第六章习题
6-1某输电系统的等值电路如图所示。已知电压V 1=115kV维持不变。负荷有功功率P V LD =40MW保持恒定，无功功率与电压平方成正比，即Q 2LD =Q 0(110
) 2
。试就Q 0=20Mvar两种情况按无功功率平衡的条件确定节点2的电压V 2。
P LD +jQLD
解：
用式5-15计算线路送到节点2的无功功率为
22
Q =⎛ V 2⎫2V 2115V 21V 22⎫2
V 2⎝X ⎪⎭-P -X = ⎝40⎪⎭-40-
40 =. 2656V 22-1600-0. 025V 2
222
两种情况下负荷的无功功率分别为Q =20⎛ V 2⎫LD (1) ⎝110⎪⎭和Q ⎛V ⎫
LD (2) =30 2⎝110⎪⎭
由此可列出下表
可得：当Q 0=20Mvar时，V 2=107kV； 当Q 0=30Mvar时，V 2=103.7kV
6-2 某变电所由阻抗为4.32+j10.5Ω的35kV 线路供电。变电所负荷集中在变压器10kV 母线B 点。最大负荷8+j5MVA ，最小负荷4+j3MVA ，线路送端母线A 的电压在最大负荷和最小负荷时均为36kV ，要求变电所10kV 母线上的电压在最小负荷与最大负荷时电压偏差不超过±5%，试选择变压器分接头。变压器阻抗为0.69+j7.84Ω，变比为35±2×2.5%/10.5kV。 解：
变压器阻抗与线路阻抗合并得等值阻抗
Z =R +jX =(5. 01+j 18. 34) Ω
线路首端输送功率为
S A max =(P A +jQ A ) max =8+j 5+=8. 36+j 6. 33MVA
S A min =(P A +jQ A ) min =4+j 3+=4. 1+j 3. 37MVA
B 点折算到高压侧电压：
64+25
(5. 01+j 18. 34) 2
35
16+9
(5. 01+j 18. 34)
352
'm ax =36-V B 'm in V B
8. 36⨯5. 01+6. 33⨯18. 34
=31. 6kV
36
4. 1⨯5. 01+3. 37⨯18. 34=36-=33. 7kV
36
按调压要求10kV 母线电压在最大负荷时不低于9.5kV 和最小 负荷运行不高于10.5kV ，则可得分接头：
V m ax =
'm ax V B 31. 6
⨯V 2N =⨯10. 5=34. 9kV V B m ax 0. 95⨯10
V min =
取平均值：
'min V B 33. 7
⨯V 2N =⨯10. 5=33. 7kV V B min 1. 05⨯10
V t =
选择变压器最接近的分接头
V m ax +V m in
=34. 3kV
2
⎛34. 3⎫
-1⎪⨯100%=-2% ⎝35⎭
所以选-2.5%分接头，即
V t =(1-0. 025) ⨯35=0. 975⨯35=34. 125kV
按所选分接头校验10kV 母线的实际电压
10. 5
=9. 72kV
34. 1259. 72-10
电压偏移==-2. 8%
1010. 5
V B m in =33. 7⨯=10. 37kV
34. 12510. 375-10
电压偏移==3. 7%
10V B m ax =31. 6⨯
可见，10kV 母线上的电压在最小负荷与最大负荷时电压偏差不超过±5%，因此所选变压器分接头满足调压要求。
————————————————————————————————————— *变* ：
如果例5-2变电所10千伏母线电压为1.05*10kV，所需分接头电压：
V t m ax =
分接头位置为：
31. 6
⨯10. 5=31. 6kV
1. 05⨯1031. 6
-1=-9. 7% 35
'm in =33. 7kV ，要求10kV 母线电压为10kV ，所需分接头电压： 最小负荷时V B
V t m in =
分接头位置：
33. 7
⨯10. 5=35. 4kV 10
35. 4
-1=1. 2% 35
选择35+（2~-4）*2.5%/10.5kV或35+（3~-5）*2%/10.5kV有载调压变压器都能够满足调压要求。
6-3 一升压变压器，其归算至高压侧的参数、负荷、分接头范围如图，最大负荷时高压母
线电压为120kV ，最小负荷时高压母线电压为114kV ，发电机电压的调节范围为6~6.6kV，试选择变压器的分接头。
MVA
解：
最大负荷时变压器的电压降为
MVA
∆V =
P 2max R +Q 2max X 25⨯3+18⨯30
==5. 125kV
V 2max 120
归算至高压侧的低压侧电压为
V 1'm ax =V 2m ax +∆V m ax =(120+5. 125) kV =125. 125kV
最小负荷时变压器电压降落为
∆V =
P 2m in R +Q 2m in X 14⨯3+10⨯30
==3kV
V 2m in 114
归算至高压侧的地压侧电压为
V 1'm in =V 2m in +∆V m in =117kV
假定最大负荷时发电机电压为6.6kV ，最小负荷时电压为6Kv 。从而
V 1m ax =125. 125⨯V 1m in V t =
选择最接近的分接头121kV 。
校验：
最大负荷时发电机端实际电压为
6. 3
kV =119. 43kV 6. 66. 3
=117⨯kV =122. 85kV
6V m ax +V m in
=121. 14kV
2
125. 125⨯
最小负荷时发电机端实际电压为
6. 3v
kV =6. 51kV 121
117⨯
6. 3
kV =6. 09kV 121
均满足要求。
6-4 三绕组变压器的额定电压为110/38.5/6.6kV，等值电路如图。各绕组最大负荷功率已示于图中，最小负荷为最大负荷的1/2，设与该变压器相连的高压母线电压在最大与最小负荷时分别为112kV ，115kV ；中、低压母线电压偏移在最大与最小负荷时分别允许为0与7.5%，试选择该变压器高、中压绕组的分接头。 解：
（1） 求最大、最小负荷时各绕组的电压损耗。 最大负荷时：
∆V 1max =
P 12. 8⨯2. 94+9. 6⨯651R 1+Q 1X 1
==5. 91kV
V 1max 112P 2R 2+Q 2X 26. 4⨯4. 42-4. 8⨯1. 5
==0. 198kV
V 1max -∆V 1max 112-5. 91P 3R 3+Q 3X 36. 4⨯4. 42+4. 8⨯37. 7
==1. 97kV
V 1max -∆V 1max 112-5. 91
∆V 2max =
∆V 3max =
最小负荷时：
∆V 1min =
P 1R 1+Q 1X 16. 4⨯2. 94+4. 8⨯65
==2. 88kV
V 1min 115P 2R 2+Q 2X 23. 2⨯4. 42-2. 4⨯1. 5
==0. 0932kV
