学目标
1、知识与技能：理解并掌握同分母分式、异分母分式的加减法法则，并能熟练应用法则 进行计算；分式加减法则的学习要到达自动化的程度。
2、过程与方法：通过分数加减与分式加减的对比，异分母分式加减转化为同分母分式的加 减，学生进一步学习“类比”和“化归”的数学思想。
3、情感与态度：通过在教师的引导，学生的主动探究的学习过程中，培养学生的学习兴趣， 培养学生独立思考的能力。
教学重点与难点
重点：熟练运用分式的加减法法则进行计算。
难点：异分母分式化为同分母分式
教学方法
讲授法、探究式教学方法、讲练结合法。
教学过程
1、情境创设，导入新课
问题：小明家到邮局的路程是1km ，从邮局到学校的路程是2km 。小明骑车从家出发先 到邮局寄信后到学校，已知小明骑车的速度是3v 千米/小时，则小明从家到学 校共用了多长时间？哪段路用的时间长？多用了多长时间？
解：第一问可通过两种方法求解：
法（1）因为时间=路程，总路程3千米，速度为3v 千米/小时， 速度
31= 3v v
12 法（2）小明从家到邮局用了h ，从邮局到学校用了h ，则小明从家到学3v 3v
12+）h ， 校一共用了（3v 3v
21-）h 。 第二问：从邮局到学校这段路用的时间更长，多用了（3v 3v 时间为：
问题：如何计算1221+，-？ 3v 3v 3v 3v
1221+，-这种运算3v 3v 3v 3v 教学分析：（1）通过对一个实际的问题的解决引出今天学习的主题——分式的加减法。在问题的解决过程中，使学生产生认知冲突。
是以前没有学习过的，并且由此联想到分数的加减运算，激活了原有认识结
构中的相关知识，为新知识的生长提供了固着点。
（2）本课题的学习，首先是学习同分母分式的加减法，再拓展到异分母的分 式
相加减，这个过程符合学生由简到难的认知学习方式。
（3）情境问题中的第一问，采用了两种方法求解，目的是为了在下面的学习
中来解释：同分母分数相加减的运算法则，对于同分母分式相加减也成立。因为，两种方法所求的是同一个时间量，故
2、启发思考，对比学习
问题：计算下面两道题目： 1231+== 3v 3v 3v v 4242+= -=_______ 5555
减。同分母的分数的加减法则，同样也使用于同分母分式的加减法。 分析：利用同分母分数相加减法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加
问题：计算：1221+= -= 3v 3v 3v 3v
同分母分式加减法的法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分析：在上述的情节问题中，我们通过两种方法求得小明从家到学校共用的时间分别为： 3112=，+。 3v v 3v 3v
1231 即：+== 3v 3v 3v v
教学分析：同分母的分数加减与同分母的分式加减，两个法则的学习属于“并列学习”， 通过例题验证了法则在分式的加减运算中也是成立的。
通过“对比”进行“并列学习”。这样的对比，有利于学生辨析两种运算的异同，从而形成完善的认知结构。其次，分数的加减运算为分式的加减运算的学习提供了有利的直观支持，这个直观支持，帮助学生顺利的学习抽象的分式加减运算。体现了“具体与抽象”相结合的教学思想。
3、讲练结合，巩固提高
以下三个题目的求解，首先是让学生自主求解，然后师生共同评价。
例1、 5x +3y 2x - x 2-y 2x 2-y 2
35x +3y -2x 3x +3y 3(x +y ) ===2222x -y x -y (x -y )(x +y ) (x -y ) 解：原式=
教学分析：此道例题的求解过程中，学生可能会如下的解题过程：
原式=5x +3y -2x 3x +3y =2x 2-y 2x -y 2
5x +3y -2x 3x +3y 3(x +y ) ==2222x -y x -y (x -y )(x +y ) 原式=
上述解题过程，在法则的运用上没有出错，问题是学生没有对最后的结果进行化简，着主 要是因为，法则中并没有强调最后结果要化成最简分式，所以学生往往会忽略对最后结果 的化简。因此教师在讲解过程中一定要强调把结果化简成最简分式。此道题属于常规型题 目，学生运用原则便能顺利的求得结果。
例2、
解：原式==a 3a -2 -b +1b +14a -(3a -2) 4a -3a +2a +2 ==b +1b +1b +1
4a -3a -27a -2 =b +1b +1 教学分析：此道例题的求解过程中，学生会出现以下的错解： 原式=
这一错误的产生主要是因为，部分同学不能把多项式的分子作为一个整体加上括号后 再参加运算。
例1和例2属于常规型的题目，习题的难度不大，都是直接运用法则。通过这两个例题的求解，一方面，进一步巩固新知，另一方面，可以检查并纠正学生在以往学习上的一些错误的认识和不足。完善学生对新知识的认知。
例3、x y ⋅2+2y 2x y 3x +1- ⋅x 4y 4x
解：原式=3y x +113x +11+3-x -13-x xy +-=+-== 4x 4x 4x 2y 4xy 4x 4x 4x 4x
