二次函数压轴题的常用解题思路

二次函数压轴题 例题：如图，已知抛物线 y= x +bx+c（b，c 是常数，且 c＜0）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位 于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣1，0） ． （1）b= 果均用含 c 的代数式表示） ； （2）连接 BC，过点 A 作直线 AE∥ BC，与抛物线 y= x +bx+c 交于点 E，点 D 是 x 轴上的一点， 其坐标为（2，0） ．当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PB，PC，设所得△ PBC 的面 积为 S． ① 求 S 的取值范围；② 若△ PBC 的面积 S 为整数，则这样的△ PBC 共有 个．

2 2

，点 B 的横坐标为

（上述结

分析： （1）将 A（﹣1，0）代入 y= x +bx+c，可以得出 b= +c；根据一元二次方程根与系数的关

2

2

系，得出﹣1•xB= ，即 xB=﹣2c； （2）由 y= x +bx+c，求出此抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为

（0，c） ，则可设直线 BC 的解析式为 y=kx+c，将 B 点坐标代入，运用待定系数法求出直线 BC 的 解析式为 y= x+c；由 AE∥ BC，设直线 AE 得到解析式为 y= x+m，将点 A 的坐标代入，运用待定

系数法求出直线 AE 得到解析式为 y= x+ ；解方程组

，求出点 E 坐标为

（1﹣2c，1﹣c） ，将点 E 坐标代入直线 CD 的解析式 y=﹣ x+c，求出 c=﹣2，进而得到抛物线的 解析式为 y= x ﹣ x﹣2； （3）① 分两种情况进行讨论： （Ⅰ ）当﹣1＜x＜0 时，由 0＜S＜S△ ACB，易求 0＜S＜5； （Ⅱ ）当 0＜ x＜4 时，过点 P 作 PG⊥ x 轴于点 G，交 CB 于点 F．设点 P 坐标为（x， x ﹣ x﹣2） ，则点 F 坐 标为（x， x﹣2） ，PF=PG﹣GF=﹣ x +2x，S= PF•OB=﹣x +4x=﹣（x﹣2） +4，根据二次函数 的性质求出 S 最大值=4，即 0＜S≤4．则 0＜S＜5；② 由 0＜S＜5，S 为整数，得出 S=1，2，3，4．分 两种情况进行讨论： （Ⅰ ）当﹣1＜x＜0 时，根据△ PBC 中 BC 边上的高 h 小于△ ABC 中 BC 边上的 高 AC= ，得出满足条件的△ PBC 共有 4 个； （Ⅱ ）当 0＜x＜4 时，由于 S=﹣x +4x，根据一元二

2 2 2 2 2 2

次方程根的判别式，得出满足条件的△ PBC 共有 7 个；则满足条件的△ PBC 共有 4+7=11 个．解答 过程略。

点评：本题是以二次函数为背景的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二 次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标（二、以直线 或抛物线知识为载体，运用函数建模、求解方程思想），三角形的面积（四、运用等价转换 的思想），一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识（四、综合多个知识点），综 合性较强，有一定难度，运用数形结合（一）、分类讨论（三、利用条件或结论

的多变性， 运用分类讨论的思想）及方程思想（二、方程思想）是解题的关键．

例 2 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是(4，0)，并且 OA＝OC＝4OB，动点 P 在 过 A，B，C 三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F， 连接 EF.当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标

．

解：(1)由 A(4，0)，可知 OA＝4. ∵ OA＝OC＝4OB，∴ OC＝4，OB＝1， ∴ C(0，4)，B(－1，0)． 解法一：设抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， a－b＋c＝0， a＝－1， 从而得方程组16a＋4b＋c＝0，解得b＝3， ∴ 此抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋3x＋4. 解法二：设抛物线的函数表达式为 y＝a(x－4)(x＋1)(a≠0)， ∵ C(0，4)在抛物线上， ∴ 4＝a(0－4)(0＋1)，解得 a＝－1. ∴ 此抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋3x＋4.





 c＝4，

 c＝4.