V 1m in -∆V 1m in 115-2. 88P 3R 3+Q 3X 33. 2⨯4. 42+2. 4⨯37. 7
==0. 935kV
V 1m in -∆V 1m in 115-2. 88
∆V 2m in =
∆V 3m in =
（2） 求最大、最小负荷时各母线电压。 最大负荷时，
1高压V 1m ax =112kV
2中压V 2m ax =112-5. 91-0. 198=105. 9kV 3低压V 3m ax =112-5. 91-1. 97=104. 1kV 最小负荷时：
1高压V 1m in =115kV
2中压V 2m in =112-2. 88-0. 0932=112. 0kV 3低压V 3m in =115-2. 88-0. 935=111. 1kV
（3） 根据低压母线调压要求，由高、低压两侧，选择高压绕组的分接头。最大、最小
负荷时低压母线调压要求电压为
V 3m ax =V N (1+0%)=6(1+0%)=6kV V 3m in =V N (1+7. 5%)=6(1+7. 5%)=6. 45kV
最大、最小负荷时高压绕组分接头电压为
V t 1m ax =V 3m ax
V t 1m in =V 3m in
V N 36. 6
=104. 1⨯=114. 5kV
V 3'm ax 6
V N 36. 6=111. 1⨯=113. 7kV V 3'm in 6. 45
因此，V t 1=
V t 1m ax +V t 1m in 114. 5+113. 7
==114. 1kV
22
于是可选用110+5%的分接头，分接头电压为115.5kV 。
（4） 校验低压母线电压。 最大负荷时
V 3max =V 3max
最小负荷时
V N 36. 6
=104. 1⨯=5. 95kV V t 1115. 5
V 3min =V 3min
V N 36. 6
=111. 1⨯=6. 35kV V t 1115. 5
低压母线电压偏移：
最大负荷时
∆V 3max %=
最小负荷时
V 3max -V N
=-0. 833%
V N
∆V 3min %=
V 3min -V N
=5. 83%
V N
虽然最大负荷时的电压偏移要求较要求的低0.833%，但由于分接头之间的电压差为2.5%， 求得的电压偏移较要求不超过1.25%是允许的，所以选择的分接头认为合适。进而可确定变压器高、低压侧的变比为115.5/6.6kV。
（5） 根据中压母线的调压要求，由高、中压两侧，选择中压绕组的分接头。最大、最
小负荷时中压母线调压要求电压为：
V 2'max =35(1+0%)=35kV
V 2'min =35(1+7. 5%)=37. 6kV
最大、最小负荷时中压绕组分接头电压为：
V t 2max =V 2'max
V t 1115. 5
=35⨯=38. 2kV V 2max 105. 9
V t 2m in =V 2'm in
因此
V t 1115. 5
=37. 6⨯=38. 8kV V 2m in 112
V t 2=
38. 2+38. 8
=38. 5kV
2
于是，就选电压为38.5kV 的主抽头。 （6） 校验中压侧母线电压 最大负荷时
V 3max =V 2max
V t 238. 5
=105. 9⨯=35. 3kV V t 1115. 5V t 238. 5
=112⨯=37. 3kV V t 1115. 5
V 3min =V 2min
中压母线电压偏移：
最大负荷时
∆V 2m ax %=
最小负荷时
35. 3-35
=0. 86% 3537. 3-35
=6. 57% 35
∆V 2m in %=
可见，电压偏移在要求的范围内，也满足调压要求。于是，该变压器应选择的分接头电压或变比为115.5/38.5/6.6kV。
6-5某一降压变电所由双回110kV ，长70km 的架空输电线路供电，导线型号为LGJ-120，单位长度阻抗为0.263+j0.423Ω/km。变电所有两台变压器并联运行，其参数为：S N =31.5MVA ，V N 为110（1±2*2.5%）可kV/11kV，V s %=10.5。变电所最大负荷为40+j30MVA 。线路首端电压为116kV ，且维持不变。变电所二次侧母线上的允许电压偏移在最大、最小负荷时为额定电压的2.5%~7.5%。根据调压要求，按电容器和调相机两种措施，确定变电所二次侧母线上所需补偿的最小容量。 解：
（1） 计算线路和变压器等值阻抗。
Z L =
1
l 1⨯(r 1+jx 1) =(9. 205+j 4. 805) Ω 2
2
1V S %V N 10. 5⨯1102
X T =⨯==20. 167Ω
2100S N 200⨯31. 5
总阻抗Z
Z =R +jX =(9. 205+j 34. 972) Ω
（2） 计算补偿前变电所二次侧母线归算到高压侧的电压。
因为首端电压已知，宜用首端功率计算网络的电压损耗。为此，先按额定电压计算输电系统的功率损耗：
∆S m ax
402+302=*(9. 205+j 34. 972) MVA =1. 902+j 7. 226MVA 2
110302+202=*(9. 205+j 34. 972) MVA =0. 989+j 3. 757MVA
1102
∆S m in
于是
S 1m ax =S m ax +∆S m ax =41. 902+j 37. 226MVA
S 1m in =S m in +∆S m in =30. 989+j 23. 757MVA
利用首端功率可以算出：
V 2'max =V 1-
P 1max R +Q 1max X
=101. 452kV
V 1P 1min R +Q 1min X
=106.. 379kV
V 1
V 2'min =V 1-
（3） 选择静电电容器的容量
按最小负荷时无补偿确定变压器的分接头电压
V t =
V 2N V 2'min
=108. 85kV
V 2min
最接近的抽头电压为110kV ，可得降压变压器的变比为
k =
求补偿容量
110
=10 11
Q c =
V 2c max ⎛V '⎫
V 2c max -2max ⎪k 2=3. 072M var X ⎝k ⎭
取补偿容量Q c =3M var ，且检验变电所二次侧母线电压
∆S c m ax =1. 772+j 6. 731MVA S 1c m ax =41. 772+j 33. 731MVA
V 2'max =V 1-
故
P 1c max R +Q 1c max X
=102. 8kV
V 1
V 2c m ax
V 2'c m ax ==10. 28kV
k V 2'c m in
=10. 638kV k
V 2c m in =
变电所二次侧母线电压满足调压要求。 （4） 选择同步调相机的容量。 求变压器变比
k =