教学分析：第三个例题难度加大，此道题不能直接运用法则。必须先化简，化为同分母的分式，再进行运算。目的是让学生学习利用化归的数学思想解决问题。也是为接下来要学习的异分母分式的加减法做一个学习铺垫。那么在接下来的学习中学生可以很自然的联想到，异分母的分式的加减法，也可以通过化归，转化为同分母分式的加减运算。但是这道题目，不需要找公因式，也为下面的学习构造了一个认知冲突，因为在下面的学习中学生会发现通过化简是不能转化成同分母的分式的。问题进一步拓展，学习进一步加深。
总结：同分母分式相加减的计算过程中，应注意一下几点：
（1）分母不变，把分子相加减；
（2）分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；
（3）最后的结果，应化为成最简分式或者整式。
4、延生与拓展
拓展问题：小明家到邮局的路程是1km ，从邮局到学校的路程是2km 。小明骑车从家出发先到邮局寄信后到学校，已知小明从家到邮局过程中骑车的速度是3v km/h，从邮局到学校过程中骑车的速度是5v km/h，则小明从家到学校共用了多长时间？
分析：小明从家到邮局用了
了（12h ，邮局到学校用了h ，所以小明从家到学校一共用3v 5v 12+）h 。 3v 5v
12+？ 3v 5v
12+华为同分母的分式？ 3v 5v 问题：现在又如何计算分析：这不是同分母的两个分式的加法，也不能通过例3的方法进行化简。 问题：进一步学习异分母的分式的加减法。如何把
联想：异分母的分数的加减法。
问题：计算下面两道题目： 1221+= -= 3553
分析：异分母的分数的加减法则：通过通分找到公分母，转化为同分母的分数。
教学分析：（1）上述拓展的情景问题，是对课题一开始的问题情境的延生，这体现了教学的连贯性和统一性。
（2）上述两道异分母分数的加减，是作为异分母分式加减学习的直观基础。 具体材料的引用通常是作为抽象学习的辅助，帮助学生顺利接收新信息。
异分母分式加减法的法则：先通分，变为同分母的分式，再加减。
问题：计算12+ 3v 5v
解：3v , 5v 的公分母为：15v
通分：12538 +=+=3v 5v 15v 15v 15v
教学分析：异分母分式的加减运算，关键是找先出公分母，这是学生的一个难点。 学生可能会出现的问题：
（1）不会找公分母。
公分母和公因式反映了两种不同的思维，在学生的学习中容易混淆。与公倍数相比，公分母的学习更为抽象，困难更大。所以要循序渐进，从易到难。
（2）12123 （ 分子没有乘以相应的数字或者式子） +=+=3v 5v 15v 15v 15v
总结：找公分母的方法：
（1）数字部分找最小公倍数
5、讲练结合、巩固提高
例4、11 +226c d 3cd
解：原式=d 2c d +2c +=(6c 2d ) ⨯d (3cd 2) ⨯2c 6c 2d 2
教学分析：这个例题较之上一个例题，难度要大。通过这道例题的学习，进一步帮助学生总结找公分母的方法。
总结：找公分母的方法：
（1）数字部分找最小公倍数
（2）字母部分，对于同底的幂保留指数较大的那个幂。
例5、11 -2p +3q 2p -3q
2p -3q 2p +3q -(2p +3q )(2p -3q ) (2p +3q )(2p -3q )
2p -3q -(2p +3q ) (2p +3q )(2p -3q ) 解：原式= =
=-6q (2p +3q )(2p -3q )
教学分析：这道例题的公分母是两个单项式的乘积，与上一道题有所不同。主要目的是让学生清楚，公分母的形式具有多样性。其次，进一步让学生正确的把分子上的多项式看做一个整体代入运算。
例6、11 +a 2-b 2a -b
解：原式=1a +b 1+a +b +=(a +b )(a -b ) (a +b )(a -b ) (a +b )(a -b )
教学分析：学生在解题中会出现的问题：
不会找公因式，此题中不会找公因式的一个关键原因是部分学生对因式分解不熟悉。不会主动分解a -b ，这是正确找出公分母的一个障碍。所以，如果前面的相应的知识点，没有弄清楚，那么这个课题的学校就更困难。这里再次体现出，知识与知识之间并非孤立的存在，而是互相联系，互相影响。一个知识链上的某个环节点出了问题，会影响到整体的学习。
6、小结
问题：
（1）本节课同学们主要学习了那些内容？
（2）分式的加减运算应该注意那些问题？
（3）本节课同学们是否学到了哪些对于我们解决问题很有用的数学思想方法？
教学分析：小结是教学过程中的最后一个环节，也是一个重要环节，通过最后的小结可以帮助学生整理零散的思维，明确课题的关键要点。小结的形式是让学生自主回忆并且独立表达出来，这一教学手段有利于培养学生归纳总结的能力。
“渗透数学思想”是数学教学的原则之一。数学思想对学生学习数学至关重要，能够帮助学生从一个更高的层面去理解数学，了解数学的本质。因此，数学思想的突出是数学教学小结的一个重点。
7、作业
P16 第1题 、P23 复习巩固 第4题 22