(2)存在． 第一种情况，当以点 C 为直角顶点时，过点 C 作 CP1⊥ AC 交抛物线于点 P1，过点 P1 作 y 轴 的垂线，垂足为 M. ∵ ∠ ACP1＝90° ，∴ ∠ MCP1＋∠ ACO＝90° ， ∵ ∠ OAC＋∠ ACO＝90° ，∴ ∠ MCP1＝∠ OAC. ∵ OA＝OC，∴ ∠ MCP1＝∠ OAC＝45° ， ∴ ∠ MCP1＝∠ MP1C，∴ MC＝MP1. 设 P1(m，－m2＋3m＋4)，则 m＝－m2＋3m＋4－4. 解得 m1＝0(舍)，m2＝2， ∴ －m2＋3m＋4＝－4＋6＋4＝6. 即 P1(2，6)． (3)连接 OD，由题意知，四边形 OFDE 为矩形，则 OD＝EF，根据直线外一点到直线上的各 点的线段中，垂线段最短可知，当 OD⊥ AC 时，OD 最短，即 EF 最短． 由(1)知，在 Rt△ AOC 中，OC＝OA＝4， 则 AC＝ OC2＋OA2＝ 42＋42＝4 2. 根据等腰三角形性质，D 为 AC 的中点， 1 又∵ DF∥ OC，∴ DF＝ OC＝2，∴ 点 P 的纵坐标为 2. 2 3＋ 17 3－ 17 从而得－x2＋3x＋4＝2，解得 x1＝ ，x2＝ . 2 2 3＋ 17 3－ 17 ∴ 当 EF 最短时，点 P 的坐标分别为( ，2)或( ，2)． 2 2 例 3 已知抛物线 C：y＝－x2＋bx＋c 经过 A(－3，0)和 B(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记 为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的函数表达式； (2)求点 M 的坐标； (3)将抛物线 C 平移到抛物线 C′，抛物线 C′的顶点记为 M′，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N′，如果以点 M，N，M′，N′为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样 平移？为什么？

－9－3b＋c＝0，  解：(1)根据题意，得  c＝3， b＝－2，  解得 c＝3，  ∴ y＝－x2－2x＋3. b 2 (2)∵ x＝－ ＝－ ＝－1，∴

y＝4， 2a 2 ∴ M(－1，4)． (3) 由 题 意 ， 知 以 点 M ， N ， M′ ， N′ 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 的 边 MN 的 对 边 只 能 是 M′N′.∴ MN∥ M′N′，且 MN＝M′N′， ∴ MN· NN′＝16，∴ NN′＝4. ① 当以 M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是▱ MNN′M′时，将抛物线 C 向左或向右平移 4 个单 位长度可得到符合条件的抛物线 C′.如图所示． ② 当以 M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是▱ MNM′N′时，将抛物线 C 先向左或向右平移 4 个 单位长度，再向下平移 8 个单位长度，可得到符合条件的抛物线 C′.如图所示． ∴ 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线 C′.

例 4 如图 4，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a

图4 解：(1)过点 C 作 CG⊥ x 轴，垂足为 G，则 OG＝1. AC 3 ∵ AC∶ BC＝3∶ 1，∴ ＝ . AB 4 AC AG 3 AG 3 由△ AGC∽ △ AOB，得 ＝ ＝ ，即 ＝ ，解得 AG＝3，则 AO＝4.∴ 点 A 的坐标为(－ AB AO 4 AG＋1 4 4，0)．

(2)由题意，得 c＝0，将 A(－4，0)代入 y＝ax2＋bx 中， 得 0＝16a－4b，∴ b＝4a. 2 ∴ y＝ax ＋4ax，此时 F(－2，－4a)，C(－1，－3a)． DE AE 2 DE 2 由△ ADE∽ △ ACG 得 ＝ ＝ ，即 ＝ ， CG AG 3 －3a 3 ∴ DE＝－2a，D(－2，－2a)． 若△ FCD 与△ AED 相似， 显然只有∠ DCF＝∠ DEA＝90° 情况下，△ FCD∽ △ AED.