αV 2c max V 2'max +V 2c min V 2'min
22
αV 2c max +V 2c min
当α分别取为0.5和0.65时，可算出相应的变比k 分别为9.896和9.897，选最接近的标准分接头变比为k=10。 确定调相机容量
Q c =
V 2c max
X
V 2'max ⎛
V - 2c max
k ⎝
⎫2
⎪k =3. 07M var ⎭
选取最接近标准容量的同步调相机，其额定容量为3MVA 。
验算变电所二次侧母线电压。最大负荷调相机按额定容量过励磁运行，因而有
∆S c m ax =1. 772+j 6. 731MVA
最小负荷时调相机按50%额定容量欠励磁运行，因而有
∆S c m in =1. 036+j 3. 937MVA
S 1c m ax =S c m ax +∆S c m ax =41. 772+j 32. 731MVA S 1c m in =S c m in +∆S c m in =31. 036+J 25. 437MVA
V 2c m ax
⎛P 1c m ax R +Q 1c m ax X V - 1
V 1
=⎝
⎛P 1c min R +Q 1c min X V - 1
V 1
=⎝
⎫⎪⎪⎫⎪⎪=10. 28kV
V 2c min
=10. 59kV
变电所二次侧母线电压满足调压要求。
6-6一条阻抗为21+j34Ω的110kV 单回线路，将降压变电所与负荷中心连接，最大负荷为22+j20MVA。线路允许的电压损耗为6%，为满足此要求在线路上串联标准为单相、0.66kV 、40kV A 的电容器。试确定所需电容器数量和容量。 解：
未加串联电容时线路的电压损耗
∆V =
PR +QX
=10. 38kV
V N
允许电压损耗
∆V perm =110*6%=6. 6kV
由此可求所需电容器的容抗
∆V perm =
PR +Q (X -X C )
=6. 6kV
V N
得
X C =20. 8Ω
线路的最大负荷电流
I C max =
P 2+Q 2V N
=157A
单个电容器的额定电流及额定容抗分别为
I NC =
Q NC
=60. 6A V NC
V NC
=10. 9Ω I NC
X NC =
电容器组并联的组数应大于
m =
I C max
=2. 59 取m=3 I NC
每串串联个数应大于
n =
I C max X C
=4. 95 取n=6
V NC
则电容器组总数量 3mn=54个
电容器组总容量
Q C =54Q NC =2. 16M var
验算电压损耗：实际电容器组的容抗
X C =
nX NC
=21. 8Ω m
这时线路的电压损耗 ∆V =6. 42kV 其百分值
∆V %=
6. 42
*100%=5. 8% 110
低于允许值，满足要求。
如果采用串联电容器补偿，为达到同样目的，缩小电容器的容量：
∆V perm =
PR +(Q -Q C ) X
=6. 6kV
V N
Q C =12. 24M var
Q C 串/Q C 并=2. 16/12. 24=17. 6%
可见串联电容器容量仅为并联电容器容量的17.6%。
6-7两发电厂联合向一个负荷供电，图中Z 1=0.10+j0.40，Z 2=0.04+j0.08。设发电厂母线电压均为1.0，负荷功率S LD =PLD +jQLD =1.2+j0.7，其有功部分由两发电厂平均分担。试确定无功功率的最优分配。
解：按题意列出有功、无功功率损耗表示式
2
P 12+Q 12P 22+Q 22222
P L =R +R =0. 1(P +Q ) +0. 04(P +Q ) 12112222
V V 2P 12+Q 12P 22+Q 22
Q L =X 1+X 2=0. 4(P 12+Q 12) +0. 08(P 22+Q 2) 22
V V
然后计算各网损微增率
∂P L /∂Q 1=0. 2Q 1；∂P L /∂Q 2=0. 08Q 2 ∂Q L /∂Q 1=0. 8Q 1；∂Q L /∂Q 2=0. 16Q 2
按等网损微增率准则确定无功功率分配
∂P L ∂P 11⨯=L ⨯
∂Q 1(1-∂Q L /∂Q 1) ∂Q 2(1-∂Q L /∂Q 2) 0. 2Q 10. 08Q 2
=
1-0. 8Q 11-0. 16Q 2
由无功功率平衡条件得
Q 1+Q 2-Q LD -Q L =0
2
Q 1+Q 2-0. 7-[0. 4(0. 342+Q 12) +0. 08(0. 862+Q 2)]=0
联立求解得
Q 1≈0. 248; Q 2≈0. 688
为进行比较，以下不计无功功率网损，则等网损微增率准则为
∂P L ∂P
=L ，于是有 ∂Q 1∂Q 2
0. 2Q 1=0. 08Q 2
无功功率平衡条件为
Q 1+Q 2-0. 7=0
联立求解得
Q 1=0. 20; Q 2=0. 50
上述计算可以看出，计及无功网损时，X 2
6-8：有一台降压变压器，其归算到高压侧的参数为R T =2Ω, X T =40Ω, 低压侧的最大、最小负荷S max 、S min 表示于图中；若高压侧的电压波动范围从最大负荷到最小负荷为105~112kV, 如果变压器低压侧要求顺调压，是否可选择变压器分接头，若可以，试选择之；若不可以，分析原因。 U 1
~
S max =30+j10MVA
110±2×2.5%/6.3kv
~
S min =10+j5MVA
解:
∆U max =
P max R T +Q max X T 30⨯2+10⨯40
==4. 38(kV )
U 1max 105 P min R T +Q min X T 10⨯2+5⨯40
==1. 96(kV )
U 1min 112
∆U T min =
U 2m ax =U N (1+2. 5%)=6⨯(1+2. 5%)=6. 15(kV ) U 2m in =U N (1+7. 5%)=6⨯(1+7. 5%)=6. 45(kV )
U 1t max =
U 1max -∆U T max 105-4. 38
U 2N =⨯6. 3=103. 07(kV )
U 2max 6. 15U 1min -∆U T min 112-1. 96
U 2N =⨯6. 3=107. 48(kV )
U 2min 6. 45
U 1t min =
U 1tav =
选
U 1t m ax +U 1t m in 103. 07+107. 48
==105. 275(kV )
22
kV 分接头
U 1t ＝110(1－2. 5%)=107. 25
校验：
U 2max =(U 1max -∆U T max )
U 2N 6. 3
=(105-4. 38) =5. 91(kV )
U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 6. 3
