24.1.3弧.弦.圆心角同步测控优化训练(含答案)

24.1.3 弧、弦、圆心角

一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中，正确的是( )

A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(

)

图24-1-3-1

A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )

A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 二、课中强化(10分钟训练)

1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.

答案：2∶2 90°

3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.

(1)求证：AC=DB；

(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积

.

图24-1-3-2

4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD. 求证：

OC=OD.

图24-1-3-3

5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长

.

图24-1-3-4

6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样

?

图24-1-3-5

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？

图24-1-3-6

2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧

BF.

图24-1-3-7

3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

图24-1-3-8

4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).

5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论

)

图24-1-3-9

6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径

.

图24-1-3-10

7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中，正确的是( )

A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B

2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(

)

图24-1-3-1

A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 思路解析：作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1. 在Rt△ODE中，OD=212=2.

在Rt△OEB中，OB=BE2OE2=41=5.∴OB∶OD=5∶2. 答案：C

3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )

A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB为直径，∴OE=0. ∴OE∶OF=0. 答案：D

二、课中强化(10分钟训练)

1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.

思路解析：答案：90°

1

×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 4

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.

思路解析：如图，OD⊥AB，OD=DB=AD. 设OD=x，则AD=DB=x.

在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=OD2DB2x2x22 x. ∴AB∶BC=1∶2=2∶2.

∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°

3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、

D.

图24-1-3-2

(1)求证：AC=DB；

(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.

思路分析：求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.

（1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD. （2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=

11

AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22

∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］ =π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）.

4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.

图24-1-3-3

思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.

证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴

OC=OD.

(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E， ∴AE=BE.

∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD.

5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长

.

图24-1-3-4

思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.

解：过O作OF⊥CD于F，连结CO. ∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中， ∵∠CEA=30°，∴OF=

1

AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 2

1

OE=1（cm）. 2

在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF=OC2OF2=(cm). 又∵OF⊥CD， ∴DF=CF.

∴CD=2CF=2（ cm）.

6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样

?

图24-1-3-5

思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则

CM=DM.

通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？

图24-1-3-6

思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等. 解：弧AC=弧BE. 原因如下：

法一：连结AC，∵AB、CD是直径，

∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.

又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE. 法二：∵AB、CD是直径， ∴∠AOC＝∠BOD. ∴弧AC=弧BD.

∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.

2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F. 试证:弧AE=弧

BF.

图24-1-3-7

思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF. 证明： ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC. ∵AO＝OB，∴∠A＝∠B. ∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B， 即∠AOC＝∠BOD， 即∠AOE＝∠BOF. ∴弧AE=弧BF.

3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

图24-1-3-8

思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.

解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，

又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE. ∴弧DF=弧AC=弧BE. ∴AC=EB=DF.

4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).

思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.

答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可

.

5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论

)

图24-1-3-9

思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.

答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC

（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；

（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；

（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.

6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径

.

图24-1-3-10

思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.

解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.

在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，

∴OA2－AC2=OP2－CP2.

∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.

∴OA2－52=52－1.∴OA=7，

即⊙O的半径为7 cm.

7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.

思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况

.

(1)

解：（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.

∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.

∵OE⊥CD，OG⊥AB，

11AB=×40=20（cm）， 22

11DE=CD=×48=24（cm）. 22∴BG=

在Rt△DEO中，OE=OD2DE2=252242=7（cm）.

在Rt△BGO中，OG=OB2BG2=252202=15（cm）.

∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）

.

(2)

（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.

综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.

24.1.3 弧、弦、圆心角

一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中，正确的是( )

A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(

)

图24-1-3-1

A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )

A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 二、课中强化(10分钟训练)

1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.

答案：2∶2 90°

3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.

(1)求证：AC=DB；

(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积

.

图24-1-3-2

4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD. 求证：

OC=OD.

图24-1-3-3

5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长

.

图24-1-3-4

6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样

?

图24-1-3-5

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？

图24-1-3-6

2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧

BF.