过点 C 作 CH⊥ DF 于点 H，则 CH＝EG＝2－1＝1，HE＝CG＝－3a.∴ HF＝－4a－(－3a)＝－ a，DH＝－3a－(－2a)＝－a， 1 1 ∴ H 为 DF 的中点．∵ ∠ DCF＝90° ，∴ CH＝ DF，即 1＝ × (－2a)，∴ a＝－1，∴ 二次函数的表 2 2 达式为 y＝－x2－4x. 例 5 如图 5，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)的对称轴为 y 轴，且经过(0，0)， 1 ( a， )两点，点 P 在抛物线上运动，以 P 为圆心的⊙ P 经过定点 A(0，2)． 16 (1)求 a，b，c 的值； (2)求证：点 P 在运动过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交； (3)设⊙ P 与 x 轴相交于 M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△ AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标．

图5 解：(1)∵ 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)的对称轴为 y 轴，且经过(0，0)，( a， 1 )两点， 16 b＝0， 1

  c＝0， a＝4， ∴  1 解得b＝0， a ＝16，  c＝0. 

2

(2)证明：设 P(x，y)，⊙ P 的半径 r＝ x2＋（y－2）2， 1 2 2 1 又 y＝ x2，则 r＝ x2＋ 4x －2 ， 4 1 4 1 化简得 r＝ x ＋4＞ x2， 16 4

∴ 点 P 在运动过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交． 1 2 1 4 1 4 (3)设 P(a， a )，∵ PA＝ a ＋4，作 PH⊥ MN 于点 H，则 PM＝PN＝ a ＋4，又 PH＝ 4 16 16 1 22 1 2 1 4 a ，则 MH＝NH＝ a ＋4－ 4a  ＝2，故 MN＝4，∴M(a－2，0)，N(a＋2，0)． 4 16 又 A(0，2)，∴ AM＝ （a－2）2＋4，AN＝ （a＋2）2＋4. 当 AM＝AN 时，解得 a＝0；当 AM＝MN 时， （a－2）2＋4＝4， 1 解得 a＝2± 2 3，则 a2＝4± 2 3； 4 1 当 AN＝MN 时， （a＋2）2＋4＝4，解得 a＝－2± 2 3，则 a2＝4± 2 3. 4 综上所述，点 P 的纵坐标为 0 或 4＋2 3或 4－2 3.

拓展练习 1．如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式． （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MN∥ y 轴交抛 物线于 N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长． （3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使△ BNC 的面积最大？若存在，求 m 的 值；若不存在，说明理由．

拓展练习 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，﹣3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t． （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式． （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积． （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直 接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

拓展练习 3．如图，Rt△ ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐 标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0） 、 （0，4） ，抛物线 y= 直线 x=

2 2 x +bx+c 经过点 B，且顶点在 3

5 上． 2

（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把△ ABO 沿 x 轴向右平移得到△ DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得△ PBD 的周长最小，求出 P 点的 坐标； （4）在（2） 、 （3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合） ，过点 M 作∥ BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，△ PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关 系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标； 若不存在，说明理由．

参考答案：

1、解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x﹣3） ，则：a（0+1） （0﹣3）=3，a=﹣1；∴ 抛物 线的解析式：y=﹣（x+1） （x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线 BC

的解析式为：y=kx+b，则有： y=﹣x+3． 已知点 M 的横坐标为 m，MN∥ y，则 M（m，﹣m+3） 、N（m，﹣m2+2m+3） ； ∴ 故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3） ． （3）如图；∵ S△ BNC=S△ MNC+S△ MNB= ∴ S△ BNC= ∴ 当 m= ，解得 ；故直线 BC 的解析式：