=(112-1. 96) =6. 46(kV ) >6. 45kV U 1t 选107. 25
所选分接头不满足调压要求，故改选校验：
U 1t ＝110(1－2⨯2. 5%)=104. 5
kV 的分接头。
U 2max =(U 1max -∆U T max )
U 2N 6. 3
=(105-4. 38) =6. 07(kV )
U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 6. 3
=(112-1. 96) =6. 63(kV ) >6. 45kV U 1t 选104. 5
没有合适的分接头满足调压要求，主要原因是高压侧电压波动太大，其次是低压侧的最大和
最小负荷相差较多。
6-9：供电线路如下图所示，线路始端电压为230kV ，假设始端电压不变，为了使变压器低压侧电压能维持37kV ，求需在变电所低压侧应装设的并联无功补偿容量是多少？（注：忽略电压降落的横分量影响）
输电线路参数：
R l =
1111
r 1l =(0. 02⨯100) =1ΩX l =x 1l =(0. 4⨯100) =20Ω2222
变压器归算到高压侧的参数：
R T =
P k U N
22
1000S N
100⨯2202
==0. 484Ω 21000⨯100
U k %U N 10⨯2202
X T ===48. 4Ω
100S N 100⨯100
2
变压器低压侧归算到高压侧的电压：
U 2=37⨯
220
=220kV 37
U 1-U 2=
P 2(R l +R T ) +Q 2(X l +X T )
U 2
230-220=
100(1+0. 484) +Q 2(20+48. 4)
220
解得线路流动的功率为:Q 2=30M var 应补偿无功容量:
Q C =P 2tg φ-Q 2=100⨯0. 75-30=45M var
6-10 由某变电所供给功率因数为0.8、功率为6000kW 的负荷，由于要增加功率因数为0.6、
功率为1200kW 的负荷，欲在变电所装设电容器。请按照下面的条件确定应补偿的电容器容量：
（1）负荷增加后，变压器供给的总负荷功率因数保持0.8不变。 （2）负荷增加后，变压器供给的总负荷的功率因数提高到0.9。
（3）如果变电所中变压器的容量仅为7500kV A ，负荷增加后，不使变压器过载。 解：（1）负荷总的有功功率为
6000+1200=7200kW
负荷总的无功功率为：
6000⨯tan(arccos(0. 8)) +1200⨯tan(arccos(0. 6)) =6100kvar
若保持功率因数0.8不变，则变电站总的负荷需要
7200⨯tan(arccos(0. 8)) =5400kvar
的无功功率，因此需要装设6100-5400=700kvar的电容器。
(0. 9)) =3487. 12kvar （2）变电所7200⨯tan(arccos
6100-3487.12=2612.88 kvar，此时补偿的容量为2612.88kvar 。
（3）若变电所中变压器的容量仅为7500kV A ，则无功功率的负荷最大可能为
Q =S 2-P 2=75002-72002=2100 kvar
无功功率的差额为：6100-2100=4000kvar 此时，装设的电容器容量为4000kvar 。
6-11：某降压变电所参数如图所示，低压侧的最大、最小负荷S max 、S min 标示于图中；变压器归算到高压侧的阻抗为Z=2+j40Ω, 若高压侧的电压波动范围从最大负荷到最小负荷为107~111kV, 变电所低压侧装有2组5Mvar 的补偿电容器，在最大负荷时全部投入，最小负荷时退出一半，如果变压器低压侧要求顺调压，是否可选择到合适的变压器分接头，若可以，试选择之；若不可以，在当前的设备条件下是否有解决的办法。
=30+j 20MVA
=20+j 10MVA
⨯5Mvar
解：
∆U max =
P max R T +(Q max -Q c ) X T 30⨯2+(20-10) ⨯40
==4. 299(kV )
U 1max 107P min R T +(Q min -0. 5Q c ) X T 20⨯2+(10-5) ⨯40
==2. 16(kV )
U 1min 111
∆U T min =
U 2max =U N (1+2. 5%)=10⨯(1+2. 5%)=10. 25(kV ) U 2min =U N (1+7. 5%)=10⨯(1+7. 5%)=10. 75(kV )
U 1t m ax =
U 1m ax -∆U T m ax 107-4. 299
U 2N =⨯11=110. 22(kV )
U 2m ax 10. 25U 1m in -∆U T m in 111-2. 16
U 2N =⨯11=111. 37(kV )
U 2m in 10. 75
U 1t m in =
U 1tav =
选
U 1t m ax +U 1t m in 110. 22+111. 37
==111. 795(kV )
22
kV 分接头
U 1t ＝110
校验：
U 2max =(U 1max -∆U T max ) U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 11
=(107-4. 299) =10. 27kV >10. 25kV U 1t 选110
U 2N 11
=(111-2. 16) =11. 016kV >10. 75kV U 1t 选110
顺调压的要求为在最大负荷时中枢点电压不低于线路额定电压的+2.5％，即1.025小负荷时允许中枢点电压高一些，但不高于线路额定电压的+7.5％，即1.075接头不满足调压要求。
如果选112.75KV 分接头，校验：
U N
；在最
U N
。110kV 分
U 2max =(U 1max -∆U T max ) U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 11
=(107-4. 299) =10. 02kV
也不满足调压要求。没有合适的分接头。解决的办法为最小负荷时将电容器全部退出。
U 2N 11
=(111-2. 16) =10. 62kV
∆U T min =U 1t min =U 1tav =
P min R T +(Q min -0. 5Q c ) X T 20⨯2+10⨯40
==3. 96(kV )
U 1min 111
U 1min -∆U T min 111-3. 96U 2N =⨯11=109. 53(kV )
U 2min 10. 75
U 1t max +U 1t min 110. 22+109. 53
==109. 875(kV )
22
选110kV 分接头
U 2N 11
=(111-3.96) =10.704kV
U 2min =(U 1min -∆U T min )