图24-1-3-7

3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

图24-1-3-8

4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).

5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论

)

图24-1-3-9

6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径

.

图24-1-3-10

7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.

参考答案

一、课前预习 (5分钟训练) 1.下列说法中，正确的是( )

A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等所对的圆心角相等 思路解析：根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的. 答案：B

2.如图24-1-3-1，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为(

)

图24-1-3-1

A.3∶2 B.5∶2 C.∶2 D.5∶4 思路解析：作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1. 在Rt△ODE中，OD=212=2.

在Rt△OEB中，OB=BE2OE2=41=5.∴OB∶OD=5∶2. 答案：C

3.半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )

A.2∶1 B.3∶2 C.2∶3 D.0 思路解析：∵AB为直径，∴OE=0. ∴OE∶OF=0. 答案：D

二、课中强化(10分钟训练)

1.一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________.

思路解析：答案：90°

1

×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 4

2.弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.

思路解析：如图，OD⊥AB，OD=DB=AD. 设OD=x，则AD=DB=x.

在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB, ∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=OD2DB2x2x22 x. ∴AB∶BC=1∶2=2∶2.

∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 答案：2∶2 90°

3.如图24-1-3-2，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、

D.

图24-1-3-2

(1)求证：AC=DB；

(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.

思路分析：求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.

（1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD. （2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=

11

AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22

∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］ =π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）.

4.如图24-1-3-3所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.

图24-1-3-3

思路分析：根据弧、弦、圆心角的关系得出.

证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B. 又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴

OC=OD.

(1) (2) 证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E， ∴AE=BE.

∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD.

5.如图24-1-3-4，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长

.

图24-1-3-4

思路分析：如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.

解：过O作OF⊥CD于F，连结CO. ∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中， ∵∠CEA=30°，∴OF=

1

AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 2

1

OE=1（cm）. 2

在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF=OC2OF2=(cm). 又∵OF⊥CD， ∴DF=CF.

∴CD=2CF=2（ cm）.

6.如图24-1-3-5，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样

?

图24-1-3-5

思路分析：考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线. 解：当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则

CM=DM.

通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF. 当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形. 所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.

三、课后巩固(30分钟训练)

1.如图24-1-3-6所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？

图24-1-3-6

思路分析：欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等. 解：弧AC=弧BE. 原因如下：

法一：连结AC，∵AB、CD是直径，

∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.

又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE. 法二：∵AB、CD是直径， ∴∠AOC＝∠BOD. ∴弧AC=弧BD.

∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.

2.如图24-1-3-7所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F. 试证:弧AE=弧

BF.

图24-1-3-7

思路分析：欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF. 证明： ∵OC＝OD， ∴∠OCD＝∠ODC. ∵AO＝OB，∴∠A＝∠B. ∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B， 即∠AOC＝∠BOD， 即∠AOE＝∠BOF. ∴弧AE=弧BF.

3.如图24-1-3-8，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？

图24-1-3-8

思路分析：应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等.

解：在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，

又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE. ∴弧DF=弧AC=弧BE. ∴AC=EB=DF.

4.为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).

思路解析：设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.

答案：根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可

.

5.如图24-1-3-9，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论

)

图24-1-3-9

思路解析：因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.

答案：（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC

（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；

（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；

（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.

6.如图24-1-3-10，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径

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图24-1-3-10

思路分析：圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.

解：过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.

在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，

∴OA2－AC2=OP2－CP2.

∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.

∴OA2－52=52－1.∴OA=7，

即⊙O的半径为7 cm.

7.⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.

思路分析：（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况

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(1)

解：（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.

∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.

∵OE⊥CD，OG⊥AB，

11AB=×40=20（cm）， 22

11DE=CD=×48=24（cm）. 22∴BG=

在Rt△DEO中，OE=OD2DE2=252242=7（cm）.

在Rt△BGO中，OG=OB2BG2=252202=15（cm）.

∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）

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(2)

（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.

综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.