1 1 MN（OD+DB）= MN•OB， 2 2

（0＜m＜3） ； ．

1 1 3 （﹣m2+3m）•3=﹣ （m﹣ ）2+ 2 2 2 3 时，△ BNC 的面积最大，最大值为 2

2、解： （1）把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=x2+mx+n，得

解得

，所以抛物

线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3．设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3；

（2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3） ，则 M（t，t2﹣2t﹣3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t﹣3） ﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当 t=﹣ =，则 S△ ABM=S△ BPM+S△ APM= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 = ．

（3）存在，理由如下：∵ PM∥ OB，∴ 当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边 形， ① 当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3．② 当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得 t1= 标是 ，t2= （舍去） ，所以 P 点的横坐 （舍去） ，t2= ． ，

；③ 当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得 t1= ．所以 P 点的横坐标是 或

所以 P 点的横坐标是

拓展 2 图 拓展 3 图

解： （1）∵ 抛物线 y=

经过点 B（0，4）∴ c=4，∵ 顶点在直线 x=上，∴ ﹣

=﹣

=，∴ b=﹣

；∴ 所求函数关系式为

； （2）在 Rt△ ABO 中，OA=3，OB=4，

AB=

，∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ BC=CD=DA=AB=5，∴ C、D 两点的坐标分别是 ，当 x=2 时，

（5，4） 、 （2，0） ，当 x=5 时，y= y=

，∴ 点 C 和点 D 都在所求抛物线上；

（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，则

，解得：

，∴

，当 x=时，y=

，∴ P（

） ，

（4）∵ MN∥ BD，∴ △ OMN∽ △ OBD，∴ 则 S△ PNF= （PF+OM）•OF=

即

得 ON= ，∵ ，S=

，设对称轴交 x 于点 F， ， （﹣ ） ，=﹣

1 2 （ +t）× 2 3

1 1 5 1 2 × NF•PF= × （ ﹣ t）× = 2 2 2 2 3

（0＜t＜4） ，a=﹣＜0∴ 抛物线开口向下，S 存在最大值．由 S△ PMN=﹣ ﹣ ）2+ ，∴ 当 t= 时，S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0，

1 2 t+ 4

） ．

t=﹣

1 （t 4

练习 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 AC ： y =

4 x +8 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 3 C ，抛物线 y＝ax2 +bx+c 过点 A 、点 C ，且与 x 轴的另一交点为 B( x0 ,0) ，其中 x0 ＞ 0，又点 P 是抛物线的对称轴 l 上一动点．

A 与点 C 的距离之和最小； （1）求点 A 的坐标，并在图 1 中的 l 上找一

点 P 0 ，使 P 0 到点

（2）若△ PAC 周长的最小值为 10+2 41 ，求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，在线段 CO 上有一动点 M 以每秒 2 个单位的速度从点 C 向点 O 移动( M 不与端点 C 、 O 重合)，过点 M 作 MH ∥ CB 交 x 轴于点 H ,设 M 移动的时间为 t 秒，试把△ P 0 HM 的面积 S 表示成时间 t 的函数，当 t 为何值时， S 有最大值，并求出最大值；

（4）在（3）的条件下，当 S = 图图 3）

75 时，过 M 作 x 轴的平行线交抛物线于 E 、 F 两点， 32 问：过 E 、 F 、 C 三点的圆与直线 CN 能否相切于点 C ？请证明你的结论．（备用

y C A O B l y C x A O B l

x

二次函数压轴题 例题：如图，已知抛物线 y= x +bx+c（b，c 是常数，且 c＜0）与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位 于点 B 的左侧） ，与 y 轴的负半轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣1，0） ． （1）b= 果均用含 c 的代数式表示） ； （2）连接 BC，过点 A 作直线 AE∥ BC，与抛物线 y= x +bx+c 交于点 E，点 D 是 x 轴上的一点， 其坐标为（2，0） ．当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PB，PC，设所得△ PBC 的面 积为 S． ① 求 S 的取值范围；② 若△ PBC 的面积 S 为整数，则这样的△ PBC 共有 个．