满足调压要求。
第六章习题
6-1某输电系统的等值电路如图所示。已知电压V 1=115kV维持不变。负荷有功功率P V LD =40MW保持恒定，无功功率与电压平方成正比，即Q 2LD =Q 0(110
) 2
。试就Q 0=20Mvar两种情况按无功功率平衡的条件确定节点2的电压V 2。
P LD +jQLD
解：
用式5-15计算线路送到节点2的无功功率为
22
Q =⎛ V 2⎫2V 2115V 21V 22⎫2
V 2⎝X ⎪⎭-P -X = ⎝40⎪⎭-40-
40 =. 2656V 22-1600-0. 025V 2
222
两种情况下负荷的无功功率分别为Q =20⎛ V 2⎫LD (1) ⎝110⎪⎭和Q ⎛V ⎫
LD (2) =30 2⎝110⎪⎭
由此可列出下表
可得：当Q 0=20Mvar时，V 2=107kV； 当Q 0=30Mvar时，V 2=103.7kV
6-2 某变电所由阻抗为4.32+j10.5Ω的35kV 线路供电。变电所负荷集中在变压器10kV 母线B 点。最大负荷8+j5MVA ，最小负荷4+j3MVA ，线路送端母线A 的电压在最大负荷和最小负荷时均为36kV ，要求变电所10kV 母线上的电压在最小负荷与最大负荷时电压偏差不超过±5%，试选择变压器分接头。变压器阻抗为0.69+j7.84Ω，变比为35±2×2.5%/10.5kV。 解：
变压器阻抗与线路阻抗合并得等值阻抗
Z =R +jX =(5. 01+j 18. 34) Ω
线路首端输送功率为
S A max =(P A +jQ A ) max =8+j 5+=8. 36+j 6. 33MVA
S A min =(P A +jQ A ) min =4+j 3+=4. 1+j 3. 37MVA
B 点折算到高压侧电压：
64+25
(5. 01+j 18. 34) 2
35
16+9
(5. 01+j 18. 34)
352
'm ax =36-V B 'm in V B
8. 36⨯5. 01+6. 33⨯18. 34
=31. 6kV
36
4. 1⨯5. 01+3. 37⨯18. 34=36-=33. 7kV
36
按调压要求10kV 母线电压在最大负荷时不低于9.5kV 和最小 负荷运行不高于10.5kV ，则可得分接头：
V m ax =
'm ax V B 31. 6
⨯V 2N =⨯10. 5=34. 9kV V B m ax 0. 95⨯10
V min =
取平均值：
'min V B 33. 7
⨯V 2N =⨯10. 5=33. 7kV V B min 1. 05⨯10
V t =
选择变压器最接近的分接头
V m ax +V m in
=34. 3kV
2
⎛34. 3⎫
-1⎪⨯100%=-2% ⎝35⎭
所以选-2.5%分接头，即
V t =(1-0. 025) ⨯35=0. 975⨯35=34. 125kV
按所选分接头校验10kV 母线的实际电压
10. 5
=9. 72kV
34. 1259. 72-10
电压偏移==-2. 8%
1010. 5
V B m in =33. 7⨯=10. 37kV
34. 12510. 375-10
电压偏移==3. 7%
10V B m ax =31. 6⨯
可见，10kV 母线上的电压在最小负荷与最大负荷时电压偏差不超过±5%，因此所选变压器分接头满足调压要求。
————————————————————————————————————— *变* ：
如果例5-2变电所10千伏母线电压为1.05*10kV，所需分接头电压：
V t m ax =
分接头位置为：
31. 6
⨯10. 5=31. 6kV
1. 05⨯1031. 6
-1=-9. 7% 35
'm in =33. 7kV ，要求10kV 母线电压为10kV ，所需分接头电压： 最小负荷时V B
V t m in =
分接头位置：
33. 7
⨯10. 5=35. 4kV 10
35. 4
-1=1. 2% 35
选择35+（2~-4）*2.5%/10.5kV或35+（3~-5）*2%/10.5kV有载调压变压器都能够满足调压要求。
6-3 一升压变压器，其归算至高压侧的参数、负荷、分接头范围如图，最大负荷时高压母
线电压为120kV ，最小负荷时高压母线电压为114kV ，发电机电压的调节范围为6~6.6kV，试选择变压器的分接头。
MVA
解：
最大负荷时变压器的电压降为
MVA
∆V =
P 2max R +Q 2max X 25⨯3+18⨯30
==5. 125kV
V 2max 120
归算至高压侧的低压侧电压为
V 1'm ax =V 2m ax +∆V m ax =(120+5. 125) kV =125. 125kV
最小负荷时变压器电压降落为
∆V =
P 2m in R +Q 2m in X 14⨯3+10⨯30
==3kV
V 2m in 114
归算至高压侧的地压侧电压为
V 1'm in =V 2m in +∆V m in =117kV
假定最大负荷时发电机电压为6.6kV ，最小负荷时电压为6Kv 。从而
V 1m ax =125. 125⨯V 1m in V t =
选择最接近的分接头121kV 。
校验：
最大负荷时发电机端实际电压为
6. 3
kV =119. 43kV 6. 66. 3
=117⨯kV =122. 85kV
6V m ax +V m in
=121. 14kV
2
125. 125⨯
最小负荷时发电机端实际电压为
6. 3v
kV =6. 51kV 121
117⨯
6. 3
kV =6. 09kV 121
均满足要求。
6-4 三绕组变压器的额定电压为110/38.5/6.6kV，等值电路如图。各绕组最大负荷功率已示于图中，最小负荷为最大负荷的1/2，设与该变压器相连的高压母线电压在最大与最小负荷时分别为112kV ，115kV ；中、低压母线电压偏移在最大与最小负荷时分别允许为0与7.5%，试选择该变压器高、中压绕组的分接头。 解：
（1） 求最大、最小负荷时各绕组的电压损耗。 最大负荷时：
∆V 1max =
P 12. 8⨯2. 94+9. 6⨯651R 1+Q 1X 1
==5. 91kV
V 1max 112P 2R 2+Q 2X 26. 4⨯4. 42-4. 8⨯1. 5
==0. 198kV
V 1max -∆V 1max 112-5. 91P 3R 3+Q 3X 36. 4⨯4. 42+4. 8⨯37. 7
==1. 97kV
V 1max -∆V 1max 112-5. 91
∆V 2max =
∆V 3max =
最小负荷时：
∆V 1min =
P 1R 1+Q 1X 16. 4⨯2. 94+4. 8⨯65
==2. 88kV
V 1min 115P 2R 2+Q 2X 23. 2⨯4. 42-2. 4⨯1. 5
