利用导数研究函数的极值与最值
一、【基础知识】
1、应用导数求函数极值的步骤：
（1）确定函数f (x )的定义域，
（2）解方程f ' (x )=0(3）检验f ' (x )=0的根的两侧f ' (x )的符号。若左正右负，则f (x )在此处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点。
2、函数f (x )在闭区间[a , b ]上的最值：如果在闭区间[a , b ]上函数y =f (x )的图象是一条的曲线，则该函数在[a , b ]上一定能取得和，并且函数的最值必在或取得。
3、求函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上的最值的步骤：（1）求函数y =f (x )在(a , b )的；
（2）将函数y =f (x )的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
二、【典型例题】
例1：设23
，求函数的解析式。 例2已知函数f (x
) =x 2+mx +n ln x (x >0，实数m ，n 为常数) ．
若n +3m 2=0(m >0) ，且函数f (x ) 在x ∈[1,+∞) 上的最小值为0，求m 的值；
例3设函数f (x ) =ax +bx +cx 在x =1和x =－1处有极值，且f (1)=－1，求a ，b ，c 的值，32
并求出相应的极值．
例4. 已知函数f (x ) =ln x -a . x
3，求实数a 的值； 2（1）求函数f (x ) 的单调增区间； （2）若函数f (x ) 在[1,e ]上的最小值为
例5、已知f (x )=x ln x , g (x )=-x 2+ax -3；
（1）求函数f (x )在[t , t +2](t >0)的最小值
（2）对一切x ∈(0, +∞), 2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；
12-成立。 x e ex （3）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有ln x >
例6、已知函数f (x ) =x 3-3ax 2+3x +1在区间(2, 3) 中至少有一个极值点，求a 的取值范围.
7、已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A. (-∞，0) B 0⎪ C(0, 1) D(0，+∞)
8、已知函数f (x ) =ax -
立，求a 的取值范围. 3⎛⎝1⎫2⎭3211x +1(x ∈R ), 其中a ＞0. 若在区间[-, ]上，f (x ) ＞0恒成222
利用导数研究函数的极值与最值
一、【基础知识】
1、应用导数求函数极值的步骤：
（1）确定函数f (x )的定义域，
（2）解方程f ' (x )=0(3）检验f ' (x )=0的根的两侧f ' (x )的符号。若左正右负，则f (x )在此处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点。
2、函数f (x )在闭区间[a , b ]上的最值：如果在闭区间[a , b ]上函数y =f (x )的图象是一条的曲线，则该函数在[a , b ]上一定能取得和，并且函数的最值必在或取得。
3、求函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上的最值的步骤：（1）求函数y =f (x )在(a , b )的；
（2）将函数y =f (x )的与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
二、【典型例题】
例1：设23
，求函数的解析式。 例2已知函数f (x
) =x 2+mx +n ln x (x >0，实数m ，n 为常数) ．
若n +3m 2=0(m >0) ，且函数f (x ) 在x ∈[1,+∞) 上的最小值为0，求m 的值；
例3设函数f (x ) =ax +bx +cx 在x =1和x =－1处有极值，且f (1)=－1，求a ，b ，c 的值，32
并求出相应的极值．
例4. 已知函数f (x ) =ln x -a . x
3，求实数a 的值； 2（1）求函数f (x ) 的单调增区间； （2）若函数f (x ) 在[1,e ]上的最小值为
例5、已知f (x )=x ln x , g (x )=-x 2+ax -3；
（1）求函数f (x )在[t , t +2](t >0)的最小值
（2）对一切x ∈(0, +∞), 2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；
12-成立。 x e ex （3）证明：对一切x ∈(0, +∞)，都有ln x >
例6、已知函数f (x ) =x 3-3ax 2+3x +1在区间(2, 3) 中至少有一个极值点，求a 的取值范围.
7、已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )
A. (-∞，0) B 0⎪ C(0, 1) D(0，+∞)
8、已知函数f (x ) =ax -
立，求a 的取值范围. 3⎛⎝1⎫2⎭3211x +1(x ∈R ), 其中a ＞0. 若在区间[-, ]上，f (x ) ＞0恒成222