2 2

，点 B 的横坐标为

（上述结

分析： （1）将 A（﹣1，0）代入 y= x +bx+c，可以得出 b= +c；根据一元二次方程根与系数的关

2

2

系，得出﹣1•xB= ，即 xB=﹣2c； （2）由 y= x +bx+c，求出此抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为

（0，c） ，则可设直线 BC 的解析式为 y=kx+c，将 B 点坐标代入，运用待定系数法求出直线 BC 的 解析式为 y= x+c；由 AE∥ BC，设直线 AE 得到解析式为 y= x+m，将点 A 的坐标代入，运用待定

系数法求出直线 AE 得到解析式为 y= x+ ；解方程组

，求出点 E 坐标为

（1﹣2c，1﹣c） ，将点 E 坐标代入直线 CD 的解析式 y=﹣ x+c，求出 c=﹣2，进而得到抛物线的 解析式为 y= x ﹣ x﹣2； （3）① 分两种情况进行讨论： （Ⅰ ）当﹣1＜x＜0 时，由 0＜S＜S△ ACB，易求 0＜S＜5； （Ⅱ ）当 0＜ x＜4 时，过点 P 作 PG⊥ x 轴于点 G，交 CB 于点 F．设点 P 坐标为（x， x ﹣ x﹣2） ，则点 F 坐 标为（x， x﹣2） ，PF=PG﹣GF=﹣ x +2x，S= PF•OB=﹣x +4x=﹣（x﹣2） +4，根据二次函数 的性质求出 S 最大值=4，即 0＜S≤4．则 0＜S＜5；② 由 0＜S＜5，S 为整数，得出 S=1，2，3，4．分 两种情况进行讨论： （Ⅰ ）当﹣1＜x＜0 时，根据△ PBC 中 BC 边上的高 h 小于△ ABC 中 BC 边上的 高 AC= ，得出满足条件的△ PBC 共有 4 个； （Ⅱ ）当 0＜x＜4 时，由于 S=﹣x +4x，根据一元二

2 2 2 2 2 2

次方程根的判别式，得出满足条件的△ PBC 共有 7 个；则满足条件的△ PBC 共有 4+7=11 个．解答 过程略。

点评：本题是以二次函数为背景的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二 次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标（二、以直线 或抛物线知识为载体，运用函数建模、求解方程思想），三角形的面积（四、运用等价转换 的思想），一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识（四、综合多个知识点），综 合性较强，有一定难度，运用数形结合（一）、分类讨论（三、利用条件或结论

的多变性， 运用分类讨论的思想）及方程思想（二、方程思想）是解题的关键．

例 2 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是(4，0)，并且 OA＝OC＝4OB，动点 P 在 过 A，B，C 三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点 P，使得△ ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点 P 作 PE 垂直于 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 F， 连接 EF.当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标

．

解：(1)由 A(4，0)，可知 OA＝4. ∵ OA＝OC＝4OB，∴ OC＝4，OB＝1， ∴ C(0，4)，B(－1，0)． 解法一：设抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， a－b＋c＝0， a＝－1， 从而得方程组16a＋4b＋c＝0，解得b＝3， ∴ 此抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋3x＋4. 解法二：设抛物线的函数表达式为 y＝a(x－4)(x＋1)(a≠0)， ∵ C(0，4)在抛物线上， ∴ 4＝a(0－4)(0＋1)，解得 a＝－1. ∴ 此抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋3x＋4.





 c＝4，

 c＝4.