==0. 0932kV
V 1m in -∆V 1m in 115-2. 88P 3R 3+Q 3X 33. 2⨯4. 42+2. 4⨯37. 7
==0. 935kV
V 1m in -∆V 1m in 115-2. 88
∆V 2m in =
∆V 3m in =
（2） 求最大、最小负荷时各母线电压。 最大负荷时，
1高压V 1m ax =112kV
2中压V 2m ax =112-5. 91-0. 198=105. 9kV 3低压V 3m ax =112-5. 91-1. 97=104. 1kV 最小负荷时：
1高压V 1m in =115kV
2中压V 2m in =112-2. 88-0. 0932=112. 0kV 3低压V 3m in =115-2. 88-0. 935=111. 1kV
（3） 根据低压母线调压要求，由高、低压两侧，选择高压绕组的分接头。最大、最小
负荷时低压母线调压要求电压为
V 3m ax =V N (1+0%)=6(1+0%)=6kV V 3m in =V N (1+7. 5%)=6(1+7. 5%)=6. 45kV
最大、最小负荷时高压绕组分接头电压为
V t 1m ax =V 3m ax
V t 1m in =V 3m in
V N 36. 6
=104. 1⨯=114. 5kV
V 3'm ax 6
V N 36. 6=111. 1⨯=113. 7kV V 3'm in 6. 45
因此，V t 1=
V t 1m ax +V t 1m in 114. 5+113. 7
==114. 1kV
22
于是可选用110+5%的分接头，分接头电压为115.5kV 。
（4） 校验低压母线电压。 最大负荷时
V 3max =V 3max
最小负荷时
V N 36. 6
=104. 1⨯=5. 95kV V t 1115. 5
V 3min =V 3min
V N 36. 6
=111. 1⨯=6. 35kV V t 1115. 5
低压母线电压偏移：
最大负荷时
∆V 3max %=
最小负荷时
V 3max -V N
=-0. 833%
V N
∆V 3min %=
V 3min -V N
=5. 83%
V N
虽然最大负荷时的电压偏移要求较要求的低0.833%，但由于分接头之间的电压差为2.5%， 求得的电压偏移较要求不超过1.25%是允许的，所以选择的分接头认为合适。进而可确定变压器高、低压侧的变比为115.5/6.6kV。
（5） 根据中压母线的调压要求，由高、中压两侧，选择中压绕组的分接头。最大、最
小负荷时中压母线调压要求电压为：
V 2'max =35(1+0%)=35kV
V 2'min =35(1+7. 5%)=37. 6kV
最大、最小负荷时中压绕组分接头电压为：
V t 2max =V 2'max
V t 1115. 5
=35⨯=38. 2kV V 2max 105. 9
V t 2m in =V 2'm in
因此
V t 1115. 5
=37. 6⨯=38. 8kV V 2m in 112
V t 2=
38. 2+38. 8
=38. 5kV
2
于是，就选电压为38.5kV 的主抽头。 （6） 校验中压侧母线电压 最大负荷时
V 3max =V 2max
V t 238. 5
=105. 9⨯=35. 3kV V t 1115. 5V t 238. 5
=112⨯=37. 3kV V t 1115. 5
V 3min =V 2min
中压母线电压偏移：
最大负荷时
∆V 2m ax %=
最小负荷时
35. 3-35
=0. 86% 3537. 3-35
=6. 57% 35
∆V 2m in %=
可见，电压偏移在要求的范围内，也满足调压要求。于是，该变压器应选择的分接头电压或变比为115.5/38.5/6.6kV。
6-5某一降压变电所由双回110kV ，长70km 的架空输电线路供电，导线型号为LGJ-120，单位长度阻抗为0.263+j0.423Ω/km。变电所有两台变压器并联运行，其参数为：S N =31.5MVA ，V N 为110（1±2*2.5%）可kV/11kV，V s %=10.5。变电所最大负荷为40+j30MVA 。线路首端电压为116kV ，且维持不变。变电所二次侧母线上的允许电压偏移在最大、最小负荷时为额定电压的2.5%~7.5%。根据调压要求，按电容器和调相机两种措施，确定变电所二次侧母线上所需补偿的最小容量。 解：
（1） 计算线路和变压器等值阻抗。
Z L =
1
l 1⨯(r 1+jx 1) =(9. 205+j 4. 805) Ω 2
2
1V S %V N 10. 5⨯1102
X T =⨯==20. 167Ω
2100S N 200⨯31. 5
总阻抗Z
Z =R +jX =(9. 205+j 34. 972) Ω
（2） 计算补偿前变电所二次侧母线归算到高压侧的电压。
因为首端电压已知，宜用首端功率计算网络的电压损耗。为此，先按额定电压计算输电系统的功率损耗：
∆S m ax
402+302=*(9. 205+j 34. 972) MVA =1. 902+j 7. 226MVA 2
110302+202=*(9. 205+j 34. 972) MVA =0. 989+j 3. 757MVA
1102
∆S m in
于是
S 1m ax =S m ax +∆S m ax =41. 902+j 37. 226MVA
S 1m in =S m in +∆S m in =30. 989+j 23. 757MVA
利用首端功率可以算出：
V 2'max =V 1-
P 1max R +Q 1max X
=101. 452kV
V 1P 1min R +Q 1min X
=106.. 379kV
V 1
V 2'min =V 1-
（3） 选择静电电容器的容量
按最小负荷时无补偿确定变压器的分接头电压
V t =
V 2N V 2'min
=108. 85kV
V 2min
最接近的抽头电压为110kV ，可得降压变压器的变比为
k =
求补偿容量
110
=10 11
Q c =
V 2c max ⎛V '⎫
V 2c max -2max ⎪k 2=3. 072M var X ⎝k ⎭
取补偿容量Q c =3M var ，且检验变电所二次侧母线电压
∆S c m ax =1. 772+j 6. 731MVA S 1c m ax =41. 772+j 33. 731MVA
V 2'max =V 1-
故
P 1c max R +Q 1c max X
=102. 8kV
V 1
V 2c m ax
V 2'c m ax ==10. 28kV
k V 2'c m in
=10. 638kV k
V 2c m in =
变电所二次侧母线电压满足调压要求。 （4） 选择同步调相机的容量。 求变压器变比