(2)存在． 第一种情况，当以点 C 为直角顶点时，过点 C 作 CP1⊥ AC 交抛物线于点 P1，过点 P1 作 y 轴 的垂线，垂足为 M. ∵ ∠ ACP1＝90° ，∴ ∠ MCP1＋∠ ACO＝90° ， ∵ ∠ OAC＋∠ ACO＝90° ，∴ ∠ MCP1＝∠ OAC. ∵ OA＝OC，∴ ∠ MCP1＝∠ OAC＝45° ， ∴ ∠ MCP1＝∠ MP1C，∴ MC＝MP1. 设 P1(m，－m2＋3m＋4)，则 m＝－m2＋3m＋4－4. 解得 m1＝0(舍)，m2＝2， ∴ －m2＋3m＋4＝－4＋6＋4＝6. 即 P1(2，6)． (3)连接 OD，由题意知，四边形 OFDE 为矩形，则 OD＝EF，根据直线外一点到直线上的各 点的线段中，垂线段最短可知，当 OD⊥ AC 时，OD 最短，即 EF 最短． 由(1)知，在 Rt△ AOC 中，OC＝OA＝4， 则 AC＝ OC2＋OA2＝ 42＋42＝4 2. 根据等腰三角形性质，D 为 AC 的中点， 1 又∵ DF∥ OC，∴ DF＝ OC＝2，∴ 点 P 的纵坐标为 2. 2 3＋ 17 3－ 17 从而得－x2＋3x＋4＝2，解得 x1＝ ，x2＝ . 2 2 3＋ 17 3－ 17 ∴ 当 EF 最短时，点 P 的坐标分别为( ，2)或( ，2)． 2 2 例 3 已知抛物线 C：y＝－x2＋bx＋c 经过 A(－3，0)和 B(0，3)两点，将这条抛物线的顶点记 为 M，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N. (1)求抛物线 C 的函数表达式； (2)求点 M 的坐标； (3)将抛物线 C 平移到抛物线 C′，抛物线 C′的顶点记为 M′，它的对称轴与 x 轴的交点记为 N′，如果以点 M，N，M′，N′为顶点的四边形是面积为 16 的平行四边形，那么应将抛物线 C 怎样 平移？为什么？

－9－3b＋c＝0，  解：(1)根据题意，得  c＝3， b＝－2，  解得 c＝3，  ∴ y＝－x2－2x＋3. b 2 (2)∵ x＝－ ＝－ ＝－1，∴

y＝4， 2a 2 ∴ M(－1，4)． (3) 由 题 意 ， 知 以 点 M ， N ， M′ ， N′ 为 顶 点 的 平 行 四 边 形 的 边 MN 的 对 边 只 能 是 M′N′.∴ MN∥ M′N′，且 MN＝M′N′， ∴ MN· NN′＝16，∴ NN′＝4. ① 当以 M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是▱ MNN′M′时，将抛物线 C 向左或向右平移 4 个单 位长度可得到符合条件的抛物线 C′.如图所示． ② 当以 M，N，M′，N′为顶点的平行四边形是▱ MNM′N′时，将抛物线 C 先向左或向右平移 4 个 单位长度，再向下平移 8 个单位长度，可得到符合条件的抛物线 C′.如图所示． ∴ 上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线 C′.

例 4 如图 4，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a

图4 解：(1)过点 C 作 CG⊥ x 轴，垂足为 G，则 OG＝1. AC 3 ∵ AC∶ BC＝3∶ 1，∴ ＝ . AB 4 AC AG 3 AG 3 由△ AGC∽ △ AOB，得 ＝ ＝ ，即 ＝ ，解得 AG＝3，则 AO＝4.∴ 点 A 的坐标为(－ AB AO 4 AG＋1 4 4，0)．

(2)由题意，得 c＝0，将 A(－4，0)代入 y＝ax2＋bx 中， 得 0＝16a－4b，∴ b＝4a. 2 ∴ y＝ax ＋4ax，此时 F(－2，－4a)，C(－1，－3a)． DE AE 2 DE 2 由△ ADE∽ △ ACG 得 ＝ ＝ ，即 ＝ ， CG AG 3 －3a 3 ∴ DE＝－2a，D(－2，－2a)． 若△ FCD 与△ AED 相似， 显然只有∠ DCF＝∠ DEA＝90° 情况下，△ FCD∽ △ AED.

过点 C 作 CH⊥ DF 于点 H，则 CH＝EG＝2－1＝1，HE＝CG＝－3a.∴ HF＝－4a－(－3a)＝－ a，DH＝－3a－(－2a)＝－a， 1 1 ∴ H 为 DF 的中点．∵ ∠ DCF＝90° ，∴ CH＝ DF，即 1＝ × (－2a)，∴ a＝－1，∴ 二次函数的表 2 2 达式为 y＝－x2－4x. 例 5 如图 5，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)的对称轴为 y 轴，且经过(0，0)， 1 ( a， )两点，点 P 在抛物线上运动，以 P 为圆心的⊙ P 经过定点 A(0，2)． 16 (1)求 a，b，c 的值； (2)求证：点 P 在运动过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交； (3)设⊙ P 与 x 轴相交于 M(x1，0)，N(x2，0)(x1＜x2)两点，当△ AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标．

图5 解：(1)∵ 抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c 是常数)的对称轴为 y 轴，且经过(0，0)，( a， 1 )两点， 16 b＝0， 1

  c＝0， a＝4， ∴  1 解得b＝0， a ＝16，  c＝0. 

2

(2)证明：设 P(x，y)，⊙ P 的半径 r＝ x2＋（y－2）2， 1 2 2 1 又 y＝ x2，则 r＝ x2＋ 4x －2 ， 4 1 4 1 化简得 r＝ x ＋4＞ x2， 16 4

∴ 点 P 在运动过程中，⊙ P 始终与 x 轴相交． 1 2 1 4 1 4 (3)设 P(a， a )，∵ PA＝ a ＋4，作 PH⊥ MN 于点 H，则 PM＝PN＝ a ＋4，又 PH＝ 4 16 16 1 22 1 2 1 4 a ，则 MH＝NH＝ a ＋4－ 4a  ＝2，故 MN＝4，∴M(a－2，0)，N(a＋2，0)． 4 16 又 A(0，2)，∴ AM＝ （a－2）2＋4，AN＝ （a＋2）2＋4. 当 AM＝AN 时，解得 a＝0；当 AM＝MN 时， （a－2）2＋4＝4， 1 解得 a＝2± 2 3，则 a2＝4± 2 3； 4 1 当 AN＝MN 时， （a＋2）2＋4＝4，解得 a＝－2± 2 3，则 a2＝4± 2 3. 4 综上所述，点 P 的纵坐标为 0 或 4＋2 3或 4－2 3.

拓展练习 1．如图，已知抛物线经过点 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式． （2）点 M 是线段 BC 上的点（不与 B，C 重合） ，过 M 作 MN∥ y 轴交抛 物线于 N，若点 M 的横坐标为 m，请用 m 的代数式表示 MN 的长． （3）在（2）的条件下，连接 NB、NC，是否存在 m，使△ BNC 的面积最大？若存在，求 m 的 值；若不存在，说明理由．

拓展练习 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0） 、B（0，﹣3） ，点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t． （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式． （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ ABM 的面积． （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直 接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．

拓展练习 3．如图，Rt△ ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐 标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0） 、 （0，4） ，抛物线 y= 直线 x=

2 2 x +bx+c 经过点 B，且顶点在 3

5 上． 2

（1）求抛物线对应的函数关系式； （2）若把△ ABO 沿 x 轴向右平移得到△ DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得△ PBD 的周长最小，求出 P 点的 坐标； （4）在（2） 、 （3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合） ，过点 M 作∥ BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，△ PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关 系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标； 若不存在，说明理由．

参考答案：

1、解： （1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1） （x﹣3） ，则：a（0+1） （0﹣3）=3，a=﹣1；∴ 抛物 线的解析式：y=﹣（x+1） （x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线 BC

的解析式为：y=kx+b，则有： y=﹣x+3． 已知点 M 的横坐标为 m，MN∥ y，则 M（m，﹣m+3） 、N（m，﹣m2+2m+3） ； ∴ 故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3） ． （3）如图；∵ S△ BNC=S△ MNC+S△ MNB= ∴ S△ BNC= ∴ 当 m= ，解得 ；故直线 BC 的解析式：