k =
αV 2c max V 2'max +V 2c min V 2'min
22
αV 2c max +V 2c min
当α分别取为0.5和0.65时，可算出相应的变比k 分别为9.896和9.897，选最接近的标准分接头变比为k=10。 确定调相机容量
Q c =
V 2c max
X
V 2'max ⎛
V - 2c max
k ⎝
⎫2
⎪k =3. 07M var ⎭
选取最接近标准容量的同步调相机，其额定容量为3MVA 。
验算变电所二次侧母线电压。最大负荷调相机按额定容量过励磁运行，因而有
∆S c m ax =1. 772+j 6. 731MVA
最小负荷时调相机按50%额定容量欠励磁运行，因而有
∆S c m in =1. 036+j 3. 937MVA
S 1c m ax =S c m ax +∆S c m ax =41. 772+j 32. 731MVA S 1c m in =S c m in +∆S c m in =31. 036+J 25. 437MVA
V 2c m ax
⎛P 1c m ax R +Q 1c m ax X V - 1
V 1
=⎝
⎛P 1c min R +Q 1c min X V - 1
V 1
=⎝
⎫⎪⎪⎫⎪⎪=10. 28kV
V 2c min
=10. 59kV
变电所二次侧母线电压满足调压要求。
6-6一条阻抗为21+j34Ω的110kV 单回线路，将降压变电所与负荷中心连接，最大负荷为22+j20MVA。线路允许的电压损耗为6%，为满足此要求在线路上串联标准为单相、0.66kV 、40kV A 的电容器。试确定所需电容器数量和容量。 解：
未加串联电容时线路的电压损耗
∆V =
PR +QX
=10. 38kV
V N
允许电压损耗
∆V perm =110*6%=6. 6kV
由此可求所需电容器的容抗
∆V perm =
PR +Q (X -X C )
=6. 6kV
V N
得
X C =20. 8Ω
线路的最大负荷电流
I C max =
P 2+Q 2V N
=157A
单个电容器的额定电流及额定容抗分别为
I NC =
Q NC
=60. 6A V NC
V NC
=10. 9Ω I NC
X NC =
电容器组并联的组数应大于
m =
I C max
=2. 59 取m=3 I NC
每串串联个数应大于
n =
I C max X C
=4. 95 取n=6
V NC
则电容器组总数量 3mn=54个
电容器组总容量
Q C =54Q NC =2. 16M var
验算电压损耗：实际电容器组的容抗
X C =
nX NC
=21. 8Ω m
这时线路的电压损耗 ∆V =6. 42kV 其百分值
∆V %=
6. 42
*100%=5. 8% 110
低于允许值，满足要求。
如果采用串联电容器补偿，为达到同样目的，缩小电容器的容量：
∆V perm =
PR +(Q -Q C ) X
=6. 6kV
V N
Q C =12. 24M var
Q C 串/Q C 并=2. 16/12. 24=17. 6%
可见串联电容器容量仅为并联电容器容量的17.6%。
6-7两发电厂联合向一个负荷供电，图中Z 1=0.10+j0.40，Z 2=0.04+j0.08。设发电厂母线电压均为1.0，负荷功率S LD =PLD +jQLD =1.2+j0.7，其有功部分由两发电厂平均分担。试确定无功功率的最优分配。
解：按题意列出有功、无功功率损耗表示式
2
P 12+Q 12P 22+Q 22222
P L =R +R =0. 1(P +Q ) +0. 04(P +Q ) 12112222
V V 2P 12+Q 12P 22+Q 22
Q L =X 1+X 2=0. 4(P 12+Q 12) +0. 08(P 22+Q 2) 22
V V
然后计算各网损微增率
∂P L /∂Q 1=0. 2Q 1；∂P L /∂Q 2=0. 08Q 2 ∂Q L /∂Q 1=0. 8Q 1；∂Q L /∂Q 2=0. 16Q 2
按等网损微增率准则确定无功功率分配
∂P L ∂P 11⨯=L ⨯
∂Q 1(1-∂Q L /∂Q 1) ∂Q 2(1-∂Q L /∂Q 2) 0. 2Q 10. 08Q 2
=
1-0. 8Q 11-0. 16Q 2
由无功功率平衡条件得
Q 1+Q 2-Q LD -Q L =0
2
Q 1+Q 2-0. 7-[0. 4(0. 342+Q 12) +0. 08(0. 862+Q 2)]=0
联立求解得
Q 1≈0. 248; Q 2≈0. 688
为进行比较，以下不计无功功率网损，则等网损微增率准则为
∂P L ∂P
=L ，于是有 ∂Q 1∂Q 2
0. 2Q 1=0. 08Q 2
无功功率平衡条件为
Q 1+Q 2-0. 7=0
联立求解得
Q 1=0. 20; Q 2=0. 50
上述计算可以看出，计及无功网损时，X 2
6-8：有一台降压变压器，其归算到高压侧的参数为R T =2Ω, X T =40Ω, 低压侧的最大、最小负荷S max 、S min 表示于图中；若高压侧的电压波动范围从最大负荷到最小负荷为105~112kV, 如果变压器低压侧要求顺调压，是否可选择变压器分接头，若可以，试选择之；若不可以，分析原因。 U 1
~
S max =30+j10MVA
110±2×2.5%/6.3kv
~
S min =10+j5MVA
解:
∆U max =
P max R T +Q max X T 30⨯2+10⨯40
==4. 38(kV )
U 1max 105 P min R T +Q min X T 10⨯2+5⨯40
==1. 96(kV )
U 1min 112
∆U T min =
U 2m ax =U N (1+2. 5%)=6⨯(1+2. 5%)=6. 15(kV ) U 2m in =U N (1+7. 5%)=6⨯(1+7. 5%)=6. 45(kV )
U 1t max =
U 1max -∆U T max 105-4. 38
U 2N =⨯6. 3=103. 07(kV )
U 2max 6. 15U 1min -∆U T min 112-1. 96
U 2N =⨯6. 3=107. 48(kV )
U 2min 6. 45
U 1t min =
U 1tav =
选
U 1t m ax +U 1t m in 103. 07+107. 48
==105. 275(kV )
22
kV 分接头
U 1t ＝110(1－2. 5%)=107. 25
校验：
U 2max =(U 1max -∆U T max )
U 2N 6. 3
=(105-4. 38) =5. 91(kV )
U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 6. 3