1 1 MN（OD+DB）= MN•OB， 2 2

（0＜m＜3） ； ．

1 1 3 （﹣m2+3m）•3=﹣ （m﹣ ）2+ 2 2 2 3 时，△ BNC 的面积最大，最大值为 2

2、解： （1）把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=x2+mx+n，得

解得

，所以抛物

线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3．设直线 AB 的解析式是 y=kx+b，把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ，所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3；

（2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3） ，则 M（t，t2﹣2t﹣3） ，因为 p 在第四象限，所以 PM=（t﹣3） ﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当 t=﹣ =，则 S△ ABM=S△ BPM+S△ APM= =时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 = ．

（3）存在，理由如下：∵ PM∥ OB，∴ 当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边 形， ① 当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能有 PM=3．② 当 P 在第一象限： PM=OB=3， （t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得 t1= 标是 ，t2= （舍去） ，所以 P 点的横坐 （舍去） ，t2= ． ，

；③ 当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得 t1= ．所以 P 点的横坐标是 或

所以 P 点的横坐标是

拓展 2 图 拓展 3 图

解： （1）∵ 抛物线 y=

经过点 B（0，4）∴ c=4，∵ 顶点在直线 x=上，∴ ﹣

=﹣

=，∴ b=﹣

；∴ 所求函数关系式为

； （2）在 Rt△ ABO 中，OA=3，OB=4，

AB=

，∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ BC=CD=DA=AB=5，∴ C、D 两点的坐标分别是 ，当 x=2 时，

（5，4） 、 （2，0） ，当 x=5 时，y= y=

，∴ 点 C 和点 D 都在所求抛物线上；

（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，则

，解得：

，∴

，当 x=时，y=

，∴ P（

） ，

（4）∵ MN∥ BD，∴ △ OMN∽ △ OBD，∴ 则 S△ PNF= （PF+OM）•OF=

即

得 ON= ，∵ ，S=

，设对称轴交 x 于点 F， ， （﹣ ） ，=﹣

1 2 （ +t）× 2 3

1 1 5 1 2 × NF•PF= × （ ﹣ t）× = 2 2 2 2 3

（0＜t＜4） ，a=﹣＜0∴ 抛物线开口向下，S 存在最大值．由 S△ PMN=﹣ ﹣ ）2+ ，∴ 当 t= 时，S 取最大值是 ，此时，点 M 的坐标为（0，

1 2 t+ 4

） ．

t=﹣

1 （t 4

练习 4.如图，在平面直角坐标系中，直线 AC ： y =

4 x +8 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 3 C ，抛物线 y＝ax2 +bx+c 过点 A 、点 C ，且与 x 轴的另一交点为 B( x0 ,0) ，其中 x0 ＞ 0，又点 P 是抛物线的对称轴 l 上一动点．

A 与点 C 的距离之和最小； （1）求点 A 的坐标，并在图 1 中的 l 上找一

点 P 0 ，使 P 0 到点

（2）若△ PAC 周长的最小值为 10+2 41 ，求抛物线的解析式及顶点 N 的坐标； （3）如图 2，在（2）的条件下，在线段 CO 上有一动点 M 以每秒 2 个单位的速度从点 C 向点 O 移动( M 不与端点 C 、 O 重合)，过点 M 作 MH ∥ CB 交 x 轴于点 H ,设 M 移动的时间为 t 秒，试把△ P 0 HM 的面积 S 表示成时间 t 的函数，当 t 为何值时， S 有最大值，并求出最大值；

（4）在（3）的条件下，当 S = 图图 3）

75 时，过 M 作 x 轴的平行线交抛物线于 E 、 F 两点， 32 问：过 E 、 F 、 C 三点的圆与直线 CN 能否相切于点 C ？请证明你的结论．（备用

y C A O B l y C x A O B l

x