=(112-1. 96) =6. 46(kV ) >6. 45kV U 1t 选107. 25
所选分接头不满足调压要求，故改选校验：
U 1t ＝110(1－2⨯2. 5%)=104. 5
kV 的分接头。
U 2max =(U 1max -∆U T max )
U 2N 6. 3
=(105-4. 38) =6. 07(kV )
U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 6. 3
=(112-1. 96) =6. 63(kV ) >6. 45kV U 1t 选104. 5
没有合适的分接头满足调压要求，主要原因是高压侧电压波动太大，其次是低压侧的最大和
最小负荷相差较多。
6-9：供电线路如下图所示，线路始端电压为230kV ，假设始端电压不变，为了使变压器低压侧电压能维持37kV ，求需在变电所低压侧应装设的并联无功补偿容量是多少？（注：忽略电压降落的横分量影响）
输电线路参数：
R l =
1111
r 1l =(0. 02⨯100) =1ΩX l =x 1l =(0. 4⨯100) =20Ω2222
变压器归算到高压侧的参数：
R T =
P k U N
22
1000S N
100⨯2202
==0. 484Ω 21000⨯100
U k %U N 10⨯2202
X T ===48. 4Ω
100S N 100⨯100
2
变压器低压侧归算到高压侧的电压：
U 2=37⨯
220
=220kV 37
U 1-U 2=
P 2(R l +R T ) +Q 2(X l +X T )
U 2
230-220=
100(1+0. 484) +Q 2(20+48. 4)
220
解得线路流动的功率为:Q 2=30M var 应补偿无功容量:
Q C =P 2tg φ-Q 2=100⨯0. 75-30=45M var
6-10 由某变电所供给功率因数为0.8、功率为6000kW 的负荷，由于要增加功率因数为0.6、
功率为1200kW 的负荷，欲在变电所装设电容器。请按照下面的条件确定应补偿的电容器容量：
（1）负荷增加后，变压器供给的总负荷功率因数保持0.8不变。 （2）负荷增加后，变压器供给的总负荷的功率因数提高到0.9。
（3）如果变电所中变压器的容量仅为7500kV A ，负荷增加后，不使变压器过载。 解：（1）负荷总的有功功率为
6000+1200=7200kW
负荷总的无功功率为：
6000⨯tan(arccos(0. 8)) +1200⨯tan(arccos(0. 6)) =6100kvar
若保持功率因数0.8不变，则变电站总的负荷需要
7200⨯tan(arccos(0. 8)) =5400kvar
的无功功率，因此需要装设6100-5400=700kvar的电容器。
(0. 9)) =3487. 12kvar （2）变电所7200⨯tan(arccos
6100-3487.12=2612.88 kvar，此时补偿的容量为2612.88kvar 。
（3）若变电所中变压器的容量仅为7500kV A ，则无功功率的负荷最大可能为
Q =S 2-P 2=75002-72002=2100 kvar
无功功率的差额为：6100-2100=4000kvar 此时，装设的电容器容量为4000kvar 。
6-11：某降压变电所参数如图所示，低压侧的最大、最小负荷S max 、S min 标示于图中；变压器归算到高压侧的阻抗为Z=2+j40Ω, 若高压侧的电压波动范围从最大负荷到最小负荷为107~111kV, 变电所低压侧装有2组5Mvar 的补偿电容器，在最大负荷时全部投入，最小负荷时退出一半，如果变压器低压侧要求顺调压，是否可选择到合适的变压器分接头，若可以，试选择之；若不可以，在当前的设备条件下是否有解决的办法。
=30+j 20MVA
=20+j 10MVA
⨯5Mvar
解：
∆U max =
P max R T +(Q max -Q c ) X T 30⨯2+(20-10) ⨯40
==4. 299(kV )
U 1max 107P min R T +(Q min -0. 5Q c ) X T 20⨯2+(10-5) ⨯40
==2. 16(kV )
U 1min 111
∆U T min =
U 2max =U N (1+2. 5%)=10⨯(1+2. 5%)=10. 25(kV ) U 2min =U N (1+7. 5%)=10⨯(1+7. 5%)=10. 75(kV )
U 1t m ax =
U 1m ax -∆U T m ax 107-4. 299
U 2N =⨯11=110. 22(kV )
U 2m ax 10. 25U 1m in -∆U T m in 111-2. 16
U 2N =⨯11=111. 37(kV )
U 2m in 10. 75
U 1t m in =
U 1tav =
选
U 1t m ax +U 1t m in 110. 22+111. 37
==111. 795(kV )
22
kV 分接头
U 1t ＝110
校验：
U 2max =(U 1max -∆U T max ) U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 11
=(107-4. 299) =10. 27kV >10. 25kV U 1t 选110
U 2N 11
=(111-2. 16) =11. 016kV >10. 75kV U 1t 选110
顺调压的要求为在最大负荷时中枢点电压不低于线路额定电压的+2.5％，即1.025小负荷时允许中枢点电压高一些，但不高于线路额定电压的+7.5％，即1.075接头不满足调压要求。
如果选112.75KV 分接头，校验：
U N
；在最
U N
。110kV 分
U 2max =(U 1max -∆U T max ) U 2min =(U 1min -∆U T min )
U 2N 11
=(107-4. 299) =10. 02kV
也不满足调压要求。没有合适的分接头。解决的办法为最小负荷时将电容器全部退出。
U 2N 11
=(111-2. 16) =10. 62kV
∆U T min =U 1t min =U 1tav =
P min R T +(Q min -0. 5Q c ) X T 20⨯2+10⨯40
==3. 96(kV )
U 1min 111
U 1min -∆U T min 111-3. 96U 2N =⨯11=109. 53(kV )
U 2min 10. 75
U 1t max +U 1t min 110. 22+109. 53
==109. 875(kV )
22
选110kV 分接头
U 2N 11
=(111-3.96) =10.704kV
U 2min =(U 1min -∆U T min )
满足调压要求。